|
一、數(shù)的概念 兒童從開始記事起，爸爸媽媽就扳著指頭教他們數(shù)1，2，3，4…，他們也慢慢地知道3個(gè)指頭、3顆糖、3個(gè)人…都表示的是3．可以說，他們就開始萌發(fā)了數(shù)的概念，但系統(tǒng)地建立數(shù)的概念還是從進(jìn)學(xué)校后開始的，首先認(rèn)識(shí)整數(shù)，再認(rèn)識(shí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)．而建立數(shù)的概念，掌握有關(guān)數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．當(dāng)然，隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的豐富，又可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)的有關(guān)知識(shí)的理解和掌握．正因?yàn)檫@樣，學(xué)生是從數(shù)1，2，3，4…就開始認(rèn)識(shí)數(shù)了，但限于學(xué)生的年齡和知識(shí)水平，開始對(duì)數(shù)的知識(shí)的掌握也是很有限的，需要在以后的學(xué)習(xí)過程中不斷加深理解．由于教和學(xué)的種種原因，往往有的學(xué)生對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)相當(dāng)模糊，有時(shí)甚至是錯(cuò)誤的．因此，在解題過程中，常出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤。
1．整數(shù)
整數(shù)是小學(xué)階段主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容．學(xué)生對(duì)整數(shù)的有關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，最感困難的是多位數(shù)的讀寫，特別是含有0的多位數(shù)，最容易讀錯(cuò)和寫錯(cuò)．整數(shù)的知識(shí)內(nèi)容還應(yīng)包括“數(shù)的整除”，它涉及的概念與法則較多，如約數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等概念，還有求最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)等方法．對(duì)小學(xué)生來說有些概念比較抽象，難以理解和記憶．其中有的很容易混淆，因此解題時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)． （1）整數(shù)與自然數(shù) 例 1 判斷題 ?。?）整數(shù)就是自然數(shù)和0．（ ） ?。?）自然數(shù)就是1、2、3、4、5等等這樣的一列數(shù)．（ ） ?。?）最小的一位數(shù)是0．（ ） ?。?）3是由3和0組成的．（ ） [解]（1）×（2）×（3）×（4）× [常見錯(cuò)誤] ?。?）√（2）√（3）√（4）√ [分析] 小學(xué)教科書里曾說過“自然數(shù)和零都是整數(shù)”，但這并不是給“整數(shù)”下的一個(gè)定義，而只是指出自然數(shù)和0都屬于“整數(shù)”的范圍．然而，有些人以為這就是整數(shù)的定義，并把它倒過來理解，說成“整數(shù)就是自然數(shù)和0”，這樣就把整數(shù)這一概念的外延縮小了，因?yàn)檎麛?shù)不僅包括自然數(shù)和0，而且還包括負(fù)整數(shù)。 小學(xué)教科書里說“我們數(shù)物體時(shí)，用來表示物體個(gè)數(shù)的1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11…叫做自然數(shù)．”這里自然數(shù)只指這一列數(shù)中的一個(gè)個(gè)的數(shù)，1、2、3、4、5等等這樣的一列數(shù)叫做“自然數(shù)列”，“自然數(shù)”與“自然數(shù)列”是兩個(gè)不同的概念。 十進(jìn)位制記數(shù)法，是利用1、2、3、4、5、6、7、8、9、0這十個(gè)數(shù)字符號(hào)，結(jié)合數(shù)位來記數(shù)的，并且規(guī)定了一個(gè)數(shù)最左邊的數(shù)位（數(shù)的最高位）不能為0，即不允許出現(xiàn)0253、00368的形式（編碼除外）的數(shù)．像 0253、00368之類的數(shù)碼也不能稱之為四位數(shù)、五位數(shù)．否則，對(duì)于一個(gè)數(shù)就無法確定它是幾位數(shù)，也無法正確記數(shù)了．對(duì)于一位數(shù)來說，它的最高位是個(gè)位，依據(jù)最高位不應(yīng)為0的規(guī)定，最小的一位數(shù)就當(dāng)然是1，而不是0了。 數(shù)的組成是在數(shù)數(shù)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，3是1和2組成或2和1組成，這里的1是1個(gè)計(jì)數(shù)單位，2是2個(gè)計(jì)數(shù)單位．0雖然也是一個(gè)數(shù)，但它不是計(jì)數(shù)單位，也不含計(jì)數(shù)單位．無論多少個(gè)0，都不可能組成一個(gè)自然數(shù)．也就是任何一個(gè)自然數(shù)，都不可能由0來組成。 例 2 填空題 （1）個(gè)級(jí)的單位是（ ），億級(jí)的單位是（ ）。 ?。?）和一萬相鄰的兩個(gè)數(shù)分別是（ ）和（ ）。 [解]（1）個(gè)級(jí)的單位是（一），億級(jí)的單位是（億）。 ?。?）和一萬相鄰的兩個(gè)數(shù)分別是（9999）和（10001）。 [常見錯(cuò)誤] ?。?）個(gè)級(jí)的單位是（個(gè)位），億級(jí)的單位是（億級(jí)），或個(gè)級(jí)的單位是 ?。▊€(gè)、十、百、千），億級(jí)的單位是（億、十億、百億、千億）。 （2）和一萬相鄰的兩個(gè)單位分別是（十萬位）和（千位）。 [分析] 錯(cuò)解（1）的前種錯(cuò)誤是把計(jì)數(shù)單位誤填成了數(shù)位，這主要是對(duì)數(shù)位和計(jì)數(shù)單位的概念不清楚造成的．后種錯(cuò)誤則把各個(gè)數(shù)位上的計(jì)數(shù)單位與每一級(jí)的計(jì)數(shù)單位混淆了．個(gè)級(jí)的單位應(yīng)該是“一”，萬級(jí)的單位是“萬”，億級(jí)的單位是“億”。 錯(cuò)解（2）是把數(shù)與數(shù)位混淆了，概念不清是造成解題錯(cuò)誤的主要原因，還有可能是由于學(xué)生粗心所致，因?yàn)轭}中的一萬是用漢字表示的，沒有用阿拉伯?dāng)?shù)字10000表示，因此容易產(chǎn)生錯(cuò)覺，把“一萬”誤認(rèn)為是“萬位”了，和萬位相鄰的兩個(gè)數(shù)位就是“十萬位”和“千位”。
