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擴(kuò)展性閱讀 本期專題欄目主持人：莊惠芬 數(shù)學(xué)建模與兒童發(fā)展 【主持人語(yǔ)】 數(shù)學(xué)建模：數(shù)學(xué)教育和兒童立場(chǎng)的美麗遭遇 成尚榮先生在《兒童立場(chǎng)：教育從這兒出發(fā)一文》中鮮明地指出：兒童的發(fā)展是現(xiàn)代教育核心價(jià)值的定位，兒童立場(chǎng)應(yīng)是現(xiàn)代教育的立場(chǎng)。江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究室王林老師在總結(jié)江蘇小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)流派的思想內(nèi)核時(shí)也指出：兒童是數(shù)學(xué)教育的出發(fā)點(diǎn)與歸宿。從兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和發(fā)展出發(fā)，我們的數(shù)學(xué)教育首先應(yīng)該是為了兒童、基于兒童并最終指向兒童的。 由此出發(fā)，很多數(shù)學(xué)教育工作者對(duì)著自己發(fā)問(wèn)：我們的學(xué)生到底需要怎樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)？他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程到底應(yīng)該是怎樣的？通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，能夠給他們?cè)谀男┓矫娴玫絼e樣的發(fā)展？回答或許會(huì)是模糊的，因?yàn)閷?duì)于兒童我們還了解得不夠，但是指向肯定是清晰的，因?yàn)槲覀儗?duì)于數(shù)學(xué)教育的思考和實(shí)踐已經(jīng)逐步回歸到對(duì)于兒童立場(chǎng)的關(guān)注之上。 為兒童的終生發(fā)展奠基，基于這樣的目標(biāo)，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)施路徑也許會(huì)有很多條，每一條也許都會(huì)有其側(cè)重和關(guān)注的地方。而數(shù)學(xué)建模教學(xué)也許就是其中寬敞的一條。對(duì)于數(shù)學(xué)建模，很多老師聽說(shuō)過(guò)，但是對(duì)于其對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和兒童發(fā)展的意義還不是很清楚，也有很多老師會(huì)自然地提出疑問(wèn)：小學(xué)數(shù)學(xué)能夠?qū)嵤?shù)學(xué)建模教學(xué)嗎？如果能，實(shí)施的方式和中學(xué)乃至大學(xué)的差別究竟在哪里？當(dāng)我們理解了數(shù)學(xué)建模的內(nèi)在意義和具體過(guò)程以及對(duì)兒童發(fā)展的價(jià)值之后，就會(huì)對(duì)這樣的疑問(wèn)報(bào)以肯定的回答。這一點(diǎn)從我們?cè)?font face="Times New Roman">2010年4月進(jìn)行過(guò)“數(shù)學(xué)建模與兒童發(fā)展”專題研討活動(dòng)之后，老師們積極的態(tài)度中可以看出。而在研討活動(dòng)之后，我們約請(qǐng)了相關(guān)的專家、名師和青年教師撰文形成了本期專題，對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的可行性進(jìn)行了初步的分析，對(duì)小學(xué)階段實(shí)施建模教學(xué)進(jìn)行了較為明晰的定位，也提出了相應(yīng)的實(shí)踐形式和方法。對(duì)于這樣的話題，呈現(xiàn)的僅僅是個(gè)開始，更多地還需要老師們的積極研究和實(shí)踐探索。 小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的探索 王尚志1 胡鳳娟1 張丹2
由于像姜伯駒、李大潛院士等一批數(shù)學(xué)家自始至終的支持，還有像肖樹鐵、嚴(yán)士健、葉其孝、姜啟源、劉來(lái)福、楊守廉、李尚志、樂(lè)經(jīng)良等一大批數(shù)學(xué)家直接參與了“數(shù)學(xué)建模”實(shí)踐和推廣，“數(shù)學(xué)建模”的教學(xué)和實(shí)踐活動(dòng)在中國(guó)開展得非常順利，經(jīng)歷近30年的探索，在研究生、大學(xué)、中學(xué)（特別是高中）階段，“數(shù)學(xué)建模”在課程、教學(xué)、學(xué)習(xí)和實(shí)踐活動(dòng)等方面已經(jīng)積累了一些很好的教材、經(jīng)驗(yàn)和資源。非?？上驳氖?，現(xiàn)在有一批初中數(shù)學(xué)教師正在致力于探索如何將“數(shù)學(xué)建模”滲透到教學(xué)活動(dòng)中，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。2009年，在國(guó)家骨干教師培訓(xùn)過(guò)程中，莊惠芬老師告訴我們，她和她的團(tuán)隊(duì)正在致力于小學(xué)數(shù)學(xué)建模的研究，我們很高興，這是件非常好的事情，也是很值得探索的方向。 在小學(xué)，開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)是一個(gè)新的事物，為了使大家更好地這方面的探索，首先，本文提供數(shù)學(xué)建模的一些背景材料；其次，初步認(rèn)識(shí)“什么是數(shù)學(xué)建模”；最后，在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)探索過(guò)程中，需要探索和研究的一些問(wèn)題。 一、 數(shù)學(xué)建模提出的背景 首先，我們要了解3個(gè)主要背景：綜合實(shí)踐活動(dòng)、科學(xué)教育的“做中學(xué)”和數(shù)學(xué)建模的發(fā)展歷程。這樣有助于認(rèn)清研究在小學(xué)階段開展數(shù)學(xué)建模的價(jià)值和意義，同時(shí)有助于認(rèn)清在小學(xué)階段開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)為我們帶來(lái)的問(wèn)題和挑戰(zhàn)。 1． 綜合實(shí)踐活動(dòng)。 綜合實(shí)踐活動(dòng)是現(xiàn)代教育中的個(gè)性內(nèi)容、體驗(yàn)內(nèi)容和反思內(nèi)容，與傳統(tǒng)教育片面追求教育個(gè)體的發(fā)展、共性和知識(shí)有所不同，綜合實(shí)踐活動(dòng)提供了一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的學(xué)習(xí)生態(tài)化空間，學(xué)生是這個(gè)空間的主導(dǎo)者，學(xué)生具有整個(gè)活動(dòng)絕對(duì)的支配權(quán)和主導(dǎo)權(quán)，能夠以自我和團(tuán)隊(duì)為中心，推動(dòng)活動(dòng)的進(jìn)行。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生更謀求獨(dú)立完成整個(gè)活動(dòng)，而不是聆聽教誨和聽取指導(dǎo)。教師在綜合實(shí)踐活動(dòng)這個(gè)生態(tài)化空間里，只是一個(gè)絕對(duì)的引導(dǎo)者、指導(dǎo)者和旁觀者。 《基礎(chǔ)教育課程改革綱要(試行)》在規(guī)定新課程的結(jié)構(gòu)時(shí), 進(jìn)行了如下闡述：從小學(xué)至高中設(shè)置綜合實(shí)踐活動(dòng)并作為必修課程，其內(nèi)容主要包括：信息技術(shù)教育、研究性學(xué)習(xí)、社區(qū)服務(wù)與社會(huì)實(shí)踐以及勞動(dòng)與技術(shù)教育。強(qiáng)調(diào)學(xué)生通過(guò)實(shí)踐，增強(qiáng)探究和創(chuàng)新意識(shí)，學(xué)習(xí)科學(xué)研究的方法，發(fā)展綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。增進(jìn)學(xué)校與社會(huì)的密切聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感。在課程的實(shí)施過(guò)程中，加強(qiáng)信息技術(shù)教育，培養(yǎng)學(xué)生利用信息技術(shù)的意識(shí)和能力。了解必要的通用技術(shù)和職業(yè)分工, 形成初步技術(shù)能力。 2． 科學(xué)教育的“做中學(xué)”。 世紀(jì)之交，國(guó)際上一些有遠(yuǎn)見(jiàn)的科學(xué)家本著對(duì)未來(lái)的責(zé)任感，根據(jù)他們自身的科學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，和教育界一起共同倡導(dǎo)了一項(xiàng)名為“Hands-on Inquiry Based Learning”的科學(xué)改革計(jì)劃，旨在提高幼兒園和小學(xué)的科學(xué)教育水平，培育科學(xué)的思維方式和生活方式。 2001年，教育部和科學(xué)技術(shù)協(xié)會(huì)共同倡導(dǎo)和推動(dòng)了這項(xiàng)有重大意義的科學(xué)教育改革在中國(guó)開展，取名“做中學(xué)” “Learning by Doing”，即在幼兒園和小學(xué)中進(jìn)行的基于動(dòng)手做的探究式學(xué)習(xí)和教育（Hands On Inquiry Based Learning and Teaching ），此舉對(duì)促進(jìn)我國(guó)幼兒園、小學(xué)科學(xué)教育發(fā)展，實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育的目標(biāo)有著重要的推動(dòng)作用。 “做中學(xué)”科學(xué)教育中讓兒童親自參與對(duì)物體和自然現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)（自然科學(xué)），讓他們通過(guò)觀察與實(shí)驗(yàn)接觸現(xiàn)實(shí)，以獲得重要的科學(xué)概念和科學(xué)概念之間的聯(lián)系：學(xué)會(huì)探究的技能;促進(jìn)語(yǔ)言和表達(dá)能力的發(fā)展;保護(hù)孩子的好奇心和激發(fā)學(xué)習(xí)科學(xué)的主動(dòng)性；激發(fā)想象力，擴(kuò)展思維；改善合作和交往能力。 3． 數(shù)學(xué)建模的發(fā)展歷程。 數(shù)學(xué)建模課程在大學(xué)開設(shè)的歷史并不長(zhǎng)，20世紀(jì)70年代末80年代初，英國(guó)劍橋大學(xué)專門為研究 生開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程，并創(chuàng)設(shè)了牛津大學(xué)與工業(yè) 界研究合作的活動(dòng)。