今天授獎的儀式很隆重，聽了許多人的演講，我非常感動。有機(jī)會在此演講，自己覺得非常榮幸，也非常高興。我想從現(xiàn)在起，我們就像平常上課一樣，不怎么嚴(yán)肅，隨便一點(diǎn)。我?guī)Я艘恍┎牧?，非常遺憾的是沒法投影。不投影也可以，我沒有什么準(zhǔn)備。大家希望我講一點(diǎn)幾何學(xué)，題目是《什么是幾何學(xué)》。我雖然搞了幾十年的幾何工作，但是很抱歉的一點(diǎn)是，當(dāng)你們聽完演講后，不會得到很簡單的答案，因?yàn)檫@是一門廣泛而偉大的學(xué)問。在最近幾千年來，幾何學(xué)有非常重要的發(fā)展，跟許多其它的科學(xué)不但有關(guān)系、有作用，而且是基本的因素。

    講到幾何學(xué)，我們第一個想到的是歐幾里德。除了基督教的《圣經(jīng)》之外，歐幾里德的《幾何原本》在世界出版物中大概是銷售最多的一本書了。這本書在中國有翻譯，譯者是徐光啟與利瑪竇。徐光啟(1562~1633）是中國了不得的學(xué)問家，利瑪竇（M.RICCI）是到中國來的意大利傳教士。他們只翻譯了六章，中文本是在1607年出版的。我們現(xiàn)在通用的許多名詞，例如并行線、三角形、圓周等這類名詞我想都是徐光啟翻譯的。當(dāng)時沒有把全書翻譯完，差不多只翻譯了半本，另外還有半本是李善蘭和偉烈亞力翻譯的。偉烈亞力(A.Wylie）是英國傳教士。很高興的是，李善蘭是浙江海寧人。海寧是嘉興府的一縣，我是嘉興人，所以我們是同鄉(xiāng)（掌聲）。對了，查濟(jì)民先生也是海寧人（掌聲）。

    推動幾何學(xué)第二個重要的、歷史性發(fā)展的人是Descarte（1596~1650），中國人翻譯成為笛卡兒。他是法國哲學(xué)家，不是專門研究數(shù)學(xué)的。他用坐標(biāo)的方法，把幾何變成了代數(shù)。當(dāng)時沒有分析或者無窮的觀念。所以他就變成代數(shù)。我想笛卡兒當(dāng)時不見得覺得他這貢獻(xiàn)是很偉大的，所以他的幾何諭文是他的哲學(xué)引里面最后的一個附錄，附屬于他的哲學(xué)的。