2．小數(shù)
小數(shù)的概念本來是建立在分?jǐn)?shù)概念的基礎(chǔ)之上的，但考慮小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，小學(xué)教材一般是先學(xué)小數(shù)，再學(xué)分?jǐn)?shù)．這給小數(shù)意義的理解帶來一定的困難，其中對(duì)于小數(shù)點(diǎn)位置移動(dòng)引起小數(shù)大小變化的規(guī)律；對(duì)于有限小數(shù)和無限小數(shù)的認(rèn)識(shí)；對(duì)于循環(huán)小數(shù)的認(rèn)識(shí)及求近似值的方法等，都是學(xué)生比較難以理解和掌握的，因此，在解題中常常出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤。 例 1 ?。?）一個(gè)數(shù)由4個(gè)10、3個(gè)1、3個(gè)0.1、5個(gè)0.01組成，這個(gè)數(shù)是（如果把這個(gè)數(shù)擴(kuò)大1000倍，應(yīng)寫作（ ）。 ?。?）0.85的計(jì)數(shù)單位是（ ），把這個(gè)數(shù)擴(kuò)大1000倍得（ ）。 （3）由 32個(gè)1，57個(gè)0.001組成的數(shù)是（ ），保留一位小數(shù)是（ ）。 ?。?）讀出下面各數(shù)： 7.005， 120.28。 ?。?）在 0. 、0.33、2.1、2.1這四個(gè)數(shù)中，（ ）是純小數(shù)；是帶小數(shù)；（ ）是純循環(huán)小數(shù)；（ ）是混循環(huán)小數(shù)。 [解]（1）是43.35，寫作43350。 （2）是0.01，得850。 ?。?）是32.057，是32.1。 （4）讀作七點(diǎn)零零五或七又千分之五； 讀作一百二十點(diǎn)二八或一百二十又百分之二十八。 [分析] 產(chǎn)生上述錯(cuò)誤的主要原因是對(duì)于小數(shù)的組成、小數(shù)的計(jì)數(shù)單位沒有很好掌握，對(duì)于純小數(shù)、帶小數(shù)、純循環(huán)小數(shù)、混循環(huán)小數(shù)的概念不能很好的區(qū)分．小數(shù)的數(shù)位順序表是： 如果掌握了這個(gè)數(shù)位順序表，（1）題就不會(huì)寫成403.305，因?yàn)橐李}意十位上是4，個(gè)位是3，十分位上是3，百分位上是5，即 43.35．（2）題 0.85雖由8個(gè)0.1和5個(gè)0.01組成，但 0.85的計(jì)數(shù)單位應(yīng)該是0.01，因?yàn)橐粋€(gè)小數(shù)的計(jì)數(shù)單位應(yīng)是小數(shù)部分最小數(shù)位的計(jì)數(shù)單位．（3）題因?yàn)?2個(gè)1是32，57個(gè)0.001是0.057，合起來就是32.057，而不應(yīng)是32.57。 小數(shù)的讀法與整數(shù)是不相同的，小數(shù)中的整數(shù)部分，可按整數(shù)的讀法去讀，而小數(shù)部分一般只按順序依次讀出各位上的數(shù)字．如7.005要讀成七點(diǎn)零零五，要讀出兩個(gè)零．120.28要讀成一百二十點(diǎn)二八，不讀成二十八．如果按數(shù)位讀，7.005就是七又千分之五，120.28就是一百二十又百分之二十八。 小數(shù)中的純小數(shù)和帶小數(shù)是根據(jù)整數(shù)部分是否有數(shù)來確定的，而純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)是從循環(huán)節(jié)的位置來區(qū)分的，循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的，叫純循環(huán)小數(shù)；循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫混循環(huán)小數(shù)．所 [分析] 兩個(gè)數(shù)相除，判斷它的商是不是循環(huán)小數(shù)，應(yīng)該看除到小數(shù)部分后，它的余數(shù)是否重復(fù)出現(xiàn)．余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)商才會(huì)不斷重復(fù)出現(xiàn)，若只有商重復(fù)出現(xiàn)幾次，還不一定是循環(huán)小數(shù)．如上例除到小數(shù)第三位，連續(xù)出現(xiàn)了三個(gè)2， [常見錯(cuò)誤] ?。?）題找不到合適的數(shù)。 ?。?）（3）題順序排錯(cuò)或從小到大排列。 [分析] ?。?）題的關(guān)鍵是π，它的值是3.1415…。 例 5（1）一個(gè)數(shù)，如果將它的小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位，得到的新數(shù)比原來的數(shù)少3.6．原來的數(shù)是（ ）。 ?。?）最小的三位小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)后，再縮小100倍是（ ）。 ?。?）把 3.14159的小數(shù)點(diǎn)先向右移動(dòng)三位，再在后面添上兩個(gè)零，原數(shù)就（ ）。 ?。?）把3.09擴(kuò)大（ ）倍是3090。 [解]（1）4。 ?。?）0.01。 （3）擴(kuò)大1000倍。 （4）1000。 [常見錯(cuò)誤] ?。?）36。 ?。?）0.001。 ?。?）擴(kuò)大100000倍。 ?。?）100。 [分析] 如果沒有很好地掌握小數(shù)點(diǎn)位置移動(dòng)引起小數(shù)大小變化的規(guī)律，就很容易出現(xiàn)上述錯(cuò)誤．如（1）題，因?yàn)樾?/p> 整數(shù)的小數(shù)點(diǎn)是在個(gè)位右邊，因?yàn)闆]有小數(shù)部分就不必記上．（2）題最小的三位小數(shù)是0.001，去掉小數(shù)點(diǎn)后變?yōu)?，1記上小數(shù)點(diǎn)是1.，再縮小100倍，即小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位，應(yīng)該是0.01，而不是0.001；又如（4）題3.09變成3090，小數(shù)點(diǎn)是向右移動(dòng)三位，是擴(kuò)大了1000倍，而不是100倍。 小數(shù)末尾添上0或去掉0，小數(shù)的大小不變，理解了這條性質(zhì)，那么（3）題中的“再在后面添上兩個(gè)零”，并沒有引起小數(shù)大小的變化，所以原數(shù)并沒有擴(kuò)大100000倍，只是因?yàn)樾?shù)點(diǎn)向右移動(dòng)三位而擴(kuò)大了1000倍。 小數(shù)點(diǎn)位置的移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化規(guī)律，既難理解，又易混淆．移動(dòng)的方向與大小變化是相關(guān)的，移動(dòng)的位數(shù)與變化的倍數(shù)是相應(yīng)的．這些變化規(guī)律必須牢固掌握。 [解]（1）4.263 ?。?）3.30。 （3）0.90 ?。?）0.455． [常見錯(cuò)誤] ?。?）4.262。 ?。?）3.3。 ?。?）0.9。 ?。?）0.454。 [分析] 求近似值的方法，一般是采用“四舍五入”法，（1）（4）題都是要保留三位小數(shù)，那么要根據(jù)第四位小數(shù)“四舍五入”．4.2626…、0.4545…的第四位都是五或五以上的數(shù)，所以去掉尾數(shù)后必須向第三位小數(shù)進(jìn)一，4.262和0.454都是因?yàn)闆]有“進(jìn)一”而出錯(cuò)。 在求近似值里，一般地說3.0比3精確，在表示近似值的情況下，十分位的0不能去掉．因此，在（2）（3）題里，3.30是由3.295保留兩位小數(shù)得到，0.90是由0.89保留兩位小數(shù)得到它們的0都不能去掉，在這里如果寫成3.3和0.9就是錯(cuò)誤的。 例 7 判斷題 ?。?）去掉小數(shù)點(diǎn)后面的零，小數(shù)的大小不變．（ ） （2）2.666是循環(huán)小數(shù)．（ ） ?。?）在小數(shù)點(diǎn)后面添上零或去掉零，小數(shù)的大小不變．（ ） ?。?）把7.08的小數(shù)點(diǎn)去掉后，比原來的數(shù)擴(kuò)大100倍．（ ）
[解] （1）20897600000≈209億。 31548200000≈315億。 ?。?）20897600000=208.976億。 31548200000=315.482億。 ?。?）20897600000=208.976億≈208.98億。 31548200000=315.482億≈315.48億 [常見錯(cuò)誤] （1）20897600000≈208億。 31548200000=315億。 ?。?）20897600000≈209億。 31548200000≈315億。 ?。?）30897600000≈208.98億。 31548200000≈315.48億。 [分析] 這三道題都要求寫成用億作單位的數(shù)，但具體要求是不相同的．（1）題是省略億后面的尾數(shù)，求它們的近似數(shù)，那么要看它的千萬位是什么數(shù)，然后用“四舍五入”法求出近似數(shù)．20897600000的千萬位是9，省略尾數(shù)后應(yīng)該向億位“進(jìn)一”，所以寫成208億是錯(cuò)誤的，31548200000千萬位是4，省略尾數(shù)后不須向億位進(jìn)一，應(yīng)該是315億，但這只是近似數(shù)，應(yīng)該用“≈”，錯(cuò)解錯(cuò)在用了“=”。 ?。?）題是改寫成用“億”作單位的數(shù)，不是求近似數(shù)，所以，分別寫成09億和315億都是不合題意的。 （3）題改寫成用“億”作單位的數(shù)后再保留兩位小數(shù)，省略了前一步也是不合題意的，應(yīng)按題目要求進(jìn)行改寫。 還值得注意的是不要忘記寫上“億”字作單位。
3．分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)
對(duì)分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)比整數(shù)難多了，我們這里講的分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)主要包括分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的意義；分?jǐn)?shù)的性質(zhì)；分?jǐn)?shù)大小的比較；分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化等．如果沒有很好地建立分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的概念，那么解答有關(guān)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的概念題、比較分?jǐn)?shù)的大小或進(jìn)行分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化，都會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤．但對(duì)分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的理解不是孤立地建立起來的，它是通過比較分?jǐn)?shù)大小、進(jìn)行分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化等過程中逐步加深認(rèn)識(shí)的。 例 1（1）判斷題：把單位“1”分成若干份，表示這樣一份或者幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)．（ ）
