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【教學(xué)設(shè)計(jì)】
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1．內(nèi)容
變量與函數(shù)（人民教育出版社《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書`·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第十四章第一節(jié)第一課時(shí)）。
2．內(nèi)容解析
函數(shù)是近代數(shù)學(xué)最基本的概念之一，在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中起著十分重要的作用，許多數(shù)學(xué)分支（如代數(shù)、三角、解析幾何、微積分、實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)等）都是以函數(shù)為中心展開研究的。
在中學(xué)數(shù)學(xué)中，函數(shù)起著主導(dǎo)作用，處于核心地位。作為初中數(shù)學(xué)四大學(xué)習(xí)領(lǐng)域之一的數(shù)與代數(shù)，其“四大主干”——數(shù)、式、方程（不等式）、函數(shù)都可以用函數(shù)來 “統(tǒng)帥”：數(shù)集的發(fā)展是為函數(shù)的定義域和值域研究作準(zhǔn)備的；“式”是函數(shù)關(guān)系的重要表達(dá)形式，“式”也可以看作是關(guān)于式中某個(gè)（或某些）字母的函數(shù)；方程或不等式的解集則可以理解為使左右兩個(gè)函數(shù)值相等或不等的公共定義域的子集。高中數(shù)學(xué)的許多內(nèi)容都與函數(shù)密切相關(guān)，譬如，數(shù)列是以自然數(shù)集或其子集為定義域的函數(shù)；微積分初步研究?jī)?nèi)容主要是初等連續(xù)函數(shù)的一些性質(zhì)；解析幾何研究的曲線與方程其實(shí)是一類隱函數(shù)。
初中階段的函數(shù)概念是從運(yùn)動(dòng)變化和聯(lián)系對(duì)應(yīng)的角度加以定義的，即函數(shù)概念的“變量說”（高中階段為“對(duì)應(yīng)說”、大學(xué)階段為“關(guān)系說”），這個(gè)定義對(duì)一個(gè)變化過程中的兩個(gè)變量之間的關(guān)系進(jìn)行了描述，因此，首先應(yīng)明確什么是變量，什么是常量。在此基礎(chǔ)上，揭示函數(shù)概念的內(nèi)涵：在同一變化過程中的兩個(gè)變量之間存在這樣的關(guān)系——一個(gè)變量的變化會(huì)引起另一個(gè)變量也隨之變化，而且這個(gè)變化之間存在單值對(duì)應(yīng)的關(guān)系。
“變量、常量”蘊(yùn)含著分類的思想，“函數(shù)” 蘊(yùn)含著變化的思想和對(duì)應(yīng)的思想。
教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的概念．
二、目標(biāo)和目標(biāo)解析
1．目標(biāo)
（1）了解變量、常量的概念；
（2）了解函數(shù)的概念。
2．目標(biāo)解析
（1）通過簡(jiǎn)單實(shí)例，說出變量、常量的意義；
（2）在具體問題情境中，能識(shí)別變量與常量，體會(huì)分類思想；
（3）經(jīng)歷函數(shù)概念的形成過程，體會(huì)變化與對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，感悟事物之間相互聯(lián)系并不斷運(yùn)動(dòng)、變化、發(fā)展的哲學(xué)思想；
（4）能結(jié)合具體實(shí)例判斷兩個(gè)變量之間是否存在函數(shù)關(guān)系。
三、教學(xué)問題診斷分析
函數(shù)概念具有內(nèi)容的概括性、符號(hào)的抽象性、形式的多樣性等特點(diǎn)，所以函數(shù)概念一直是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。尤其是對(duì)初中生來說，第一次接觸函數(shù)概念時(shí)會(huì)感到十分困難。
一方面，函數(shù)作為從數(shù)量角度反映變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型涉及到很多復(fù)雜的層次和許多相關(guān)的上位概念，這將直接導(dǎo)致學(xué)生在概括函數(shù)概念時(shí)出現(xiàn)障礙。其中復(fù)雜的層次主要包括：（1）在一個(gè)“變化”過程中；（2）存在“兩個(gè)”變量；（3）這兩個(gè)變量具有一定的“聯(lián)系”；（4）一個(gè)變量的變化會(huì)引起另一個(gè)變量也“隨之”變化；（5）這個(gè)變化之間存在“單值對(duì)應(yīng)”的關(guān)系。相關(guān)的上位概念主要有變量、對(duì)應(yīng)、唯一、確定等。
另一方面，函數(shù)概念難以形成的原因是學(xué)生的認(rèn)知準(zhǔn)備不足。在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前，學(xué)生接觸的基本上是常量數(shù)學(xué)的內(nèi)容，是靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識(shí)。而函數(shù)研究的是變量與變量之間的關(guān)系，其特征是變化的、發(fā)展的、處于兩個(gè)量的相互聯(lián)系之中的。因此，了解函數(shù)的概念，需要學(xué)生的思維經(jīng)歷一個(gè)飛躍的過程，這個(gè)過程需要達(dá)到辨證思維的形態(tài)。然而，此時(shí)學(xué)生的辨證思維水平還處于不很成熟的時(shí)期，這個(gè)矛盾是函數(shù)概念學(xué)習(xí)中一切認(rèn)知障礙的根源。
教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)概念的抽象與概括。
四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
（一）創(chuàng)設(shè)情境 導(dǎo)入新課
引言：我們生活在一個(gè)充滿變化的世界里。以大家的成長(zhǎng)經(jīng)歷為例，從小學(xué)到初中，我們年齡增長(zhǎng)了、身體長(zhǎng)高了、體重增加了、知識(shí)增多了、┅┅。同學(xué)們，你們還能舉出在一個(gè)變化過程中不斷變化的量的例子嗎？
（學(xué)生發(fā)言）
看來，在我們?nèi)粘Ｉ钪械教幋嬖谥兓^程中的變化的量，因此，要想了解客觀世界，就離不開研究這些量。下面，我們首先來學(xué)習(xí)與此相關(guān)的知識(shí)。
設(shè)計(jì)意圖：通過豐富的實(shí)例，讓學(xué)生感受到生活中處處存在變量，體會(huì)學(xué)習(xí)變量的必要性。
（二）探索新知 嘗試發(fā)現(xiàn)
教師依次呈現(xiàn)下列問題。
問題1 汽車以60千米/時(shí)的速度勻速行駛，行駛里程為s千米，行駛時(shí)間為t小時(shí)，請(qǐng)?zhí)钕旅娴谋砀?，指出題中有哪些量，并用含t的式子表示s．
問題2 某地在24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖如下，圖中有哪些量？