    這個思想當(dāng)然在幾何上是革命性的，因?yàn)楫?dāng)把幾何的現(xiàn)象用坐標(biāo)表示出來時，就變成了代數(shù)現(xiàn)象。所以你要證明說一條直線是不是經(jīng)過一個點(diǎn)，你只要證明某個數(shù)是不是等于零就行了。這樣就變成了一個簡單一點(diǎn)的代數(shù)問題。當(dāng)然并不是任何的幾何問題都要變成代數(shù)問題，有時候變?yōu)榇鷶?shù)問題后上原來的問題更加復(fù)雜了。但這個關(guān)系是基本性的。笛卡兒發(fā)現(xiàn)的坐標(biāo)系，我們大慨在中學(xué)念解析幾何都學(xué)到。有一點(diǎn)是這樣的（我的圖可惜現(xiàn)在沒法投影出來）給定一條直線，直線上有一個原點(diǎn)，其它的點(diǎn)由它的距離X來確定，然后經(jīng)過x沿一定的方向畫一條直線，那么y坐標(biāo)就是在那條在線從X軸上這個點(diǎn)所經(jīng)的距離，這就是笛卡兒的坐標(biāo)，英文叫Cartcsian坐標(biāo)。它的兩條線不一定垂直。不知道哪位先生寫教科書時把兩條線寫成垂直了，因此x坐標(biāo)與y坐標(biāo)對稱了。笛卡兒的兩個坐標(biāo)不是對稱的，這是他非常重要的觀念，我們現(xiàn)在就叫纖維叢。這些跟y坐標(biāo)平行的直線都是鐵維，是另外的－個空間。原因是這樣的：你把它這樣改了之后，那條直線就不一定要直線，可以是任何另外一個空間了。這樣可以確定空間里點(diǎn)用另外一組坐標(biāo)來表示。所以有時候科學(xué)或數(shù)學(xué)不一定完全進(jìn)步了，有時候反而退步了（笑聲）。笛卡兒用了這個坐標(biāo)，就發(fā)現(xiàn)，我們不一定要用Cartesian坐標(biāo)，可以用其它坐標(biāo)，比如極坐標(biāo)。平面上確定一個點(diǎn)，稱為原點(diǎn)，過這點(diǎn)畫一條射線，稱為原軸。這樣平面上的點(diǎn)，一個坐標(biāo)是這點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，另外一個是角度，是這點(diǎn)與原點(diǎn)的聯(lián)機(jī)與原軸的相交的角度，這就是極坐標(biāo)。因此極坐標(biāo)的兩個坐標(biāo)，一個是正數(shù)或零，另外一個是從零到360度的角度。當(dāng)然我們都知道，還可以有許多其它的坐標(biāo)，只要用數(shù)就可以確定坐標(biāo)。因此，后來大家弄多了的話，就對幾何作出了另外一個革命性的貢獻(xiàn)，就是說，坐標(biāo)不一定要有意義。只要每級數(shù)能定義一個點(diǎn)，我們就把它叫坐標(biāo)。從而幾何性質(zhì)就變成坐標(biāo)的一個代數(shù)性質(zhì)，或者說分析的性質(zhì)。這樣就把幾何數(shù)量化了，幾何就變成形式化的東西了。這個影響非常之大，當(dāng)然這個影響也不大容易被接受，比如愛因斯坦。愛因斯坦發(fā)現(xiàn)他的相對論，特殊相對論是在1908年，而廣義相對論是在1915年，前后差了7年。愛因斯坦說，為什么需要7年我才能從特殊相對論過渡到廣義相對諭呢？他說因?yàn)槲矣X得坐標(biāo)都應(yīng)該有幾何或物理意義。愛因斯坦是一個對學(xué)問非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娜?，他覺得沒有意義的坐標(biāo)不大容易被接受，所以耽誤了他很多年，他才不能不接受，就是因?yàn)榭臻g的概念被推廣了。

    我忘掉了一段。我現(xiàn)在是講書，請書忘掉了補(bǔ)充一下是無所謂的，講錯了也不要緊（笑聲）。同樣我回頭再講一點(diǎn)歐幾里德。那時的歐幾里德的《幾何原本》并不僅僅是幾何，而是整個數(shù)學(xué)。因?yàn)槟菚r候的數(shù)學(xué)還沒有發(fā)現(xiàn)微積分，無窮的觀念雖然已經(jīng)有了，不過不怎么普遍。我再說一點(diǎn)，就很可惜的是歐幾里德的身世我們知道得很少，只知道他大概生活在紀(jì)元前三百年左右。他是亞歷山大學(xué)校的幾何教授，他的《幾何原本》大概是當(dāng)時的一個課本。亞歷山大大學(xué)是希臘文化最后集中的一個地方。因?yàn)閬啔v山大自己到過亞歷山大，因此就建立了當(dāng)時北非的大城，靠在地中海。但是他遠(yuǎn)在到亞洲之后，我們知道他很快就死了。之后，他的大將托勒密（PtolelmyySoter）管理當(dāng)時的埃及區(qū)域。托勒密很重視學(xué)問，就成立了一個大學(xué)。這個大學(xué)就在他的王宮旁邊，是當(dāng)時全世界偉大的大學(xué)，設(shè)備非常好，有許多書。很可惜由于宗教的原因，由于眾多的原因，現(xiàn)在這個學(xué)校被完全毀掉了。當(dāng)時的基督教就不喜嘆這個學(xué)校，己經(jīng)開始被毀了，然后回教人占領(lǐng)了北非之后，就大規(guī)地破壞，把圖書館的書都拿出來燒掉。所以現(xiàn)在這個學(xué)校完全不存在了。

