【準(zhǔn)備題】甲乙兩人同時(shí)從A地去20千米遠(yuǎn)的B地，甲騎車乙步行，甲的速度是乙的9倍，甲到達(dá)B地后立即返回，甲乙相遇時(shí)，乙行了多少千米？[【培優(yōu)】風(fēng) 采(34257032)發(fā)布
解： 相遇時(shí)共走2個(gè)全程： 速度比1:9，時(shí)間相同那么路程比為：1:9 20×2÷（1+9）=4千米
即甲乙相遇時(shí)，乙行了4千米。
★房間廣播★【題目1】甲、乙兩班學(xué)生到離學(xué)校30千米的飛機(jī)場參觀。但只有一輛汽車，一次只能乘坐一個(gè)班的學(xué)生，為了盡快到達(dá)飛機(jī)場，兩個(gè)班商定，由甲班先坐車，乙班先步行，同時(shí)出發(fā)，甲班學(xué)生在途中某次下車后再步行去飛機(jī)場，汽車則從某地立即返回接在途中步行的乙班學(xué)生，如果兩班學(xué)生步行的速度相同，汽車速度是他們步行速度的7倍，那么汽車在距飛機(jī)場多少千米處返回接乙班學(xué)生，才能使兩班學(xué)生同時(shí)到達(dá)飛機(jī)場？[【培優(yōu)】風(fēng) 采(34257032)發(fā)布]
解：汽車速度是他們步行速度的7倍
則甲班下車后，在相同時(shí)間內(nèi)，汽車行駛的路程是甲班步行路程的7倍
30÷[（7+1）÷2+1]=6千米
即汽車在距飛機(jī)場6千米處返回接乙班學(xué)生，才能使兩班學(xué)生同時(shí)到達(dá)飛機(jī)場
★房間廣播★【題目2】某團(tuán)體從甲地到乙地，甲、乙兩地相距100千米，團(tuán)體中一部分人乘車先行，余下的人步行，先坐車的人到途中某處下車步行，汽車返回接先步行的那部分人，已知步行速度為8千米/小時(shí)，汽車速度為40千米/小時(shí)。問使團(tuán)體全部成員同時(shí)到達(dá)乙地需要多少時(shí)間?
解：因?yàn)槠囁俣扰c步行速度的比40：8=5：1
所以先坐車的人到途中某處下車步行后，在相同時(shí)間內(nèi)，汽車行駛的路程是步行路程的5倍
所以步行路程為100÷ [（5+1）÷2+1]=25千米
所以使團(tuán)體全部成員同時(shí)到達(dá)乙地需要的時(shí)間為（100-25）/40+25/8=5小時(shí)。
★房間廣播★【題目3】有甲，乙，丙三個(gè)班，步行速度均為4千米/時(shí)，一輛公共汽車，汽車速度36千米/時(shí)。三個(gè)班的學(xué)生從學(xué)校出發(fā)到距學(xué)校42千米的科技館參觀，但車上同時(shí)只能坐一個(gè)班的同學(xué)，則三個(gè)班預(yù)計(jì)12：00開始參觀，最遲應(yīng)該在什么時(shí)刻從學(xué)校出發(fā)。（不考慮上下車的時(shí)間
解：三個(gè)班同時(shí)到達(dá)需要的時(shí)間最短
因?yàn)槠囁俣扰c步行速度的比36：4=9：1
所以先坐車的人到途中某處下車步行后，在相同時(shí)間內(nèi)，汽車再行駛的路程是先坐車的人又步行路程的9倍
所以又步行路程為42÷ [（9+1+2+2）÷4]=12千米
所以甲，乙，丙三個(gè)班行完全程最少需（42-12）/36+12/4=（3+5/6）小時(shí)
所以三個(gè)班預(yù)計(jì)12：00開始參觀，最遲應(yīng)該在12-（3+5/6）=8：10時(shí)刻從學(xué)校出發(fā)。
方法2:(1+9)/2=5 車程:步行路程=5:2 (畫圖)
42×5/7 ÷36 +42×2/7 ÷4=3又5/6小時(shí)
★房間廣播★【題目4】甲班與乙班同學(xué)同時(shí)從學(xué)校出發(fā)去某公園，甲班步行的速度是每小時(shí)4千米，乙班步行的速度是每小時(shí)3千米。學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時(shí)48千米，這輛汽車恰好能坐一個(gè)班的學(xué)生。為了使這兩班學(xué)生在最短的時(shí)間內(nèi)到達(dá)，求甲班學(xué)生與乙班學(xué)生步行的距離之比？
解：為了使這兩班學(xué)生在最短的時(shí)間內(nèi)到達(dá)，需兩班同時(shí)到達(dá)。
汽車速度與甲班步行速度的比48：4=12：1，
所以甲班先坐車到途中某處下車步行后，在相同時(shí)間內(nèi)，汽車再行駛的路程是甲班又步行路程的12倍
即甲班步行1份路，汽車再行12份路，其中返回的路為（12-1）÷2=5.5份；
汽車速度與乙班步行速度的比48：3=16：1
所以設(shè)乙班先步行的路為x，在相同時(shí)間內(nèi)汽車返回接住共行駛的路程比為16x，其中返回的路為（16x-x）÷2=7.5x
令7.5x=5.5份，則x=11/15份
所以為了使這兩班學(xué)生在最短的時(shí)間內(nèi)到達(dá)，甲班學(xué)生與乙班學(xué)生步行的距離之比為1：11/15=15：11
方法2:(畫圖)車程:甲=12:1 公共部分:甲=5.5:1=165:30
車程:乙=16:1 公共部分:乙=7.5:1=165:22
則:甲比乙=30:22=15:11
★房間廣播★【題目5】甲乙兩地相距35千米,小張,小李都要從甲地去乙地,他們只有一輛自行車,小張先步行,小李先乘車,同時(shí)出發(fā).小張步行 的速度是每小時(shí)5千米,小李步行的速度是每小時(shí)4千米.兩人乘車的速度都是每小時(shí)20千米.那么兩人從甲地到乙地最短需要時(shí)間多少小時(shí)?