問題3 在一根彈簧的下端懸掛重物，彈簧原長(zhǎng)為10cm，每1kg重物使彈簧伸長(zhǎng)0.5cm，設(shè)重物質(zhì)量為m kg，受力后的彈簧長(zhǎng)度為lcm。在彈性限度內(nèi)，怎樣用含m的式子表示l？請(qǐng)指出題中有哪些量。
設(shè)計(jì)意圖：通過三個(gè)簡(jiǎn)單而熟悉的例子，引導(dǎo)學(xué)生在分化和類化各題的特征中發(fā)現(xiàn)這樣的事實(shí)：在一個(gè)變化過程中，存在數(shù)值發(fā)生變化的量和數(shù)值始終不變的量。進(jìn)而為抽象、概括出變量和常量作鋪墊；另外，三個(gè)問題中變量之間的關(guān)系分別用表格、圖象和解析式的方式呈現(xiàn)，為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的三種表達(dá)形式埋下伏筆。
說明：部分學(xué)生在回答問題3時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)認(rèn)知障礙，教師可以借助多媒體啟發(fā)學(xué)生由特殊到一般尋找規(guī)律。對(duì)于學(xué)生回答不完整、表述不準(zhǔn)確的地方，教師及時(shí)予以補(bǔ)充和糾正。
問題4 針對(duì)上述三個(gè)問題，請(qǐng)同學(xué)們?yōu)檫@些量進(jìn)行分類，并指出你的分類標(biāo)準(zhǔn)。
設(shè)計(jì)意圖：在反復(fù)觀察、反復(fù)比較、反復(fù)分析中，抽象、概括出變量和常量的本質(zhì)屬性，體會(huì)分類思想。
說明：在學(xué)生分類，并指出分類的標(biāo)準(zhǔn)后，教師引導(dǎo)學(xué)生概括共同屬性，得出變量和常量的定義。
問題5 在前面研究的三個(gè)問題中，哪些量是變量？哪些量是常量？請(qǐng)你再列舉一些日常生活中的變化過程的實(shí)例，并指出其中的變量和常量。
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生“再認(rèn)識(shí)”前面研究的問題，并聯(lián)系生活列舉實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)變量和常量的意義，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。
（三）反思提煉 歸納定義
問題6 問題1、問題2和問題3中都分別有兩個(gè)變量，那么，在同一個(gè)問題中的兩個(gè)變量之間有沒有聯(lián)系呢？若有聯(lián)系，又有怎樣的聯(lián)系呢？
設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)三個(gè)具體問題中兩個(gè)變量之間聯(lián)系的研究，讓學(xué)生在觀察、比較、抽象、概括等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程中，經(jīng)歷函數(shù)概念的形成過程，體會(huì)變化與對(duì)應(yīng)的思想。
說明：學(xué)生在獨(dú)立思考后進(jìn)行小組交流，此時(shí)，教師也參與學(xué)生的活動(dòng)之中，了解各小組的討論情況，并適時(shí)點(diǎn)撥。然后小組匯報(bào)討論結(jié)果，全班學(xué)生一起交流，并抽象、概括三個(gè)問題中變量與變量之間關(guān)系的共同屬性，即（1）在一個(gè)“變化”過程中；（2）存在“兩個(gè)”變量；（3）這兩個(gè)變量具有一定的“聯(lián)系”；（4）一個(gè)變量的變化會(huì)引起另一個(gè)變量也“隨之”變化；（5）這個(gè)變化之間存在“單值對(duì)應(yīng)”的關(guān)系。
教師用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述函數(shù)的概念，并介紹與函數(shù)有關(guān)的概念。
在此過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)觀察、反復(fù)比較、反復(fù)分析每個(gè)具體問題中的兩個(gè)變量之間的關(guān)系，從中發(fā)現(xiàn)其共同屬性，概括出兩個(gè)變量究竟是“怎樣聯(lián)系”的。并重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)幾個(gè)關(guān)鍵字——“每”、“確定”、“唯一”、“對(duì)應(yīng)”的含義，同時(shí)舉出反例進(jìn)行辨析。
例如，“每”字包含兩層意思：其一是“任意”，即在一個(gè)變化過程中（即在定義域內(nèi)）“任意”給出x（即自變量）一個(gè)值，y都有唯一確定的值（即函數(shù)值）與其對(duì)應(yīng)；其二是“所有”，即“取盡”變化過程中（即在定義域內(nèi)）的“所有”的值，y都有與其相對(duì)應(yīng)的唯一確定的值（即函數(shù)值）。在解釋“每”的含義時(shí)，要結(jié)合三個(gè)具體問題盡可能多地取x（即自變量）的值，使學(xué)生真正領(lǐng)會(huì)其內(nèi)涵。同時(shí)，舉出反例，深化對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)。如舉出反例：若變量x為實(shí)數(shù)，在將x取倒數(shù)（即y為x的倒數(shù)）的過程中，由于0的倒數(shù)沒有意義，所以當(dāng)x取0時(shí)，沒有相應(yīng)的y與之對(duì)應(yīng)，此時(shí)y不是x的函數(shù)。
問題7 在前面研究的幾個(gè)問題中，哪些量是自變量？哪些量是自變量的函數(shù)？你能再列舉一些函數(shù)的例子嗎？請(qǐng)指出其中的自變量及自變量的函數(shù)。
設(shè)計(jì)意圖：通過“具體——抽象——具體”的過程，進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)，體會(huì)函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。
（四）練習(xí)運(yùn)用 反饋糾正
1．下圖是某物體的拋射曲線圖，其中s表示物體與拋射點(diǎn)之間的水平距離，h表示物體的高度．
（1）這個(gè)圖象反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？
（2）根據(jù)圖象填表：
（3）當(dāng)距離s取0米至6米之間的一個(gè)確定的值時(shí)，相應(yīng)的高度h確定嗎？
（4）高度h是距離s的函數(shù)嗎？
2．下列式子中，y是x的函數(shù)嗎？為什么？
3．下列曲線中，哪個(gè)表示y是x的函數(shù)？為什么？
設(shè)計(jì)意圖：遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，多角度、多層次地設(shè)置習(xí)題，提高學(xué)生對(duì)概念核心的理解程度。
練習(xí)1通過再現(xiàn)函數(shù)概念的形成過程，進(jìn)一步鞏固變量與函數(shù)的概念，體會(huì)變化與對(duì)應(yīng)的思想。
練習(xí)2、練習(xí)3通過變式練習(xí)，進(jìn)一步明確概念的內(nèi)涵和外延，突出函數(shù)概念的本質(zhì)屬性。
（五）交流悟理 歸納小結(jié)
1．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)：