    幾何是很重要的，因?yàn)榇蠹矣X得幾何就是數(shù)學(xué)。比方說，現(xiàn)在還有這一印象，法國的科學(xué)院，它的數(shù)學(xué)組叫做幾何組。對于法國來講，搞數(shù)學(xué)的不稱數(shù)學(xué)家，而叫幾何學(xué)家，這都是受當(dāng)時幾何的影響。當(dāng)時的幾何比現(xiàn)在的幾何的范圍來得廣。不過從另一方面講現(xiàn)在的范圍更廣了，就是我剛才講到的坐標(biāo)不一定有意義。一個空間可以有好幾種坐標(biāo)，那么怎樣描述空間呢？這就顯得很困難啦，因?yàn)榭臻g到底有什么樣的幾何性質(zhì)，這也是一個大問題。高斯與黎曼建立和發(fā)展了這方面的理論。高斯是德國人，我想他是近代數(shù)學(xué)最偉大的一個數(shù)學(xué)家。黎曼實(shí)際上是他的繼承人，也是德國教學(xué)家。他們都是哥廷根大學(xué)的教授。可惜的是黎曼活看時身體不好，有肺結(jié)核病，四十歲就死了。他們的發(fā)展有一個主要目的，就是要發(fā)展一個空間，它的坐標(biāo)是局部的?？臻g里只有坐標(biāo)，反正你不能講坐標(biāo)是什么，只知道坐標(biāo)代表一個點(diǎn)，所以只是一小塊里的點(diǎn)可以用坐標(biāo)表示。因此雖然點(diǎn)的性質(zhì)可以用解析關(guān)系來表示，但是如何研究空間這就成了大問題。

    在這個之前，我剛才又忘了一個，就是基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)是歐幾里德的書，但是歐幾里德的書出了一個毛病。因?yàn)闅W幾里德用公理經(jīng)過邏輯的手段得到結(jié)論。例如說，三角形三角之和一定等于180度，這是了不得的結(jié)果。歐幾里德可以用公理幾步就把它證明了，是一個結(jié)諭。這個比現(xiàn)代的科學(xué)簡單得多了。我們剛才聽了很多話，科學(xué)家做科學(xué)研究，第一樣就是跟政府要錢，跟社會要錢，說你給了我錢，我才能做實(shí)驗(yàn)。當(dāng)然實(shí)驗(yàn)是科學(xué)的基礎(chǔ)。但是這樣一來就會有許多的社會問題和政治問題。歐幾里德說，你給我一張紙，我只要寫幾下，就證明了這個結(jié)果。不但如此，我是搞數(shù)學(xué)的，我說數(shù)學(xué)理論還有優(yōu)點(diǎn)，數(shù)學(xué)的理論可以預(yù)測實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。不用實(shí)驗(yàn)，用數(shù)學(xué)可以得到結(jié)論，然后用實(shí)驗(yàn)去證明。當(dāng)然實(shí)驗(yàn)有時的證明不對，也許你的理論就不對了，那當(dāng)然也有這個毛病。歐幾里德的公理是非常明顯的，但是他有一個有名的公里叫第五公設(shè)出了問題。這個第五公設(shè)講起來比較長，但是簡單地說，就是有一條直線與線外一點(diǎn)，經(jīng)過這點(diǎn)只有一條直線與這條已給的直線平行。這個你要隨便畫圖的詁，覺得相當(dāng)可信?？墒悄阋獓?yán)格追問的話，這個公理不大明顯，至少不如其它公理這樣明顯。所以這個第五公設(shè)對當(dāng)時數(shù)學(xué)界喜歡思想的人是個大問題。當(dāng)時最理想的情形是：第五公設(shè)可以用其它的公理推得，變成一個所謂的定理。那就簡單化了，并且可做這個實(shí)驗(yàn)。我們搞數(shù)學(xué)的人有一個簡單的方法，就是我要證明這個公理，我先假定這個公理不對，看是不是可以得到矛盾。如果得到矛盾，就證明它是對的了。這就是所謂間接證明法。有人就想用這個方法證明第五公設(shè)，但是都失敗了。我們現(xiàn)在知道這個第五公設(shè)并不一定對，經(jīng)過一點(diǎn)的并行線可以有無數(shù)條，這就是非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，它的社會意義很大，因?yàn)樗硎究臻g不一定只有一個。西洋的社會相信上帝只有一個，怎么會有兩個空間，或者很多個空間呢？當(dāng)時這是個很嚴(yán)重的社會問題。不止是社會問題，同時也是哲學(xué)問題。像德國大哲學(xué)家康德，他就覺得只能有歐氏幾何，不能有非歐幾何。所以當(dāng)時這是一個很大的爭論。非歐幾何的發(fā)現(xiàn)一個是J.Bolyai，匈牙利人，在1832年；一個是Lobachevski，俄國人，在1847年。不過我剛才講到大數(shù)學(xué)家高斯，我們從他的種種著作中知道他完全清楚，但他沒有把它發(fā)表成一個結(jié)論，因?yàn)榘l(fā)表這樣一個結(jié)論，是可以遭到別人反對的。因此就有這么一個爭論。等到意大利的幾何學(xué)家Beltrami，他在歐幾里德的三維空間里造了一個曲面，刞回曲面上的幾何就是非歐幾何，這對于消除大家的懷疑是一很有利的工具。因?yàn)樯鲜鼋Y(jié)果是說，假定有一個三維的歐幾里德空間，就可以造出一個非歐幾何的空間來，所以在歐幾里德的幾何中亦有非歐幾何。你假定歐幾里德幾何，你就得接受非歐幾何，因此大家對非歐幾何的懷疑有種種的方法慢慢給予解除。

