正當(dāng)1987年世界股票市場(chǎng)暴跌之時(shí)，瑞典皇家科學(xué)院宣布該年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授于一直與里根政府的經(jīng)濟(jì)政策唱反調(diào)，主張政府必須有效地干預(yù)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的美國麻省理工學(xué)院教授羅伯特·索洛（Robert M·Solow）許多經(jīng)濟(jì)學(xué)界人士認(rèn)為，紐約股票市場(chǎng)的這場(chǎng)大動(dòng)蕩，恰恰證實(shí)了索洛堅(jiān)持的理論，使他的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)理論成為當(dāng)今世界熱門研究課題之一?？墒牵倪@一理論———表明各種不同因素是如何對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)和發(fā)展產(chǎn)生影響的長(zhǎng)期經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型，早在30年前他在一篇題為《對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)理論的貢獻(xiàn)》的論文中就提出來了。^[1]

索洛模型變量

• 外生變量：儲(chǔ)蓄率、人口增長(zhǎng)率、技術(shù)進(jìn)步率
• 內(nèi)生變量：投資

索洛模型的數(shù)學(xué)公式

模型的基本假定^[1]

　　索洛在構(gòu)建他的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型時(shí)，既汲取了哈羅德—多馬經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型的優(yōu)點(diǎn)，又屏棄了后者的那些令人疑惑的假設(shè)條件。

　　索洛認(rèn)為，哈羅德—多馬模型只不過是一種長(zhǎng)期經(jīng)濟(jì)體系中的“刀刃平衡”，其中，儲(chǔ)蓄率、資本—產(chǎn)出比率和勞動(dòng)力增長(zhǎng)率是主要參數(shù)。這些參數(shù)值若稍有偏離，其結(jié)果不是增加失業(yè)，就是導(dǎo)致長(zhǎng)期通貨彭脹。用哈羅德的話來說，這種“刀刃平衡”是以保證增長(zhǎng)率（用Gw表示，它取決于家庭和企業(yè)的儲(chǔ)蓄與投資的習(xí)慣）和自然增長(zhǎng)率（用Gn表示，在技術(shù)不變的情況下，它取決于勞動(dòng)力的增加）的相等來支撐的。

　　索洛指出，Gw和Gn之間的這種脆弱的平衡，關(guān)健在于哈羅德—多馬模型的勞動(dòng)力不能取代資本，生產(chǎn)中的勞動(dòng)力與資本比例是固定的假設(shè)。倘若放棄這種假設(shè)，Gw和Gn之間的“刀刃平衡”也就隨之消失?；谶@一思路，索洛建立了一種沒有固定生產(chǎn)比例假設(shè)的長(zhǎng)期增長(zhǎng)模型。

　　該模型的假設(shè)條件包括：

　　1.只生產(chǎn)一種復(fù)合產(chǎn)品。

　　2.產(chǎn)出是一種資本折舊后的凈產(chǎn)出。

　　3.規(guī)模報(bào)酬不變，即生產(chǎn)函數(shù)是一階齊次關(guān)系式。

　　4.兩種生產(chǎn)要素（勞動(dòng)力和資本）按其邊際實(shí)物生產(chǎn)力付酬。

　　5.價(jià)格和工資是可變的。

　　6.勞動(dòng)力永遠(yuǎn)是充分就業(yè)的。

　　7.能利用的資本存貨都得到充分利用。

　　8.勞動(dòng)力與資本可相互替代。

　　9.存在中性技術(shù)進(jìn)步。

　　在這些條件下，索洛建立的模型向人們顯示出：在技術(shù)系數(shù)可變的情況下，資本與勞動(dòng)力比率具有隨時(shí)間推移而向均衡比率自行調(diào)整的傾向。如若最初的資本與勞動(dòng)力比率大，資本和產(chǎn)出的增加就會(huì)比勞動(dòng)力的增加慢得多；反之，亦然。索洛是從資本與勞動(dòng)力比率入手集中分析均衡（即穩(wěn)定狀態(tài)）增長(zhǎng)路徑的。

模型的基本框架^[1]

　　索洛把經(jīng)濟(jì)中的全部產(chǎn)出看成僅僅是一種產(chǎn)品的產(chǎn)出。其每年生產(chǎn)量用Y(t)表示，代表社會(huì)的實(shí)際收入，其中一部分被消費(fèi)掉，其余部分用于儲(chǔ)蓄和投資。用于儲(chǔ)蓄的那部分s固定不變，即儲(chǔ)蓄量為sY(t)。K(t)是資本存量。這種資本存量的增加量就是凈投資，即dk/dt或因此，索洛模型的基本方程式可以寫成：