與此同時(shí)，歐洲、美國(guó)等一些西方發(fā)達(dá)國(guó)家也開始把數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容正式列入研究生的課程中。近三十年來(lái)，數(shù)學(xué)建模教學(xué)在一些西方國(guó)家，諸如美國(guó)、英國(guó)、荷蘭、丹麥、澳大利亞等國(guó)的數(shù)學(xué)教育界迅速普及，并在國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME）中占有重要地位。1988年召開的第六界國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)就把“問(wèn)題解決、建模和應(yīng)用”列入大會(huì)七個(gè)主要研究的課題之一。認(rèn)為“問(wèn)題解決、建模和應(yīng)用必須成為從中學(xué)到高中到大學(xué)——所有學(xué)生的數(shù)學(xué)課程的一部分。” 20世紀(jì)80年代初，清華大學(xué)首先在應(yīng)用數(shù)學(xué)系開設(shè)了數(shù)學(xué)模型課程，以后數(shù)學(xué)建模課程逐漸在普通院校理工科專業(yè)中得到普及。經(jīng)過(guò)20多年的發(fā)展現(xiàn)在，絕大多數(shù)本科院校和許多?？茖W(xué)校都開設(shè)了各種形式的數(shù)學(xué)建模課程和講座，為培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力開辟了一條有效的途徑。數(shù)學(xué)建模在大部分高校已經(jīng)成為數(shù)學(xué)專業(yè)的必修課，其他工科、金融、社會(huì)學(xué)科的選修課程。 我國(guó)中學(xué)的數(shù)學(xué)建模一開始是以數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽的形式出現(xiàn)，而后在教育較為發(fā)達(dá)地區(qū)的中學(xué)展開教學(xué)實(shí)踐，積累一定的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)后寫入《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》，成為中學(xué)數(shù)學(xué)課程的一部分。 實(shí)際上，無(wú)論是綜合實(shí)踐活動(dòng)還是科學(xué)教育的“做中學(xué)”以及數(shù)學(xué)建模，在不同地區(qū)、不同學(xué)段、不同層面上展開了實(shí)驗(yàn)，取得了很好的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)然也還存在不少問(wèn)題。但是，這些同時(shí)也說(shuō)明，我們可以在小學(xué)數(shù)學(xué)中探索數(shù)學(xué)建模。 二、 什么是數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)建模是建立數(shù)學(xué)模型并用它解決問(wèn)題這一過(guò)程的簡(jiǎn)稱?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》中認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，已經(jīng)成為不同層次數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容和基本內(nèi)容.葉其孝在《數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)與大學(xué)數(shù)學(xué)教育改革》一書中認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模就是應(yīng)用建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決各種實(shí)際問(wèn)題的方法，也就是通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的抽象、簡(jiǎn)化，確定變量和參數(shù)，并應(yīng)用某些“規(guī)律”建立起變量、參數(shù)間的確定的數(shù)學(xué)問(wèn)題(也可稱為一個(gè)數(shù)學(xué)模型)，求解該數(shù)學(xué)問(wèn)題，解釋、驗(yàn)證所得到的解，從而確定能否用于解決實(shí)際問(wèn)題的多次循環(huán)、不斷深化的過(guò)程。 根據(jù)徐利治先生在《數(shù)學(xué)方法論選講》一書中所談到，所謂“數(shù)學(xué)模型”（Mathematic Model）是一個(gè)含義很廣的概念，粗略地講，數(shù)學(xué)模型是指參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化數(shù)學(xué)語(yǔ)言，概括地或近似地表達(dá)出來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。廣義地說(shuō)，一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)方程以及由之構(gòu)成的算法系統(tǒng)都可以稱為數(shù)學(xué)模型；狹義地解釋，只有那些反應(yīng)特定問(wèn)題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)才叫數(shù)學(xué)模型。 這里，沒(méi)有對(duì)和錯(cuò)之分，對(duì)于數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)都是描述性的，理解它的本質(zhì)是關(guān)鍵。建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，它為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗(yàn)綜合運(yùn)用知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)；有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。 三、 小學(xué)“數(shù)學(xué)建模”面臨的挑戰(zhàn) 在小學(xué)階段，如何開展“數(shù)學(xué)建模”活動(dòng)？我們面臨很多挑戰(zhàn)。根據(jù)我們?cè)陂_展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的一些經(jīng)驗(yàn)和體會(huì)，提供幾個(gè)需要關(guān)注、研究和探索的“問(wèn)題”。 在開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)中，確定問(wèn)題是關(guān)鍵，問(wèn)題的“來(lái)源”可以是多方面的，可以有老師或教材（其他的讀物）給出的問(wèn)題；也可以在確定的情境中，老師引導(dǎo)學(xué)生提出；也可以鼓勵(lì)學(xué)生或?qū)W生小組在他們熟悉生活情境中發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題是創(chuàng)新（創(chuàng)造）的基礎(chǔ)，這是數(shù)學(xué)建模需要特別關(guān)注的。好的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題離不開實(shí)際情境，離不開與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，有的問(wèn)題與數(shù)學(xué)的聯(lián)系直接一些，需要用到的數(shù)學(xué)多一些，當(dāng)然，無(wú)論是情境也好，與數(shù)學(xué)的聯(lián)系也好，不能脫離學(xué)生的實(shí)際和學(xué)生的認(rèn)知。 在小學(xué)開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)需要關(guān)注另一個(gè)問(wèn)題，是模式行動(dòng)研究。一種模式，如何把數(shù)學(xué)建模思想融入日常教學(xué)的某些內(nèi)容；一種模式，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想，把課內(nèi)外結(jié)合起來(lái)；還可以探索把數(shù)學(xué)建模與綜合實(shí)踐活動(dòng)結(jié)合起來(lái)的模式，可以設(shè)計(jì)為幾天完成的“小課題”。一個(gè)比較完整數(shù)學(xué)建模內(nèi)容，應(yīng)該有情境，有問(wèn)題，有設(shè)計(jì)、建模（數(shù)學(xué)化）的過(guò)程，有結(jié)果，有交流展示，有反思。在教學(xué)實(shí)際中，也可以僅僅體現(xiàn)其中的一部分。我們期待小學(xué)老師創(chuàng)造出不同的適合小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)模式。 在小學(xué)，還會(huì)遇到很多挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，例如，數(shù)學(xué)建模課與其他形式課的比較；數(shù)學(xué)建模課教學(xué)的基本要求；教師的專業(yè)發(fā)展；也包括評(píng)價(jià)問(wèn)題，對(duì)數(shù)學(xué)建模課的評(píng)價(jià)，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)，對(duì)數(shù)學(xué)建模評(píng)價(jià)是否可以進(jìn)入紙筆評(píng)價(jià)，等等。這些問(wèn)題和挑戰(zhàn)，需要廣大的數(shù)學(xué)教育工作者和小學(xué)數(shù)學(xué)教師共同來(lái)思和考研究。我們?cè)诒疚暮竺嫣峁┮恍﹨⒖嘉墨I(xiàn)，供大家參考。 （作者單位：1. 首都師范大學(xué) 2. 北京教育學(xué)院） 【參考文獻(xiàn)】 [1]普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制工作組.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）[M].人民教育出版社.2004 [2]嚴(yán)士健,張奠宙,王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀[M].江蘇教育出版社.2004 [3]余文森. 為學(xué)生發(fā)揮自主性開辟空間[J]. 小學(xué)與教育研究. [4]韋鈺.“做中學(xué)”科學(xué)教育項(xiàng)目簡(jiǎn)介[J]. http://blog.ci123.com/weiyu/archive/2005-002?p=2 [5] 范良火.數(shù)學(xué)算術(shù)[M].北京：人民教育出版社. I 994.1 8 [6] 王尚志．“探索一條數(shù)學(xué)教育致革之路”[J].中學(xué)生數(shù)學(xué).1998.07 [7] 王尚志．研究性學(xué)習(xí)課挑戰(zhàn)教師[J].北京教育.2002.03 [8] 霍益萍,張人紅. 研究性學(xué)習(xí)的特點(diǎn)[J]. 課程· 教材· 教法.2000.11
