寫給學(xué)生

第四章 有效提高解題水平的捷徑

第一節(jié) 走走停停

　　一道題目做出來后，不要如釋重負(fù)——可把它拿下來了，趕快做下一道吧。太傻了！

這如同抗日戰(zhàn)爭(zhēng)中一場(chǎng)激烈的戰(zhàn)斗，全殲了被包圍的日寇之后，指揮員馬上吹集合號(hào)把隊(duì)伍帶走一樣。

因?yàn)?，抗?zhàn)初期我們隊(duì)伍裝備很困難，這時(shí)，應(yīng)該打掃戰(zhàn)場(chǎng)，收撿敵人的槍支彈藥給養(yǎng)補(bǔ)充自己、壯大自己，好去打新的勝仗。做出一道題目后，也要來打掃戰(zhàn)場(chǎng)。因?yàn)?，能把一道題目做出來，必定是思考上符合了科學(xué)規(guī)律，當(dāng)然，有些是自覺的，有些是不自覺的，甚至歪打正著——瞎碰出來的。

這時(shí)，需要停下來，回首剛剛走過的道路，進(jìn)行分析、總結(jié)、吸收營(yíng)養(yǎng)、分析教訓(xùn)，提高了自己以后，以強(qiáng)大一截的自己，投入新的戰(zhàn)斗——做下一道題。當(dāng)然，這個(gè)停下來回首的時(shí)間，根據(jù)情況，有時(shí)多一些，有時(shí)短一些，也有時(shí)可以是幾道類似的題目之后合并進(jìn)行。但一定要進(jìn)行！這就是走走停停。

停一停來回首，回首什么呢？

第二節(jié) 回答的目的是有所發(fā)現(xiàn)，有所發(fā)明，有所創(chuàng)造，有所前進(jìn)

　　停下來是為了進(jìn)行回首，但回首不是目的，回首的目的，是有所發(fā)

現(xiàn)，繼而有所前進(jìn)。

怎樣的回首，才能起到這種作用呢？

第1 步，看看這道題我是怎么解出來的？完成解法的關(guān)鍵性步驟是

哪些？

第2 步，回憶自己是怎么想出來的？

第3 步，因而，是不是還可以有另外的方法，并一一完成它們；（一

題多解）

第4 步，比較不同的解法，挖掘它們的共同本質(zhì)；（多解歸一）

第5 步，作為第4 步挖掘出來的這“共同本質(zhì)，以前是否總結(jié)過？

如果有，那么，“存檔”，這是普適性的思考方法；如果沒有，也“存

檔”，是“預(yù)備檔”，看看以后它是否又“冒出水面”，若如是，即可

轉(zhuǎn)正，存“正式檔”。（多題歸一）

概括起來，就是一題多解，多解歸一，多題歸一。

第三節(jié) 使“有所發(fā)明”、“有所創(chuàng)造”具體化

　　我的學(xué)生們說：平面幾何，我們連課本上的題目都沒有弄完（我們數(shù)學(xué)課不留作業(yè)，只是建議同學(xué)們回家后可以看看課本上的習(xí)題，復(fù)習(xí)題，練習(xí)題則免看），練習(xí)冊(cè)不買，課下幾乎沒見過課本以外的題目，

但我們手中有孫老師的平面幾何幾個(gè)表（12 條規(guī)律，前面提到的證明4條線段成比例的規(guī)律，就是其中規(guī)模較大的一條規(guī)律）、立體幾何10 個(gè)表，掌握了這些。無論什么平面幾何題、立體幾何題，就難不倒我們了。同學(xué)們的說法有些夸張。但對(duì)于不是怪題、特別難的題目，情況的確如此。這可以從我們?cè)谥锌?、高考、?shù)學(xué)競(jìng)賽中的成績(jī)看出來。事實(shí)上，不僅對(duì)于平面幾何、立體幾何，在代數(shù)、解析幾何中，也

是如此。我有時(shí)對(duì)人說，我這里有4 個(gè)“大規(guī)律”、15 個(gè)“中規(guī)律”、三四十個(gè)“小規(guī)律”，掌握運(yùn)用嫻熟了，那么，從初一到高三，從代數(shù)到幾何，就沒有不會(huì)做的題目了。正因?yàn)槿绱?，我們可以根本不進(jìn)題海，又由于站在系統(tǒng)的高度，站在哲理的高度，運(yùn)籌帷幄，縱橫馳騁，課程進(jìn)度也大大加快。初一入學(xué)

后，代數(shù)與幾何同時(shí)進(jìn)行，但每周6 課時(shí)不增加，由于我經(jīng)常外出開會(huì)，實(shí)際每周上不到6 課時(shí)，可是用了一年半，就學(xué)完初中數(shù)學(xué)的全部，而且增加了許多內(nèi)容。例如，反證法，需要條件、邏輯、初等數(shù)論某些知