?。?1）題判為“正確”的原因是對(duì)于分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)中的“零除外”沒有引起足夠的重視。 ?。?2）題也是因?yàn)闆]有很好掌握分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，誤認(rèn)為分子加上8，分母也要加上8．而要使分?jǐn)?shù)的大小不變，分?jǐn)?shù)的分子和分母都應(yīng)乘以或除
[常見錯(cuò)誤] 這類題的解答錯(cuò)誤是填不出或填錯(cuò)了數(shù)． [分析] 產(chǎn)生錯(cuò)誤的主要原因是對(duì)分?jǐn)?shù)（包括成數(shù)）、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)的互化；除法與分?jǐn)?shù)的關(guān)系；假分?jǐn)?shù)與帶分?jǐn)?shù)的互化；分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)及比與除法的關(guān)系等知識(shí)沒有理解和掌握． 如以（1）題為例，七成五就是十分之七點(diǎn)五即為75％，化成分?jǐn)?shù)為
F=10÷10÷12÷13÷14． [解] 先分為大于10和小于10的兩大類：大于10的有A、D、E；小于10的有B、C、F，而大于10的A不會(huì)超過12；D是把10擴(kuò)大10倍，再擴(kuò)大100倍，再擴(kuò)大1000倍，再擴(kuò)大10000倍；E是把10擴(kuò)大11倍，再擴(kuò)大12倍，再擴(kuò)大13倍，再擴(kuò)大14倍．所以D＞E＞A．而小于10的B不會(huì)小于8；C是把10縮小10倍，再縮小100倍，再縮小1000倍，再縮小10000倍；F是把10縮小11倍，再縮小12倍，再縮小13倍，再縮小14倍．所以B＞F＞C．即（D）＞（E）＞（A）＞（B）＞（F）＞（C）． [常見錯(cuò)誤] （C）＞（E）＞（A）＞（D）＞（F）＞（B）． [分析] 產(chǎn)生這種錯(cuò)誤的原因是誤以為凡是乘和加的結(jié)果肯定增大，凡是除或減
 二、四則計(jì)算
四則計(jì)算包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則計(jì)算及混合運(yùn)算，它是小學(xué)階段學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，而培養(yǎng)學(xué)生的四則計(jì)算能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)．在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，幾乎天天都離不開計(jì)算．但它又是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的內(nèi)容之一．基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢、基本口算不熟練、數(shù)學(xué)概念模糊都會(huì)造成計(jì)算上的錯(cuò)誤；由于思維不靈活、粗心大意也會(huì)造成計(jì)算錯(cuò)誤；對(duì)于教材中的難點(diǎn)、易混淆的問題、計(jì)算過程復(fù)雜的內(nèi)容更容易發(fā)生計(jì)算錯(cuò)誤．因此要達(dá)到“正確、迅速、合理、靈活”的要求，確實(shí)是一件不容易的事情．
小數(shù)四則計(jì)算是在掌握整數(shù)四則計(jì)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，它們之間有著密切聯(lián)系．因此，解題的許多常見錯(cuò)誤也是共同的，例如對(duì)位問題．而小數(shù)四則計(jì)算中小數(shù)點(diǎn)的處理，如加、減法中的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；乘法中乘積中小數(shù)點(diǎn)的定位；除法中商的小數(shù)點(diǎn)的定位及除數(shù)是小數(shù)的計(jì)算法則等，都是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方．
（1）加法和減法 例 1 整數(shù)加法的意義是什么？整數(shù)減法的意義是什么？ [解] 整數(shù)加法的意義：把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算，叫做加法． 整數(shù)減法的意義：已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算，叫做減法． [常見錯(cuò)誤] 整數(shù)加法的意義：求和的運(yùn)算叫做加法．或把幾個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算，叫做加法． 整數(shù)減法的意義：求剩余的運(yùn)算叫做減法． [分析] 定義應(yīng)該是嚴(yán)格的，求和是用加法，求剩余也是用減法，但不能說求和就叫做加法，求剩余就叫做減法．另外，把幾個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)，實(shí)際上都是兩兩合并，如3+5+8，是先算3+5=8，再算8+8=16，所以把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算定義為加法是確切的． 例 2 （1）8+2.16． ?。?）7.43-5． （3）0.008+1.2． [解]（1）8+2.16＝10.16．（2）7.435＝2.43．
