(3)學(xué)生將人民教育出版社A版教科書必修1第16頁“表1—1”表示的函數(shù)的定義域?qū)懗?991≤x≤2001.德國數(shù)學(xué)家狄利克雷特( P. G. L. Dirichlet,1805—1859)在1837年時就提出:“如果對于x的每
一個值, y總有一完全確定的值與之對應(yīng),則y是x的函數(shù). ”這種定義雖然較原始,但突顯了兩個變量取值的一種對應(yīng)關(guān)系,學(xué)生更易理解.
因此,人教社A版教材可如下定義函數(shù):
設(shè)A, B 是非空的數(shù)集(其中A 為變量x的取值組成的集合) ,如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,變量x在集合A 中的任意一個取值,使變量y在集合B 中都有唯一確定的值f ( x)與它對應(yīng),那么就稱f∶A →B 為從集合A 到集合B 的一個函數(shù)( function) ,
　記作y = f ( x) , x∈A .
其中, x叫做自變量, x的取值組成的集合A 叫做函數(shù)的定義域( domain) ;與x 的取值相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f ( x) | x∈A}叫做函數(shù)的值域( range). 顯然,值域是集合B 的子集.
教授函數(shù)時,教師還要注意以下幾點:
(1)函數(shù)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中第一次遇到的具有一般意義的抽象概念,在這個定義下可以建立許許多多具體的函數(shù). 對于初中學(xué)生來說,對這種多層次概念的理解是需要時間和經(jīng)驗積累的,教學(xué)時,要注意抓住函數(shù)的本質(zhì)———兩個變量取值的對應(yīng)關(guān)系. 因此,在教學(xué)過程中,先不要忙于教三種表達形式,而要通過各種實例,讓學(xué)生逐漸熟悉函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系之后,再適時地歸納出函數(shù)通常的三種表達形式.
(2)要理解函數(shù)就必須理解函數(shù)的基本概念———定義域和值域. 在一般情況下,根據(jù)問題的背景可以先得到定義域,然后通過兩個變量的對應(yīng)規(guī)律得到值域. 教學(xué)時,要通過適量的練習(xí)(特別是有實際背景的例子,而不是“人造”的函數(shù))很好地理解定義域和值域,這對于研究函數(shù)性質(zhì)是很重要的. 但是,那些在求定義域和值域的練習(xí)中加了許多花樣的題目,不是在求定義域和值域,而是在進行代數(shù)方程或不等式的運算訓(xùn)練. 這樣的技巧訓(xùn)練,往往會干擾學(xué)生對函數(shù)的定義域和值域本身的理解,舍本逐末,是不可取的.
(3)為了進一步理解函數(shù)的符號表示y = f ( x) ,
應(yīng)結(jié)合教科書第15—16頁上的三個例子讓學(xué)生反復(fù)認識其中的字母x、f、y,特別是要引導(dǎo)學(xué)生理解當(dāng)f表示圖象和表格時的函數(shù)關(guān)系. y = f ( x)不是函數(shù)的解析式(表達式) ,它只表達了自變量與因變量取
值的對應(yīng)關(guān)系, f就是對應(yīng)關(guān)系,可以是具體的解析式,也可以是圖象,還可以是表格. 由于學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”的思想尚未形成,當(dāng)函數(shù)用圖象表示時,可強調(diào):將自變量的取值用橫軸上的點表示,因變量對應(yīng)
的值用縱軸上的點表示,這樣,兩條軸上的那些點就通過圖象對應(yīng)起來了,從而兩個變量的值也就通過圖象對應(yīng)起來了.
(4)雖然函數(shù)通常有三種表達形式,但功能是有所區(qū)別的解析式是最常用的方法,直接表達了兩個變量的數(shù)量關(guān)系,適用于表述連續(xù)函數(shù)或者分段函數(shù),有利于精確研究函數(shù)的性質(zhì)、構(gòu)建教學(xué)模型,但對初學(xué)者來說也是最抽象的;列表法適用于表述變量取值是離散的情況;圖像法可以直觀地表述函數(shù)的形態(tài),有利于直觀分析函數(shù)的性質(zhì),但作圖常常是比較困難的. 不過,世間沒有十全十美的方法,應(yīng)根據(jù)討論問題的不同選擇恰當(dāng)?shù)谋硎拘问?或相互結(jié)合. 如在股市上,某種價格( y)與時刻( t) ,顯然y是t的函數(shù),但無法用表達式表示它們的函數(shù)關(guān)系,等等.
教科書上關(guān)于增函數(shù)、減函數(shù),奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義在敘述上也存在問題:
人民教育出版社A版教科書必修1第28頁:一般地,設(shè)函數(shù)f ( x)的定義域為I:如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D 上的任意兩個自變量的值x1 ,
x2 ,當(dāng)x1 < x2 時,都有f ( x1 ) < f ( x2 ) ,那么就說函數(shù)f( x)在區(qū)間D上是增函數(shù)( increasing function).這個定義中的“任意兩個自變量的值x1 , x2 ”,顯然是漢語語法上的表述錯誤,應(yīng)改為“自變量的任意兩個取值x1 , x2 ”. 同樣地,在減函數(shù)的定義中
也存在這種語法錯誤,也應(yīng)這樣更正.
人民教育出版社A版教科書必修1第33頁,對偶函數(shù)是這樣定義的:一般地,如果對于函數(shù)f ( x )定義域內(nèi)任意一個x,都有f ( - x) = f ( x) ,那么函數(shù)f ( x)就叫做偶函數(shù)( even function).
這個定義和教科書第35頁關(guān)于奇函數(shù)的定義中都有“函數(shù)f ( x)定義域內(nèi)任意一個x”,這樣的敘述顯然讓人啼笑皆非. 函數(shù)f ( x )的自變量是x,就一個,怎么會是“定義域內(nèi)任意一個x”呢? 其實,定義的敘述是想說明自變量的任意一個值都滿足條件. 于是,可這樣定義偶函數(shù):
如果對于函數(shù)f ( x) ,自變量x在定義域內(nèi)的任意一個取值,都滿足f( - x) = f ( x) ,那么函數(shù)f ( x)就叫做偶函數(shù)( even function).
奇函數(shù)的定義也可作相應(yīng)的更改.教授奇函數(shù)和偶函數(shù)時,不要繞過多的圈子,完全可先讓學(xué)生從其圖象上直觀認識,我們就把圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)稱為偶函數(shù),關(guān)于原點對稱的函數(shù)稱為奇函數(shù),然后引導(dǎo)學(xué)生下嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定義.同時,要讓學(xué)生明白函數(shù)奇偶性的幾何意義就是其圖象的對稱性,這也是函數(shù)奇偶性的本質(zhì);函數(shù)奇偶性的代數(shù)意義就是當(dāng)自變量的取值互為相反數(shù)時,對應(yīng)的函數(shù)值有何關(guān)系(相等還是互為相反數(shù)呢).因此,奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義實際上有兩層意義,首先,對任意x∈A 可得 - x∈A (這個特征的幾何意義就是
其定義域A (區(qū)間) 關(guān)于原點對稱) , 其次才是f ( - x) = f ( x).
上述之見,僅為作者在教學(xué)研究中的一點體驗和感悟,因收到了較好的效果,故撰之.
參考文獻
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