（1）對(duì)自己說，你有哪些收獲？
（2）對(duì)同學(xué)說，你有哪些溫馨提示？
（3）對(duì)老師說，你有哪些困惑？
設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)反思情境，搭建交流平臺(tái)，體現(xiàn)人文關(guān)懷。
說明：學(xué)生從不同的角度、不同的側(cè)面暢談自己的感受。在反思和交流之中，引發(fā)深層次的思考，促進(jìn)思維品質(zhì)的優(yōu)化。
2．布置作業(yè)：
（1）舉出3個(gè)日常生活中的函數(shù)的例子，并指出其中的自變量及自變量的函數(shù)；
（2）教材99頁(yè)練習(xí)題，107頁(yè)第6題。
五、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)
1．寫出下列各題中的關(guān)系式，并指出其中的常量與變量：
（1）圓的周長(zhǎng)C與半徑r的關(guān)系式；
（2）n邊形的內(nèi)角和S與邊數(shù)n的關(guān)系式；
（3）火車以60千米/時(shí)的速度行駛，它駛過的路程s（千米）和所用時(shí)間t（時(shí)）的關(guān)系式．
2．學(xué)校食堂現(xiàn)庫(kù)存糧食21000千克，平均每天用糧食200千克．
（1）5天后庫(kù)存糧食多少千克？
（2）若食用的天數(shù)為x，庫(kù)存糧食為y(千克)，試用含x的式子表示y；
（3）y是x的函數(shù)嗎？為什么？
設(shè)計(jì)意圖：對(duì)本節(jié)重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)，及時(shí)了解教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成情況。
【反思】從數(shù)學(xué)思想方法的高度進(jìn)行概念教學(xué)
數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)的知識(shí)內(nèi)容和所使用方法的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，它是形成數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)能力的橋梁，是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)方法解決有關(guān)問題的靈魂。日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏在《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》一文中曾寫道：學(xué)生在初中、高中等所接受的數(shù)學(xué)知識(shí)，因畢業(yè)進(jìn)入社會(huì)后幾乎沒有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，所以，通常是出校門后不到一兩年便很快就忘掉了。然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神，數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)等都隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終身。因此，在概念教學(xué)中，我們不僅要在揭示概念的內(nèi)涵上下功夫，而且還應(yīng)該追求解決問題的“根本大法”——基本概念所蘊(yùn)含的思想方法，要從數(shù)學(xué)思想方法的高度進(jìn)行概念教學(xué)。否則，如果僅僅將數(shù)學(xué)概念作為一般知識(shí)，而忽視數(shù)學(xué)概念本身所蘊(yùn)含的思想方法對(duì)提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的作用，那么數(shù)學(xué)教學(xué)的價(jià)值必將黯然失色。
在函數(shù)概念的教學(xué)中，應(yīng)突出“變化”的思想和“對(duì)應(yīng)”的思想。
從概念的起源來看，函數(shù)是隨著數(shù)學(xué)研究事物的運(yùn)動(dòng)、變化而出現(xiàn)的，它刻畫了客觀世界事物間的動(dòng)態(tài)變化和相互依存關(guān)系，這種關(guān)系反映了運(yùn)動(dòng)變化過程中的兩個(gè)變量之間的制約關(guān)系。因此，變化是函數(shù)概念產(chǎn)生的源頭，是制約概念學(xué)習(xí)的關(guān)節(jié)點(diǎn)，同時(shí)也是概念教學(xué)的一個(gè)重要突破口。當(dāng)學(xué)生面對(duì)問題1中s=60t的時(shí)候，雖然對(duì)于每個(gè)給定的t的值，他們都能計(jì)算出與之對(duì)應(yīng)的s的值，但此時(shí)絕大多數(shù)學(xué)生只是將這一行行的式子當(dāng)作孤立的算式，將一個(gè)個(gè)數(shù)值簡(jiǎn)單地填入表中，其目的只是運(yùn)用關(guān)系式算出答案，而并沒有真正體會(huì)到在這個(gè)過程中變量t的變化將引起變量s也隨之變化。所以，教師要通過大量的典型的實(shí)例，盡可能多地取自變量的值，得到相應(yīng)的函數(shù)值，讓學(xué)生反復(fù)觀察、反復(fù)比較、反復(fù)分析每個(gè)具體問題中的量與量之間的變化關(guān)系，把靜止的表達(dá)式（或曲線、表格）看作動(dòng)態(tài)的變化過程，讓他們從原來的常量、代數(shù)式、方程和算式的靜態(tài)的關(guān)系中逐漸過渡到變量、函數(shù)這些表示量與量之間動(dòng)態(tài)的關(guān)系上，進(jìn)而使學(xué)生的認(rèn)識(shí)實(shí)現(xiàn)由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的飛躍。
從概念的本質(zhì)上看，函數(shù)是一種特殊的對(duì)應(yīng)——單值對(duì)應(yīng)。對(duì)于“對(duì)應(yīng)”，學(xué)生并不陌生。譬如，小學(xué)乘法運(yùn)算中2的乘法公式，被乘數(shù)取1、2、3、4、5、6、7、8、9時(shí)，即可得到乘積2、4、6、8、10、12、14、16、18，此時(shí)學(xué)生對(duì)乘積與被乘數(shù)的“對(duì)應(yīng)”關(guān)系已有一些朦朧的認(rèn)識(shí)。到了初中，在學(xué)習(xí)函數(shù)概念之前，教材已滲透了“對(duì)應(yīng)”的思想，如絕對(duì)值是實(shí)數(shù)到非負(fù)實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)（而且是單值對(duì)應(yīng)），有理數(shù)到數(shù)軸上的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)（而且是單值對(duì)應(yīng)），實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)（此時(shí)教材正式使用“對(duì)應(yīng)”術(shù)語(yǔ)）。由于學(xué)生對(duì)“對(duì)應(yīng)”的思想已有一些初步的認(rèn)識(shí)，因此，在函數(shù)概念教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)通過具體實(shí)例的分析讓學(xué)生進(jìn)一步“感受”對(duì)應(yīng)的思想，使其由“感受”向“領(lǐng)悟”靠近。同時(shí)，還應(yīng)當(dāng)通過非概念變式讓學(xué)生明確函數(shù)中“對(duì)應(yīng)”是“單值”對(duì)應(yīng)，即只有“唯一”確定的變量y與變量x對(duì)應(yīng)。