　　?。?）

　　因產(chǎn)出是用資本和勞動(dòng)力生產(chǎn)的，技術(shù)能力可用生產(chǎn)函數(shù)。

　　Y=F(K,L) （2）

　　來表示，它表明規(guī)模報(bào)酬不變。

　　把（2）式代入（1）式，有：

　　?。?）

　　其中，L代表總就業(yè)量。

　　由于人口的增長(zhǎng)是外生變量，勞動(dòng)力以一個(gè)不變的相對(duì)比率n增加。因此：

　　　（4）

　　索洛把n看成是在沒有技術(shù)進(jìn)步情況下的哈羅德的自然增長(zhǎng)率(Gn)，把L(t)看成是在t時(shí)期可利用的勞動(dòng)力供給。（4）式的右邊表明勞動(dòng)力從0期到t期的綜合增長(zhǎng)率。我們還可以把（4）式看作是勞動(dòng)力的供給曲線，“它說的是以指數(shù)增長(zhǎng)的勞動(dòng)力完全無彈性地得到就業(yè)。勞動(dòng)力供給曲線是一條縱向線，它隨著勞動(dòng)力按（4）式的增長(zhǎng)而向右移動(dòng)。于是，調(diào)整實(shí)際工資率以使全部可利用的勞動(dòng)力得到雇傭，而邊際生產(chǎn)力等式?jīng)Q定著這種實(shí)際上得到控制的工資率”。

　　把（4）式代入（3）式，索洛給出下列基本方程式：

　　?。?）

　　他把這個(gè)方程式作為在全部可利用的勞動(dòng)力得到充分利用的情況下決定必須遵循的資本積累的時(shí)間軌跡方程式。資本存量和勞動(dòng)力的時(shí)間軌跡一經(jīng)確知，相應(yīng)的實(shí)際產(chǎn)出的時(shí)間軌跡就可根據(jù)生產(chǎn)函數(shù)計(jì)算出來。實(shí)際工資率的時(shí)間軌跡可用邊際生產(chǎn)力等式確定，即?。?）

　　索洛把經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)過程概括為：“在任何時(shí)候，可利用的勞動(dòng)力供給都由等式（4）給定，而且可利用的資本存量也是一個(gè)已知數(shù)。既然生產(chǎn)要素的實(shí)際報(bào)酬可調(diào)整而使勞動(dòng)力和資本得以充分利用，我們就能利用生產(chǎn)函數(shù)等式（2）求出當(dāng)期產(chǎn)出量。于是，儲(chǔ)蓄傾向告訴我們多少凈產(chǎn)出將用于儲(chǔ)蓄和投資，從而我們得知當(dāng)期的資本凈積累，再加之已積累的存貨，這就為下一期提供了可利用的資本”。

可能的增長(zhǎng)類型^[1]

　　上一節(jié)的方程式（5）有助于研究資本—?jiǎng)趧?dòng)力比率（K/L）的行為。為此，索洛引入了一個(gè)新的變量r，用來代表資本—?jiǎng)趧?dòng)力比率。因此，或K=rL。把方程式（4）代入該表達(dá)式中，得到：

　　?。?）

　　把方程式（7）對(duì)時(shí)間微分，得到資本存量變化率的方程式：

　　 （8）

　　把方程式（5）代入方程式（8）中，得到：

　　 （9）

　　方程式（9）表明了，在假定勞動(dòng)力是充分就業(yè)的且每一時(shí)期的儲(chǔ)蓄是充分就業(yè)產(chǎn)出的一個(gè)比例s情況下，資本是如何持續(xù)增長(zhǎng)的。

　　規(guī)模收益不變的假定，意味著生產(chǎn)函數(shù)是一階齊次函數(shù)。用來除方程式（9），得到：

　　 （10）

　　方程式（10）的兩邊同時(shí)減去nr，得到：

　　最后，把資本—?jiǎng)趧?dòng)比率寫成r，得到索洛的基本方程式：

　　　（11）

　　其中，r——資本—?jiǎng)趧?dòng)力比率（K/L）

　　n——?jiǎng)趧?dòng)力相對(duì)變化比率（）

　　sF(r,1)——人均資本函數(shù)，代表每個(gè)工人的產(chǎn)出；或者說，一單位勞動(dòng)力所用的資本量r變化時(shí)的總產(chǎn)量曲線。

