數(shù)列（二）等比數(shù)列

二. 知識講解：

1. 判定

（1）定義法（）（）

（2）等比中項法（）

（3）通項法

（4）前項和法（）

2. 性質(zhì)為等比

（1）若，則（）

（2）為的子數(shù)列，，若為等差，則為等比

如

則仍為等比數(shù)列；公比

（3）中依次項和仍成等比，公比

如仍為等比數(shù)列；公比

（4）中依次項積仍為等比，公比

（5）

由

（6）

左式

【典型例題】

[例1] 若等比數(shù)列前項和，則常數(shù)的值是（    ）

A.     B. 1    C.     D. 2

解：，故

[例2] 等比數(shù)列中，已知，求

解：由成等比且公比為可求

[例3] 數(shù)列的前項和記為，已知（），求的和。

解：當(dāng)時，

由已知

于是

故

由

故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列

是以為首項為公比的等比數(shù)列

[例4]（96全國文）設(shè)等比數(shù)列前項和為，若，求數(shù)列的公比

解：若，則有，但，即得，故

又依題意，可得

即

由即    

∵     ∴      ∴

[例5] 已知數(shù)列滿足條件，（），且是公比為（）的等比數(shù)列，設(shè)（）

（1）求出使不等式（）成立的的取值范圍；

（2）求；

（3）設(shè)，求數(shù)列的最大項和最小項的值。

解：

（1）由題意，由

上式，又，故

（2）∵    ∴

，故是首項為公比為的等比數(shù)列，從而

當(dāng)時，；

當(dāng)時，

（3）由

故

記從上式可知，當(dāng)

即（）時，隨的增大而減小，故

當(dāng)，即（）時，也隨的增大而減小，故

綜上知，對任意正整數(shù)，有

故的最大項，最小項

注：設(shè)，此函數(shù)圖象是將的圖象向右移20.2個單位，向上移一個單位而得的。

[例6] 設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，是其前項和，證明

證法1：設(shè)的公比為，由題設(shè)知

（1）當(dāng)時，，從而

（2）當(dāng)時，，從而

由（1）和（2）得，又根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，

得

即

證法2：設(shè)的公比為，由題設(shè)知，

∵

∴

即

[例7] 已知數(shù)列是首項為，且公比不等于1的等比數(shù)列，是其前項和，成等差數(shù)列。

（1）證明：成等比數(shù)列；

（2）求和：

證明：由成A.P

或（舍去）

由

即，所以成G.P

（2）

 ①

①得：②

①－②有：

故

[例8] 如圖是一個計算機(jī)裝置示意圖，，是數(shù)據(jù)輸入口，C是計算結(jié)果的輸出口，計算過程是由分別輸入正整數(shù)和，經(jīng)計算得正整數(shù)，然后由C輸出，即，此種裝置完成的計算滿足以下三個性質(zhì)：

① 若分別輸入1，則輸出結(jié)果為2，即；

② 若輸入1，的輸入由變?yōu)?/SPAN>，則輸出比原來大2，即

+2

③ 若輸入，的輸入由變?yōu)?/SPAN>，則輸出結(jié)果為原來的3倍，即

試回答下列問題：

（1）若J₁輸入2，J₂輸入3，則輸出的結(jié)果為多少？

（2）若J₁輸入1，J₂輸入，則輸出的結(jié)果為多少？

（3）由C能輸出多少個不同的兩位數(shù)？

解：

（1）由

則

（2）數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列

其輸出結(jié)果為

（3）是關(guān)于的等比數(shù)列，首項，公比3

當(dāng)時，表示的兩位數(shù)組成了以10為首項，98為末項的偶數(shù)數(shù)列共45項，當(dāng)時，所表示的兩位數(shù)已在上述數(shù)列中

綜上，由C能輸出45個不同的兩位數(shù)。

【模擬試題】

一、選擇題。

  1. 無窮數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件是（    ）

    A.                                   B.

    C.                    D.

2. 下列敘述中正確的是（    ）

A.等比數(shù)列的首項不能為零，但公比可以為零

B.等比數(shù)列的公比q＞0時，是遞增數(shù)列

C.若數(shù)列{a_n}為常數(shù)列，則此數(shù)列為等比數(shù)列

D.已知等比數(shù)列{a_n}的通項公式a_n= （－2）ⁿ，則它的公比q=－2

  3. 一個等比數(shù)列的第三、第四項分別是4和8，那么它的第一、第五項分別是（    ）

    A. 2，12               B. 1，12        C. 2，16        D. 1，16

4. 已知{a_n}是等比數(shù)列，則在下列數(shù)列①{}②{c－a_n}，c為常數(shù) ③{a_n²} ④{a_2n}⑤{a_n+a_n－1} ⑥{lga_n}中，成等比數(shù)列的個數(shù)為（    ）

A.2                              B.3                              C.4                              D.5

5. 已知數(shù)列a，a（a－1），a（1－a）²，…是等比數(shù)列，則實數(shù)a滿足（    ）

A.a≠1                         B.a≠1或a≠0             C.a≠0                         D.a≠1且a≠0

  6. 某林場計劃第一年造林a畝，以后每年比前一年多造林20%，那么第五年造林的畝數(shù)是（    ）

    A.                         B.

    C.                         D.

  7. 在8和5832之間插入5個實數(shù)，使它們構(gòu)成以8為首項的等比數(shù)列，則此數(shù)列的第5項是（    ）

    A. 1168                 B. 846                   C. 832                   D. 648

  8. ，則數(shù)列a，b，c（    ）

    A. 是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列               B. 是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列

    C. 是等差數(shù)列又是等比數(shù)列                 D. 既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列

  9. 等比數(shù)列，若，那么這個等比數(shù)列的公比等于（    ）

    A.                  B. 2               C.                    D.

二、填空題。

  10. 在等比數(shù)列中，已知首項為，末項為，公比為，則項數(shù)____________。

11. 已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，=（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的第20項a₂₀=__________.

12. 已知五個數(shù)成等比數(shù)列，則________，________，________或________，________，________。

13. 已知等比數(shù)列{a_n}中，a₃=－4，a₆=54，則a₉=__________.

三、解答題。

  14. 有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12，求這四個數(shù)。

15. 在等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}中，已知a₁=b₁=1，a₂=b₂≠1，a₈=b₃.

（1）求數(shù)列{a_n}的公差和數(shù)列{b_n}的公比.

（2）是否存在常數(shù)x、y，使得對于一切正整數(shù)n，都有a_n=log_xb_n+y成立?若存在，求出x和y；若不存在，請說明理由.

【試題答案】

一、

  1. C            2.D         3. D    4.B     5.D     6. B          7. D      8. A      9. D

二、

10.  4              

11.  2²⁰

  12.

  13. －729

三、

    14. 設(shè)四個數(shù)依次為

    依題意有

    由<2>得：代入<1>

    整理得：

    解得：

    從而

    故這四個數(shù)為0，4，8，6或15，9，3，1。

15. 解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，

則或

（2）假設(shè)存在x、y，使得a_n=log_xb_n+y成立（n∈N^*），

即1+（n－1）×5=log_x6^n－1+y，

所以5n－4=（n－1）log_x6+y，

（5－log_x6）n－（4+y－log_x6）=0對一切正整數(shù)n都成立.

所以

即存在常數(shù)x=，y=1，使得對于一切正整數(shù)n，都有a_n=log_xb_n+y成立.