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“變量與函數(shù)”教學(xué)反思
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民航廣州子弟學(xué)校 林俊偉
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在沈陽(yáng)撫順的研討會(huì)上，本人承擔(dān)了《變量與函數(shù)》的教學(xué)任務(wù)．之前，我分別在本校與廣州開發(fā)區(qū)中學(xué)分別上了一堂課．三節(jié)課，是一個(gè)實(shí)踐、反思、改進(jìn)、再實(shí)踐的過程．經(jīng)過課題組的點(diǎn)評(píng)與討論，本人對(duì)概念課的教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)踐有了更深入的了解．
本設(shè)計(jì)呈現(xiàn)的課堂結(jié)構(gòu)為：（１）揭示學(xué)習(xí)目標(biāo)；（２）引入數(shù)學(xué)原型；（３）抽象出數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，逐步達(dá)致數(shù)學(xué)形式化的概念；（４）鞏固概念練習(xí)（概念辨析）；（５）小結(jié)（質(zhì)疑）．
１、如何揭示學(xué)習(xí)目標(biāo)
概念課的引入要考慮學(xué)生關(guān)心的如下問題：這節(jié)課學(xué)什么概念？為什么要學(xué)這樣的概念？
數(shù)學(xué)源于生活而高于生活，數(shù)學(xué)概念的引入可從生活的需要、數(shù)學(xué)的需要等方面引入．初中涉及的函數(shù)概念的核心是“量與量之間的特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系”．本課中，本人在導(dǎo)言中提出兩個(gè)問題：“引例1，《名偵探柯南》中有這樣一個(gè)情景：柯南根據(jù)案發(fā)現(xiàn)場(chǎng)的腳印，鎖定疑犯的身高．你知道其中的道理嗎？”、“引例2.我們班中同學(xué)A與職業(yè)相撲運(yùn)動(dòng)員，誰(shuí)的飯量大？你能說明理由嗎？”學(xué)生對(duì)上述問題既熟悉又感到意外．問題1涉及兩個(gè)量的關(guān)系，腳印確定，對(duì)應(yīng)的身高有多個(gè)取值；問題2涉及多個(gè)量的關(guān)系．上述問題，不僅僅是引起學(xué)生的注意，更重要的是讓學(xué)生了解客觀世界中量與量之間聯(lián)系的多樣性、復(fù)雜性，而函數(shù)研究的正是量與量之間的各種關(guān)系中的“特殊關(guān)系”．?dāng)?shù)學(xué)研究有時(shí)從最簡(jiǎn)單、特殊的情況入手，化繁為簡(jiǎn)．讓學(xué)生明確，這一節(jié)課我們只研究?jī)蓚€(gè)量之間的特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系．“特殊在什么地方？”學(xué)生需帶著這樣的問題開始這一課的學(xué)習(xí)．
函數(shù)概念的引入應(yīng)具有“整體觀”，不僅要提供符合函數(shù)原型的單值對(duì)應(yīng)的實(shí)例，還應(yīng)提供其他的量與量之間關(guān)系的實(shí)例（如多個(gè)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系、兩個(gè)量間的“一對(duì)多”關(guān)系等），使學(xué)生在更廣泛的背景中經(jīng)歷篩選、提煉出新的數(shù)學(xué)知識(shí)的過程，逐步領(lǐng)悟“化繁為簡(jiǎn)”的數(shù)學(xué)研究方法．當(dāng)然，這里的問題是作為研究“背景”呈現(xiàn)，教學(xué)時(shí)應(yīng)作“虛化”處理，以突出主要內(nèi)容．
２、如何選取合適的數(shù)學(xué)原型
從數(shù)學(xué)的“學(xué)術(shù)形態(tài)”看，數(shù)學(xué)原型所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)素材應(yīng)與數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵相一致；從數(shù)學(xué)的“教育形態(tài)”看，數(shù)學(xué)原型應(yīng)真實(shí)、簡(jiǎn)潔、簡(jiǎn)單．真實(shí)指的是基于學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，它可以是生活中的實(shí)例，也可以是學(xué)生熟悉的動(dòng)漫故事、童話故事等．簡(jiǎn)潔、簡(jiǎn)單指的是問題的表述應(yīng)簡(jiǎn)潔，問題情境的設(shè)置要盡可能簡(jiǎn)單，全體學(xué)生對(duì)情境中的問題不應(yīng)存在太大的理解困難,設(shè)計(jì)的問題情境要能突出將要學(xué)習(xí)的新知識(shí)的本質(zhì)．
本設(shè)計(jì)采用了三個(gè)數(shù)學(xué)原型的問題：?jiǎn)栴}1，“票房收入與售出票數(shù)問題”（可用解析式表示）；問題２，成績(jī)登記表中的一次數(shù)學(xué)測(cè)試的“成績(jī)與學(xué)號(hào)問題”（表格表示）；問題3，“氣溫變化與時(shí)間問題”（圖象表示）．這三個(gè)問題從不同層面、不同角度體現(xiàn)函數(shù)的“單值對(duì)應(yīng)關(guān)系”，也都是學(xué)生生活中的真實(shí)問題，問題簡(jiǎn)單易懂，學(xué)生容易基于上述生活實(shí)例抽象出新的數(shù)學(xué)概念．
由于不少學(xué)生在理解“彈簧問題”時(shí)面臨列函數(shù)關(guān)系式的困難，可能沖淡對(duì)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，故本節(jié)課沒有采用該引例。
對(duì)于繁難的概念，我們更應(yīng)注重為學(xué)生構(gòu)建學(xué)生所熟悉的、簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，化繁為簡(jiǎn)、化抽象為形象．過難、過繁的背景會(huì)成為學(xué)生學(xué)習(xí)抽象新概念的攔路虎．
３、如何引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化、形式化的過程
