1 現(xiàn)狀調(diào)查
在現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)教材中,“函數(shù)”這個(gè)概念,最早出現(xiàn)于初中義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)[1-3].函數(shù)概念的教學(xué),在初中采用“變量說”,在高中采用“對(duì)應(yīng)說”,這種安排基本上是遵循函數(shù)概念歷史發(fā)展的本來順序,也符合人們對(duì)于函數(shù)概念認(rèn)識(shí)過程上的發(fā)展性、階段性,但即便如此,學(xué)生形成和理解函數(shù)概念的水平仍舊很低.已有的教學(xué)實(shí)踐表明,函數(shù)概念是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中感覺最困難的概念之一.
近期在成都某中等層次中學(xué)做了一次問卷調(diào)查.此次調(diào)查時(shí)間是他們剛學(xué)完函數(shù)概念,分析結(jié)果發(fā)現(xiàn):有4%的學(xué)生認(rèn)為函數(shù)是一種特殊的數(shù),19%的學(xué)生認(rèn)為函數(shù)是方程,有77%的學(xué)生認(rèn)為函數(shù)是變量.這說明變量定義函數(shù)還沒有被所有的學(xué)生接受.有72%的學(xué)生只愿意用解析式表示函數(shù),6%的學(xué)生愿意用表格表示函數(shù).說明函數(shù)的三種表示方法在學(xué)生的頭腦里還沒有統(tǒng)一起來,學(xué)生還是習(xí)慣用精確的解析式表示函數(shù).在理解函數(shù)概念中“自變量取某一值時(shí),函數(shù)有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)”時(shí),只有 1 3 的學(xué)生理解正確.這說明學(xué)生在理解對(duì)應(yīng)時(shí)有較大的困難.另外學(xué)生還不習(xí)慣看圖像,也不善于從圖像中發(fā)現(xiàn)信息.
函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中最為重要的概念之一,也是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中第一次遇到的一般意義的抽象概念,學(xué)生理解上存在困難是不言而喻的.函數(shù)概念有許多復(fù)雜的層次和許多相關(guān)的下層概念,這樣,函數(shù)成為中學(xué)數(shù)學(xué)中最難教、最難學(xué)的概念之一也就不足為奇了.
2 函數(shù)概念在課程中的重要性
函數(shù)是貫穿于初中及高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí),對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力有很大的作用.函數(shù)在初中數(shù)學(xué)中占有很重要的地位.從中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的組織結(jié)構(gòu)看,函數(shù)是代數(shù)的“紐帶”,代數(shù)式、方程、不等式、數(shù)列、排列組合、極限和微積分等都與函數(shù)知識(shí)有直接聯(lián)系.并且,函數(shù)還是數(shù)學(xué)的后繼發(fā)展的基礎(chǔ),這一章的內(nèi)容對(duì)高中數(shù)學(xué)中各種初等函數(shù)的學(xué)習(xí)以至高等數(shù)學(xué)中函數(shù)概念及性質(zhì)的研究也奠定了一定的基礎(chǔ).同時(shí)函數(shù)知識(shí)在物理、化學(xué)等自然科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,在解決生產(chǎn)生活中的實(shí)際問題時(shí),也往往采用函數(shù)作為建模的基本工具.函數(shù)既從客觀現(xiàn)實(shí)中抽象出來,又超越了千變?nèi)f化的課題的個(gè)性,其內(nèi)涵極為深刻,外延又極為廣泛,所以它既是重點(diǎn),又是難點(diǎn).[4]
3 關(guān)于“函數(shù)”這個(gè)概念
3.1 數(shù)學(xué)史中關(guān)于函數(shù)的發(fā)展
函數(shù)概念從產(chǎn)生到完善,經(jīng)歷了漫長而曲折的過程.這不但因?yàn)楹瘮?shù)概念系統(tǒng)復(fù)雜、涉及因素眾多,更重要的是伴隨著函數(shù)概念的不斷發(fā)展,數(shù)學(xué)思維方式也發(fā)生了重要轉(zhuǎn)折:思維從靜止走向了運(yùn)動(dòng)、從離散走向了連續(xù)、從運(yùn)算轉(zhuǎn)向了關(guān)系,實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合,在符號(hào)語言與圖表語言之間可以靈活轉(zhuǎn)換.與常量數(shù)學(xué)相比,函數(shù)概念的抽象性更強(qiáng)、形式化程度更高.[5]
3.2 變量與常量
初中課本中變量被當(dāng)成是不定義的原始概念,而變量是函數(shù)概念中一個(gè)最基本的概念.數(shù)學(xué)中的變量概念與日常生活經(jīng)驗(yàn)是有差異的,人們對(duì)變量的普遍理解是,在日常生活中,“變量”應(yīng)該是變化的,不確定的.但數(shù)學(xué)中的變量包括常量,常量被看成是一種特殊的變量.另外函數(shù)概念中變量的意義更具一般性,既可以作為數(shù),也可以作為點(diǎn);既可以作為有形之物,也可以作為無形的東西.