    我剛才講到高斯與黎曼把坐標(biāo)一般化，使坐標(biāo)不一定有意義，這對幾何學(xué)產(chǎn)生的問題可大了。因?yàn)榭臻g就變成一塊一塊拼起來的東西。那想怎么去研究它呢？怎么知道空間有不同的性質(zhì)呢？甚至怎么區(qū)別不同的空間？我這里有幾個圓，畫了幾個不同的空間，可惜我沒法把它投影出來。不過，總而言之空間的個數(shù)是無窮的，有很多很多不同的空間?，F(xiàn)在對于研究幾何的人就產(chǎn)生一個基本問題，你怎橡去研究它。這樣一個基本的學(xué)問現(xiàn)在就叫Topology，拓樸學(xué)。它是研究整個空間的性質(zhì)，如什應(yīng)叫空間的連續(xù)性，怎樣的兩個空間在某個意義上是相同的，等等。這樣就發(fā)展了許多許多的工具。這個問題也討論了。黎曼生活在1826~1866年。德國的教學(xué)制度在博士畢業(yè)之后，為了有資格在大學(xué)教書，一定要做一個公開演講，這個公開的演講就是所謂的Habilitationschrift.黎曼在1854年到哥廷根大學(xué)去做教授，做了一個演講，這個在幾何上是非常基本的文獻(xiàn)，就討論了這些問題。如何研究這種空間呢？要研究這種空間，如果你只知道空間是隨便追磨一塊塊拼起來的話，就沒有什么可以研究的了。于是你往往需要一個度量，至少你知道什么叫兩點(diǎn)之間的距離，你怎應(yīng)去處理它呢？就需要解析的工具。往往你把距離表為一個積分，用積分代表距離。黎曼的這篇1854年的論文，是非常重要的，也是幾何里的一個基本文獻(xiàn)，相當(dāng)一個國家的憲法似的。愛因斯坦不知道這篇論文，花了七年的時間想方設(shè)法也要發(fā)展同樣的觀念，所以愛因斯坦浪費(fèi)了許多時間。黎曼這篇論文引進(jìn)的距離這個觀念，是一個積分，在數(shù)學(xué)界一百多年來有了很大的發(fā)展。第一個重要的發(fā)展是黎曼幾何應(yīng)用到廣義相對論，是相對論的一個基本的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)?，F(xiàn)在大家要念數(shù)學(xué)，尤其要念幾何學(xué)的話，黎曼幾何是一個最主要的部分，這個也是從黎曼的演講開始的。現(xiàn)在黎曼幾何的結(jié)果多得不得了，不但是幾何的基礎(chǔ)，可能也是整個數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)。