“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)”，面對(duì)抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，老師會(huì)想方設(shè)法創(chuàng)設(shè)易于學(xué)生理解的數(shù)學(xué)情境．但如何從具體的實(shí)例中提煉出數(shù)學(xué)的素材、形式化為數(shù)學(xué)知識(shí)是教學(xué)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)．從具體情境到數(shù)學(xué)知識(shí)的形式化，需要教師為學(xué)生搭建合適的“腳手架”，提出能引發(fā)學(xué)生思考、過渡到數(shù)學(xué)形式化的問題．本人在學(xué)生完成問題情境的幾個(gè)問題后，提出系列問題“上述幾個(gè)問題中，分別涉及哪些量的關(guān)系？哪些量的變化會(huì)引會(huì)另一個(gè)量的變化？通過哪一個(gè)量可以確定另一個(gè)量？”
在與學(xué)生的交流過程中把重點(diǎn)內(nèi)容板書，板書注重揭示兩個(gè)量間的關(guān)系，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)為什么要引進(jìn)變量、常量．由問題1~3的共性“單值對(duì)應(yīng)關(guān)系”與“腳印與身高”問題中反映的“一對(duì)多關(guān)系”進(jìn)行對(duì)比抽象出函數(shù)的概念，逐步了解如何給數(shù)學(xué)概念下定義，并理解概念的本質(zhì)特征．
４、如何引用反例
學(xué)生對(duì)概念的理解需要經(jīng)歷一個(gè)從模糊到清晰的過程，通過正例與反例的對(duì)照，才能準(zhǔn)確理解概念的內(nèi)涵．反例引用的時(shí)機(jī)、反例的量要恰到好處．過早、過多的反例會(huì)干擾學(xué)生對(duì)概念的準(zhǔn)確理解．
概念生成的前期提供的各種量的關(guān)系中的實(shí)例提供的是一個(gè)更為廣泛的背景，讓學(xué)生經(jīng)歷從各種關(guān)系中抽象出“特殊的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系”，從而體會(huì)產(chǎn)生函數(shù)概念的背景．這樣的引入有利于避免概念教學(xué)中“一個(gè)定義，三點(diǎn)注意”的傾向．
在本校上課時(shí)，從“氣溫問題”中的函數(shù)圖象引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)時(shí)間t取定一個(gè)值時(shí)，所得T的對(duì)應(yīng)值只有一個(gè),學(xué)生習(xí)慣性地提出問題“溫度T取定一個(gè)值時(shí)，時(shí)間t 是否唯一確定？”全體同學(xué)從正反兩個(gè)方面認(rèn)識(shí)“唯一確定”的含義，在這樣的基礎(chǔ)上再歸納出函數(shù)的定義，學(xué)生較好地掌握函數(shù)中的單值對(duì)應(yīng)關(guān)系．
在廣州開發(fā)區(qū)中學(xué)上課時(shí)，在概念的形成前期，忙中出漏，沒有抓住“氣溫問題”中的函數(shù)圖象講解“唯一確定”，特別是沒有從反面（溫度T=8，時(shí)間t=12~14）幫助學(xué)生理解“唯一性”，也沒有強(qiáng)化“腳印與身高”反映的“一對(duì)多關(guān)系”，只在涉及“單值對(duì)應(yīng)關(guān)系”的實(shí)例基礎(chǔ)上引出概念，也跳過后面提到的三個(gè)反例，學(xué)生在后面的概念辨析練習(xí)中錯(cuò)漏較多，為糾正學(xué)生的理解花了九牛二虎之力．
在撫順上課時(shí)，在完成例1、例２的教學(xué)后，還用到如下反例：?jiǎn)栴}２變式“在這次數(shù)學(xué)測(cè)試中，成績(jī)是學(xué)號(hào)的函數(shù)嗎？”、問題３變式“北京春季某一天的時(shí)間t是氣溫Ｔ的函數(shù)嗎？”、練習(xí)2（３）變式“汽車以60千米/秒的速度勻速行駛，t是s的函數(shù)嗎？”，學(xué)生借助這三個(gè)逆向變式，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)理解“兩個(gè)量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系”是否為“單值對(duì)應(yīng)關(guān)系”，有利于學(xué)生明確“由哪一個(gè)量能唯一確定另一個(gè)量”，從而更好地理解自變量與函數(shù)的關(guān)系，更重要的是讓學(xué)生養(yǎng)成逆向思維的習(xí)慣．
| 數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)邏輯是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ) |
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| 作者：佚名推薦鄭大明 文章來源：百度網(wǎng) 點(diǎn)擊數(shù)：
45 更新時(shí)間：2010-10-30 |
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《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）中指出：“教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。”數(shù)學(xué)知識(shí)本身是非常重要的，但它并不是唯一的決定因素，真正對(duì)學(xué)生以后的學(xué)習(xí)、生活和工作長(zhǎng)期起作用，并使其終身受益的是數(shù)學(xué)思想方法。未來社會(huì)將需要大量具有較強(qiáng)數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)素質(zhì)的人才。因此，向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，是未來社會(huì)的要求和國(guó)際數(shù)學(xué)發(fā)展的必然結(jié)果。我們教師要更新觀念，努力挖掘教材中可以進(jìn)行數(shù)學(xué)思想滲透的各種因素，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的滲透。同時(shí)數(shù)學(xué)思想的滲透也不是一朝一夕就能看到學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高，而需要一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，需要我們教師堅(jiān)持不懈的努力。
所謂數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)；基本數(shù)學(xué)思想則是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且是歷史地發(fā)展著的。通過數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)的能力能才會(huì)有一個(gè)大幅度的提高。掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓。
?。保瘹w的思想