合理把握小學(xué)數(shù)學(xué)建模的定位 莊惠芬
在我國(guó)，數(shù)學(xué)建模及教學(xué)研究在大學(xué)開展得較多，在中學(xué)中開展數(shù)學(xué)建模還處于探索階段。在小學(xué)階段來(lái)研究數(shù)學(xué)建模是否可行？小學(xué)階段的數(shù)學(xué)建模教學(xué)與中學(xué)、大學(xué)的數(shù)學(xué)建模有什么不同？基于建模思想的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與日常的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)又有何不同？ 我想數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)，在于它更突出地表現(xiàn)了原始問(wèn)題的分析、假設(shè)、抽象的數(shù)學(xué)加工過(guò)程；數(shù)學(xué)工具、方法和模型的選擇、分析過(guò)程；模型的求解、驗(yàn)證、再分析、修改假設(shè)、再求解的迭代過(guò)程，它更完整地表現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)的關(guān)系。這樣的一個(gè)過(guò)程給學(xué)生再現(xiàn)了一種“微型的科研過(guò)程”，不僅促進(jìn)了孩子數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，關(guān)鍵還促進(jìn)了一種數(shù)學(xué)品質(zhì)的提升。所以無(wú)論站在大學(xué)的視野、還是中學(xué)的視野、小學(xué)的視野，這樣的價(jià)值這對(duì)學(xué)生當(dāng)下以及今后的學(xué)習(xí)和工作無(wú)疑會(huì)有著很好的影響。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中研究數(shù)學(xué)建模還是很有價(jià)值的，關(guān)鍵是如何把握內(nèi)涵、如何展開過(guò)程、如何確立定位？我想不妨從數(shù)學(xué)建模的對(duì)象、目標(biāo)、途徑等幾個(gè)方面做一個(gè)闡述。 一、對(duì)象的兒童性 小學(xué)數(shù)學(xué)建模的主體是學(xué)生，其特點(diǎn)是運(yùn)用的知識(shí)為兒童數(shù)學(xué)，因此在小學(xué)中開展數(shù)學(xué)建模，提供問(wèn)題要注意掌握復(fù)雜性的適度，從兒童的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)。以“跳一跳，夠得著”為原則，抵達(dá)兒童的“最優(yōu)發(fā)展區(qū)”，既有難度和深度，又有溫度和適度，需要學(xué)生深入思考，認(rèn)真探索，又要使學(xué)生經(jīng)過(guò)探索，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)可以解決的。 1.基于兒童的生活經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)建模要為學(xué)生提供一個(gè)完整、真實(shí)的問(wèn)題背景，要將現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)生的與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有關(guān)的素材及時(shí)引入課堂，教材中的內(nèi)容可結(jié)合社會(huì)生活實(shí)際、熱點(diǎn)問(wèn)題、自然社會(huì)、科技等與數(shù)學(xué)問(wèn)題有關(guān)的各種因素，要將教材上的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為兒童日常生活數(shù)學(xué)問(wèn)題的火熱思考，以此為支撐物啟動(dòng)教學(xué)，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的需要；從身邊具體的情境中提出問(wèn)題，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到問(wèn)題的價(jià)值性。抓住問(wèn)題的錨樁，激發(fā)學(xué)生的探索興趣，激活兒童頭腦中已有的生活經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生用積累的經(jīng)驗(yàn)來(lái)感受其中隱含的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而促使學(xué)生將生活問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，感知數(shù)學(xué)模型的存在。 2.基于兒童的認(rèn)知水平。小學(xué)數(shù)學(xué)建模，要因材施教，循序漸進(jìn)。一要適合學(xué)生的年齡特征，要有挑戰(zhàn)性，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；二要適合兒童的認(rèn)知水平，問(wèn)題的難易要有適切性；三要適合兒童發(fā)展的差異性，尊重兒童的個(gè)性，促進(jìn)每一個(gè)學(xué)生的原有的基礎(chǔ)上得到發(fā)展；結(jié)合學(xué)生的實(shí)際水平、分層次逐步推進(jìn)。注意把握數(shù)學(xué)建模中兒童的認(rèn)知起點(diǎn)、情感起點(diǎn)和思維起點(diǎn)，有利于兒童的主動(dòng)參與，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)思考的積極性，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)取精神和創(chuàng)造意識(shí)。 3.基于兒童的思維方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)采取有效措施，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模思想的滲透，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)意識(shí)以及分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。如大家熟悉的蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)“平均數(shù)的認(rèn)識(shí)”這一抽象的知識(shí)隱藏在具體的問(wèn)題情境中，學(xué)生在兩次評(píng)判中解讀、整理數(shù)據(jù)，產(chǎn)生思維沖突，從而推進(jìn)數(shù)學(xué)思考的有序進(jìn)行。學(xué)生從具體的問(wèn)題情境中抽出平均數(shù)這一數(shù)的學(xué)問(wèn)題的過(guò)程就是一次建模的過(guò)程。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)滲透適合兒童水平的數(shù)學(xué)建模過(guò)程與方法，并通過(guò)系統(tǒng)體驗(yàn)和學(xué)習(xí)，形成一個(gè)良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 二、目標(biāo)的指向性 與中學(xué)、高中相比，在小學(xué)階段，我們的“數(shù)學(xué)建模”教學(xué)不是要培養(yǎng)拔尖的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)工作者，培養(yǎng)的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的尖子生、不是為了僅僅與初高中銜接進(jìn)行純粹的數(shù)學(xué)建模方法的訓(xùn)練。而更重要的是目標(biāo)指向兒童數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思維等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。讓兒童在生活中能自覺(jué)、主動(dòng)、迫切地運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想，提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，讓我們把“數(shù)學(xué)建模”的教學(xué)作為突破口，讓兒童培育建模意識(shí)，體驗(yàn)建模過(guò)程、形成建模思想。 1.培育建模意識(shí)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中通過(guò)引入貼近現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)和其他學(xué)科為實(shí)際背景的探索性例題，使學(xué)生明確了數(shù)學(xué)是怎樣應(yīng)用于解決這些實(shí)際問(wèn)題上去的，并能利用有關(guān)方法進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，從而解決這些實(shí)際問(wèn)題的，從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值和數(shù)學(xué)的社會(huì)功能。主要是提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的興趣，體會(huì)到數(shù)學(xué)的價(jià)值，享受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)建模的信心。要站在提高學(xué)生素質(zhì)的高度，把滲透數(shù)學(xué)建模的意識(shí)作為首要任務(wù)，并注重培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換能力。 2.體驗(yàn)建模過(guò)程。數(shù)學(xué)建模就是要把現(xiàn)實(shí)生活中具體實(shí)體內(nèi)所包含的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)規(guī)律抽象出來(lái)，構(gòu)成數(shù)學(xué)模型，根據(jù)數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行推理求解，得出數(shù)學(xué)上的結(jié)論，返回解釋驗(yàn)證，以求得實(shí)際問(wèn)題的合理解決。我認(rèn)為小學(xué)階段的數(shù)學(xué)建模主要讓學(xué)生重在體驗(yàn)建模的過(guò)程，通過(guò)一定的實(shí)際情境，讓學(xué)生在形成一些簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)的形成，并能以此模型進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的解讀與應(yīng)用。