    我剛才提到一百多年來的發(fā)展。所謂的黎曼幾何實(shí)際上是黎曼的論文的一個簡單的情形，是某個情形。黎曼原來的意思，廣義下的意思，有個人做了重要的工作，是一個德國人Finsler。所以這部分的幾何就叫Finsler幾何。他在1918年在哥廷根大學(xué)寫了一篇博士論文，就講這個幾何。這個幾何后來發(fā)展不大多，因?yàn)榇蠹也恢涝趺崔k。如果這個度量的積分廣了一點(diǎn)，對應(yīng)的數(shù)學(xué)就變復(fù)雜了，不像黎曼的某個情形這樣簡單。黎曼這情形也不簡單。黎曼普通地就寫了一個ds的平方等于一個兩次微分式，這個兩次微分式積分一下就代表弧的長度。怎樣研究這樣的幾何，這是需要一個像黎曼這種天才才有這個辦法。黎曼就發(fā)展了他所謂的Riemannncurvatureytensor，黎曼曲率張量。你若要搞這類幾何的話，就要有張量的觀念。而空間的彎曲性，這個彎曲性解析表示出來也比較復(fù)雜了，就是黎曼的曲率張量。我們現(xiàn)在大家喜歡講得獎。我們今天發(fā)獎，有獎金，要社會與政府對你的工作尊重。當(dāng)年的時候你要搞數(shù)學(xué)的話，如果沒有數(shù)學(xué)教授的位置，就沒有人付你工資。一個主要的辦法就是得獎金。有幾個科學(xué)院它給獎金，得了獎金后你當(dāng)然可以維持一段時間，因此就很高興。不過很有意思的是我想Riemann~Christofell曲率張量是一個很偉大的發(fā)現(xiàn)，黎曼就到法蘭西科學(xué)院申請獎金?？茖W(xué)院的人看不懂，就沒有給他。所以諸位，今天坐在前排幾位你們都是得獎人，都是得到光榮的人，我們對于你們寄予很大的期望，后面幾排的大多數(shù)人沒有得過獎，不過我安慰大家，沒得過獎不要緊，沒得過獎也可以做工作。我想我在得到學(xué)位之前，也沒有得過獎。得不得到獎不是一個很重要的因素，黎曼就沒有得到獎。他的Riemann~Christofell張量在法蘭西的科學(xué)院申請獎沒有得到。

    最近雖然在黎曼幾何上有很多發(fā)展，非常了不得的發(fā)展，但是大家對于一般的情形，黎曼論文的一般情形Finsler幾何，沒有做很多貢獻(xiàn)。很巧的是我在1942年曾寫了一篇Finsler幾何的論文，就是找能把黎曼幾何的結(jié)果做到Finsler幾何的情形。最近，有兩位年輕的中國人，一個叫鮑大維，一個叫沈忠民，我們合寫了一本關(guān)于Finsler幾何的書。這本書就要在Springer~Verlag出版，屬于它的GraduateyTexts數(shù)學(xué)叢書。編輯對于我們的書也很喜歡，給了我們一個很有意思的書號:200。書就在這里，我想這本書等會我會交給谷超豪教授，就把它放在復(fù)旦大學(xué)的某個圖書館里（掌聲）。我們這本書有一個小小的成就，就是把近一百年來最近在黎曼幾何上的發(fā)現(xiàn)，我們把它推廣到一般的情形，即黎曼~Finsler情形。這是黎曼當(dāng)年的目的。黎曼當(dāng)然非常偉大，不過他對于一般的情形不是很重視，他甚至在他的文章里講這里沒有新的東西，我們就把他說的沒有新的東西做了一些出來。