[分析] 上述錯(cuò)誤主要是在整、小數(shù)的加減計(jì)算中，沒有把相同的數(shù)位對(duì)齊，產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因有：①對(duì)小數(shù)的數(shù)位概念沒有理解和掌握；②小數(shù)加減法法則掌握不牢；③受整數(shù)加減法法則的影響．因?yàn)檎麛?shù)加減法中相同的數(shù)位對(duì)齊，即是末位數(shù)字對(duì)齊，因此誤認(rèn)為小數(shù)加減法也是末位數(shù)字對(duì)齊，造成一定的干擾．實(shí)際上整數(shù)和小數(shù)加減法都要把相同的數(shù)位對(duì)齊，因?yàn)檎麛?shù)的末位都是個(gè)位數(shù)，只要把末位數(shù)對(duì)齊，那么相同的數(shù)位就對(duì)齊了．而小數(shù)的末位數(shù)的數(shù)位是不固定的，不能用末位數(shù)對(duì)齊的方法使相同的數(shù)位對(duì)齊．最好的辦法是把小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊．小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊了，相同的數(shù)位也就對(duì)齊了盡管上面的（1）（2）題中的“8”和“5”都是整數(shù)，但由于整數(shù)的小數(shù)點(diǎn)是在個(gè)位的右
[分析] 整、小數(shù)加減計(jì)算，在進(jìn)位加法和退位減法中，忘記加上進(jìn)位“1”或忘記減去退位“1”，這是經(jīng)常發(fā)生的計(jì)算錯(cuò)誤．上例中的（1）、（2）、（3）題都是這類型錯(cuò)誤，特別是第（2）題的十位是0減5，只注意了退1當(dāng)10，減5得5，忘記了先要減去個(gè)位不夠減退的“1”，應(yīng)該是9減5得4．第（4）題的千分位不夠減，應(yīng)從百分位退“1”，錯(cuò)解中是直接把5寫下來，因此百分位沒有減去退的1，因此誤把“4”寫成了“5”． 例 4（1）4.35+ 5.65． ?。?）64.7-63.9． [解] （1）4.35+5.65=10．（2）64.7-63.9=0.8．
位的0；錯(cuò)解（2）得數(shù)8應(yīng)該是在十分位上的8，應(yīng)記上小數(shù)點(diǎn)，并在整數(shù)部分寫0，得數(shù)00.8又在整數(shù)部分多寫了一個(gè)0，因?yàn)檎麛?shù)部分沒有數(shù)寫一個(gè)0就可以了，寫多了就是多余的了．所以，在小數(shù)計(jì)算里要特別注意0的處理． 例 5（1）3005-632． ?。?）40003-21208。 ?。?）9-4.25． [解]（1）3005-632=2373．（2）40003-21208＝18795。
[分析] 在加減計(jì)算中，減法難于加法，特別是減法中有連續(xù)退位的，如果要隔位退位就更難了．上面三例都是要隔位退位的．（1）題十位不夠減要從千位退一；（2）題個(gè)位不夠減要從萬位退一；（3）題百分位不夠減要從個(gè)位退一．因此由于一時(shí)不好填什么數(shù)就出現(xiàn)了像（1）、（3）題那樣把減數(shù)直接寫下來的錯(cuò)誤；或像（2）題那樣從萬位退一到千位、百位、十位都作10的錯(cuò)誤．如果掌握了退位的方法就不會(huì)發(fā)生類似的錯(cuò)
[分析] 在連加計(jì)算中，因?yàn)樾枰?jì)算的數(shù)多，在進(jìn)位時(shí)，有時(shí)不止向前一位進(jìn)“1”，有時(shí)需要進(jìn)“2”或“3”或更大的數(shù)．但學(xué)生對(duì)“滿十進(jìn)一”的印象比較深刻，誤認(rèn)為都是向前一位進(jìn)“1”，因此出現(xiàn)上述錯(cuò)誤．為了防止這類錯(cuò)誤，進(jìn)位時(shí)，可以把進(jìn)上幾記上一個(gè)小數(shù)字，以防忘記． 2．分?jǐn)?shù)的加減法四則計(jì)算
分?jǐn)?shù)的四則計(jì)算，由于分?jǐn)?shù)加減法中的通分問題，帶分?jǐn)?shù)的加減法，分?jǐn)?shù)乘除法中的約分問題等都不容易一下理解和掌握，因此計(jì)算常常出現(xiàn)錯(cuò)誤。在分?jǐn)?shù)四則計(jì)算中，很多計(jì)算過程都需口算，口算的錯(cuò)誤率往往高于筆算。因此，分?jǐn)?shù)四則計(jì)算的錯(cuò)誤率一般要高于整小數(shù)的四則計(jì)算。再加之分?jǐn)?shù)四則計(jì)算的復(fù)雜程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了整、小數(shù)的四則計(jì)算，所以，要熟練、準(zhǔn)確地進(jìn)行分?jǐn)?shù)四則計(jì)算確實(shí)是不容易的。 ?。?）加法和減法
為什么出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤呢？第一，受整、小數(shù)加減法的影響，誤認(rèn)為把數(shù)加起來就是它們的結(jié)果，于是產(chǎn)生了分子加分子、分母加分母的錯(cuò)誤；第二，分?jǐn)?shù)意義、分?jǐn)?shù)單位的概念模糊，或者基本上沒有弄清這些概念；第三，分?jǐn)?shù)加法法則沒有掌握。
?。鄯治觯?/p> 這種錯(cuò)誤在剛開始學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加法時(shí)經(jīng)常發(fā)生。錯(cuò)解（1）是通分時(shí)分母擴(kuò)大了，而分子沒有擴(kuò)大；（2）題雖然計(jì)算正確，但最后結(jié)果是假分?jǐn)?shù)，應(yīng)化成帶分?jǐn)?shù)。在小學(xué)階段都要求這樣做。 例 3
（2）乘法