個(gè)人覺(jué)得這個(gè)探究的過(guò)程的是最重要的。將培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)貫徹在“從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括和必要的邏輯推理，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而解決實(shí)際問(wèn)題”的全過(guò)程之中。 3.形成建模思想。讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，觀察、分析、測(cè)量、討論、建模、解決實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生能夠透過(guò)紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象抽象、概括其本質(zhì)，嘗試將具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，建立了一個(gè)問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的信息進(jìn)行分析處理，提出必要的假設(shè)，并進(jìn)行數(shù)學(xué)的抽象與概括，從而建立起某種特定的數(shù)量關(guān)系，利用相關(guān)的知識(shí)使問(wèn)題得到解決，形成數(shù)學(xué)建模思想。通過(guò)數(shù)學(xué)建模能使學(xué)生真正體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生真正了解數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力。 數(shù)學(xué)模型的建立不是最終目的，而讓學(xué)生形成一種模型意識(shí)，建立思維方法，反過(guò)來(lái)再去解決問(wèn)題，讓學(xué)生理解并形成數(shù)學(xué)的思維、促進(jìn)數(shù)學(xué)的理解、促進(jìn)自我的數(shù)學(xué)建構(gòu)，這種數(shù)學(xué)化的思想才是根本的目的。 三、途徑的滲透性 數(shù)學(xué)建模是把現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)潔化的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，在日常的教學(xué)中，我們要有意識(shí)地創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，滲透建模思想，還要在實(shí)踐、探索、運(yùn)用中形成建模能力，使學(xué)生所學(xué)知識(shí)更系統(tǒng)、更完整，從而應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際中的復(fù)雜問(wèn)題。我們還可以通過(guò)小課題學(xué)習(xí)和活動(dòng)，讓學(xué)生加深理解建模的過(guò)程和重要性，使他們學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，創(chuàng)造性學(xué)習(xí)。 1.教材中選取。首先可從建模的角度解讀教材。不同版本的數(shù)學(xué)教材中的大部分內(nèi)容已經(jīng)按照建模的思路編排，“生活情境——抽象模型 ——模型驗(yàn)證——模型解釋與應(yīng)用。”教師要多從建模的角度解讀教材，充分挖掘教材中蘊(yùn)含的建模思想，精心設(shè)計(jì)和選擇列入教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境，將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，建立模型，從而解決問(wèn)題。其次，要梳理出適合用建模思想來(lái)展開教學(xué)的內(nèi)容。用建模的思想解讀教材，并不意味著所有的內(nèi)容都適合數(shù)學(xué)建模，小學(xué)數(shù)學(xué)建模的研究中，要系統(tǒng)梳理教材中哪些內(nèi)容適合數(shù)學(xué)建模？可以怎樣數(shù)學(xué)建模？運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想如何展開教學(xué)？ 2．課題中延伸。我覺(jué)得基于建模的課堂教學(xué)更應(yīng)體現(xiàn)出探究性，發(fā)展性，與情境性，重在學(xué)生建模能力的發(fā)展，思想的熏陶，思維的激發(fā)。學(xué)科綜合實(shí)踐活動(dòng)課程設(shè)置是課改的一個(gè)亮點(diǎn)，借以打通學(xué)科界限，促進(jìn)相互的整合及融通。如六數(shù)教材安排的探索與實(shí)踐主要有： 動(dòng)手操作——畫指定面積和高的三角形、選擇小棒做長(zhǎng)方體或正方體框架（選料單填寫）、長(zhǎng)方形紙不同方法卷圓柱體（計(jì)算、比較、發(fā)現(xiàn)和思考）； 調(diào)查分析——調(diào)查一些家電包裝箱尺寸并計(jì)算表面積和體積、尋找生活中百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用、測(cè)圓柱形飲料罐容積并與標(biāo)示比較； 拓展應(yīng)用——了解計(jì)算器的使用、根據(jù)公式計(jì)算家庭恩格爾系數(shù)、根據(jù)公式計(jì)算家庭成員的標(biāo)準(zhǔn)體重； 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)——找規(guī)律等。畫三角形，兩條平行線之間距離為高，可以畫出無(wú)數(shù)個(gè)形狀各異符合要求的三角形，讓學(xué)生在畫后比較中發(fā)現(xiàn)其開放的價(jià)值，使所學(xué)知識(shí)能夠靈活應(yīng)用。長(zhǎng)方形紙卷成圓柱體，就是玩，但要在玩中明白兩種卷法的同與不同，并遷移到生活中，同樣的材料圍糧囤如何圍容積大？ 結(jié)合教材中的某些內(nèi)容，和相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行整合，提出建模的問(wèn)題，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)，訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。也可以配合教材，制作教、學(xué)具或進(jìn)行實(shí)際操作測(cè)量活動(dòng)。如六年級(jí)學(xué)生利用比例的知識(shí)，組織學(xué)生在活動(dòng)課上測(cè)量學(xué)校旗桿的高度、了解古埃及金字塔的測(cè)量；利用求長(zhǎng)方體的知識(shí)，組織學(xué)生在設(shè)計(jì)制作洗衣機(jī)保護(hù)套等等。 3.實(shí)踐中拓展。不同版本的教材中除了增設(shè)了“實(shí)踐與綜合運(yùn)用”的內(nèi)容，還增設(shè)了“你知道嗎？”可以利用實(shí)踐活動(dòng)課，進(jìn)行建模指導(dǎo)。 結(jié)合教材內(nèi)容，整合各知識(shí)點(diǎn)，使之融進(jìn)生活背景，產(chǎn)生好的“建模問(wèn)題”作為實(shí)踐活動(dòng)課的內(nèi)容。如教材中安排了“奇妙的圖形密鋪”這一內(nèi)容，可以拓展為家庭房間裝修提供出合理美觀的密鋪方案。這樣的建模拓展激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體現(xiàn)認(rèn)識(shí)規(guī)律；展示探究過(guò)程（理性地再現(xiàn)知識(shí)生成過(guò)程，通過(guò)循序漸進(jìn)的思維階梯使知識(shí)、情感、意志相互結(jié)合，幫助學(xué)生形成自學(xué)能力）；實(shí)施活動(dòng)方法（使經(jīng)驗(yàn)、思維、方法融為一體，讓學(xué)生獲取終身受益的精神文化力量和實(shí)踐能力）；內(nèi)化教學(xué)功能，要學(xué)會(huì)把復(fù)雜問(wèn)題納入已有模式之中，使原有模型成為構(gòu)建和解決新問(wèn)題的工具。 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)建模的教學(xué)，在日常的教學(xué)中，我們要有意識(shí)地創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，滲透建模思想，還要在實(shí)踐、探索、運(yùn)用中形成建模能力，使學(xué)生所學(xué)知識(shí)更系統(tǒng)、更完整，從而應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際中的復(fù)雜問(wèn)題。我們還可以通過(guò)小課題學(xué)習(xí)和活動(dòng)，讓學(xué)生加深理解建模的過(guò)程和重要性，使他們學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，創(chuàng)造性學(xué)習(xí)。 （作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘橋中心小學(xué)）
磨·模·魔 ——小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的程序思考 許衛(wèi)兵