識(shí)、平均數(shù)不等式、排列組合，等等。到初三畢業(yè)，則基本學(xué)完高中數(shù)學(xué)（包括代數(shù)、立體幾何、解析幾何），并補(bǔ)充了排序不等式、柯西不等式等及高等數(shù)學(xué)的一些內(nèi)容。但是，掌握武器的是人。先進(jìn)的武器，只有在訓(xùn)練有素、勇敢堅(jiān)強(qiáng)的戰(zhàn)士手中，才有巨大的殺敵作用。我們的解題思考規(guī)律是在一題多解、

多解歸一、多題歸一的實(shí)踐中總結(jié)出來的，的確是寶貴的。但它們能在我們班的中考、高考、數(shù)學(xué)競(jìng)賽中發(fā)揮作用，如本章一開始就寫下的，是更因?yàn)槲覀內(nèi)闹铝Φ氖聵I(yè)——造就一個(gè)強(qiáng)大的頭腦，取得了進(jìn)展。

否則，這些條條不能靈活適時(shí)地運(yùn)用，在拿來一道題目的思考中，能起到的作用就很有限了。

　　　自1981 年以來，來自北京各區(qū)縣和全國(guó)各地到22 中來聽過我的課的老師，已在1 萬人以上。有好多老師聽完課后，向我要“大規(guī)律、中規(guī)律、小規(guī)律”的表。因?yàn)樗麄冊(cè)诼犝n時(shí)，看到了令人興奮的生動(dòng)情景；同學(xué)們表現(xiàn)了很高的解題能力，而他們一個(gè)個(gè)到黑板上講題時(shí)，常常說自己是根據(jù)某某規(guī)律，因而采取了某種構(gòu)思? .我對(duì)這些老師說，這些規(guī)律，我們并不保密，但欲讓它們發(fā)揮作用，在我們是經(jīng)歷了很長(zhǎng)一個(gè)時(shí)期的“實(shí)踐→認(rèn)識(shí)→再實(shí)踐”的過程，并且繼之以“再實(shí)踐→再認(rèn)識(shí)→又實(shí)踐”。同時(shí)，全神致力于提高自己的思維水平，造就一個(gè)強(qiáng)大的頭腦，把通過實(shí)踐、觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納規(guī)律，

也作為造就一個(gè)強(qiáng)大的頭腦的一個(gè)方面。同時(shí)，我沒有保留地把我們的4 個(gè)大規(guī)律告訴他們：

（1）深入進(jìn)去，弄通情景；

（2）順推分析和逆推分析相結(jié)合；

（3）換個(gè)角度看問題，是靈活性的本質(zhì)；

（4）廣義對(duì)稱思想。

我發(fā)現(xiàn)，每每這時(shí)，他們常常有些失望，因?yàn)?，這不像所期待的寶葫蘆。對(duì)于第（4）條，更有一種惘然的表情__

第四節(jié) 劍在磨礪中鋒利

第五節(jié) 必須追溯其所以然

　　　一些優(yōu)秀的教師或讀物講題時(shí)，不但清晰地講明白了解法（或證法）的每一步，還講出了得到這個(gè)解法（或證法）的想法醞釀過程，即這個(gè)解法是怎么想出來的，我稱它為“所以然”。如果老師（或讀物）只講清楚了解法，而沒有講出怎么想出了這個(gè)方法，那么，我們同學(xué)們聽講（或看書）時(shí)，一定要追！追出其所以然?？梢詥柪蠋煟骸澳鸀槭裁匆@兒來想？”如果老師回答不出（讀書時(shí)，則無老師可問），就自己去想，去分析，把為什么這么想，包括過程中的一些重要轉(zhuǎn)折或步驟，是怎么想出來的，即，為什么要這么去想，都要弄得水落石出，達(dá)到這個(gè)地步，這道題你才算聽會(huì)了，會(huì)了這道題，對(duì)自己才有價(jià)值，自己的解題能力才可以說，有了一點(diǎn)兒發(fā)展。否則，這道題會(huì)做了，再換一道呢？又得請(qǐng)人講或者看書上寫的解

法了，因?yàn)?，自己不?huì)想。教師不能這樣講課，學(xué)生也不能這樣聽講。同時(shí)，希望說清楚，“要講出其然，更講出所以然”，特別是其中的一個(gè)方面，老師自己的誤走麥城，是學(xué)生的寶貴財(cái)富。我們班不留筆頭數(shù)學(xué)作業(yè)，只少量留些題目讓大家思考，但思考一定要是“更知其所以然”的。我們的數(shù)學(xué)課堂上講題，無論是老師還是學(xué)生，一定要“講出其所以然”。開始時(shí)，就像前面寫的那樣細(xì)致，這是剛?cè)氤跻粫r(shí)，但隨著同學(xué)們頭腦強(qiáng)大起來，水平提高起來，表達(dá)“其然”也好，表達(dá)“其所以然”也好，都要簡(jiǎn)練得多了，而且，愈來愈快，愈來愈精煉，迫使每個(gè)同學(xué)的思考高速運(yùn)轉(zhuǎn)，日復(fù)一日，年復(fù)一年，習(xí)以為常了，是一個(gè)強(qiáng)大的頭