3.3 函數(shù)概念表示的多樣化
一方面表現(xiàn)在定義域、值域的多樣性,可以用集合、區(qū)間、不等式等不同形式的表示;另一方面表現(xiàn)在它可以用圖像、表格、對(duì)應(yīng)、解析式等方法表示,從每一種表示中都可以獨(dú)立地抽象出函數(shù)概念來.與其他數(shù)學(xué)概念相比,由于函數(shù)概念需要同時(shí)考慮幾種表示,并要協(xié)調(diào)各種表示之間的關(guān)系,常常需要在各種表示之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換,因此容易造成學(xué)習(xí)上的困難.
3.4 定義中的抽象因素
函數(shù)是在初中遇到的第一個(gè)用“數(shù)學(xué)關(guān)系概念定義法”給出的概念,解釋它的本質(zhì)(對(duì)應(yīng)關(guān)系)的敘述方式與先前所學(xué)的諸多數(shù)學(xué)概念的敘述方式是不一樣的.y=f(x)表示了一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系,其中每一個(gè)字母都有特定的含義.但這種含義僅從字面上是看不出來的.我們不能通過“f”來想象對(duì)應(yīng)法則的具體內(nèi)容,也不能通過x(或y)來想象定義域(或值域)的抽象性到底是什么.這種抽象性大大增加了函數(shù)學(xué)習(xí)的難度.
4 學(xué)生學(xué)習(xí)心理分析
初一學(xué)生大多是從公用性定義或具體形象描述水平向接近本質(zhì)定義或具體解釋水平轉(zhuǎn)化.理解掌握抽象概念有一定困難,在一定程度上要依靠主觀的、具體的內(nèi)容,特別是比較復(fù)雜的抽象概念,還抓不住其本質(zhì)屬性,分不清主次的特征.初二是掌握概念的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn).初三學(xué)生基本能夠理解概念的本質(zhì)屬性,能逐步地分出主次,但對(duì)高度抽象概括且缺乏經(jīng)驗(yàn)支柱的概念,還理解不深.[6]
當(dāng)學(xué)生的概念形成水平較低時(shí),不理解它或在認(rèn)識(shí)上感覺困難是正常的.學(xué)生只有通過大量客觀事例,認(rèn)識(shí)變量的概念,理解量與量的相異關(guān)系,才能形成函數(shù)概念的描述性定義,獲得樸素、直觀的認(rèn)識(shí).
中學(xué)生的思維發(fā)展水平是從具體形象思維逐步過渡到形式邏輯思維水平.初中生以形式邏輯思維水平為主[7].函數(shù)是一個(gè)辯證概念,而學(xué)生的辯證思維發(fā)展還處于很不成熟的時(shí)期,看問題往往是局部的、靜止的、割裂的,不善于把抽象的概念與具體的事例聯(lián)系起來,還不能用辯證思維的思想來理解函數(shù)概念,這與函數(shù)概念的運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系的特點(diǎn)是不相適應(yīng)的.例如,學(xué)生常常認(rèn)為,“x”代表一個(gè)單個(gè)的數(shù)(可能是未知數(shù));求函數(shù)值就是把數(shù)帶入“公式”中的字母運(yùn)算;學(xué)生常常把函數(shù)概念與“公式”等同起來,因此函數(shù)的動(dòng)態(tài)性、變化性在思維中不能得到充分反應(yīng).對(duì)初中學(xué)生的思維水平來說,建立函數(shù)這樣一個(gè)復(fù)雜的概念需要克服許多困難.