數(shù)學(xué)在本質(zhì)上就是在不斷的抽象、概括、模式化的過(guò)程中發(fā)展和豐富起來(lái)的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有深入到“模型”、“建模”的意義上，才是一種真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。這種“深入”，就小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，更多地是指用數(shù)學(xué)建模的思想和精神來(lái)指導(dǎo)著數(shù)學(xué)教學(xué)，不斷讓學(xué)生經(jīng)歷從具體事例或現(xiàn)實(shí)原型出發(fā)逐步抽象、概括建立起某種模型并進(jìn)行解釋和運(yùn)用，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解和感受，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。 用數(shù)學(xué)建模的思想來(lái)指導(dǎo)著數(shù)學(xué)教學(xué)，不同的年級(jí)、內(nèi)容、學(xué)習(xí)對(duì)象應(yīng)該體現(xiàn)出一定的差異，但也存在著很大的關(guān)聯(lián)性。就教學(xué)實(shí)施的一般程序來(lái)看，可以歸結(jié)到三個(gè)字：“磨”、“模”、“魔”。 一、“磨” 所謂“磨”，即“琢磨”。也就是教師首先要反復(fù)琢磨每一具體的教學(xué)內(nèi)容中隱藏著怎樣的“模”？需要幫助學(xué)生建立怎樣的“模”？如何來(lái)建“模”？在多大的程度上來(lái)建“模”？所建的“模”和建模的過(guò)程對(duì)于兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有怎樣的影響？……在基于建模思想的數(shù)學(xué)教學(xué)中，這些問(wèn)題都是一些本原性的問(wèn)題。一個(gè)老師如果從來(lái)不曾在這些方面作過(guò)思考的話，可以肯定，他的數(shù)學(xué)課堂上數(shù)學(xué)知識(shí)概念、命題、問(wèn)題和方法等很難見(jiàn)到“數(shù)學(xué)模型”的影子，他的學(xué)生也可能從未感受過(guò)“數(shù)學(xué)模型”的力量。 眾所周知，“雞兔同籠”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是二元一次整數(shù)方程，然而，在小學(xué)里學(xué)生并不學(xué)習(xí)二元一次整數(shù)方程?？墒?，“雞兔同籠”卻被廣泛地運(yùn)用到小學(xué)教材中：北師大版五年級(jí)上冊(cè)“嘗試與猜測(cè)”中用它來(lái)讓學(xué)生學(xué)會(huì)表格列舉；蘇教版六年級(jí)上冊(cè)將之作為一道練習(xí)題來(lái)鞏固“假設(shè)和替換”的策略；而人教版則是濃墨重彩，在六年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”中詳細(xì)介紹了“雞兔同籠”問(wèn)題的出處、多種解法及實(shí)際應(yīng)用。教學(xué)這些內(nèi)容時(shí)，如果僅是就題講題，就課本講課本，難免顯得過(guò)于簡(jiǎn)單和淺薄。那么，對(duì)小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，“雞兔同籠”是否還隱藏著其他的“模型”因素呢？我想至少有三方面是值得關(guān)注的：一是內(nèi)容層面的，即“雞兔同籠”這類題本身的題型結(jié)構(gòu)特征（告知兩個(gè)未知量的和以及兩個(gè)未知量之間一定的量值關(guān)系，求未知量）；二是方法層面的，即“假設(shè)法”的一般解題思路（畫圖、列舉、替換等在某種意義上都是“假設(shè)”）；三是思想層面的，即從一個(gè)具體的“雞兔同籠”數(shù)學(xué)問(wèn)題出發(fā)，在經(jīng)歷了對(duì)其解答的過(guò)程之后，能將解決它的方法和思路進(jìn)行擴(kuò)展運(yùn)用（學(xué)習(xí)“雞兔同籠”，最終的目標(biāo)并不僅僅是會(huì)解答一道“雞兔同籠”，更有其他）。有了這樣的理解，在教學(xué)中，我們就會(huì)引導(dǎo)學(xué)生在關(guān)注教材中所編排內(nèi)容的同時(shí)，注意把握題目的類型、結(jié)構(gòu)和類比運(yùn)用，用系統(tǒng)的眼光來(lái)看待它的教學(xué)價(jià)值。這些，恰恰是學(xué)生到了中學(xué)后真正建立二元一次整數(shù)方程數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。 眼界決定境界。一個(gè)老師是否具有“模型”眼光和“模型”意識(shí)，往往會(huì)決定著他的教學(xué)深刻性和數(shù)學(xué)課堂的品質(zhì)。 二、“模” 所謂“模”，即“建模”。也就是在教學(xué)中要幫助學(xué)生不斷經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋和運(yùn)用。對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)而言，“建模”的過(guò)程，實(shí)際上就是“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得某種帶有“模型”意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程。 【教學(xué)片段】減法 出示情境圖。 師：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察這兩幅圖，說(shuō)一說(shuō)從圖上你看到了什么？ 生：有5個(gè)小朋友在澆花，走了2個(gè)，剩下3個(gè)。 師：你真棒!誰(shuí)再來(lái)說(shuō)一說(shuō)。 生：原來(lái)有5個(gè)小朋友在澆花，走了2個(gè)小朋友，還剩下3個(gè)小朋友。 師：很好！你知道怎樣列式嗎？ 生：5-2=3。 教師聽了滿意地點(diǎn)點(diǎn)頭，板書5-2=3。 接著教學(xué)減號(hào)及其讀法。 【教學(xué)片段2】 出示情境圖。（同上） 師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)第一幅圖，你看到了什么？ 生：從圖中我看到了有5個(gè)小朋友在澆花。 師：第二幅圖呢？ 生：第二幅圖中有2個(gè)小朋友去提水了，剩下3個(gè)小朋友。 師：你能把兩幅圖的意思連起來(lái)說(shuō)嗎？ 生：有5個(gè)小朋友在澆花，走了2個(gè)，還剩下3個(gè)。 師：同學(xué)們觀察得很仔細(xì)，也說(shuō)得很好。你們能根據(jù)這兩幅圖的意思提一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？ 生：有5個(gè)小朋友在澆花，走了2個(gè)，還剩幾個(gè)？ 生（齊）：3個(gè)。 師：對(duì)，大家能不能用圓片代替小朋友，將這一過(guò)程擺一擺呢？ （教師在行間指導(dǎo)學(xué)生擺圓片，并請(qǐng)一生將圓片擺在情境圖的下面。） 師：（結(jié)合情境圖和圓片說(shuō)明）5個(gè)小朋友在澆花，走了2個(gè)，還剩3個(gè)；從5個(gè)圓片中拿走2個(gè)，還剩3個(gè)，都可以用同一個(gè)算式（學(xué)生齊接話：5-2=3）來(lái)表示。（在圓片下板書：5-2=3） 生齊讀：5減2等于3。 師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)這里的5表示什么？2、3又表示什么呢？ …… 師：同學(xué)們說(shuō)得真好！在生活中存在著許許多多這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，5-2=3還可以表示什么呢？請(qǐng)同桌互相說(shuō)一說(shuō)。 生1：有5瓶牛奶，喝掉2瓶，還剩3瓶。 生2：樹上有5只小鳥，飛走2只，還剩3只。 …… 上述教學(xué)片段，擺脫了“就事論事”式的簡(jiǎn)單教學(xué)，除了教學(xué)充分展開外，更主要的是滲透了初步的數(shù)學(xué)建模思想，訓(xùn)練的是學(xué)生抽象、概括、舉一反三的學(xué)習(xí)能力。且這種訓(xùn)練并不是簡(jiǎn)單、生硬地進(jìn)行，而是和低年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)相貼切——由具體、形象的實(shí)例開始，借助于操作予以內(nèi)化和強(qiáng)化，最后通過(guò)思維發(fā)散和聯(lián)想加以擴(kuò)展和推廣，賦予“5-2=3”以更多的“模型”意義。 運(yùn)用建模思想來(lái)指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，在很大程度上是要在學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程中建立起一種統(tǒng)攝性、符號(hào)化的具有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征的“模型”載體，通過(guò)這樣的具有“模型”功能的載體，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供強(qiáng)有力的基礎(chǔ)支持。當(dāng)然，對(duì)學(xué)生“模型”意識(shí)的培養(yǎng)和“建模”方法的指導(dǎo)，要根據(jù)具體內(nèi)容和具體年級(jí)而有層次不同的要求，低年級(jí)要恰到好處地結(jié)合日常實(shí)例和常規(guī)教學(xué)對(duì)學(xué)生進(jìn)行“模型”及“模型意識(shí)”的滲透、點(diǎn)化，高年級(jí)則可以更明確地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“模型”的存在，培養(yǎng)初步的建模能力。 三、“魔” 所謂“魔”，即“著魔”，也就是學(xué)生對(duì)“模型”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用有著深切的體驗(yàn)和感悟，并對(duì)之產(chǎn)生好奇，從而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能主動(dòng)地構(gòu)想模型、建立模型、運(yùn)用模型。兒童數(shù)學(xué)教學(xué)的終極目標(biāo)，應(yīng)該是讓學(xué)生都懂?dāng)?shù)學(xué)、愛(ài)數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)懷有敬畏之心和熱愛(ài)之情。要實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)，數(shù)學(xué)教學(xué)就不能只停留在知識(shí)和方法層面，而是要深入到數(shù)學(xué)的“腹地”，用數(shù)學(xué)自身的魅力來(lái)吸引學(xué)生。正如日本數(shù)學(xué)家米山國(guó)藏所說(shuō)：“作為知識(shí)的數(shù)學(xué)出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究的方法和著眼點(diǎn)等，這些隨時(shí)隨地地發(fā)生作用，使人終身受益”。 要讓學(xué)生能充分感受到數(shù)學(xué)模型和建模教學(xué)所產(chǎn)生的“魔力”，實(shí)際教學(xué)中，一方面要結(jié)合日常教學(xué)給學(xué)生以充分的體驗(yàn)和感受。比如，在二年級(jí)教學(xué)“確定位置”時(shí)，設(shè)定觀察的規(guī)則（觀察順序）非常重要——“從左向右數(shù)是第幾排”、“從前往后數(shù)是第幾列”、“從下往上數(shù)是第幾層”……如果我們結(jié)合這樣的觀察順序在直觀圖上分別添加“橫向帶箭頭的直線→”（坐標(biāo)系中的“橫軸”原型）和“縱向帶箭頭的直線↑”（坐標(biāo)系中的“縱軸”原型），既將觀察順序形象表達(dá)，又蘊(yùn)含了二維坐標(biāo)（第一象限）的基本原理。如果學(xué)生在獨(dú)立練習(xí)中也能模仿著使用，那感受會(huì)更加深刻。而在六年級(jí)學(xué)習(xí)“確定位置”（用方向、角度、距離來(lái)確定平面圖中任意一個(gè)位置）時(shí)，如果讓學(xué)生試著總是以觀測(cè)點(diǎn)為中心先畫出一個(gè)“十字”坐標(biāo)圖然后再確定位置，那學(xué)生的觀察不僅變得有序，而且準(zhǔn)確性很高。在此基礎(chǔ)上，老師再對(duì)學(xué)生進(jìn)行“建模”、“用模”的學(xué)習(xí)水平進(jìn)行適當(dāng)評(píng)價(jià)和鼓勵(lì)，教學(xué)的境界就會(huì)大大提升。另一方面，也可以在中高年級(jí)進(jìn)行一些專題性的訓(xùn)練。 這樣的訓(xùn)練所產(chǎn)生的體驗(yàn)，將會(huì)使學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)建模的“魔力”，并將深刻而持久地影響著他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活。 這是數(shù)學(xué)教學(xué)的崇高境界。 （作者單位：江蘇省海安縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)）