腦日臻于成熟的又一個(gè)標(biāo)志。追求“所以然”，可以揭露學(xué)生學(xué)習(xí)中許多模模糊糊的觀念；反之，

卻造成學(xué)生觀念上的似是而非。當(dāng)然，這個(gè)“所以然”，要追溯到我們總結(jié)出的解題思考規(guī)律上，

才能打住。

第六節(jié) 強(qiáng)調(diào)兩個(gè)方法

一、圖形的方法

　　　在中學(xué)數(shù)學(xué)里，數(shù)形結(jié)合，是非常重要的，它幫助我們形象直觀地理解概念、性質(zhì)等等，這里通常指解析幾何里的方程的曲線，或代數(shù)里函數(shù)的圖像。

　　但我在這里提出的“圖形的方法”是另外的意思，是對(duì)一些并沒有前面所述的原本數(shù)學(xué)中就規(guī)定有圖像或曲線的代數(shù)問題，甚至是解題的思考過程，圖形化，形象化，生動(dòng)化，出現(xiàn)逼真的情景，春風(fēng)化雨，使

題目顯而易見的化難為易，得到解決。

2．舉一反三，引伸發(fā)展

　　　要浮想聯(lián)翩，恣意馳騁。這是本書的反復(fù)強(qiáng)調(diào)特別在第二篇第一章“時(shí)時(shí)注意尋找知識(shí)之間的聯(lián)系和規(guī)律”中著意闡述的。但這里所講“舉一反三，引伸發(fā)展”，是從解題做作業(yè)的角度提出的。

第五章 一些具體的做法

　　前面寫過關(guān)于一分為二的觀點(diǎn)，它有這樣一層意思，任何事物都不是絕對(duì)的，而是用對(duì)的，有條件的。

談到具體的做法時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們注意這一點(diǎn)但這并不意味著，怎么做都是好的，措施可以不同，但精神和原則，又要是一致的。

第一節(jié) 中學(xué)時(shí)代需要高層次的體育和藝術(shù)修養(yǎng)

第二節(jié) 高層次的業(yè)余生活

第三節(jié) 科學(xué)安排日程

　　1．要抓緊時(shí)間。但不能違背科學(xué)。比如，把午飯后的時(shí)間都用上了，久而久之，不僅影響了腸胃健康，而且易產(chǎn)生疲勞，下午學(xué)習(xí)都學(xué)不好。再如，有人說自己越是夜深腦子越清醒，但是一個(gè)人的生物鐘有高峰，也有低谷，養(yǎng)成了夜里清醒的規(guī)律，白天聽課、考試處于了低谷，得乎？失乎？有人要求自己，困難面前不低頭，難題面前不退讓。乃至，頭懸梁，錐刺股，也要拿下它來。對(duì)不對(duì)呢？精神上是對(duì)的，但做法上值得商榷。因?yàn)槠D苦用腦一段時(shí)間后，略事休息才好，特別是一道題目久攻不克，休息一會(huì)兒，有利于從生理心理上換個(gè)角度去思考。

　　　晚飯宜在6 點(diǎn)左右進(jìn)行，一天的學(xué)習(xí)、鍛煉，使得5 點(diǎn)半以后，學(xué)習(xí)已無效果可言，如果晚飯推遲，飯前學(xué)習(xí)沒有效益，又?jǐn)D縮了晚自習(xí)的時(shí)間。有的同學(xué)晚上是睡一覺以后再學(xué)習(xí)，這更不好，因?yàn)?，每次睡覺的前后各有一段時(shí)間半睡半醒，如果把該睡的覺拆成兩段，那么，半睡半醒的時(shí)間增加1 倍，不智。

　　2．合理安排課外閱讀。這里是指課本、參考書以外的讀物。對(duì)于豐富、完善自己的人生，這種閱讀是必要的。正是為了這個(gè)目的。它們應(yīng)該是有選擇的。并且不占太多時(shí)間，不影響其他方面的安排。

　　3．養(yǎng)成訂計(jì)劃的習(xí)慣。

　　會(huì)訂計(jì)劃，善于安排日程，對(duì)于人一生的事業(yè)成功，都是寶貴的。中學(xué)時(shí)代就養(yǎng)成訂計(jì)劃的習(xí)慣，將為此打下基礎(chǔ)。訂學(xué)期計(jì)劃、月計(jì)劃、每日作息安排，然后堅(jiān)決執(zhí)行，并定期修正，使同樣的中學(xué)6 年，得到不一般的收獲。各地、各校、各人的不同情況，作息時(shí)間的細(xì)節(jié)會(huì)有所區(qū)別。但在有一個(gè)細(xì)節(jié)上，我堅(jiān)決主張應(yīng)當(dāng)一律相同，那就是保證每天有充足的睡眠。一方面，這是青少年正常發(fā)育的需要；另一方面，睡夠了覺，頭腦清醒，思維清楚，才有好的學(xué)習(xí)質(zhì)量。我十分反對(duì)在學(xué)習(xí)上提倡“頭懸梁，錐刺股”。已經(jīng)昏昏欲睡了，強(qiáng)制興奮可以使他無法入睡，也同樣會(huì)使他大腦一片空白。我們班的實(shí)踐表明，充足的睡眠，是同學(xué)們?nèi)〉脙?yōu)異成績(jī)的不可或缺的重要因素。