　　方程式（11）表明，資本—?jiǎng)趧?dòng)力比率變化量（）是資本的增量項(xiàng)〔sF(r,1)〕與勞動(dòng)力數(shù)量項(xiàng)（nr）之間的差額。該方程式可以用來找到一條總能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)且與勞動(dòng)力增長(zhǎng)率相一致的資本積累路徑。

　　以基本方程式（11）為基礎(chǔ)，索洛用圖示說明了可能的增長(zhǎng)類型（見圖—1）

　　在圖—1中，通過原點(diǎn)的線是函數(shù)nr，另一條曲線。

　　圖—1 可能的增長(zhǎng)類型。

　　代表函數(shù)sF（r，1）這樣畫出來的圖示反映出資本的邊際遞減生產(chǎn)力。這兩條曲線在nr=sF（r，1）和處相交，當(dāng)時(shí)，資本—?jiǎng)趧?dòng)力比率不變，而且資本存量必然以同于勞動(dòng)力變化的比率（n）增加。資本—?jiǎng)趧?dòng)力的比率r′一旦確定就不變了，資本和勞動(dòng)力按該比例增加。倘若規(guī)模報(bào)酬不變，實(shí)際產(chǎn)出也會(huì)以相同的相對(duì)比率（n）增加，而且每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)出將不變。

　　如若r′與r不一致，資本—?jiǎng)趧?dòng)力比率情況將如何？若r>r′，則nr>sF（r，1），r將降低以接近于r′；相反，若r<r′，nr<sF（r，1），r將提高以接近于r′。因此，均衡值r′是穩(wěn)定的。“不管資本—?jiǎng)趧?dòng)力比率的初始值如何，該體系將以自然比率向平衡增長(zhǎng)發(fā)展……若初始資本存量低于均衡值，資本和產(chǎn)出將以快于勞動(dòng)力增長(zhǎng)的速度而增加，直至接近均衡值。若該初始比率高于均衡值，資本和產(chǎn)出將以比勞動(dòng)力增長(zhǎng)速度更慢的速度增加。產(chǎn)出的增長(zhǎng)總是處于勞動(dòng)力和資本的增長(zhǎng)速度之間”。

　　　　圖—2 生產(chǎn)力曲線。

　　但是，圖—1所表現(xiàn)出來的那種很強(qiáng)的穩(wěn)定性并不是絕對(duì)的，這取決于生產(chǎn)力曲線sF（r，1）的形狀。在圖—2中，生產(chǎn)力曲線sF（r，1）在r₁、r₂和r₃三處與nr曲線相交。r₁和r₃是穩(wěn)定的，而r₂則不穩(wěn)定。“該體系不是按資本—?jiǎng)趧?dòng)力比率r₁進(jìn)行平衡增長(zhǎng)，就是按r₃進(jìn)行平衡增長(zhǎng)，這取決于最初可觀察到的資本—?jiǎng)趧?dòng)比率。在任何一種情況下，勞動(dòng)力供給、資本存量和實(shí)際產(chǎn)出將以比率n漸進(jìn)增長(zhǎng)；但在r₁左右，其資本量要比在r₃左右為少，故前者的人均產(chǎn)出水平比后者的人均產(chǎn)出水平低。那么，對(duì)于在O和r₂之間的初始比率，其相應(yīng)的平衡增長(zhǎng)均衡是r₁，而對(duì)于大于r₂的任何初始比率，其相應(yīng)的平衡增長(zhǎng)均衡就是r₃比率r₂本身就是一種均衡的但不穩(wěn)定的增長(zhǎng)率，任何偶然的擾動(dòng)在一定時(shí)期內(nèi)都會(huì)被夸大。如此畫出的圖—2使得生產(chǎn)在沒有資本的情況下也要進(jìn)行”。

　　索洛對(duì)他的長(zhǎng)期增長(zhǎng)模型作了這樣的總結(jié)：“當(dāng)生產(chǎn)在通常的比例變動(dòng)和報(bào)酬不變的新古典條件下進(jìn)行時(shí)，自然增長(zhǎng)率與有保證的增長(zhǎng)率之間沒有明確的抵觸是可能的。也許不會(huì)有……任何‘刀刃’。該體系能夠調(diào)整任何既定的勞動(dòng)力增長(zhǎng)率，最終達(dá)到按比例增加的穩(wěn)定狀態(tài)”，即：

索洛增長(zhǎng)模型表明的基本含義^[2]

　　索洛增長(zhǎng)模型表明的基本含義是：人均資本擁有量的變化率k*取決于人均儲(chǔ)蓄率sf（k）和按照既定的資本勞動(dòng)比配備每一新增長(zhǎng)人口所需資本量nk之間的差額。