數(shù)學(xué)建模：是一種方法，更是一種意識(shí) ——基于建模思想的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)舉隅 儲(chǔ)冬生
數(shù)學(xué)模型一般地說(shuō)，是針對(duì)或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言，概括地或近似地表述出來(lái)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（張奠宙語(yǔ)），一般可分為三類：概念型數(shù)學(xué)模型、方法型數(shù)學(xué)模型、結(jié)構(gòu)型數(shù)學(xué)模型（顧泠沅語(yǔ)）。談起數(shù)學(xué)建模，有不少一線老師都覺(jué)得很不自信，這好像只是高校專家們的語(yǔ)匯，距離我們的教學(xué)實(shí)踐似乎挺遙遠(yuǎn)的，小學(xué)老師似乎還沒(méi)有提建模的“功力”。我倒覺(jué)得數(shù)學(xué)建模其實(shí)離我們的實(shí)踐并不遙遠(yuǎn)，因?yàn)閿?shù)學(xué)本就是模式的科學(xué)。《譯林》雜志曾刊載過(guò)這樣一則笑話： 父：如果你有一個(gè)桔子，我再給你兩個(gè)，那你數(shù)數(shù)看一共有幾個(gè)桔子？ 子：我不知道，因?yàn)樵趯W(xué)校里，我們是用蘋果數(shù)的。 這只是一則笑話而已，在我們的現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)該不會(huì)存在，老師在教學(xué)生時(shí)，一定是這樣教的：1個(gè)桔子+2個(gè)桔子=3個(gè)桔子，1個(gè)蘋果+2個(gè)蘋果=3個(gè)蘋果，1個(gè)人+2個(gè)人=3個(gè)人，1顆樹+2顆樹=3顆樹，…，直至抽象出1+2=3。數(shù)學(xué)抽象本就是一種概括，一種建模的過(guò)程，即是集中地表明了一類事物或現(xiàn)象在數(shù)量等方面的共同特性。據(jù)此，1+2=3，也是一個(gè)模式的、模型的存在。從這個(gè)意義上看，我們的每堂數(shù)學(xué)課可能都是在建立數(shù)學(xué)模型。概念教學(xué)、計(jì)算教學(xué)、解決問(wèn)題構(gòu)成了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主體部分，下面我結(jié)合自身的實(shí)踐就以上三個(gè)方面各截取一個(gè)片段，談?wù)勎覍?duì)基于建模思想的數(shù)學(xué)教學(xué)的理解與探索。 概念型數(shù)學(xué)模型：建模與生活原型 “認(rèn)識(shí)方程”教學(xué)片段： 師：老師帶來(lái)一個(gè)謎語(yǔ)，請(qǐng)同學(xué)們猜猜看。 課件呈現(xiàn)：一個(gè)瘦高個(gè)，肩上挑副擔(dān)，如果擔(dān)不平，頭偏心不甘。 生：天平。 課件呈現(xiàn)： 天平由平衡（空天平）——不平衡（一端有物品）——平衡（兩端都有物品）。 生：指針指在刻度的中間，天平是平衡的。 師：天平平衡又說(shuō)明什么？ 生：說(shuō)明天平兩邊的物品質(zhì)量相等。 師：相等用什么數(shù)學(xué)符號(hào)表示？ 生：用等于號(hào)。 師：小明在天平的兩邊放上砝碼，你能用式子表示左右兩邊的質(zhì)量關(guān)系嗎？（天平的左邊放兩個(gè)50克的砝碼，右邊放一個(gè)100克的砝碼。） （50＋50＝100，50×2＝100） 師：像這樣左右兩邊相等的式子，我們把它叫做等式。 師：如果從天平的左邊拿走一個(gè)砝碼，這時(shí)候還能用等式表示兩邊的質(zhì)量關(guān)系嗎？ 生：天平不平衡，不能用等式表示，可以表示為50＜100，或者100＞50。 師：為了讓天平達(dá)到平衡，小宇準(zhǔn)備在天平的左邊放這樣一個(gè)物體，這個(gè)物體的質(zhì)量不知道怎么辦呢？ （出示一個(gè)物體） 生：咱們就用x來(lái)表示。 師：以前學(xué)的用字母表示數(shù)，這里就能應(yīng)用了！這里的x代表的數(shù)咱們事先不知道，這樣的數(shù)我們就把它叫做未知數(shù)。 師：如果把這個(gè)物體放下來(lái)，猜一猜，天平兩邊物體的質(zhì)量關(guān)系又會(huì)是怎樣的呢？把你的猜測(cè)用式子表示出來(lái)。 （X +50＜100，X +50＞100，X +50＝100） 師：請(qǐng)看大屏幕，現(xiàn)在你也能用式子表示天平兩邊物體的質(zhì)量關(guān)系嗎？ （左邊放兩個(gè)一樣的砝碼，右邊放一個(gè)200克的砝碼天平平衡。） 生：2X＝200。 （學(xué)生交流的過(guò)程中，老師在黑板上呈現(xiàn)相應(yīng)的算式： 50＋50=100、50×2=100、50﹤100、100﹥50 X+50＞100、X+50＜100、X+50＝100、2X＝200 ） 師：你能將這些式子分分類嗎？ （學(xué)生活動(dòng)，匯報(bào)交流。） 師：實(shí)際上就是這樣的四類：①?zèng)]有未知數(shù)也不是等式；②有未知數(shù)但不是等式；③沒(méi)有未知數(shù)但是等式；④含有未知數(shù)而且是等式。像50＜100、100＞50 和50+50=100、50×2=100這兩類式子大家都比較熟悉，而X +50>100、X+50﹤100這類式子比較復(fù)雜，我們到中學(xué)會(huì)更深入地了解它。像X+50=100、2X=200這樣含有未知數(shù)的等式就是我們今天要重點(diǎn)研究的方程。 隨感： 在這個(gè)片段的教學(xué)中我借助天平幫助學(xué)生體悟等式和方程的含義，為抽象的方程找到了直觀的生活原型：天平。天平兩邊平衡，表示兩邊的物體質(zhì)量相等；兩邊不平衡，表示兩邊物體的質(zhì)量不相等，讓學(xué)生在天平平衡的已有經(jīng)驗(yàn)中體悟等式的含義，既突出了教學(xué)的重點(diǎn)，又克服了學(xué)生已有的“算術(shù)思想”對(duì)方程概念的建立所帶來(lái)的干擾。引導(dǎo)學(xué)生將舊知進(jìn)行遷移和提升，很自然地解決了“代數(shù)思想”的第一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題——用字母代替不知道的量（未知數(shù)），幫助學(xué)生積累了鮮活的方程的表象。方程其實(shí)就是一種模型，是一種概念型數(shù)學(xué)模型，很多這樣的模型都是基于現(xiàn)實(shí)的生活情境作出適度抽象后的產(chǎn)物，在小學(xué)許多數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容本身就是一種模型：分?jǐn)?shù)是平均分派物品的數(shù)學(xué)模型；小數(shù)的生活原型就可以看作是元、角、分；自然數(shù)是表述有限集合“數(shù)數(shù)”過(guò)程的數(shù)學(xué)模型；400人的工廠里一定有兩個(gè)人同一天過(guò)生日，其數(shù)學(xué)模型就叫抽屜原理。 方法型數(shù)學(xué)模型：建模與符號(hào)化思想 “簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)加減法”教學(xué)片段： 師：咱們今天要研究的都是同分母的分?jǐn)?shù)加減法。你們會(huì)計(jì)算這樣的同分母分?jǐn)?shù)加法嗎？接下來(lái)咱們?cè)賮?lái)一組搶答題：看誰(shuí)算得又對(duì)又快！ 課件逐個(gè)呈現(xiàn)：
1/△+3/△ ○/5+□/5 ○/△+□/△ （直至 師：數(shù)據(jù)這么大，也能算得又對(duì)又快，你們一定有自己的“絕招”。 生：分母不動(dòng)，分子相加作分子就行了！ 師：繼續(xù)搶答：1/△+3/△ 生：4/△。 師：你們還會(huì)嗎？ 生：○/5+□/5=（○+□）/5 生：○/△+□/△=（○+□）/△ 師：其實(shí)這不就是用符號(hào)把大家剛才發(fā)明的“絕招”給表示出來(lái)了嗎？ ○/△+□/△=（○+□）/△ 師：看著大家發(fā)明的這個(gè)絕招，老師真的很佩服大家?？墒俏疫€有個(gè)疑問(wèn)：為什么“分母就不要變，分子卻必須相加”呢？有同學(xué)已經(jīng)明白了，更多的同學(xué)還在思考。咱們帶著這個(gè)問(wèn)題再看一組練習(xí)，邊練邊想。第一題： 生： 師：能說(shuō)說(shuō)你是怎么想的嗎？ 學(xué)生闡述，課件同時(shí)呈現(xiàn)：2個(gè) 師：第二題： 生： 課件同時(shí)呈現(xiàn)：2個(gè)（ ）加上3個(gè)（ ）等于5個(gè)（ ），學(xué)生填空。 師：幾個(gè) 師：第三題： 課件呈現(xiàn)：2個(gè)（ 生：是2個(gè)加上3個(gè)所以等于5個(gè)，分子必須得加起來(lái)。 師：這些分?jǐn)?shù)加法其實(shí)都是在計(jì)算2個(gè)幾分之一加上3個(gè)幾分之一等于5個(gè)幾分之一。學(xué)習(xí)就得學(xué)會(huì)聯(lián)系，如果我們聯(lián)系過(guò)去學(xué)過(guò)的整數(shù)加法來(lái)想20+30=50，不也是在計(jì)算2個(gè)加3個(gè)嗎？ 課件呈現(xiàn)：2個(gè)（10）加上3個(gè)（10）等于5個(gè)（10），學(xué)生填空。 師：2+3=5，不就是2個(gè)1加上3個(gè)1等于5個(gè)1嗎？ 課件呈現(xiàn)：2個(gè)（1）加上3個(gè)（1）等于5個(gè)（1），學(xué)生填空。 師：由此可見(jiàn)咱們的分?jǐn)?shù)加法和整數(shù)加法，其實(shí)都是在計(jì)算幾個(gè)加上幾個(gè)等于幾個(gè)，只是咱們過(guò)去學(xué)的加法是幾個(gè)一加幾個(gè)一，幾個(gè)十加幾個(gè)十，而今天學(xué)的是幾個(gè)幾分之一加幾個(gè)幾分之一罷了。 隨感： 歸納同分母分?jǐn)?shù)加法的共同特點(diǎn)，誘導(dǎo)學(xué)生用數(shù)據(jù)較大的同分母分?jǐn)?shù)加法題進(jìn)行快速搶答，其間由分母而至分?jǐn)?shù)漸次抽象，用符號(hào)表達(dá)數(shù)量關(guān)系，演繹同分母分?jǐn)?shù)加法的算法模型，促使學(xué)生生成和體悟“分母不變，分子相加”的算法“絕招”。這里的計(jì)算法則其實(shí)就可以看作是一種算法模型，借助符號(hào)化的方法將模型進(jìn)行抽象的建構(gòu)。悟出算法后，教學(xué)并不能滿足于“知其然”，繼續(xù)帶領(lǐng)學(xué)生由算法而探究算理，追究其中的“所以然”。