第四節(jié) 我反對(duì)“背”

　　　把本書讀到這里，同學(xué)們大概都會(huì)同意我的觀點(diǎn)，即，知識(shí)是系統(tǒng)中的知識(shí)；一切公式、定理、定義都有它的道理，有時(shí)還那樣令人興奮；學(xué)習(xí)知識(shí)，不能死記硬背，應(yīng)該在理解中特別是“自己動(dòng)手”去理解它們，這樣，在不知不覺中，就記到了心上。有人說，那是理科。文科則需要背，政治不背怎么行？全國(guó)32 個(gè)省市自治區(qū)的名稱還能理解？外語單詞不背怎么行？等等。大謬。

　　　政治是一門科學(xué)，而一些人卻把它看做教條，所以，不背怎么行？越如此，越教條，越枯燥，越學(xué)不進(jìn)去了，把多么好的一門政治課，給背可惜了。

　　　外語單詞的掌握，用多側(cè)面的剖析、聯(lián)系、比較，本書前面舉過外來語側(cè)面、詞根側(cè)面兩個(gè)例子，還有一些側(cè)面，多管齊下，記憶單詞不是難事，但不是“背”單詞。

　　　省、市、自治區(qū)的名稱還能理解？當(dāng)然能，這在本書前面，曾舉過

這上面的一、二個(gè)例子。

如果有人考我32 個(gè)省、市、自治區(qū)的名稱，我現(xiàn)在開始默寫：

黑、吉、遼、冀、魯、蘇、浙、閩、粵、瓊、桂、贛、皖、豫、晉、內(nèi)蒙、陜、鄂、湘、黔、川、甘、寧夏、新疆、青海、藏、滇、京、津、滬、渝、臺(tái)灣。

看看腕上的手表，用了1 分55 秒，并且沒有遺漏，沒有重復(fù)。

　　何以能如此，我腦中，先浮現(xiàn)了一幅地圖，直轄市和臺(tái)灣好寫，放到最后，然后從東北角開始，從上（北）到下（南），一條一條的蛇行前進(jìn)，很快就寫完了它們的名稱。

唔，這不是圖形的方法嗎？

但另一個(gè)例子，則可能是排序的方法了，

再一個(gè)呢？??

我吁請(qǐng)同學(xué)們從“背”的桎梏中解放自己吧，世界本來是那么廣闊，

那么美好。

第五節(jié) 學(xué)會(huì)復(fù)習(xí)

一、復(fù)習(xí)了3 遍和剛復(fù)習(xí)1 遍

一位同學(xué)復(fù)習(xí)3 遍了，另一位同學(xué)剛復(fù)習(xí)1 遍，如果他倆其他基本

條件相同，誰的效果好一些呢？

不好說。

這要看，這3 遍是怎樣的3 遍，而這1 遍又是怎樣的1 遍了。

很多同學(xué)這樣進(jìn)行復(fù)習(xí)（特別是期中和期末），一上來就打開書、

筆記或以前做過的卷子，從頭看起，發(fā)現(xiàn)好多東西都眼熟，越看越高興，

很快就復(fù)習(xí)完了一遍。合上書或筆記本以后，感覺很多東西又記不清了。

于是，照樣再來一遍。而后，又來一遍，仔細(xì)回憶一下，跟復(fù)習(xí)前

的變化不大。

如果用這樣的方式花一天的時(shí)間復(fù)習(xí)3 遍，不如用下面的方式也花

一天的時(shí)間只復(fù)習(xí)1 遍。

那就是，把書（筆記、以前的卷子）合上，先進(jìn)行回憶，一面回憶，

一面在一張紙上勾畫一下輪廓、要點(diǎn)、結(jié)構(gòu)等等，有模糊的地方，也不

打開書，而是竭盡全力，直想到山窮水盡。最后才打開書（筆記、以前

的卷子）。

打開后，對(duì)照一下，回憶中完全正確的部分，不必再花費(fèi)時(shí)間了，

因?yàn)槟切┮呀?jīng)在自己腦子里站住了，又經(jīng)這次默憶，就生了根了；對(duì)于

似是而非或完全忘記了的知識(shí)或題目的解法，則集中時(shí)間和精力，去分

析遺忘的原因，改弦更張，把它們攻克。

一天的時(shí)間和精力，都集中到僅僅幾處，當(dāng)然效果切實(shí)。而這種方

式又使過去學(xué)會(huì)的部分，用剛才的話來說——生根了。

二、總復(fù)習(xí)、階段性復(fù)習(xí)都要有

三、千萬別干“突一突”的蠢事

幾次重大考試?yán)缰锌?、高考前，常聽一些家長(zhǎng)或老師要求學(xué)生，

在最后兩個(gè)月（一般是模擬考試后）全力拼搏，再突一突，甚至有具體

指標(biāo)——“總分再長(zhǎng)××分，達(dá)到×××學(xué)?！?。

講這些話，實(shí)在有些外行。

其一，幾年都沒學(xué)好，就憑最后兩個(gè)月，就能突上去了？這違背科

學(xué)，而且這最后的兩個(gè)月中，又要報(bào)名、體檢、畢業(yè)典禮、照像、領(lǐng)準(zhǔn)