解：沒有第三人協(xié)助，自行車不會自動(dòng)返回去接小張
要使兩人從甲地到乙地需要時(shí)間最短，需使小李先騎車到某地后，放下自行車徒步前行小張趕來后騎上自行車去追小李，最后同時(shí)到達(dá)。
設(shè)小李先騎車的路程為x千米
則x/20+（35-x）/4=x/5+（35-x）/20，解得x=20
所以兩人從甲地到乙地最短需要時(shí)間20/20+（35-20）/4=4.75小時(shí)
方法2：
(1/5-1/20)：(1/4-1/20)=3: 4 35÷(3+4)=5千米 5×3÷20+5×4÷5=4.75小時(shí)
方法3:
看不懂不要緊，慢慢把講課錄像傳上來（目前傳還不會 呵呵）
容斥問題
2010-04-17 20:25
容斥問題的知識點(diǎn)主要有：
如果有S個(gè)東西，其中具有性質(zhì)A的有a個(gè)，具有性質(zhì)B的有b個(gè)，即具有性質(zhì)A又具有性質(zhì)B的有c個(gè)，則具有性質(zhì)A或B及性質(zhì)AB的為N，N=a+b-c；
不具有性質(zhì)A也不具有性質(zhì)B的為M,M=S-（a+b-c）；
假設(shè)這S個(gè)東西，必須至少具有A、B性質(zhì)的一種，即具有性質(zhì)A或具有性質(zhì)B或同時(shí)具有兩種性質(zhì)，除此沒有，則N=S；
假設(shè)這S個(gè)東西，可能具有A、B性質(zhì)中的一種或兩種或沒有，則S-M=至少具有一種性質(zhì)的集合（N），考題中常用后推的思想。
容斥原理可用集合的知識來表示：
（1）兩個(gè)集合的容斥關(guān)系公式：
A＋B＝A∪B＋A∩B；
A∪B= a+b-c；
c= A∩B
（2）三個(gè)集合的容斥關(guān)系公式：
A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C；
A∪B∪C= a+b+c- A∩B- A∩C- B∩C+ A∩B∩C
下邊我們來看幾道例題，幫助大家熟悉容斥問題的解題方法：
1】某校學(xué)生有1000人，其中500人訂《中國少年報(bào)》，300人訂《少年文藝》，120人訂《數(shù)學(xué)報(bào)》，其中250人訂閱2種，50訂閱3種，問這個(gè)學(xué)校沒有訂閱任何報(bào)的學(xué)生有多少人？（
）
A.250 B.280 C.300 D.360
【答案及解析】B。
先求至少訂閱一種的學(xué)生人數(shù)：500+300+120-250+50=720人，所以一種也沒有訂閱的學(xué)生人數(shù)為：1000-720=280人
【例題2】某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)為32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒有及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是( )。
A．22 B．18 C．28 D．26
【答案及解析】A。
設(shè)A＝第一次考試中及格的人（26），B＝第二次考試中及格的人（24）
顯然，A＋B＝26＋24＝50；A∪B＝32－4＝28，
則根據(jù)公式：A∩B＝A＋B－A∪B＝50－28＝22，
所以，答案為A。
【例題3】某單位有青年員工85人，其中68人會騎自行車，62人會游泳，既不會騎車又不會游泳的有12人，則既會騎車又會游泳的有（
）人
A.57 B.73 C.130 D.69
【答案及解析】A。
設(shè)A＝會騎自行車的人（68），B＝會游泳的人（62）
顯然，A＋B＝68＋62＝130；A∪B＝85－12＝73，
則根據(jù)公式A∩B＝A＋B－A∪B＝130－73＝57
所以，答案為A。
【例題4】對某單位的100名員工進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則只喜歡看電影的有多少人？（）
A．22人 B．28人 C．30人 D．36人
【答案及解析】A。
設(shè)A＝喜歡看球賽的人（58），B＝喜歡看戲劇的人（38），C＝喜歡看電影的人（52）
A∩B＝既喜歡看球賽的人又喜歡看戲劇的人（18）
B∩C＝既喜歡看電影又喜歡看戲劇的人（16）
A∩B∩C＝三種都喜歡看的人（12）
A∪B∪C＝看球賽和電影、戲劇至少喜歡一種（100）
根據(jù)公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C
C∩A＝A＋B＋C－（A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C）
＝148－（100＋18＋16－12）＝26
所以，只喜歡看電影的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C＝52－16－26＋12＝22，所以選A。 【例題 |
追及
2010-04-15 22:06
一條馬路上，小明騎車與小光同行，小明騎車速度是小光速度2倍，每隔10分有一輛公共汽車超過小明，每隔20分有一輛公共汽車超過小明，如果公共汽車從始發(fā)站每次間隔同樣的時(shí)間發(fā)一趟，那么兩車間隔多少分？
紅心對你說：
把小光的速度看作1份
小明的速度2份
車和小光的速度差是車和小明速度差的2倍，可得到車3份。公車每分鐘和小光相差2份，10分鐘就相差20份，這就是兩車的間隔，車行這間隔就是20÷3＝20/3分鐘，也就是發(fā)車間隔時(shí)間。
方法2：車速-小光速度 =1/10
車速-小明速度=1/20
（1/10）*2 - 1/20 = 3/20車速度
1/（3/20）= 20/3 發(fā)車時(shí)間 |
小升初奧數(shù)模擬試題全套及答案
2010-02-22 9:10
