一、數(shù)的整除的特征

　　1．前面我們已學(xué)過奇數(shù)與偶數(shù)，我們正是以能否被2整除來區(qū)分偶數(shù)與奇數(shù)的。因此，有下面的結(jié)論：末位數(shù)字為0、2、4、6、8的整數(shù)都能被2整除。偶數(shù)總可表為2k，奇數(shù)總可表為2k＋1（其中k為整數(shù)）。

　　2．末位數(shù)字為零的整數(shù)必被10整除。這種數(shù)總可表為10k（其中k為整數(shù)）。

　　3．末位數(shù)字為0或5的整數(shù)必被5整除，可表為5k（k為整數(shù)）。

　　4．末兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)能被4（25）整除的整數(shù)必被4（25）整除。

　　如1996＝1900＋96，因為100是4和25的倍數(shù)，所以1900是4和25的倍數(shù)，只要考察96是否4或25的倍數(shù)即可。

　　由于4｜96

　　能被25整除的整數(shù)，末兩位數(shù)只可能是00、25、50、75。能被4整除的整數(shù)，末兩位數(shù)只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的數(shù)。

　　5．末三位數(shù)字組成的三位數(shù)能被8（125）整除的整數(shù)必能被8（125）整除。

　　由于1000＝8×125，因此，1000的倍數(shù)當(dāng)然也是8和125的倍數(shù)。

　　如判斷765432是否能被8整除。

　　因為765432＝765000＋432

　　顯然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。

　　能被8整除的整數(shù)，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。

　　由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；

　　125×4＝500，125×5＝625；125×6＝750；

　　125×7＝875；125×8＝10000

　　故能被125整除的整數(shù)，末三位數(shù)只能是000，125，250，375，500，625，750，875。

　　6．各個數(shù)位上數(shù)字之和能被3（9）整除的整數(shù)必能被3（9）整除。

　　如478323是否能被3（9）整除？

　　由于478323＝4×100000＋7×10000＋8×1000＋3×100＋2×10＋3

　?。?/font>4×（99999＋1）＋7（9999＋1）＋8×（999＋1）＋3×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3

　?。剑?/font>4×99999＋7×9999＋8×999＋3×99＋2×9）＋（4＋7＋8＋3＋2＋3）

　　前一括號里的各項都是3（9）的倍數(shù)，因此，判斷478323是否能被3（9）整除，只要考察第二括號的各數(shù)之和（4＋7＋8＋3＋2＋3）能否被3（9）整除。而第二括號內(nèi)各數(shù)之和，恰好是原數(shù)478323各個數(shù)位上數(shù)字之和。

　　∵4＋7＋8＋3＋2＋3＝27是3（9）的倍數(shù)，故知478323是3（9）的倍數(shù)。

　　在實際考察4＋7＋8＋3＋2＋3是否被3（9）整除時，總可將3（9）的倍數(shù)劃掉不予考慮。

　　即考慮被3整除時，劃去7、2、3、3，只看4＋8，考慮被9整除時，由于7＋2＝9，故可直接劃去7、2，只考慮4＋8＋3＋3即可。

　　如考察9876543被9除時是否整除，可以只考察數(shù)字和（9＋8＋7＋6＋5＋4＋3）是否被9整除，還可劃去9、5＋4、6＋3，即只考察8

　　如問3是否整除9876543，則先可將9、6、3劃去，再考慮其他數(shù)位上數(shù)字之和。由于3|（8＋7＋5＋4），故有3|9876543。

　　實際上，一個整數(shù)各個數(shù)位上數(shù)字之和被3（9）除所得的余數(shù)，就是這個整數(shù)被3（9）除所得的余數(shù)。

　　7．一個整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差如果是11的倍數(shù)，那么這個整數(shù)也是11的倍數(shù)。（一個整數(shù)的個位、百位、萬位、…稱為奇數(shù)位，十位、千位、百萬位……稱為偶數(shù)位。）