例 1 整數(shù)乘法的意義是什么？ [解] 整數(shù)乘法的意義：求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算，叫做乘法 [常見錯(cuò)誤] 整數(shù)乘法的意義：求積的運(yùn)算． [分析] 和前面分析的一樣，定義是嚴(yán)格的，求積是用乘法計(jì)算，但我們不能說求積就是乘法． 例 2 小數(shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相同嗎？ [解]不完全相同． [常見錯(cuò)誤] 相同． [分析] 因?yàn)樾?shù)乘法有兩種情況．一是小數(shù)乘以整數(shù)，它的意義與整數(shù)乘法意義相同，就是求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算．如 3.5×4，就是求4個(gè)3的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算；二是一個(gè)數(shù)乘以小數(shù)，它的意義是求這個(gè)數(shù)的十分之幾百分之幾，千分之幾…，就不能理解為求相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算了．如×0.23，就是求3.5的百分之二十三是多少．所以，不能說小數(shù)乘法的意與整數(shù)乘法的意義相同． 例 3（1）216×28． ?。?）345×308． [解]（1）216×28=6048．（2）345×308＝106260．
[分析] 多位數(shù)的乘法計(jì)算，部分積的位置錯(cuò)誤是經(jīng)常發(fā)生的，如（1）題中乘數(shù)十位上的“2”與216相乘得432，是432個(gè)10，即4320，所以2應(yīng)該寫在十位上．（2）題中乘數(shù)百位上的“3”與345相乘得1035，是即103500，所以5應(yīng)該寫在百位上．關(guān)鍵是要記住“用乘數(shù)哪乘，乘得的數(shù)的末位就要和那一位對(duì)齊”． 例 4（1）801×5 ?。?）2008×6． （3）370×20． ?。?）4100×50． [解] ?。?）801×5=4005。（2）2008×6=12048。
[分析] 被乘數(shù)中間有0或被乘數(shù)和乘數(shù)末尾有0的乘法是多位數(shù)乘法中的難點(diǎn)。錯(cuò)解（1）沒有用5與被乘數(shù)的0相乘，被乘數(shù)的8是在百位上，表示8個(gè)百，與 5相乘應(yīng)得40個(gè)百，即 4個(gè)千，4要寫在千位，現(xiàn)在錯(cuò)把4寫在了百位上，原因是漏乘了“0×5=0”這一步。同理錯(cuò)解（2）也是漏乘了“0×6”（10位上的0）和“0×6”（百位上的0）兩步。 （3）、（4）題被乘數(shù)和乘數(shù)末尾都有0，計(jì)算時(shí)只要將0前面的數(shù)相乘，然后再看被乘數(shù)和乘數(shù)末尾共有幾個(gè)0，就在積的末尾也添上幾個(gè)0。如370×20洗用37×2=74，再添上兩個(gè)0得7400。4100×50，先用41×5=205，再添上三個(gè)0得205000。其理由是因?yàn)?100看成41，縮小100倍，50看成5縮小10倍，那么41×5的積比4100×50的積也縮小了100×10=1000倍，所以要將41×5的積擴(kuò)大1000倍，即添上三個(gè)0。如果明白了這個(gè)道理就不會(huì)出現(xiàn)少添0或多添0的錯(cuò)誤。 例 53.18×16。 [解] 3.18×16＝50.88。
[分析] 積里忘記點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，這種錯(cuò)誤比加減法里忘記點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)的錯(cuò)誤要多，因?yàn)樽鲂?shù)加減時(shí)，可以邊計(jì)算邊點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，而做小數(shù)乘法時(shí)，則需做完乘法后，再在積里點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。這樣很容易忘記在積里點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。 （2）1.75×3.4。 ?。?）0.34×0.26。 （4）0.73×0.08。 [解]（1）3.6×4.8=17.28。（2）1.75×3.4=5.95。
[分析] 小數(shù)乘法計(jì)算，最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是積里小數(shù)點(diǎn)的位置點(diǎn)錯(cuò)。（1）題錯(cuò)把積里的小數(shù)點(diǎn)和因數(shù)里的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，這是因?yàn)椋孩偈苄?shù)加減法‘小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”的影響；②小數(shù)乘以整數(shù)積里的小數(shù)點(diǎn)和被乘數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也是對(duì)齊的，如 3.6×48=172.8；③正好3.6×4.8中被乘數(shù)和乘數(shù)的小數(shù)點(diǎn)是對(duì)齊的，因而粗心者很容易不自覺地把積里的小數(shù)點(diǎn)也與它們的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。（2）題應(yīng)該是在積里先點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，再去掉小數(shù)末尾的0。不能先去掉末尾的0再數(shù)數(shù)位點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。 ?。?）題積里的小數(shù)位數(shù)不夠要用0補(bǔ)足。積里小數(shù)點(diǎn)的確定是“看因數(shù)一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。位數(shù)不夠的，要在前面用0補(bǔ)足”。 （4）題錯(cuò)把0.08看成一位小數(shù)，誤認(rèn)為被乘數(shù)和乘數(shù)一共是三位小數(shù)，所以在積里也就錯(cuò)誤地點(diǎn)上三位小數(shù)。 例 7 張大媽到菜場(chǎng)買白菜2.7千克，每千克價(jià)1.87元，應(yīng)付多少元？
這道題的列式和計(jì)算都沒有錯(cuò)誤，而是在實(shí)際應(yīng)用中，人民幣的幣值計(jì)算只能精確到分，因此，這類題目需用“四舍五入法”求出近似值。
