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接著理解矩陣。 上一篇里說“矩陣是運(yùn)動(dòng)的描述”，到現(xiàn)在為止，好像大家都還沒什么意見。但是我相信早晚會(huì)有數(shù)學(xué)系出身的網(wǎng)友來拍板轉(zhuǎn)。因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)這個(gè)概念，在數(shù)學(xué)和物理里是跟微積分聯(lián)系在一起的。我們學(xué)習(xí)微積分的時(shí)候，總會(huì)有人照本宣科地告訴你，初等數(shù)學(xué)是研究常量的數(shù)學(xué)，是研究靜態(tài)的數(shù)學(xué)，高等數(shù)學(xué)是變量的數(shù)學(xué)，是研究運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)。大家口口相傳，差不多人人都知道這句話。但是真知道這句話說的是什么意思的人，好像也不多。簡(jiǎn)而言之，在我們?nèi)祟惖慕?jīng)驗(yàn)里，運(yùn)動(dòng)是一個(gè)連續(xù)過程，從A點(diǎn)到B點(diǎn)，就算走得最快的光，也是需要一個(gè)時(shí)間來逐點(diǎn)地經(jīng)過AB之間的路徑，這就帶來了連續(xù)性的概念。而連續(xù)這個(gè)事情，如果不定義極限的概念，根本就解釋不了。古希臘人的數(shù)學(xué)非常強(qiáng)，但就是缺乏極限觀念，所以解釋不了運(yùn)動(dòng)，被芝諾的那些著名悖論（飛箭不動(dòng)、飛毛腿阿喀琉斯跑不過烏龜?shù)人膫€(gè)悖論）搞得死去活來。因?yàn)檫@篇文章不是講微積分的，所以我就不多說了。有興趣的讀者可以去看看齊民友教授寫的《重溫微積分》。我就是讀了這本書開頭的部分，才明白“高等數(shù)學(xué)是研究運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)”這句話的道理。 不過在我這個(gè)《理解矩陣》的文章里，“運(yùn)動(dòng)”的概念不是微積分中的連續(xù)性的運(yùn)動(dòng)，而是瞬間發(fā)生的變化。比如這個(gè)時(shí)刻在A點(diǎn)，經(jīng)過一個(gè)“運(yùn)動(dòng)”，一下子就“躍遷”到了B點(diǎn)，其中不需要經(jīng)過A點(diǎn)與B點(diǎn)之間的任何一個(gè)點(diǎn)。這樣的“運(yùn)動(dòng)”，或者說“躍遷”，是違反我們?nèi)粘５慕?jīng)驗(yàn)的。不過了解一點(diǎn)量子物理常識(shí)的人，就會(huì)立刻指出，量子（例如電子）在不同的能量級(jí)軌道上跳躍，就是瞬間發(fā)生的，具有這樣一種躍遷行為。所以說，自然界中并不是沒有這種運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，只不過宏觀上我們觀察不到。但是不管怎么說，“運(yùn)動(dòng)”這個(gè)詞用在這里，還是容易產(chǎn)生歧義的，說得更確切些，應(yīng)該是“躍遷”。因此這句話可以改成： “矩陣是線性空間里躍遷的描述”。 可是這樣說又太物理，也就是說太具體，而不夠數(shù)學(xué)，也就是說不夠抽象。因此我們最后換用一個(gè)正牌的數(shù)學(xué)術(shù)語——變換，來描述這個(gè)事情。這樣一說，大家就應(yīng)該明白了，所謂變換，其實(shí)就是空間里從一個(gè)點(diǎn)（元素/對(duì)象）到另一個(gè)點(diǎn)（元素/對(duì)象）的躍遷。比如說，拓?fù)渥儞Q，就是在拓?fù)淇臻g里從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的躍遷。再比如說，仿射變換，就是在仿射空間里從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的躍遷。附帶說一下，這個(gè)仿射空間跟向量空間是親兄弟。做計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的朋友都知道，盡管描述一個(gè)三維對(duì)象只需要三維向量，但所有的計(jì)算機(jī)圖形學(xué)變換矩陣都是4 x 4的。說其原因，很多書上都寫著“為了使用中方便”，這在我看來簡(jiǎn)直就是企圖蒙混過關(guān)。