    我知道我旁邊坐了兩位偉大的物理學(xué)家。接下去我想班門弄斧一下，談一下物理與幾何的關(guān)系。我覺得物理學(xué)里有很多重要的工作，是物理學(xué)家要證明說物理就是幾何。比方說，你從牛頓的第二運(yùn)動定律開始。牛頓的第二定律說，F(xiàn)＝ma，F(xiàn)是力，m是質(zhì)量，a是加速度，加速度我們現(xiàn)在叫曲率。所以右邊這一項是幾何量，而力得當(dāng)然是物理量。所以牛頓費(fèi)了半天勁，他只是說物理就是幾何（大笑，掌聲）。不但如此，愛因斯坦的廣義相對論也是這樣。愛因斯坦的廣義相對論的方程說yyy是Ricci曲率，R是scalarycurvature，即標(biāo)量曲面，K是常數(shù)，是energyystressytensor,即能量~應(yīng)力張量。你仔細(xì)想想，他的左邊是幾何量，是從黎曼度量得出來的一些曲率。所以愛因斯坦的重要方程式也就是說，幾何量等于物理量（掌聲）。不止是這些，我們可以一直講下去。我們現(xiàn)在研究的空間叫流形，是一塊塊空間拼起來的。這個流形不好研究。流形上的度量，你如果要把它能夠用方程寫下來的話，你一定要把流形線性化，一定要有一個所謂的矢量空間，叫vectoryspace。矢量空間有一個好處，它的矢量可以相加，可以相減，它還有種種不同的乘法。所以你就可以用解析的方法處理幾何的情形。那么一般的流形怎么處理呢？數(shù)學(xué)家的辦法很簡單，就是在流形的每一點(diǎn)弄一個切平面。每一點(diǎn)都有個矢量空間，叫切空間，跟它相切、歐幾里德空間只有一個切空間?，F(xiàn)在的空間情沉復(fù)雜了一些，每點(diǎn)都有一個切空間，但都是平坦空間。這個現(xiàn)象在幾何上有一個重大的發(fā)展，就是把切空間豎起來。反正是一把矢量空間，給流形的每點(diǎn)一個矢量空間，不一定要是流形的切面或切空間。我們就叫它為纖維叢，或叫矢量叢，矢量空間叢。這個我想比愛因斯坦的（相對論）還要重要。Maxwell方程就是建立在一個矢量叢上。你不是要一把矢量空間嗎？最好的是一把筷子，這里一維最好是復(fù)一維，complex。這把筷子每個都是復(fù)空間，它是騙人的一維，其實(shí)是二維，是復(fù)數(shù)空間。復(fù)數(shù)就有玩意兒了?，F(xiàn)在是一把復(fù)線，你如果能有法子從這個纖維到另外一個纖維有一個我們所謂的平行性的話，你就立刻得到Maxwell方程。現(xiàn)代文明都靠電，控制電的方程的是Maxwell方程?，F(xiàn)在纖維叢上有一個平行性，這個平行性的微分，等于電磁場的強(qiáng)度F，然后你把這個F再求它的另外一種微分（余微分）的話，就得到currentyvectorJ，即流矢量。用兩個簡單的式子，就把Maxwell方程寫出來了。普通你要念電磁學(xué)的書的話，當(dāng)然需要了解電磁的意義。我不了解。但是要了解電磁學(xué)的意義，把方程全部寫出來的話，書上往往是一整頁，種種的微分呀什么的講了一大堆。其實(shí)簡單地說，也就是平行性的微分是場的強(qiáng)度，而場的強(qiáng)度經(jīng)過某個運(yùn)算就得到它的流矢量。這就是Maxwell方程，與原來的完全一樣。所以Maxwell方程就是建立在一維的纖維叢上，不過是一個復(fù)一維的纖維叢。你怎樣把每個纖維維拼起來呢？我們需要群的覲念。有一個群，群里有一個運(yùn)算，把一個纖維可以挪到其它一個纖維。纖維如果是一維的，即使是復(fù)一維的話，我們需要的群仍舊是可交換的群，叫做Abelygroup，楊振寧先生了不得。他可以用到一個非Abel群，也很簡單，我們叫做SU（2）群。用SU（2）connection,把同樣的方程式寫出來，就是Yang~Mills方程，DA=F 。這有不得了的重要性。我們搞幾何學(xué)的人覺得有這樣的關(guān)系，物理學(xué)家說你這個關(guān)系跟物理有關(guān)系，這是非常困難的，并且有基本的重要性。比方說像去年獲諾貝爾獎的，我想大家都知道崔琦的名字，做理論方面的所謂Hall效應(yīng)，也用到我們這些工作。我們說我們專搞曲率。你要開一個車，路如果彎得多了的話你就要慢下來，直的話你就沖，這就是曲率。曲率要是在高維就比較復(fù)雜了，不過也是一些代數(shù)，并且可以做得很巧妙。我的一個朋友，也是學(xué)生，叫Simons。我們所做的工作就是曲率，就對崔琦跟他們一群得諾貝爾獎的有好處。所以一般講來，在房子里我們只管掃地，想把房子弄弄干凈，弄弄清楚，然后有偉大的物理學(xué)家來說你們這個還有道理（大笑，掌聲），這個我們也很高興?，F(xiàn)在幾何不僅應(yīng)用到物理，也應(yīng)用到生物學(xué)中。講到DNA的構(gòu)造，是一個雙螺線，雙螺線有很多幾何，許多幾何學(xué)都在研究這個問題?，F(xiàn)在許多主要的大學(xué)，念生物的人一定要念幾何。現(xiàn)在有很多人研究大一點(diǎn)的compound，這是分子，是由原子配起來的。原子怎么個配法就是幾何了。這些幾何的觀念不再是空虛的，有實(shí)際上的化學(xué)的意義。

    數(shù)學(xué)比其它科學(xué)有利的地方，是它基本上還是個人的工作。即使在僻遠(yuǎn)的地方，進(jìn)步也是可能的。當(dāng)然他需要幾個朋友，得切磋之益。謝謝大家。