（3）除法 例 1（1）3286÷44。 ?。?）3286÷46 ?。?）780÷15。（4）165÷24。 [解]（1）3286544÷74……30。
[分析] 上述各題都是試商不準(zhǔn)而造成計(jì)算錯(cuò)誤，因?yàn)樯桃话闶?#8220;試”出來的，沒有固定的法則，很難一次試準(zhǔn)。為了提高試商的準(zhǔn)確性，一般的教材是采用把除數(shù)用“四舍五入”法看成整十或整百的方法試商，但是用這種方法試商，有幾個(gè)地方值得注意。這里我們重點(diǎn)只研究除數(shù)是兩位數(shù)的除法： 從（1）、（2）題來看，用“四舍五入”法看成整十?dāng)?shù)后，比原除數(shù)增加或減少的數(shù)較大時(shí)如（44看成40就少了4；46看成50也多了4），很可能出現(xiàn)試商不準(zhǔn)的現(xiàn)象。如果（1）題改為3286÷41，那么把41看成40試商8就準(zhǔn)了；（2）題改為3286÷49，那么把49看成50試商6也準(zhǔn)了。因此，凡除數(shù)個(gè)位數(shù)是4、5、6的，采用“四舍五入”法試商，很可能出現(xiàn)初商過大或過小的現(xiàn)象，即“四舍”試商可能初商過大；“五入”試商可能初商過小。 從（3）、（4）題來看，它們?cè)嚿痰臏?zhǔn)確性更?。?）題是初商2不準(zhǔn)而要改5；（4）題是初商8不準(zhǔn)，而要改商6。這是什么原因呢？這主要是因?yàn)槌龜?shù)十位上的數(shù)較小的緣故，如果除數(shù)十位上的數(shù)是1或2，個(gè)位上又是4、5、6，那么用“四舍五人”法試商就很不準(zhǔn)確了。 因此，除數(shù)十位上的數(shù)愈小，把它看作整十?dāng)?shù)試商的準(zhǔn)確性就愈小。我們可以用提高十位數(shù)是1、2的兩位數(shù)乘以一位數(shù)口算能力的方法，使這類題的試商更準(zhǔn)確，即直接用口算求商，不必再把除數(shù)“四舍五人”看成整十?dāng)?shù) 例 2（1）7622÷37。 ?。?）7313÷43。 ?。?）2500÷20。 [解]（1）7622÷37=206。
[分析] 漏掉商中間或商末尾的零是多位數(shù)除法中常見的錯(cuò)誤。除法法則中規(guī)定“哪一位不夠商1，就在那一位上寫0”，為了避免上述錯(cuò)誤的產(chǎn)生，要強(qiáng)調(diào)“求出商的最高位后，除到被除數(shù)的哪一位不夠商1，就隨時(shí)在商的那一位上面寫0，不要等到全部除完后再補(bǔ)0”。如（1）題求出商的百位“2”后，22÷37不夠商1，隨時(shí)在商的十位上寫上0，再將222÷37，在個(gè)位商6。如果養(yǎng)成了這種“隨時(shí)寫0”的習(xí)慣，就會(huì)避免出現(xiàn)漏寫商中間的零的錯(cuò)誤。 商末尾的零也是容易漏寫的，特別像（2）題這一類題，被除數(shù)個(gè)位上的數(shù)不夠除時(shí)而有余數(shù)就更容易發(fā)生錯(cuò)誤，因?yàn)樗苋菀着c734÷43混淆，我們比較一下下面的兩個(gè)豎式就清楚了。
［分析］ 以上兩題的錯(cuò)誤都是忘記在商里點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。發(fā)生這種錯(cuò)誤，除受整數(shù)除法的影響外，主要原因是對(duì)小數(shù)除法法則不理解。第（2）題更容易出錯(cuò)，因?yàn)樵诒怀龜?shù)里本來就沒有點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，在余數(shù)后面補(bǔ)0繼續(xù)除，也不需記上小數(shù)點(diǎn)，因此最容易把商里的小數(shù)點(diǎn)丟掉。
· ［分析］ 在商里如果整數(shù)部分和十分位都不能商數(shù)時(shí)，要用0來補(bǔ)足數(shù)位，并點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)如果寫商時(shí)沒有用0來補(bǔ)足數(shù)位，就容易忘記點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。后種解法雖然點(diǎn)上了小數(shù)點(diǎn)，但因?yàn)槭治粵]有用0補(bǔ)位，“8”實(shí)際上是寫在十分位上，所以也錯(cuò)了。因?yàn)樵谡麛?shù)除法里，要先商出最高位后，如果某一位不能商數(shù)才用0補(bǔ)位，而在小數(shù)除法里就不是這樣，這是值得十分注意的。如184÷23，就直接在個(gè)位商8，不要在十位和百位補(bǔ)0，只有當(dāng) 540÷5時(shí)，百位商1，十位不能商數(shù)補(bǔ)0，個(gè)位商8得108。要注意兩種除法商的寫法上的區(qū)別. 例 5（1）16.2÷0.6 （2）8÷0.5 ?。劢猓?/p> ?。?）16.2÷0.6=27。（2）8÷0.5=16。
?。鄯治觯?/p> 上面兩題的解答錯(cuò)誤都是出現(xiàn)在除數(shù)是小數(shù)的除法里，商的小數(shù)點(diǎn)標(biāo)錯(cuò)了位置。解題時(shí)，移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后，商里的小數(shù)點(diǎn)的位置，仍按原來被除數(shù)小數(shù)點(diǎn)的位置去確定，應(yīng)該按被除數(shù)移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)后的小數(shù)點(diǎn)的位置來確定商里的小數(shù)點(diǎn)。如第（1）題，被除數(shù)16.2的小數(shù)向右移動(dòng)一位成了162，這個(gè)小數(shù)點(diǎn)可以不記，商就是27，不是2.7。第（2）題被除數(shù)8的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位就成了80，所以商是16，不是1.6。 例 6420÷0.7。