把分?jǐn)?shù)單位與整數(shù)中的“一”、“十”的計(jì)數(shù)單位建立起有機(jī)的聯(lián)系，讓學(xué)生悟出同分母加法的法則，實(shí)質(zhì)上就像“幾個(gè)十”加“幾個(gè)十”，“幾個(gè)一”加“幾個(gè)一”一樣，也是“幾個(gè)幾分之一”加“幾個(gè)幾分之一”，從而一步步地躍升思考的跨度。算法作為一種方法型數(shù)學(xué)模型不能僅僅滿足于形式化地將它揭示出來(lái)，更要知曉其背后的原理，這也許就是大家常說(shuō)的算法與算理的統(tǒng)一吧。 結(jié)構(gòu)型數(shù)學(xué)模型：建模與變式理論 “雞兔同籠問(wèn)題”教學(xué)片段： 師：日本人對(duì)雞兔同籠問(wèn)題也有研究，日本人又稱它叫“龜鶴問(wèn)題”。日本人說(shuō)的“龜鶴”和我們說(shuō)的“雞兔”有聯(lián)系嗎？ 生：是一樣的意思：龜就相當(dāng)于兔，都是四只腳；鶴就相當(dāng)于雞，都是兩只腳。 師：假如我們不叫它雞兔同籠，也不叫龜鶴問(wèn)題，是不是還可以給它取個(gè)其他的名字呢？ （鴨貓問(wèn)題、豬鵝問(wèn)題……） 師：看來(lái)雞兔同籠問(wèn)題中的雞不僅僅代表雞，兔也不僅僅是指兔！這兒還有一首民謠，我們一起來(lái)讀一讀： （課件出示： 一隊(duì)獵人一隊(duì)狗，兩隊(duì)并成一隊(duì)走。數(shù)頭一共是十二，數(shù)腳一共四十二。 ） 師：讀了這則民謠，你有沒(méi)有什么話想說(shuō)? 生：我覺(jué)得這還是雞兔同籠問(wèn)題。這里的獵人有兩只腳其實(shí)就是雞，而狗就是兔。 （課件出示：獵人——雞 兩條腿 狗——兔 四條腿 ） 師：你能算出獵人和狗各有多少嗎？用你喜歡的方法自己去試一試。 （學(xué)生練習(xí)，老師巡視指導(dǎo)） 師：看來(lái)雞兔同籠不僅僅可以解決“雞兔”同籠的問(wèn)題，換成烏龜和仙鶴，換成人和狗，仍然是雞兔同籠問(wèn)題，“雞”“兔”同籠其實(shí)只是這類問(wèn)題的一個(gè)模型！ 師：以前我們就接觸過(guò)雞兔同籠問(wèn)題，今天又進(jìn)一步研究了這類問(wèn)題，可現(xiàn)在老師突然想到一個(gè)問(wèn)題：生活中誰(shuí)會(huì)將雞和兔放在一個(gè)籠子里？即使放在一個(gè)籠子里又有誰(shuí)會(huì)去數(shù)他們的腳呢?直接數(shù)頭不就行了？生活中有類似雞兔同籠的問(wèn)題嗎？ （學(xué)生感覺(jué)有些困惑。） 師：接下來(lái)咱們?cè)僮鲆粋€(gè)“猜一猜”的游戲，大家可以邊猜邊想。老師這兒有一個(gè)信封，這信封里放了7張紙幣，有5元的和2元的，共29元，你們能猜出信封里放了幾張2元紙幣，幾張5元紙幣嗎？ 生：假設(shè)全是2元的就是14元，而現(xiàn)在有29元，還多15元，我們就把2元的換成5元的，每換一張就多3元，這樣就要換5張5元的，還剩2張2元的。 師：是這個(gè)意思嗎？ （課件動(dòng)態(tài)演示：換紙幣的過(guò)程） 師：這個(gè)游戲和我們研究的雞兔同籠問(wèn)題有聯(lián)系嗎？ 生：其實(shí)這也是雞兔同籠問(wèn)題，這里的2元紙幣就相當(dāng)于雞有兩只腳，而5元紙幣就相當(dāng)于兔，也就是五只腳的“怪兔”！ 師：（故作神秘狀）是這個(gè)意思？ （課件動(dòng)態(tài)演示：將二元紙幣換成雞，將五元紙幣換成五只腳的“怪兔”） （大家一看“怪兔”的模樣，都樂(lè)了） 師：看來(lái)我們的雞兔同籠問(wèn)題不僅包括4只腳的兔子，還可以是5只腳的怪兔，又進(jìn)一步逼近了問(wèn)題的本質(zhì)！ 隨感： 通過(guò)“雞兔”、“龜鶴”、“人狗”等不同變式的呈現(xiàn)，使學(xué)生初步感知雞兔同籠問(wèn)題只是一個(gè) “模型”，雖然問(wèn)題的情境在變化，但問(wèn)題的本質(zhì)----數(shù)量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系是不變的。學(xué)生在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中逐漸形成雞兔同籠問(wèn)題的“數(shù)學(xué)形式”及其解題策略體系，初步建構(gòu)關(guān)于雞兔同籠問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。“猜一猜”的游戲以及課件中“怪兔”夸張變形的演示，用“數(shù)形結(jié)合”的策略把雞兔同籠問(wèn)題作進(jìn)一步的概括、抽象、提煉。指導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過(guò)程是循序漸進(jìn)的：由“雞兔”到“龜鶴”再到“人狗”，這一演變的過(guò)程只是換了個(gè)“包裝”，是對(duì)問(wèn)題原型表象的概括；由“四腳兔”變?yōu)?#8220;五腳兔”，則是對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的類推與抽象。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)系、對(duì)比、分析，學(xué)生的思維在不斷的內(nèi)省、自悟中得到提升，自主建構(gòu)雞兔同籠問(wèn)題的模型也便水到渠成了。雞兔同籠可以看作是這一類問(wèn)題的結(jié)構(gòu)型模型，模型只有與變式相伴才顯活力和魅力，也才能彰顯其意義。 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)：從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。在小學(xué)階段滲透數(shù)學(xué)建模思想已顯得越來(lái)越重要。數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的某一特定研究對(duì)象，在作了必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)之后，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，并通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言提煉、表達(dá)出來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，如數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)概念、解題方法及某類知識(shí)的特征等。有了建模意識(shí)可以讓我們對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的把握更貼近本原，目光更長(zhǎng)遠(yuǎn)，人們?cè)谂u(píng)數(shù)學(xué)教育時(shí)總喜歡用上這個(gè)工程問(wèn)題的例子： 有一水池，打開進(jìn)水管注滿全池要3小時(shí)，打開出水管放完整池水要2小時(shí)，現(xiàn)在兩管齊開，要多長(zhǎng)時(shí)間才能把一池水放完？ 有人質(zhì)疑：日常生活中，有誰(shuí)會(huì)同時(shí)打開進(jìn)水管和出水管呢？于是，它便成了被批判的對(duì)象。其實(shí)用一種模型的觀念來(lái)審視：草場(chǎng)上草的生長(zhǎng)和割去、家庭的收入和支出、人體的新陳代謝等等不就和水池的進(jìn)水出水是同一個(gè)模型嗎？如果你把它題當(dāng)作一個(gè)反映動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題的模型，也許它就具有價(jià)值了。之所以有人自以為高明的批評(píng)它，那時(shí)因?yàn)樗麄冞€缺乏一種建模的眼界，情境、素材只是表面的，模型才是最為根本的。數(shù)學(xué)建模，是一種方法，是一種思想，更是一種觀念，一種意識(shí)。 （作者單位：江蘇省海安縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)）
從意義建模到能力生成 ——以“平均數(shù)”教學(xué)為例
于榮華
數(shù)學(xué)模型正是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁。引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，就是數(shù)學(xué)化的過(guò)程，也是思維訓(xùn)練的過(guò)程，這將有助于提高他們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、“創(chuàng)造”數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。作為小學(xué)來(lái)講，數(shù)學(xué)建模是遙不可及，還是揠苗助長(zhǎng)；是無(wú)意插花，還是有意栽樹；我們需要從數(shù)學(xué)學(xué)科的價(jià)值和本質(zhì)入手，進(jìn)行深度的思考和剖析。 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)該讓建模成為構(gòu)通數(shù)學(xué)與生活應(yīng)用之間的橋梁。學(xué)生通過(guò)熟悉的現(xiàn)實(shí)生活，自己逐步抽象出數(shù)學(xué)模型，從中學(xué)生能體會(huì)到從實(shí)際情景中發(fā)展數(shù)學(xué)是獲得再創(chuàng)造數(shù)學(xué)的絕好機(jī)會(huì)，在建立模型形成新的數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，學(xué)生能更好體會(huì)到數(shù)學(xué)與大自然和社會(huì)的天然聯(lián)系。只有這樣，數(shù)學(xué)教學(xué)中的“建模”才有了相應(yīng)的環(huán)境與氛圍。 下面我們以“平均數(shù)”為例進(jìn)行建模教學(xué)的實(shí)踐： 1．原型喚醒，提供貼近生活的背景。 要建模首先必須對(duì)實(shí)際原形有充分的了解，明確原型的特征，只有做到這一點(diǎn)，才能使建模者對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化。由于小學(xué)生的生活經(jīng)歷有限，對(duì)一些實(shí)際問(wèn)題的了解比較含糊，這不利于學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題的簡(jiǎn)化和抽象，所以條件許可的話可以組織學(xué)生參與一些相關(guān)的社會(huì)調(diào)查和實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生親身體驗(yàn)生活，親自經(jīng)歷事情的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，讓學(xué)生主動(dòng)獲取相關(guān)的信息和數(shù)學(xué)材料，從而培養(yǎng)學(xué)生對(duì)事物的觀察和分辨能力，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)。為此，我們認(rèn)為教師在提供問(wèn)題的背景時(shí)，首先必須考慮這些背景材料學(xué)生是否熟悉，學(xué)生是否對(duì)這些背景材料感興趣。我們可以創(chuàng)造性地使用教材，根據(jù)目前教材所提供的教學(xué)內(nèi)容，結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際，把學(xué)生所熟悉的或了解的一些生活實(shí)例作為應(yīng)用題教學(xué)的問(wèn)題背景，這樣可以克服教材的不足，使學(xué)生對(duì)問(wèn)題背景有一個(gè)詳實(shí)的了解，這不但有利于學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題的簡(jiǎn)化，而且能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。 【片段一】 金壇市實(shí)驗(yàn)小學(xué)建造新校園，甲乙兩個(gè)學(xué)生小隊(duì)參加義務(wù)勞動(dòng)，并進(jìn)行1分鐘搬磚比賽：