5 新課程理念在初中函數(shù)概念內(nèi)容中的體現(xiàn)
傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容重結(jié)果.新課程中,學(xué)習(xí)的內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的一些現(xiàn)成結(jié)果,還包括結(jié)果的形成過程.新教材中,“函數(shù)”部分,大量的材料是學(xué)生熟悉的、感興趣的.這種題材使得學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)是一個(gè)生動(dòng)活潑、主動(dòng)和富有個(gè)性的過程.這種題材要求學(xué)生要有充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的時(shí)間和空間,在親自體驗(yàn)和探索中認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué),解決問題,理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和方法.
在新教材中,有關(guān)“函數(shù)”的內(nèi)容不再是初三一次性學(xué)完,而是分布在初二、初三等不同階段分段學(xué)習(xí).教師要重視函數(shù)概念的教學(xué),同時(shí)注意盡早、分階段向?qū)W生滲透函數(shù)思想,逐步使學(xué)生形成函數(shù)思想方法.這也體現(xiàn)了建構(gòu)主義的教學(xué)觀.
新教材中,有關(guān)“函數(shù)”的內(nèi)容,通過大量生活中的例子把圖像、列表等形式表示的函數(shù)都呈現(xiàn)出來,以便多角度認(rèn)識(shí)函數(shù).而且教材增加了許多“函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問題”,如前言、例題、習(xí)題、閱讀材料等,這樣的教材,信息量大,知識(shí)含量高,更重要的,它不是只注重知識(shí),而且有利于學(xué)生綜合素質(zhì)的形成.它引入概念的方式是:實(shí)際例子(問題)→數(shù)學(xué)概念→實(shí)際問題.這種方式借助實(shí)際問題情景,由具體到抽象的認(rèn)識(shí)函數(shù),又通過函數(shù)應(yīng)用舉例,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想,另外,內(nèi)容的呈現(xiàn)方式豐富多彩,圖文并茂,注重學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中主體作用的發(fā)揮,同時(shí)聯(lián)系生活實(shí)際,培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí).更重要的是,這種題材呈現(xiàn)方式符合這個(gè)階段學(xué)生的年齡特征和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律,而且遵循逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上升的原則.
這樣的課程設(shè)計(jì),充分考慮到了學(xué)習(xí)者的因素,強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā),讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型,并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程.
6 初中函數(shù)概念教學(xué)的策略建議
6.1 注意盡早進(jìn)行函數(shù)思想方法的導(dǎo)學(xué)
事實(shí)上,函數(shù)觀念的培養(yǎng)在小學(xué)就已經(jīng)開始了,進(jìn)入中學(xué),隨著代數(shù)式、方程的研究也慢慢地滲透著這種思想.如果注意在學(xué)習(xí)與函數(shù)有關(guān)的知識(shí)時(shí),經(jīng)常地向?qū)W生滲透“對(duì)應(yīng)”的觀點(diǎn),那么在初二學(xué)習(xí)函數(shù)概念時(shí),學(xué)生就能較順利地接受函數(shù)這個(gè)概念.
6.2 在教學(xué)中把握滲透函數(shù)思想及函數(shù)思想方法
在函數(shù)概念的教學(xué)中,函數(shù)思想主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面[8]:首先,函數(shù)思想集中反映了變量(自變量)與變量(函數(shù))之間的變化規(guī)律.其次,對(duì)應(yīng)是函數(shù)思想的本質(zhì)特征.再次,自變量的變化處于主導(dǎo)地位,在函數(shù)y=f(x)中,y與x的地位完全不同,x的變化起決定性作用,變量y處于依從地位 .函數(shù)的值域是由定義域通過對(duì)應(yīng)法則所決定.因此,自變量的變化范圍是函數(shù)的另一個(gè)基本因素.
函數(shù)的思想方法在理解函數(shù)概念時(shí)有著重要的作用.函數(shù)的思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的主導(dǎo)思想之一,它在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的過程中,具有其他思想方法所不及的指導(dǎo)作用.函數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)的最終目的是對(duì)函數(shù)思想的領(lǐng)悟和掌握,而學(xué)習(xí)過程中函數(shù)思想方法的滲透,又可以加深對(duì)函數(shù)概念的理解[9].