在小數(shù)除法法則里，如果除數(shù)是小數(shù)，不管被除數(shù)是小數(shù)還是整數(shù)，都要去掉除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，再移動(dòng)被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，如果被除數(shù)是整數(shù)，或者位數(shù)不夠，就在被除數(shù)末尾用0補(bǔ)足。上面的錯(cuò)解就是沒有在420后面補(bǔ)一個(gè)0，因此商錯(cuò)成60。
?。鄯治觯?/p> 以上兩題都是被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)錯(cuò)誤。錯(cuò)解（1）的除數(shù)0.054是三位小數(shù)，而誤看成兩位小數(shù)，所以去掉小數(shù)點(diǎn)后被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)只向右移動(dòng)了兩位，因此出現(xiàn)了商8.8的錯(cuò)誤錯(cuò)解（2）是因?yàn)闆]有掌握法則，采用的方法是把被除數(shù)和除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)一律去掉所造成的錯(cuò)誤。 例 8（1）4÷32。 ?。?）34÷5。 ?。劢猓?/p> （1）4÷32=0.125。（2）34÷5=6.8。
?。鄯治觯?/p> 以上兩類題是小數(shù)除法里最容易出錯(cuò)的題，因?yàn)楸怀龜?shù)和除數(shù)都不是小數(shù)，而商卻是小數(shù)。（1）題因?yàn)楸怀龜?shù)的整數(shù)部分不夠商數(shù)，必須先點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)再補(bǔ)0，即把4寫成4.0，商 1應(yīng)該是在十分位上，1的前面必須有小數(shù)點(diǎn)。（2）題更容易出錯(cuò)，因?yàn)椴皇侵苯釉诒怀龜?shù)后面補(bǔ)0，是在余數(shù)后面補(bǔ)0再繼續(xù)除，在被除數(shù)里根本沒有小數(shù)點(diǎn)，所以應(yīng)該在商過整數(shù)6之后，即在6的右下角點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，再繼續(xù)除，就不會(huì)出錯(cuò)。 例 91.5÷25。 ?。劢猓?.5÷25=0.06
?。鄯治觯?/p> 錯(cuò)解中丟掉了十分位上的0，與整數(shù)除法里丟掉了商中間的0是一樣的錯(cuò)誤。因?yàn)檎麛?shù)部分不夠除，被除數(shù)取到十分位時(shí)仍不夠除，所以商的最高位應(yīng)該寫在百分位上，十分位應(yīng)該用0占位，否則商錯(cuò)成0.6。 綜合上面各例，記錯(cuò)商里小數(shù)點(diǎn)的位置是小數(shù)除法中最常見的錯(cuò)誤。小數(shù)除法可歸結(jié)為兩類：第一類是除數(shù)是整數(shù)的，關(guān)鍵是要把商里的小數(shù)點(diǎn)和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。特別是遇到被除數(shù)也是整數(shù)，商是小數(shù)的情況，應(yīng)注意被除數(shù)的整數(shù)末尾省略了小數(shù)點(diǎn)；第二類是除數(shù)是小數(shù)的，先移動(dòng)除數(shù)里的小數(shù)點(diǎn)，使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)幾位，被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)幾位（位數(shù)不夠的在末尾用“0”補(bǔ)足），然后按照除數(shù)是整數(shù)的法則進(jìn)行計(jì)算。因移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)的情況較為復(fù)雜，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤?，F(xiàn)將各種移動(dòng)情況列舉如下，以便區(qū)分。
移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)后，除數(shù)都變成了整數(shù)，但被除數(shù)可能是整數(shù)，也可能是小數(shù)，有的還要補(bǔ)0。 例 10（l）一輛汽車每小時(shí)行50千米，0.5小時(shí)行多少千米？ ?。?）一輛汽車0.5小時(shí)行25千米，每小時(shí)行多少千米？ ?。劢猓荩?）50×0.5=25（千米）。 答：0.5小時(shí)行25千米。 ?。?）25÷0.5=50（千米）。 答：每小時(shí)行50千米。 ?。鄢Ｒ婂e(cuò)誤］ ?。?）50÷0.5=100（千米）。 答：0.5小時(shí)行100千米。 ?。?）25×0.5=12.5（千米）。 答：每小時(shí)行12.5千米。 ?。鄯治觯?/p> 出現(xiàn)這類錯(cuò)誤，主要是對(duì)小數(shù)除法的意義不理解。（l）題錯(cuò)誤地認(rèn)為每小時(shí)行50千米，那么0.5小時(shí)行了多少千米呢？0.5小時(shí)只有1小時(shí)的一半，要用除法；（2）題又錯(cuò)誤地認(rèn)為半小時(shí)行25千米，那么1小時(shí)是0.5小時(shí)的2倍，要用乘法。所以錯(cuò)誤的列式為（1）50÷0.5，（2)50×0.5。 例 11求下面商的近似值，得數(shù)保留兩位小數(shù)。 ?。?）2.7÷0.7。 （2）4.4÷1.3。 〔解〕 ?。?）2.7÷0.7≈3.86。（2）4.4÷1.3≈3.38
［分析］ 求商的近似值時(shí)，要除到比需要保留的數(shù)位多一位，如果這一位是4或以下的數(shù)，則把它舍去；如果這一位是5或5以上的數(shù)，則把它舍去后并向前一位進(jìn)一，即用“四舍五人法”求出商的近似值。錯(cuò)解（l）只除到了第二位小數(shù)（題目要求保留兩位小數(shù)），就舍去了第三位小數(shù)，因?yàn)檫€不知道第三位小數(shù)是幾，是“舍”還是“入”并不知道，結(jié)果出錯(cuò)；錯(cuò)解（2）又多除了一位，除到了第四位小數(shù)，并且第四位小數(shù)是“6”向前一位進(jìn)“1”，第三位小數(shù)成了“5”，又向前一位進(jìn)“l”，所以錯(cuò)成了3.39。
|
|
|