2．哪隊(duì)搬磚快？你評(píng)判的標(biāo)準(zhǔn)是什么？（甲隊(duì)一共15塊，乙隊(duì)一共12塊，甲隊(duì)搬磚的總數(shù)多，就說(shuō)明甲隊(duì)勝利，我們對(duì)甲隊(duì)表示祝賀。）
4．（有些學(xué)生舉手表示反對(duì)）你們有什么想法？假如你是甲隊(duì)的隊(duì)員，你有意見(jiàn)嗎？為什么？ 5．“哎呀，看來(lái)人數(shù)不相等，用比總數(shù)的辦法決定勝負(fù)不公平。” 6．在人數(shù)不相等的情況下，難道就沒(méi)有更好的辦法來(lái)比較搬磚的快慢？
8．你認(rèn)為這兩種評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)在適用范圍上有什么不同？ 【解讀】本課所設(shè)計(jì)的“問(wèn)題情景”是生活中比賽場(chǎng)景和平均數(shù)意義的自然融合，這個(gè)比賽場(chǎng)景隱含著平均數(shù)意義的本質(zhì)，具備情景的開放性和模糊性兩個(gè)特點(diǎn)，學(xué)生在自由地解讀中整理兩組數(shù)據(jù)，而情景的呈現(xiàn)和解讀并不是一步到位的，情景分兩次呈現(xiàn)，從而激起學(xué)生思維沖突，思考更好的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，從而有序地推進(jìn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的深入。這樣，從一個(gè)生活比賽場(chǎng)景中抽取出平均數(shù)意義的過(guò)程，反映出從一個(gè)生活問(wèn)題（哪隊(duì)搬得快）到數(shù)學(xué)問(wèn)題（什么是平均數(shù)）的抽取過(guò)程，是學(xué)生一次建模的過(guò)程，也是學(xué)生對(duì)平均數(shù)意義初步感知的過(guò)程。 2．意義賦予，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題簡(jiǎn)化的過(guò)程。 兒童有無(wú)限的創(chuàng)造力，雖然他們所掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)是有限的，但他們的想象力是無(wú)限的，他們敢想敢做善于異想天開，這對(duì)簡(jiǎn)化實(shí)際問(wèn)題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是十分有利的。因此，在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中教師要善于調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)建模的積極性，千萬(wàn)不能對(duì)學(xué)生的不合理的歸納或不恰當(dāng)?shù)某橄?，以及不合常情的假設(shè)加以批評(píng)和指責(zé)，恰恰相反要抓住他們閃光的地方加以表?yè)P(yáng)、鼓勵(lì)，并通過(guò)適度的引導(dǎo)和點(diǎn)撥使學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題的簡(jiǎn)化更加恰當(dāng)。這需要教師進(jìn)行有機(jī)地進(jìn)行引導(dǎo)，沒(méi)有相應(yīng)地進(jìn)行指導(dǎo)與引導(dǎo)，那么情境活動(dòng)則會(huì)變?yōu)橹щx破碎的學(xué)生經(jīng)驗(yàn)，反而在學(xué)生的學(xué)習(xí)中起到消極的作用。因?yàn)椴⒎菍W(xué)生所有的經(jīng)驗(yàn)都有同等的教育價(jià)值，有些經(jīng)驗(yàn)不在弄清它們之間相互聯(lián)系的基礎(chǔ)上組織起來(lái)，它們?cè)诮虒W(xué)方面就要起消極作用。 【片段二】 1．怎么求出兩隊(duì)的平均數(shù)？四人小組討論，推選一位介紹學(xué)習(xí)成果。 2．反饋：哪個(gè)小組來(lái)匯報(bào)一下？ ①估算：我們組估計(jì)一下，如果要使他們同樣多，甲隊(duì)大概在5塊左右，乙隊(duì)大概在4塊左右…… 平均數(shù)的范圍：最小數(shù)＜平均數(shù)＜最大數(shù) ②移多補(bǔ)少方法：對(duì)估算方法的驗(yàn)證延伸出來(lái)。電腦呈現(xiàn)：我們一起來(lái)估算一下，（把一根水平線移到7的位置），平均數(shù)會(huì)是7嗎？為什么？…… ③計(jì)算。甲隊(duì)：（7+6+5）÷3=5（塊） 乙隊(duì)（2+7+3+4）÷4=4（塊） 1）你是怎么想的？5代表什么？4代表什么？ 2）和小李的5一樣嗎？和小風(fēng)的4塊一樣嗎？（這種數(shù)字相同純屬巧合） 3）平均數(shù)跟以前學(xué)過(guò)的每份數(shù)一樣嗎？（實(shí)質(zhì)不同：呈現(xiàn)每份數(shù)的條形圖和平均數(shù)的條形作對(duì)比。） 4）總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù) 【解讀】平均數(shù)的意義是代表一組數(shù)據(jù)整體的一般情況，它并不代表具體的數(shù)。這種意義只能是讓學(xué)生在協(xié)作探索中意會(huì)而不能言傳，通過(guò)協(xié)作學(xué)習(xí)和教師有力度問(wèn)題的追問(wèn)，有機(jī)地呈現(xiàn)出估算、移多補(bǔ)少、計(jì)算等三種相互聯(lián)系的方法，在對(duì)比中達(dá)到清晰概念、深刻理解概念的目的，也為學(xué)生合理建模奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 3．經(jīng)歷創(chuàng)造，構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)模型。 學(xué)生掌握了某項(xiàng)數(shù)學(xué)知識(shí)后，可以有意識(shí)地創(chuàng)設(shè)一些把所學(xué)知識(shí)運(yùn)用到生活實(shí)際的環(huán)境，來(lái)幫助學(xué)生把數(shù)學(xué)模型建立地更好、更深。通過(guò)這些把數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際相聯(lián)系的活動(dòng)，即能有效的鞏固所學(xué)知識(shí)，又培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力和實(shí)踐能力，讓數(shù)學(xué)回到了現(xiàn)實(shí)生活中，同時(shí)，學(xué)生建立的這些數(shù)學(xué)模型更加深入、明確。 【片段三】 1．小結(jié)：當(dāng)人數(shù)不相等時(shí)，比總數(shù)不公平，是誰(shuí)出現(xiàn)在我們的課堂里？此時(shí)此刻，你不想對(duì)平均數(shù)發(fā)自內(nèi)心的說(shuō)兩句嗎？ 2．溝通平均數(shù)與生活的聯(lián)系：你在生活中見(jiàn)過(guò)哪些平均數(shù)？ 出示：實(shí)驗(yàn)小學(xué)老校區(qū)人均占地面積是4平方米，新校區(qū)人均占地面積是15平方米。 【解讀】將平均數(shù)概念和學(xué)生身邊符與具體含義的平均數(shù)相鏈接，學(xué)生試圖用平構(gòu)數(shù)概念去解釋其具體的含義時(shí)，這就是數(shù)學(xué)概念與生活表征兩者在學(xué)生心中融合的過(guò)程，是學(xué)生深刻地理解過(guò)程，是物理模型到化學(xué)模型的轉(zhuǎn)變過(guò)程。 4．協(xié)作會(huì)話，評(píng)價(jià)應(yīng)用數(shù)學(xué)模型。 數(shù)學(xué)模型來(lái)自生活實(shí)際，數(shù)學(xué)建模的目的是解決實(shí)際問(wèn)題。因此，每個(gè)數(shù)學(xué)模型都應(yīng)有其本身的應(yīng)用價(jià)值，如果一個(gè)數(shù)學(xué)模型只能解決當(dāng)前的一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，那么這樣的數(shù)學(xué)模型就失去了應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)也就失了去數(shù)學(xué)建模的意義。當(dāng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模完成后，要讓學(xué)生展示自己的建模思維過(guò)程，充分暴露學(xué)生的思維過(guò)程。同時(shí)也要鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)別人的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)，在展示、評(píng)價(jià)中比較每個(gè)數(shù)學(xué)模型的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。 【片段四】 小王前去應(yīng)聘，1個(gè)月后卻只得到500元……小王和老板打官司，誰(shuí)會(huì)贏？ 【解讀】數(shù)模在生活中能得到靈活的應(yīng)用，才是達(dá)到深刻理解和把握數(shù)學(xué)模型的目的，而此題招工廣告是為培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)模、解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)好素材。 通過(guò)以上平均數(shù)的教學(xué)例子我們可以發(fā)現(xiàn)，通過(guò)數(shù)學(xué)建模能使學(xué)生真正體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生真正了解數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力。 （作者單位：江蘇省金壇市華城實(shí)驗(yàn)小學(xué)） |
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來(lái)自： 學(xué)習(xí)著 > 《培訓(xùn)資料》