考證、看考場(chǎng)，能靜心學(xué)習(xí)的時(shí)間有1 個(gè)月就不錯(cuò)了，怎么可能把幾年

沒學(xué)好的功課一下子“突”上去。

把某幾個(gè)方面“突”上去，也不是一點(diǎn)兒可能都沒有，若花下大的

力氣，果真在這里突上去了，還不知?jiǎng)e的地方要掉下多少，得不償失。

這里的“突一突”，不少人常是指那些要“背”的科目，是指“政

治”、“語文”、“歷史”。

而且還有“理論”根據(jù)：數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)這些功課非一日之功，

最后一兩個(gè)月想提也提不上去了，于是“背”政治吧，“驚天地泣鬼神”

地一通“背”，趁熱乎勁，倒能拿些“分”，而“背”早了也沒用，到

考試時(shí)就忘了。

殊不知，數(shù)、理、化的確非一日之功，最后一、兩個(gè)月長(zhǎng)不出多少

成績(jī)，但把一、兩個(gè)星期的時(shí)間扔到一邊，成績(jī)肯定要滑下不知多少呢！

解決好這個(gè)問題，我的建議是：

無論數(shù)、理、化，還是語文、政治、歷史等等，外語更是如此，一

定要在平時(shí)每天學(xué)好，不要產(chǎn)生下意識(shí)寄希望于考前“突”。特別是_政

治，平時(shí)學(xué)習(xí)，就要深入地學(xué)好這門科學(xué)。

在考前兩個(gè)月的總復(fù)習(xí)中，不要集中時(shí)間一門一門地復(fù)習(xí)，而要和

課表上安排配合，在每?jī)商熘?，每門功課都接觸一次。學(xué)校停課后自己

回家復(fù)習(xí)時(shí)，也要這樣。

而這一階段最重要的，是確立兩個(gè)目標(biāo)，或者說任務(wù)吧，那就是：

（1）通過從容地回顧、條理、系統(tǒng)化，使那幾年內(nèi)學(xué)過的知識(shí)，在

自己的腦海里，全面回潮；

（2）讓自己的體力、精力、心理、精神越來越好，造成強(qiáng)烈的求戰(zhàn)

欲，摩拳擦掌，躍躍欲試。

現(xiàn)在把本書開頭提到的1999 年6 月10 日那天大會(huì)上，劉婷同學(xué)和

陳碩同學(xué)的發(fā)言轉(zhuǎn)載在下面，作為一個(gè)側(cè)面的小結(jié)，劉婷同學(xué)現(xiàn)在在清

華大學(xué)計(jì)算機(jī)系，獲獎(jiǎng)學(xué)金，陳碩同學(xué)在清華大學(xué)電子系，剛進(jìn)校，就

獲得獎(jiǎng)學(xué)金。他們發(fā)言是談我的教學(xué)方法，但同時(shí)反映了作為一名學(xué)生

如何學(xué)習(xí)的領(lǐng)會(huì)。

談孫維剛老師教學(xué)特點(diǎn)

學(xué)生 劉婷

孫老師是我的恩師，跟孫老師學(xué)了8 年，我學(xué)了許多東西，特別是

他獨(dú)特的教學(xué)方式，使我體味到教學(xué)也是一門藝術(shù)，它并不亞于音樂、

繪畫、雕刻，它塑造的對(duì)象就是我們——每一個(gè)學(xué)生?！鞍巡宦斆鞯淖?/p>

聰明，讓聰明的更聰明?！睂O老師經(jīng)常這樣說，通過他的教學(xué)實(shí)踐，也

真正實(shí)現(xiàn)了這一點(diǎn)。

很難說在一篇短短的文章中概括出孫老師的教學(xué)特色，只能談幾點(diǎn)