　　如判斷42559能否被11整除。

　　42559＝4×10000＋2×1000＋5×100＋5×10＋9

　?。?/font>4×（9999＋1）＋2×（1001－1）＋5（99＋1）

　　＋5×（11－1）＋9

　?。剑?/font>4×9999＋2×1001＋5×99＋5×11）＋

　?。?/font>4－2＋5－5＋9）

　?。?/font>11×（4×909＋2×91＋5×9＋5）＋

　　（4－2＋5－5＋9）

　　前一部分顯然是11的倍數(shù)。因此判斷42559是否11的倍數(shù)只要看后一部分4－2＋5－5＋9是否為11的倍數(shù)。

　　而4－2＋5－5＋9＝（4＋5＋9）－（2＋5）恰為奇數(shù)位上數(shù)字之和減去偶數(shù)位上數(shù)字之和的差。

　　由于（4＋5＋9）－（2＋5）＝11是11的倍數(shù)，故42559是11的倍數(shù)。

　　現(xiàn)在要判斷7295871是否為11的倍數(shù)，只須直接計算（1＋8＋9＋7）－（7＋5＋2）是否為11的倍數(shù)即可。由25－14＝11知（1＋8＋9＋7）－（7＋5＋2）是1的倍數(shù)，故11|7295871。

　　上面所舉的例子，是奇數(shù)位數(shù)字和大于偶數(shù)位數(shù)字和的情形。如果奇數(shù)位數(shù)字和小于偶數(shù)位數(shù)字和（即我們平時認(rèn)為“不夠減”），那么該怎么辦呢？

　　如867493的奇數(shù)位數(shù)字和為3＋4＋6，而偶數(shù)位數(shù)字和為9＋7＋8。顯然3＋4＋6小于9＋7＋8，即13小于24。

　　遇到這種情況，可在13－24這種式子后面依次加上11，直至“夠減”為止。

　　由于13－24＋11＝0，恰為11的倍數(shù)，所以知道867493必是11的倍數(shù)。

　　又如738292的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差為

　?。?/font>2＋2＋3）－（9＋8＋7）＝7－24

　　7－24＋11＋11＝5（加了兩次11使“夠減”）。由于5不能被11整除，故可立即判斷738292不能被11整除。

　　實際上，一個整數(shù)被11除所得的余數(shù)，即是這個整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差被11除所得的余數(shù)（不夠減時依次加11直至夠減為止）。

　　同學(xué)們還會發(fā)現(xiàn)：任何一個三位數(shù)連寫兩次組成的六位數(shù)一定能被11整除。

　　如186這個三位數(shù)，連寫兩次成為六位數(shù)186186。由于這個六位數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和為6＋1＋8，偶數(shù)位數(shù)字和為8＋6＋1，它們的差恰好為零，故186186是11的倍數(shù)。

　　

數(shù)位數(shù)字和為c＋a＋b，偶數(shù)位數(shù)字和為b＋c＋a，它們的差恰為零，

　　象這樣由三位數(shù)連寫兩次組成的六位數(shù)是否能被7整除呢？

　　如186186被7試除后商為26598，余數(shù)為零，即7｜186186。能否不做186186÷7，而有較簡單的判斷辦法呢？

　　由于186186＝186000＋186

　　＝186×1000＋186

　?。?/font>186×1001

　　而1001＝7×11×13，所以186186一定能被7整除。

　　這就啟發(fā)我們考慮，由于7×11×13＝1001，故若一個數(shù)被1001整除，則這個數(shù)必被7整除，也被11和13整除。

　　或?qū)⒁粋€數(shù)分為兩部分的和或差，如果其中一部分為1001的倍數(shù)，另一部分為7（11或13）的倍數(shù)，那么原數(shù)也一定是7（11或13）的倍數(shù)。

　　如判斷2839704是否是7的倍數(shù)？

　　由于2839704＝2839000＋704

　　＝2839×1000＋704

　?。?/font>2839×1001－2839＋704

　　＝2839×1001－（2839－704）

　　∵2839－704＝2135是7的倍數(shù)，所以2839704也是7的倍數(shù)；2135不是11（13）的倍數(shù)，所以2839704也不是11（13）的倍數(shù)。

　　實際上，對于283904這樣一個七位數(shù)，要判斷它是否為7（11或13）的倍數(shù)，只需將它分為2839和704兩個數(shù)，看它們的差是否被7（11或13）整除即可。

　　又如判斷42952是否被13整除，可將42952分為42和952兩個數(shù)，只要看952－42＝910是否被13整除即可。由于910＝13×70，所以13|910，

　　8．一個三位以上的整數(shù)能否被7（11或13）整除，只須看這個數(shù)的末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差（以大減小）能否被7（11或13）整除。

　　另法：將一個多位數(shù)從后往前三位一組進(jìn)行分段。奇數(shù)段各三位數(shù)之和與偶數(shù)段各三位數(shù)之和的差若被7（11或13）整除，則原多位數(shù)也被7（11或13）整除。

　　如3546725可分為3，546，725三段。奇數(shù)段的和為725＋3＝728，偶數(shù)段為546，二者的差為

　　728－546＝182＝7×26＝7×2×13