所謂化歸的思想是指將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，化歸為在已知知識(shí)范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問題的思想方法?；瘹w思想就是化未知為已知,化繁為簡(jiǎn),化難為易，除極簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題外，每個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知的問題實(shí)現(xiàn)的。從這個(gè)意義上講，解決數(shù)學(xué)問題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過程。化歸的思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想，解題的過程實(shí)際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過程。數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡(jiǎn)單問題轉(zhuǎn)化，新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化等，故化歸的思想是將未知的，陌生的，復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為已知的，熟悉的，簡(jiǎn)單的問題。化歸思想是數(shù)學(xué)中最普遍使用的一種思想方法，它的核心是以可變的觀點(diǎn)對(duì)待所要解決的問題進(jìn)行變形。就是在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，不是對(duì)問題進(jìn)行直接進(jìn)攻，而是采取迂回的戰(zhàn)術(shù)，通過把要解決的問題，化歸為某一個(gè)已經(jīng)解決的問題，從而求出原問題的解決。其基本思想是：將待解決的問題甲，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題乙，然后通過乙問題的解答返回去求得原問題甲的解答。它的基本形式有：“化難為易、化生為熟、化繁為簡(jiǎn)、化整為零、化曲為直等。
?。玻惐鹊乃枷?br> 所謂類比的思想是指由已知兩類事物具有某些相似性質(zhì)，從而推斷它們?cè)谄渌再|(zhì)上也可能相似的推理形式。類比是一種在不同對(duì)象之間，或者在事物與事物之間，根據(jù)它們某些相似之處進(jìn)行比較，通過聯(lián)想與推測(cè)，推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗨?，從而去建立猜想與發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法，通過類比可以發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)的相同點(diǎn)，利用已有的知識(shí)來認(rèn)識(shí)新知識(shí)。類比可以發(fā)現(xiàn)知識(shí)的共性，找到知識(shí)的本質(zhì)；沒有類比，就無法歸類，無法遷移，但也必須注意，類比得出來的不一定都對(duì)，還必須予以驗(yàn)證。
一般來說，通過類比可以推而廣之，減少重復(fù)計(jì)算量以及記憶量。當(dāng)兩個(gè)或多個(gè)事物需要?dú)w類、對(duì)比、遷移的時(shí)候均可考慮運(yùn)用類比的思想。
?。常x值的思想
所謂賦值的思想是指將數(shù)量關(guān)系中位置的量賦予一個(gè)字母或一個(gè)或幾個(gè)具體的數(shù)值，從而使得所賦的字母或數(shù)值能和已經(jīng)量一起建立聯(lián)系或參與運(yùn)算的數(shù)學(xué)思想方法。賦值的思想一般多在符號(hào)化的過程中運(yùn)用較多，或當(dāng)一種情況需要有特殊到一般的時(shí)候以及理解一些定理公式的時(shí)候可以賦予一些較小的具體值通過不完全歸納從而建立理解。
一般來說，賦值的思想的邏輯基礎(chǔ)是“我不知道你是誰(shuí)，所以就設(shè)你為a”，為了表述方便以及展示數(shù)量關(guān)系，均可考慮運(yùn)用賦值的思想。
?。矗砘乃枷?br> 所謂公理化的思想是指運(yùn)用一些公式、定理、性質(zhì)、概念、規(guī)律等去經(jīng)歷理解題意或解答數(shù)量關(guān)系直至求解問題的過程的思想方法。
一般來說，有些題目的解答需要相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)與基本公式概念的時(shí)候，可以考慮運(yùn)用公理化的思想去求解。
?。担w化的思想
所謂整體化的思想就是把握題目中條件和結(jié)論的關(guān)系，從全局出發(fā)，從整體特征思考并求解問題，從而促使問題解決的思想方法。整體化的思想主要有：1、從整體上看；2、化整為零；3、積零為整（整體代入，整體抵消）等。對(duì)數(shù)學(xué)問題的觀察和分析從宏觀和大處著手，整體把握讓學(xué)生全面地、從全局上考慮問題的習(xí)慣，不只是看到數(shù)學(xué)問題的每個(gè)局部，而且能看到整體和局部的關(guān)系，整體化的意識(shí)有助于學(xué)生處理問題時(shí)，形成全局觀念，多方面研究問題，避免片面性。 整體化的思想從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的的、有意識(shí)的整體處理。整體代入、整體運(yùn)算、整體賦值、整體處理、幾何中的補(bǔ)形等都是整體思想方法在數(shù)學(xué)問題中的具體運(yùn)用。
一般來說，當(dāng)出現(xiàn)一些題目局部之間不存在數(shù)量關(guān)系時(shí)可以考慮從整體上進(jìn)行把握、類比與聯(lián)系，或者出現(xiàn)“積”、“和”“整體符號(hào)時(shí)（如￣￣）”可以考慮化整為零，或者出現(xiàn)需要把一個(gè)比較緊密的部分看作一個(gè)整體時(shí)，均可以考慮運(yùn)用整體化的思想方法。
?。叮匠痰乃枷?nbsp;
所謂方程的思想是指在求解數(shù)學(xué)問題時(shí)，從題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系中找到相等關(guān)系，用數(shù)學(xué)符號(hào)化的語(yǔ)言將相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程（組）或不定方程，然后解方程（組）或不定方程從而使問題獲解。方程思想就是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，適當(dāng)設(shè)定未知數(shù)，把所研究的問題中已知量和未知量這間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程，從而使問題得到解決。當(dāng)一個(gè)問題可能與某個(gè)方程建立關(guān)聯(lián)時(shí)，可以構(gòu)造方程并對(duì)方程的性質(zhì)進(jìn)行研究以解決這個(gè)問題。把未知數(shù)當(dāng)已知數(shù)，讓所設(shè)未知數(shù)的字母和已知數(shù)一樣參加運(yùn)算，這種思想方法是數(shù)學(xué)中常用的重要方法之一，是代數(shù)解法的重要標(biāo)志，與算數(shù)方法相比，更體現(xiàn)順向思維與邏輯推理的特質(zhì)。
一般來說，當(dāng)理解題意的過程中有明顯的符號(hào)化的等量關(guān)系的時(shí)候均可以考慮將某個(gè)未知量予以賦值或代換賦值從來與已知量之間建立一種等式后用方程的思想方法求解。
?。罚诸愑懻摰乃枷?