　　索洛增長(zhǎng)模型sf（k）=k*+nk還表明另一個(gè)含義。一個(gè)社會(huì)中的人均儲(chǔ)蓄率sf（k）有兩個(gè)用途：

　　一是用于人均資本擁有量的增加量k*，即為每個(gè)人配備更多的資本裝備，這被稱作“資本的深化”；

　　二是用于為每一新增人口提供平均的資本裝備nk，這被稱作“資本的廣化”。換句話說，經(jīng)濟(jì)中的全部?jī)?chǔ)蓄轉(zhuǎn)化為投資后，一部分用于提高人均資本擁有量（資本的深化），另一部分則用于為新增人口提供平均數(shù)量的資本裝備（資本的廣化）。

　　圖中所示，橫軸為人均資本擁有量k，縱軸為人均收入f（k）。集約生產(chǎn)函數(shù)曲線f（k）表明隨著人均資本擁有量的增加而增加，人均產(chǎn)量即人均收入f（k）也相應(yīng)增加。人均儲(chǔ)蓄曲線sf(k)位于人均收入曲線f(k)的下方，因?yàn)閮?chǔ)蓄只是收入的一部分。

　　當(dāng)人均資本擁有量k為OB，則此時(shí)的人均收入為BJ，人均儲(chǔ)蓄為BP，這部分人均儲(chǔ)蓄一部分用于裝備每一新增人口即資本廣化的BG和一部分用于人均資本擁有量即資本深化的GP。這意味著k將提高，于是導(dǎo)致f(k)增加，因此，B點(diǎn)將右移到A點(diǎn)。A點(diǎn)資本的深化等于0，全部的人均儲(chǔ)蓄都被用于資本的廣化，經(jīng)濟(jì)達(dá)到均衡。反之亦然。

索洛模型的意義與不足^[1]

　　作為創(chuàng)立新古典經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型的先軀，索洛教授在構(gòu)造他的長(zhǎng)期增長(zhǎng)模型過程中，不僅保留了哈羅德—多馬模型的主要特征（如齊次資本函數(shù)、比例儲(chǔ)蓄函數(shù)以及既定的勞動(dòng)力增長(zhǎng)率），而且還在理論模型的現(xiàn)實(shí)性方面有新的突破。主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

　　1.他在分析經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的過程中采用了一種連續(xù)性生產(chǎn)函數(shù)，從此人們稱其為新古典生產(chǎn)函數(shù)。

　　2.勞動(dòng)力與資本之間可相互替代的假設(shè)使得經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)過程具有調(diào)整能力，從而該理論模型更接近于現(xiàn)實(shí)。

　　3.長(zhǎng)期增長(zhǎng)率是由勞動(dòng)力增加和技術(shù)進(jìn)步?jīng)Q定的，前者不僅指勞動(dòng)力數(shù)量的增加，而且還含有勞動(dòng)力素質(zhì)與技術(shù)能力的提高，所以，索洛的長(zhǎng)期增長(zhǎng)模型打破了一直為人們所奉行的“資本積累是經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的最主要的因素”的理論，向人們展示，長(zhǎng)期經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)除了要有資本以外，更重要的是靠技術(shù)的進(jìn)步、教育和訓(xùn)練水平的提高。

　　在一定程度上說，技術(shù)進(jìn)步、勞動(dòng)力質(zhì)量的提高比增加資本對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的作用更大。這種觀點(diǎn)在他30年后獲獎(jiǎng)前夕接受采訪時(shí)又得到進(jìn)一步闡述。他說，除了純粹的農(nóng)業(yè)國以外，這一理論對(duì)所有國家都適用。“發(fā)展中國家不能把本國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展僅僅依賴于資本和勞動(dòng)力的增長(zhǎng)上。發(fā)展中國家，特別是起步較晚國家，要更多地研究如何在現(xiàn)有工業(yè)的基礎(chǔ)上逐步提高勞動(dòng)生產(chǎn)率、技術(shù)和教育進(jìn)程。這樣就能有效地跟上世界經(jīng)濟(jì)的發(fā)展”（顧耀銘，1987）許多國家都相繼接受了他的理論，在中高等教育、研究與發(fā)展（R&D）等方面，政府不斷增加投資和提供稅收刺激措施，成效顯著。

　　當(dāng)然，作為一種理論模式，索洛的長(zhǎng)期增長(zhǎng)模型也并非盡善盡美。正如森（Sen，1970）教授指出的那樣，索洛的模型也有其不足之處：