我的親身感受。俗話說，站得高方能看得遠(yuǎn)。學(xué)習(xí)是這樣，教學(xué)更是如

此。孫老師并不單純著眼于傳授知識(shí)或是培養(yǎng)能力，而更注重提高人的

素質(zhì)，說白了就是造就我們強(qiáng)大的大腦。

我還清楚地記得孫老師在奧校給我們上的第一堂課。說是講數(shù)學(xué)，

可是他一道具體題目也沒講，而是從什么是數(shù)學(xué)談起，談到歷史、物理、

天文??一會(huì)兒風(fēng)趣地給我們講人的鼻孔為什么朝下而不向上，一會(huì)兒

又講到六、七十年代柬埔寨朗諾叛變；從吟詠的詩(shī)句“忽如一夜春風(fēng)來，

千樹萬樹梨花開”到贊嘆門捷列耶夫?qū)ξ窗l(fā)現(xiàn)元素的驚人預(yù)見力。思維

跨越千山萬水，跨越時(shí)空。這些看起來毫無關(guān)聯(lián)的事情，都被孫老師自

然地聯(lián)系在一起。孫老師說：“聰明的第一個(gè)表現(xiàn)就是思潮如涌。讓你

的思維活躍地跳動(dòng)，見到問題不斷追根問底，當(dāng)一個(gè)個(gè)為什么解決之后，

事情就明朗了，人也就變得聰明起來了。學(xué)習(xí)也是一樣，聰明的人不會(huì)

照搬死記一個(gè)個(gè)公式、概念，而是八方聯(lián)系，浮想聯(lián)翩，這樣才能讓死

的公式變得鮮活生動(dòng)起來，才能把紛繁雜亂的知識(shí)聯(lián)系樹立起來，使書

在越念越厚之后變得越來越薄，最后回頭想想，所學(xué)的那么多東西，只

不過玩弄于股掌之中的一些小玩意罷了?！?/p>

孫老師十分注重培養(yǎng)我們用哲學(xué)思想去指導(dǎo)學(xué)習(xí)。如對(duì)稱思想，矛

盾對(duì)立統(tǒng)一，量變到質(zhì)變等都是非常重要的思想。記得還在上初中時(shí)，

一次孫老師順手在黑板上寫了個(gè)公式，（a＋b）3=a3＋3a2b－3ab2＋b3 他

邊回身邊問我們能不能記住這個(gè)公式，我說：“能?！睂O老師搖搖頭說：

“你應(yīng)該說這個(gè)公式一定寫錯(cuò)了。因?yàn)樵诠阶蠖薬 和b 是平等的，而

在展開式中a 和b 不平等了，那么他一定錯(cuò)誤的，這就是對(duì)稱思想”。

當(dāng)然這個(gè)例子太小了，對(duì)稱的意思是相當(dāng)深刻，廣泛的。對(duì)稱就是和諧，

是美，是一切事物都在他該在的地方。有了這種思想，才有了元素周期

律表，才能預(yù)見、判斷很多問題的結(jié)果。作為學(xué)生我們不可能很深刻地

理解他，但僅運(yùn)用它的皮毛我們就可以用一個(gè)上午學(xué)習(xí)并掌握三角函數(shù)

118 個(gè)公式，這是大部分學(xué)校一個(gè)月要講的功課，可見用哲學(xué)思想指導(dǎo)的

威力。

孫老師從不搞題海戰(zhàn)術(shù)，他指導(dǎo)我們做題的思想是：弄通情景，題

不求多，但求精彩。做到一題多解，多解歸一，多題歸一，有所發(fā)現(xiàn)。

孫老師經(jīng)常在黑板上寫一道精彩的題目，然后帶著我們弄通情景，將題

目分析得“體無完膚”，然后解法就順理成章地形成了。同時(shí)他還鼓勵(lì)

有不同解法的同學(xué)上黑板講他們的解法，最關(guān)鍵的是要講出他們是如何

弄通情景的。然后我們一起分析不同方法異曲同工的地方在哪里，是否

還可推廣。有時(shí)孫老師會(huì)毫不吝惜地拿出好幾堂課時(shí)間來分析一道題目。

看似浪費(fèi)時(shí)間，實(shí)際上將這一道題吃透了比盲目地做上幾十道題目更有

意義。

我認(rèn)為孫老師的教學(xué)指導(dǎo)思想和方法是先進(jìn)的，是教學(xué)發(fā)展的方向。

這一點(diǎn)在我上了清華大學(xué)后更深有體會(huì)。將來21 世紀(jì)國(guó)際間的競(jìng)爭(zhēng)歸根

結(jié)底是人才的競(jìng)爭(zhēng)。而高素質(zhì)的人才需要的創(chuàng)新精神，不是簡(jiǎn)單重復(fù)前

人的工作。應(yīng)試教育是無法培養(yǎng)出人才的，他無異于對(duì)年輕人才智的扼

殺。而靠題海戰(zhàn)術(shù)得高分的同學(xué)上了大學(xué)就會(huì)發(fā)現(xiàn)過去這套學(xué)習(xí)方法再

也不能適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)。因?yàn)槟阍僖矝]有時(shí)間去靠“熟”來生巧了。因

此，我希望更多的中學(xué)生從題海里跳出來，站得更高一點(diǎn)，眼界放長(zhǎng)遠(yuǎn)