所謂分類討論的思想是指當(dāng)一個(gè)問題因?yàn)槟撤N量的情況不同而有可能引起問題的結(jié)果不同時(shí)，需要對(duì)這個(gè)量的各種情況進(jìn)行分別分析的思想方法。在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，分類討論是一種邏輯方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略。引起分類討論的因素較多，歸納起來主要有以下幾個(gè)方面：（1）由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理、公式的限制條件引起的討論；（2）由數(shù)學(xué)變形所需要的限制條件所引起的分類討論；（3）由于圖形的不確定性引起的討論；（4）由于題目含有字母而引起的討論。 一般來說，“我不知道你是誰(shuí)，但我知道你的范圍”，可以考慮適用分類討論的思想一一予以討論求解，或者一道題比較復(fù)雜的時(shí)候需要分成幾個(gè)方面或幾個(gè)步驟分別分析，均可以考慮運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想。
?。福?dāng)?shù)形結(jié)合的思想
所謂數(shù)形結(jié)合的思想是指在研究問題的過程中，由數(shù)思形，由形思數(shù)，把數(shù)與形結(jié)合起來分析問題的思想方法。一般常用畫線段圖、示意圖以及實(shí)物演示等方式體現(xiàn)題中的數(shù)量關(guān)系，從而使我們更加形象、更加直觀地理解題意或問題以及數(shù)量之間的聯(lián)系。它的運(yùn)用，往往展現(xiàn)出“柳暗花明又一村”般的數(shù)形和諧完美結(jié)合的境地。華羅庚先生曾作過精辟的論述：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難人微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系切莫離。”
由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，往往比較明顯，而由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化卻需要轉(zhuǎn)化的意識(shí)。因此，數(shù)形結(jié)合的思想的使用往往偏重于由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化。
一般來說，在理解題意的過程中，如果能夠?qū)?shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成線段、示意圖或?qū)嵨镅菔镜臅r(shí)候，均可以考慮適用數(shù)形結(jié)合的思想方法。
?。梗瘮?shù)的思想
所謂函數(shù)的思想是指以函數(shù)概念為依托（并不是涉及函數(shù)），通過抓住數(shù)量關(guān)系中不變的量從而即刻聯(lián)系出另外變化的量之間具體問題中變量與變量之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)思想方法。函數(shù)的思想是對(duì)運(yùn)動(dòng)變化的動(dòng)態(tài)事物的描述，體現(xiàn)了變量數(shù)學(xué)在研究客觀事物中的重要作用。
一般來說，在計(jì)算三角形的面積時(shí)，根據(jù)高相同（不變量），馬上可以運(yùn)用函數(shù)的思想推出面積與底邊（變化的量）成正比；在計(jì)算行程問題時(shí)，根據(jù)時(shí)間相同（不變量），馬上可以推出路程與速度（變化的量）成正比等，而這種需要構(gòu)造一種數(shù)量之間的變化聯(lián)系的情形下時(shí)，均可以考慮運(yùn)用狹義的函數(shù)的思想方法。
１０．轉(zhuǎn)化的思想
所謂轉(zhuǎn)化的思想是指我們?cè)诮忸}中的困難，一般來說，都是或由于這個(gè)問題比較復(fù)雜，或由于這個(gè)問題不太熟悉。當(dāng)你遇到較復(fù)雜或者你從未見過的一些題目時(shí)，一定別害怕，仔細(xì)分析，往往能把問題轉(zhuǎn)化成另一種你所熟知的問題，變換其敘述的方式，或改變思考的角度，或把它轉(zhuǎn)化成另一種你所熟悉的問題，從而使問題獲得解決。小學(xué)教學(xué)中應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的形式有：化整為零、化曲為直、化生為熟、化靜為動(dòng)、由此及彼等。
一般來說，轉(zhuǎn)化有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)，除法轉(zhuǎn)化成乘法，直接求轉(zhuǎn)化成間接求，不同轉(zhuǎn)化成相同，生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)論問題等。一般當(dāng)思維出現(xiàn)卡殼無法用普通思路進(jìn)行分析的時(shí)候都可以考慮運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想方法打開思維。
對(duì)應(yīng)的思想：
所謂對(duì)應(yīng)的思想是指在點(diǎn)與點(diǎn)之間、點(diǎn)線與面體之間、數(shù)量關(guān)系之間（包括量倍、量率）建立一種直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)思想。小學(xué)數(shù)學(xué)一般是一一對(duì)應(yīng)的直觀圖表，并以此孕伏函數(shù)思想。如直線上的點(diǎn)（數(shù)軸）與表示具體的數(shù)是一一對(duì)應(yīng)。一般用的比較多的時(shí)候是用乘法與除法體現(xiàn)單量與數(shù)量以及總量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系以及周期性的對(duì)應(yīng)。