6.3 讓函數(shù)概念教學(xué)走向生活化
6.3.1 闡明常、變量的客觀存在
常量在現(xiàn)實(shí)生活中, 隨處可見, 生活的每一個(gè)角落, 社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域都有常量的身影.同時(shí),認(rèn)識(shí)變量的普遍存在,我們的周圍萬事萬物每時(shí)每刻都在變,有些變化著的量可以用數(shù)來刻畫.
通過從常量到變量,繼而思考變量與變量間的關(guān)系,自然過渡到函數(shù)概念,選用學(xué)生比較熟悉的實(shí)例,力圖讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)與生活得密切聯(lián)系,通過具有現(xiàn)實(shí)意義的情境引入.
6.3.2 多列舉實(shí)例
函數(shù)的概念要理解透徹并非一朝一夕的事,在設(shè)計(jì)函數(shù)課的教學(xué)過程時(shí)不可能做到一步到位,必須由淺入深給學(xué)生一個(gè)逐步加深認(rèn)識(shí)的過程.可給學(xué)生呈現(xiàn)一些函數(shù)的簡(jiǎn)單實(shí)例,例子要結(jié)合實(shí)際生活,也要緊緊結(jié)合教材內(nèi)容.
在設(shè)計(jì)教學(xué)過程時(shí)一定要抓住這一點(diǎn),不管是開始的情景引入,還是后面的例題講解和課堂演練,都要選擇貼近生活的例子,從而可以很好的調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.
在設(shè)計(jì)函數(shù)概念教學(xué)時(shí),不要一味地按照教材原有的模式把內(nèi)容給呈現(xiàn)出來,應(yīng)試圖通過整合教材,加入一些課外的,與本地實(shí)際生活相聯(lián)系的內(nèi)容來把新知識(shí)呈現(xiàn)在學(xué)生面前,在引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)欲望的同時(shí),拓寬學(xué)生的知識(shí)面,加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).
在函數(shù)教學(xué)過程中要多舉例,加深對(duì)函數(shù)概念的理解,反例提供了概念學(xué)習(xí)最有利的辨別信息,讓學(xué)生進(jìn)行函數(shù)正反例子的辨析有助于學(xué)生形成正確的認(rèn)知結(jié)構(gòu).在函數(shù)概念教學(xué)過程中,不能只列舉正例,使學(xué)生的視野受到束縛,也應(yīng)通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆蠢瘮?shù),澄清學(xué)生的模糊和錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí),促進(jìn)學(xué)生正確的函數(shù)概念的建立.
6.3.3 重視數(shù)形結(jié)合
“函數(shù)是表示任何一個(gè)隨著曲線上的點(diǎn)變動(dòng)而變動(dòng)的量.”函數(shù)自產(chǎn)生就和圖形結(jié)下了不解之緣.函數(shù)的表示方法之一是圖像法,即通過坐標(biāo)系中的曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)反映變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.這種表示方法的產(chǎn)生,將數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化,提供了數(shù)形結(jié)合地研究問題的重要方法,教學(xué)過程中,要注意函數(shù)解析式與圖像的結(jié)合這兩方面的互補(bǔ),體現(xiàn)兩者之間的聯(lián)系,突出兩者間轉(zhuǎn)化對(duì)分析解決問題的特殊作用.
6.4 充分調(diào)動(dòng)學(xué)生主觀能動(dòng)性
注重學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和探索感受.因而,充分展開學(xué)生參與學(xué)習(xí)的過程非常必要.小組交流學(xué)習(xí)的教學(xué)方式能有效地體現(xiàn)學(xué)生的合作性、參與性、主體性,適時(shí)開展小組交流學(xué)習(xí)一方面可以達(dá)到深化本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)效果,另一方面,也充分體現(xiàn)新課程理念精神.教師理應(yīng)從一個(gè)知識(shí)的傳播者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生發(fā)展的促進(jìn)者,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索,建立民主的、平等的師生關(guān)系,讓學(xué)生在平等、尊重、理解和寬容的氛圍中快樂的學(xué)習(xí).
