掌握函數(shù)極限的意義、性質(zhì)和運(yùn)算法則(自變量趨于有限數(shù)和趨于無(wú)限兩種情形),熟練掌握求函數(shù)極限的 方法,了解廣義極限和單側(cè)極限的意義。
(5) 熟練掌握求序列極限和函數(shù)極限的常用方法(如初等變形、變量代換、兩邊夾法則等),掌握由遞推公式給出的序列求極限的基本技巧,以及應(yīng)用Stolz公式求序列極限的方法。
(6) 理解無(wú)窮大量和無(wú)窮小量的意義,了解同階和高(低)階無(wú)窮大(?。┝康囊饬x。
(7) 了解上極限和下極限的意義和性質(zhì)。
(8) 熟練掌握函數(shù)在一點(diǎn)及在一個(gè)區(qū)間上連續(xù)的概念,理解函數(shù)兩類間斷點(diǎn)的意義,掌握初等函數(shù)的連續(xù)性,理解區(qū)間套定理和介值定理。理解一致連續(xù)和不一致連續(xù)的概念。
(9) 掌握序列收斂的充分必要條件及函數(shù)極限(當(dāng)自變量趨于有限數(shù)及趨于無(wú)窮兩種情形)存在的充分必要條件。
2.一元微分學(xué)
(1) 掌握導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義,了解單側(cè)導(dǎo)數(shù)的意義,解依據(jù)定義求函 數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。
(2) 解應(yīng)用求導(dǎo)公式和法則熟練計(jì)算函數(shù)導(dǎo)數(shù)(包括用參數(shù)式給出的函數(shù)的導(dǎo)數(shù))、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。
(3) 理解函數(shù)微分的概念和函數(shù)可微的充分必要條件,了解一階微分的不變性,能利用微分作近似計(jì)算。
(4) 理解并掌握微分中值定理(Rolle定理,Lagrange定理和Cauchy中值定理),并能應(yīng)用它們解決函數(shù)零點(diǎn)存在性及不等式證明等問(wèn)題。
(5) 熟練掌握應(yīng)用L’Hospital法則求函數(shù)極限的方法。
(6) 理解Taylor公式(Lagrange余項(xiàng)和Peano余項(xiàng))的意義,并熟記五個(gè)基本公式( 在x=0點(diǎn)的帶有Peano余項(xiàng)的Taylor公式),能將給定函數(shù)在指定點(diǎn)展成Taylor級(jí)數(shù),掌握應(yīng)用Taylor公式解決不等式證明、求函數(shù)極限等問(wèn)題的基本技巧。
(7) 熟練掌握應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)升降、凹凸性以及畫(huà)出函數(shù)圖像的方法,以及求一元函數(shù)極值和最值的方法。
3.一元積分學(xué)
(1) 理解不定積分概念和基本性質(zhì),熟記基本積分表,理解并掌握換元法和分部積分法的意義和方法,解應(yīng)用他們熟練計(jì)算不復(fù)雜的不定積分。
(2) 了解可積分函數(shù)類的意義及其積分法,熟練掌握有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡(jiǎn)單的根式的有理式的積分方法。
(3) 理解定積分的概念,掌握定積分的基本性質(zhì)及函數(shù)在有限區(qū)間上可積的充分必要條件,熟練掌握定積分的計(jì)算方法。了解變限定積分的性質(zhì),掌握積分中值定理。
(4) 熟練應(yīng)用定積分計(jì)算平面曲線弧長(zhǎng)、平面圖形面積、立體體積、旋轉(zhuǎn)曲面表面積,并解應(yīng)用于求均勻平面圖形重心坐標(biāo)等簡(jiǎn)單物理、力學(xué)問(wèn)題。
(5) 理解廣義積分及其收斂、絕對(duì)收斂和發(fā)散的意義,掌握廣義積分收斂的判定法則。
4.級(jí)數(shù)
(1) 掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散和絕對(duì)收斂的概念、級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件(Cauchy準(zhǔn)則),收斂和絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)以及級(jí)數(shù)加法和乘法的運(yùn)算法則。
(2) 熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散判別法(比較判別法、D’Alembert判別法、Cauchy根式判別法以及Cauchy積分判別法),掌握一般項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散判別方法。能計(jì)算一些特殊數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。
(3) 理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的意義并能確定其收斂域。理解函數(shù)序列一致收斂以及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的意義,掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法則(Cauchy一致收斂準(zhǔn)則,Weierstrass判別法,Abel判別法,Dirichlet判別法)及一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。