一點(diǎn)，選擇一種先進(jìn)的學(xué)習(xí)方法去學(xué)習(xí)，把自己的才華發(fā)揮得淋漓盡致。

1999．6．10__

使我終生受益的數(shù)學(xué)課

學(xué)生 陳碩

孫老師的課與眾不同，不但教授知識(shí)，更重要的是講授方法——解

題和思維的方法，這些方法不僅適用于數(shù)學(xué)，對(duì)其他學(xué)科也大有裨益。

他的最大特點(diǎn)就是舉一反三，觸類旁通，注重知識(shí)間的聯(lián)系，學(xué)科間的

交織。

孫老師的第一節(jié)課給我留下了深刻的印象。他一動(dòng)不動(dòng)的站在講臺(tái)

上問大家，“我是靜止的？”我舉手回答：“您是靜止的，但是您的心

在跳動(dòng)。”無知的我還在心里沾沾自喜，殊不知我的回答引起了全班的

哄堂大笑——大家都明白他為什么問這個(gè)問題，而我卻不知道。孫老師

沒有笑，更沒有指責(zé)，他把問題嚴(yán)謹(jǐn)了，“好，現(xiàn)在不說我了，我們來

看這支粉筆。”說著，他把粉筆穩(wěn)穩(wěn)地立在面前，“你說它是靜止的嗎？”

“不能這么講，因?yàn)榈厍蜻€在轉(zhuǎn)動(dòng)”我回答說。對(duì)于五年級(jí)的我來說，

能想到這一層已經(jīng)很不錯(cuò)了。但是孫老師隨后的講解使我明白了運(yùn)動(dòng)和

靜止是相對(duì)的，是要對(duì)一個(gè)特定的參考物而言。孫老師通過這個(gè)例子，

告訴我們，要多角度看問題，不要拘泥于一點(diǎn)，只有經(jīng)常改變觀察點(diǎn)，

才能把問題看清楚，看全面，才能使問題迎刃而解。換個(gè)角度看問題是

孫老師最得意的“動(dòng)的思想”中很重要的一部分。

在這堂課上，還有一道很經(jīng)典的題目：共有12 個(gè)形狀和大小都一樣

的球，其中有一壞球重量與其他不同，要求天平稱三次把它找出來?？?/p>

似簡(jiǎn)單的一道題，卻著實(shí)難壞了我們。“要是知道壞球是較重還是較輕

就好了?！薄笆茄?，就差一點(diǎn)了?！贝蠹壹娂娮h論。只差這最后一步，

可就是不能成功，絞盡了腦汁、還是沒有思路。這時(shí)孫老師啟發(fā)我們“不

知道輕重，又要把它找出來，就得充分利用每一次機(jī)會(huì)，爭(zhēng)取既縮小范

圍又判斷輕重”。這種一箭雙雕的想法給了我們很大的啟發(fā)，很快大家

紛紛找到了不同的解法。孫老師讓每個(gè)人輪流到黑板上講解自己的方法，

大家互相取長(zhǎng)補(bǔ)短。在以后的教學(xué)中，他也是這么做的。任何一個(gè)問題

都是由我們自己來解決，在課堂上同學(xué)們互相交流，孫老師要求我們不

僅要講清楚解法、一定要講出來是怎么想出來的，即思路是什么。他經(jīng)

常強(qiáng)調(diào)，沒有思路的解法是瞎蒙的，對(duì)于其他問題毫無用處。在講課的

時(shí)候，孫老師總是把他解題的每一步思考過程展現(xiàn)出來，讓我們了解他

每一步的想法，看到哪里“碰壁”了，在哪里有了突破，由此我們知道

每一個(gè)新穎的解法的完成都是自然而然、順理成章的，決不是碰巧湊出

來的。

有許多數(shù)學(xué)題的解法不只一種，他總是提倡一題多解，鼓勵(lì)同學(xué)們

提出不同的方法，有時(shí)一道題的方法竟多達(dá)七八種，分別從不同的角度

入手，面貌迥異。每逢此時(shí)，孫老師又給我們提出新的課題，讓我們找

到各種解法之間的聯(lián)系，直到我們發(fā)現(xiàn)它們共同的本質(zhì)，完成多解歸一

的過程。

面對(duì)許多中學(xué)教師題海戰(zhàn)術(shù)式的教學(xué)方法，孫老師走出了他自己的

一條新路。他總是說；做題不在多，而在于把每一道題都做透徹，一般

的步驟應(yīng)當(dāng)是：一題多解。多解歸一多題一解，多題歸一。上面我們已

經(jīng)看到了一題多解和多解歸一，那什么叫多題一解呢？不同的題有一個(gè)