一般來說，當(dāng)兩個(gè)數(shù)量之間存在一種總量與單量、總量與數(shù)量以及數(shù)量與單量之間的聯(lián)系時(shí)，或出現(xiàn)周期性變化規(guī)律的時(shí)候均可考慮用對(duì)應(yīng)的思想方法求解。
１１．符號(hào)化的思想
所謂符號(hào)化的思想是指貼著題意用符號(hào)化的語(yǔ)言(包括字母、數(shù)字、圖形和加減乘除等號(hào)括號(hào)等各種特定的符號(hào))來描述數(shù)量關(guān)系的思想方法。如數(shù)學(xué)中各種數(shù)量關(guān)系，量的變化及量與量之間進(jìn)行推導(dǎo)和演算，都是用小小的字母表示數(shù)，以符號(hào)的濃縮形式表達(dá)大量的信息。如定律、公式等。數(shù)學(xué)符號(hào)大致分為：數(shù)學(xué)符號(hào)、運(yùn)算符號(hào)、關(guān)系符號(hào)和計(jì)量符號(hào)等四大類。在教學(xué)要重視培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)化的思想，讓學(xué)生從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號(hào)來表示；理解符號(hào)所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；會(huì)進(jìn)行符號(hào)間的轉(zhuǎn)換。
一般來說，在理解題意的時(shí)候，應(yīng)貼著題意走將數(shù)學(xué)語(yǔ)言盡量轉(zhuǎn)化成符號(hào)語(yǔ)言，從而使得數(shù)量關(guān)系更加簡(jiǎn)潔明了，為對(duì)題目進(jìn)行邏輯分析打下基礎(chǔ)，具體來說如果在題目中能夠用一些運(yùn)算符號(hào)（如加減乘除號(hào)、等號(hào)、方框、問號(hào)等）表示數(shù)量關(guān)系，可以考慮用符號(hào)化的思想。
?。保玻畼O限的思想：
所謂極限的思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中一般是指用最大（多）或最?。ㄉ伲┑乃季S方式去分析題目之間的數(shù)量關(guān)系的一種思想方法。小學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，要滲透從有限中認(rèn)識(shí)無限，以精確中認(rèn)識(shí)近似，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的極限思想。
一般來說，當(dāng)題目中需要構(gòu)造一種符合條件的范圍時(shí)，以及需要討論一種可能時(shí)，把最好（最多、最大）的與最不利（最少、最?。┑那樾慰紤]到的時(shí)候，可以考慮運(yùn)用極限的思想方法。
１３．代換的思想：
所謂代換的思想是指將一個(gè)數(shù)量用另一個(gè)數(shù)量代入置換，從而將幾個(gè)不同的數(shù)量統(tǒng)一置換成一個(gè)數(shù)量使得問題逐一得到解決的數(shù)學(xué)思想方法。代換的邏輯基礎(chǔ)是如果不代換就會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)以上的未知量的情況，不利于問題的解決。
一般來說，當(dāng)兩個(gè)以上的數(shù)量存在數(shù)量關(guān)系時(shí)，均可以考慮用代換的思想方法求解。
?。保矗鸩秸{(diào)整的思想
所謂逐步調(diào)整的思想是指從小到大、從少到多或反之逐一進(jìn)行推算或調(diào)整，一步一步接近問題或限定條件的一種十分常見的數(shù)學(xué)思想方法。
一般來說，當(dāng)一個(gè)問題的解決不能一步到位，或所求的問題需要逐步逼近地時(shí)候，均可以考慮運(yùn)用逐步調(diào)整的思想方法。
?。保担畼?gòu)造的思想
所謂構(gòu)造的思想，就是根據(jù)題目的已有條件，在思維中構(gòu)造一種新的數(shù)學(xué)形式，如構(gòu)造一種等量關(guān)系式，構(gòu)造一種聯(lián)系，構(gòu)造一種理想狀態(tài)，構(gòu)造一種符合條件的情形，構(gòu)造一個(gè)條件或式子，構(gòu)造一種圖形或線段或抽屜等。
一般來說，當(dāng)題目中缺少一種聯(lián)系或題目要求我們?nèi)ソ⒁环N可能的時(shí)候，均可以考慮運(yùn)用構(gòu)造的數(shù)學(xué)思想方法。
?。保叮杜e的思想
所謂枚舉的思想是指根據(jù)題意將所有的可能情形通過樹形圖或列表以及標(biāo)數(shù)法等一一列舉出來。枚舉也叫列舉，它可以將一些具體的數(shù)量清晰地、直觀地展示出來，從而為歸納或類比打下基礎(chǔ)。
一般來說，問題在要求有“多少”或“幾個(gè)”等字眼的時(shí)候，以及有時(shí)題目需要貼著題意走將題目中的具體數(shù)量列舉出來的時(shí)候均可以考慮運(yùn)用枚舉的思想方法。
?。保罚畾w納的思想
所謂歸納的思想是指當(dāng)題目用“枚舉”的思想方法不能窮盡所有的可能時(shí)或存在周期性變化規(guī)律的時(shí)候需要我們把重點(diǎn)放在尋找規(guī)律以及周期性變化特征上的這種由特殊到一般的思想方法。由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納),簡(jiǎn)言之,歸納推理是由部分到整體,由個(gè)別到一般的推理，由一般到特殊，是人們認(rèn)識(shí)世界的基本方法之一。數(shù)學(xué)研究也不例外，由特殊到一般的研究數(shù)學(xué)問題的基本認(rèn)識(shí)過程，就是數(shù)學(xué)研究中的特殊與一般的思想，在小學(xué)數(shù)學(xué)中筆者簡(jiǎn)稱歸納的思想。
一般來說，歸納的思想運(yùn)用的邏輯基礎(chǔ)一般是有省略號(hào)“┅”或計(jì)算量比較大的地方可以考慮運(yùn)用歸納的思想。
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