(4) 理解冪級(jí)數(shù)的概念并能確定其收斂半徑。掌握冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則,熟記五個(gè)基本冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式( )。能求出給定函數(shù)在指定點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式及應(yīng)用冪級(jí)數(shù)運(yùn)算求一些級(jí)數(shù)的和。
(5) 理解函數(shù)Fourier展開(kāi)式的意義,掌握求Fourier展開(kāi)式的基本方法。了解Fourier級(jí)數(shù)的收斂性定理、逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)求導(dǎo)定理以及Pars等式,并能應(yīng)用Fourier級(jí)數(shù)求某些級(jí)數(shù)的和(例如 )。
5.多元微分學(xué)
(1) 理解歐氏空間的概念及歐氏空間中向量的內(nèi)積與模、開(kāi)集與閉集、開(kāi)區(qū)域與閉區(qū)域的意義,了解完備性定理及緊性定理。
(2) 理解多元函數(shù)的概念。掌握多元函數(shù)的全面極限、累次極限和特殊路徑極限的意義,并能根據(jù)定義計(jì)算多元函數(shù)極限,或證明二元極限不存在,能計(jì)算多元函數(shù)的全面極限和累次極限。
(3) 理解多元連續(xù)函數(shù)的概念,掌握其性質(zhì),并能判斷多元函數(shù)的連續(xù)性。了解多元函數(shù)的一致連續(xù)性。
(4) 理解偏導(dǎo)數(shù)的概念,掌握其計(jì)算法則,能熟練計(jì)算函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),能計(jì)算函數(shù)在給定方向上的導(dǎo)函數(shù)。
(5) 理解多元函數(shù)的微分的概念,并能判斷函數(shù)的可微性。
(6) 理解隱函數(shù)存在定理和反函數(shù)存在定理,熟練掌握隱函數(shù)的微分法。
(7) 理解Taylor公式的意義,并能求出二元函數(shù)的具有指定階數(shù)的Taylor公式。
(8) 能應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)求空間曲線的切線、法平面及空間曲面的法線和切平面的方程。
(9) 理解多元函數(shù)的極限和最值的意義、極值的必要條件和充分條件,掌握求多元函數(shù)極值、條件極值及在閉區(qū)域上的最值的方法,并用于解決實(shí)際問(wèn)題。
6.多元積分學(xué)
(1) 理解重積分的概念、可積的充分必要條件及重積分的性質(zhì)。
(2) 掌握二重積分和三重積分化累次積分的方法以及二重、三重積分的變量代換方法(特別,平面極坐標(biāo)變換,空間柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)變換),能熟練計(jì)算二重和三重積分,并用于計(jì)算平面圖形面積、柱體體積、曲面面積及曲面所圍的立體體積。了解n重(n>3)積分的計(jì)算方法(化為累次積分及變量代換)。
(3) 了解二重、三重廣義積分的意義(無(wú)界域情形和不連續(xù)函數(shù)情形),掌握它們的基本判斂法和基本計(jì)算方法。
(4) 了解含參變量的正常積分的基本性質(zhì)(連續(xù)性,積分號(hào)下取極限、求導(dǎo)和求積分),了解含參變量的廣義積分一致收斂性的意義及其基本性質(zhì)(連續(xù)性,積分號(hào)下取極限、求導(dǎo)及求積分),掌握其一致收斂判別法,了解 和 函數(shù)。
(5) 理解第一型和第二型曲線積分的意義、性質(zhì)、實(shí)際背景及二者的聯(lián)系,能熟練計(jì)算曲線積分。
(6) 理解并掌握Green公式的意義,并能應(yīng)用它計(jì)算曲線積分。
(7) 理解第一型和第二型曲面積分的意義、性質(zhì)、實(shí)際背景及二者的聯(lián)系,能熟練計(jì)算曲面積分。
(8) 理解并掌握Gauss公式和Stokes公式的意義,并能用于曲面積分或曲線積分的計(jì)算。了解空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的充分必要條件及其對(duì)曲線積分計(jì)算的應(yīng)用。
(9) 了解場(chǎng)的概念和保守場(chǎng)的意義,能計(jì)算場(chǎng)的梯度、散度和旋度。
四、參考書(shū)目
現(xiàn)行(公開(kāi)發(fā)行)綜合性大學(xué)(師范大學(xué))數(shù)學(xué)系用數(shù)學(xué)分析教程。
編制單位:中國(guó)科學(xué)院研究生院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院
中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院
編制日期:2008年7月6日