解法嗎？當(dāng)然不是。在一題多解的過程中，我們看到，許多題目有著一

種或幾種本質(zhì)上相同或相似的方法，也可能是其中的某些步驟有著共同

的特點(diǎn)。在充分剖析之后，就形成了某些固定的思路和技巧，并把它們

增添到我們的“武器庫(kù)”中，這樣多題一解和多題歸一也就不難理解了。

這樣的小技巧有許多，尤其是在解決平面幾何問題的時(shí)候，孫老師

經(jīng)過多年的潛心研究，總結(jié)了一套解題的規(guī)律，他稱之為“表”，共有

12 個(gè)左右，囊括了平面幾何中的幾乎全部方面：三角形、四邊形、圓、

全等、相似等等。有了這些小規(guī)律，再加之正確的思考方法，中考難度

的幾何題已不在話下。我們平時(shí)的學(xué)習(xí)中，也常常能發(fā)現(xiàn)新的技巧，為

我們的“武器庫(kù)”不斷增添新的成員。班里的每個(gè)人都會(huì)毫無保留地把

自己解題的心得奉獻(xiàn)出來，與大家充分交流，這樣同學(xué)在一起互相“傳

染”聰明，共同提高。孫老師也從不拒絕每一個(gè)新的方法，哪怕十分繁

瑣，我們總能從中吸取有益的東西，不斷豐富自己。他還常常想出一些

打趣的話來幫助我們記憶冗長(zhǎng)復(fù)雜的公式：在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，課本上

的加上老師補(bǔ)充的公式一共有130 多個(gè)，要熟記它們并非易事。孫老師

教給我們一些口訣，如“正弦喜歡花，余弦喜歡素”，等等，使我們很

容易的記住這130 多個(gè)公式。

孫老師十分注重培養(yǎng)同學(xué)們的邏輯思維能力，常常把一些題目的敘

述過程寫下來，我們從中領(lǐng)略到它的技巧安排和嚴(yán)密結(jié)構(gòu)，受益匪淺。

從師近8 年，收獲最大的是想問題的方法，作學(xué)問的方法，它們不

僅適用于數(shù)學(xué)，其他學(xué)科也毫無例外。孫老師總是站在哲理的高度看問

題、找到統(tǒng)領(lǐng)一切的精髓?！耙环譃槎笔恰皠?dòng)的思想”的精華，他時(shí)

常教導(dǎo)我們要全面的看問題，不僅要看到好的一面，也要看到不好的一

面?！斑@不是天平，各占50％，而是輕重有別?！边@正是我們哲學(xué)課講

到的矛盾和矛盾的主要方面?！耙环譃槎钡乃枷胧刮覀兡軌蚋尤?/p>

地看待每一個(gè)問題，讓我受益終生。

每當(dāng)學(xué)習(xí)一項(xiàng)新的內(nèi)容時(shí)，孫老師總能不斷聯(lián)系以前學(xué)過的知識(shí)，

提示我們自己提出新的定理和公式，并讓我們自己想出證明方法。有時(shí)

候，同學(xué)幾乎成了課堂的主角，孫老師只是在一旁作插話?！鞍研聠栴}

歸結(jié)到舊知識(shí)的基礎(chǔ)上”不僅用在解題和學(xué)習(xí)新課程時(shí)，在研究一些較

復(fù)雜的課題時(shí)也是十分重要的思考方法，這符合人們認(rèn)識(shí)客觀事物的基

本過程。

更重要的是，孫老師倡導(dǎo)在課堂上超前思維，向老師挑戰(zhàn)。這使我

們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)處于主動(dòng)地位，而不是被動(dòng)地成為學(xué)習(xí)的奴隸。“向老師挑

戰(zhàn)”，可能不為一般人理解，學(xué)生如何敢向老師發(fā)難？但是，在我們班，

老師和學(xué)生是平等的，孫老師十分歡迎同學(xué)給他挑錯(cuò)，有時(shí)甚至故意弄

出些錯(cuò)誤看我們是否能夠找到，這不僅給我們提供了鍛煉的機(jī)會(huì)。也用

以檢驗(yàn)我們聽講的效果。他讓我們不要迷信權(quán)威，不要迷信課本，找出

課本里的一些不合理的地方，甚至是疏漏或錯(cuò)誤。

“世界上沒有沒有為什么的事”這也是孫老師常掛在嘴邊的一句話。

“為什么全等記號(hào)和相似記號(hào)相差一個(gè)等于號(hào)？”“為什么把‘角角邊’

定理簡(jiǎn)寫作‘AAS’？“為什么用左右顛倒的字母‘E’來表示‘存在’，

用上下顛倒的字母‘A’來表示任意？”等等。每件事都想想為什么，在

解決這些問題的過程中不斷積累經(jīng)驗(yàn)，學(xué)到更多新的知識(shí)。

孫老師的講課最吸引人的地方要數(shù)他廣闊的聯(lián)想，從東周列國(guó)講到

解放戰(zhàn)爭(zhēng)，從拿破侖講到斯大林，從尼克松訪華講到雅各賓派專政，無

一不顯現(xiàn)他淵博的知識(shí)和敏銳的頭腦、這些看似和數(shù)學(xué)毫不相干，其實(shí)

它們和數(shù)學(xué)和其他學(xué)科都有著深刻的聯(lián)系，可謂同出一轍。學(xué)科間本無

明顯界限，它們總是互相交織，互相滲透，只有掌握其中的規(guī)律才能把

握內(nèi)在的靈魂，做到知識(shí)越學(xué)越少，真正的從必然王國(guó)邁入自由王國(guó)。

1999 年6 月 于清華園