　　1.索洛的增長(zhǎng)模型考慮的僅僅是哈羅德的Gw和Gn之間的均衡問題，而忽略了G和Gw之間的均衡。

　　2.索洛的模型沒有投資函數(shù)，此函數(shù)一旦引入，哈羅德模型的不穩(wěn)定性問題即會(huì)出現(xiàn)于索洛的模型中。森教授認(rèn)為，勞動(dòng)力和資本間的替代性假設(shè)似乎并不是新古典學(xué)派和新凱恩斯學(xué)派對(duì)增長(zhǎng)研究之不同的關(guān)鍵所在，其主要差異在于索洛模型沒有考慮投資函數(shù)以及由此產(chǎn)生的企業(yè)家對(duì)將來預(yù)期的重要性。

　　3.索洛假設(shè)要素價(jià)格是可變的，這也會(huì)給穩(wěn)定增長(zhǎng)的路徑設(shè)置障礙。例如，利息率由于流動(dòng)陷井問題而不會(huì)下降到低于一定的最低水平；反過來，這也許使資本—產(chǎn)出比率不能提高到實(shí)現(xiàn)均衡增長(zhǎng)路徑所必需的水平。

　　4.索洛模型是以提高勞動(dòng)生產(chǎn)率的技術(shù)進(jìn)步為假定前提構(gòu)建的。然而，這一假定只是柯布一道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)型哈羅德中性技術(shù)進(jìn)步的一個(gè)特例，沒有任何經(jīng)濟(jì)證據(jù)。

　　5.索洛增長(zhǎng)模型的另一假設(shè)是“資本是同質(zhì)的且易變的”，但事實(shí)上，資本品是高度異質(zhì)的，因此而出現(xiàn)不能簡(jiǎn)單加總問題。結(jié)果，當(dāng)存在多種多樣的資本品時(shí)，穩(wěn)定增長(zhǎng)路徑是很難實(shí)現(xiàn)的。

對(duì)索洛模型的總結(jié)和評(píng)論

　　1．主要結(jié)論

　?。?）無論從任何一點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)濟(jì)向平衡增長(zhǎng)路徑收斂，在平衡增長(zhǎng)路徑上，每個(gè)變量的增長(zhǎng)率都是常數(shù)。

　?。?）在其他外生變量相似的條件下，人均資本低的經(jīng)濟(jì)有更快的人均資本的提高，人均收入低的經(jīng)濟(jì)有更高的增長(zhǎng)率。

　?。?）人均產(chǎn)出（Y/L）的增長(zhǎng)來源于人均資本存量和技術(shù)進(jìn)步，但只有技術(shù)進(jìn)步才能夠?qū)е氯司a(chǎn)出的永久性增長(zhǎng)。

　?。?）通過調(diào)節(jié)儲(chǔ)蓄率可以實(shí)現(xiàn)人均最優(yōu)消費(fèi)和最優(yōu)資本存量的“黃金律”增長(zhǎng)。

　　（5）儲(chǔ)蓄率的變化只會(huì)暫時(shí)性地影響增長(zhǎng)率，而不會(huì)永久性地影響；儲(chǔ)蓄率的顯著變化對(duì)平衡增長(zhǎng)路徑上的產(chǎn)出變化只有較小的影響，且作用緩慢。

　　2．批評(píng)

　?。?）未能夠解釋長(zhǎng)期經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的真正來源。把技術(shù)進(jìn)步（勞動(dòng)的有效性）看成為外生給定的，而這恰恰是長(zhǎng)期經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的關(guān)鍵。因此，索洛模型是通過“假定的增長(zhǎng)”來解釋增長(zhǎng)的。

　?。?）理論預(yù)測(cè)與實(shí)際數(shù)據(jù)不符。如果資本取得的市場(chǎng)收益大致體現(xiàn)了其對(duì)產(chǎn)出的貢獻(xiàn)，那么實(shí)物資本積累的變化既不能很好地解釋世界經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，也不能說明國家間的收入差距。

　　例如：根據(jù)C-D生產(chǎn)函數(shù)，y = f(k) = k^a，一般的a=1/3，設(shè)窮國變量帶*，若y/y*=10，則k / k * = 10^{1 / a} = 1000。（如此大的資本存量差異！）

　　資本的邊際產(chǎn)品MP_k = f'(k) = ak^{a − 1} = ay^{(a − 1) / a}，若y/y*=10，則MP_k / MP * _k = 1 / 100。（如此高的資本報(bào)酬率差異?。?/p>