真正的原因，是因?yàn)樵谟?jì)算機(jī)圖形學(xué)里應(yīng)用的圖形變換，實(shí)際上是在仿射空間而不是向量空間中進(jìn)行的。想想看，在向量空間里相一個(gè)向量平行移動(dòng)以后仍是相同的那個(gè)向量，而現(xiàn)實(shí)世界等長(zhǎng)的兩個(gè)平行線段當(dāng)然不能被認(rèn)為同一個(gè)東西，所以計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的生存空間實(shí)際上是仿射空間。而仿射變換的矩陣表示根本就是4 x 4的。又扯遠(yuǎn)了，有興趣的讀者可以去看《計(jì)算機(jī)圖形學(xué)——幾何工具算法詳解》。 一旦我們理解了“變換”這個(gè)概念，矩陣的定義就變成： “矩陣是線性空間里的變換的描述。” 到這里為止，我們終于得到了一個(gè)看上去比較數(shù)學(xué)的定義。不過還要多說幾句。教材上一般是這么說的，在一個(gè)線性空間V里的一個(gè)線性變換T，當(dāng)選定一組基之后，就可以表示為矩陣。因此我們還要說清楚到底什么是線性變換，什么是基，什么叫選定一組基。線性變換的定義是很簡(jiǎn)單的，設(shè)有一種變換T，使得對(duì)于線性空間V中間任何兩個(gè)不相同的對(duì)象x和y，以及任意實(shí)數(shù)a和b，有： 定義都是這么寫的，但是光看定義還得不到直覺的理解。線性變換究竟是一種什么樣的變換？我們剛才說了，變換是從空間的一個(gè)點(diǎn)躍遷到另一個(gè)點(diǎn)，而線性變換，就是從一個(gè)線性空間V的某一個(gè)點(diǎn)躍遷到另一個(gè)線性空間W的另一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。這句話里蘊(yùn)含著一層意思，就是說一個(gè)點(diǎn)不僅可以變換到同一個(gè)線性空間中的另一個(gè)點(diǎn)，而且可以變換到另一個(gè)線性空間中的另一個(gè)點(diǎn)去。不管你怎么變，只要變換前后都是線性空間中的對(duì)象，這個(gè)變換就一定是線性變換，也就一定可以用一個(gè)非奇異矩陣來描述。而你用一個(gè)非奇異矩陣去描述的一個(gè)變換，一定是一個(gè)線性變換。有的人可能要問，這里為什么要強(qiáng)調(diào)非奇異矩陣？所謂非奇異，只對(duì)方陣有意義，那么非方陣的情況怎么樣？這個(gè)說起來就會(huì)比較冗長(zhǎng)了，最后要把線性變換作為一種映射，并且討論其映射性質(zhì)，以及線性變換的核與像等概念才能徹底講清楚。我覺得這個(gè)不算是重點(diǎn)，如果確實(shí)有時(shí)間的話，以后寫一點(diǎn)。以下我們只探討最常用、最有用的一種變換，就是在同一個(gè)線性空間之內(nèi)的線性變換。也就是說，下面所說的矩陣，不作說明的話，就是方陣，而且是非奇異方陣。學(xué)習(xí)一門學(xué)問，最重要的是把握主干內(nèi)容，迅速建立對(duì)于這門學(xué)問的整體概念，不必一開始就考慮所有的細(xì)枝末節(jié)和特殊情況，自亂陣腳。 接著往下說，什么是基呢？這個(gè)問題在后面還要大講一番，這里只要把基看成是線性空間里的坐標(biāo)系就可以了。注意是坐標(biāo)系，不是坐標(biāo)值，這兩者可是一個(gè)“對(duì)立矛盾統(tǒng)一體”。這樣一來，“選定一組基”就是說在線性空間里選定一個(gè)坐標(biāo)系。就這意思。 好，最后我們把矩陣的定義完善如下： “矩陣是線性空間中的線性變換的一個(gè)描述。在一個(gè)線性空間中，只要我們選定一組基，那么對(duì)于任何一個(gè)線性變換，都能夠用一個(gè)確定的矩陣來加以描述?！?/STRONG> 理解這句話的關(guān)鍵，在于把“線性變換”與“線性變換的一個(gè)描述”區(qū)別開。一個(gè)是那個(gè)對(duì)象，一個(gè)是對(duì)那個(gè)對(duì)象的表述。就好像我們熟悉的面向?qū)ο缶幊讨?，一個(gè)對(duì)象可以有多個(gè)引用，每個(gè)引用可以叫不同的名字，但都是指的同一個(gè)對(duì)象。如果還不形象，那就干脆來個(gè)很俗的類比。 比如有一頭豬，你打算給它拍照片，只要你給照相機(jī)選定了一個(gè)鏡頭位置，那么就可以給這頭豬拍一張照片。這個(gè)照片可以看成是這頭豬的一個(gè)描述，但只是一個(gè)片面的的描述，因?yàn)閾Q一個(gè)鏡頭位置給這頭豬拍照，能得到一張不同的照片，也是這頭豬的另一個(gè)片面的描述。所有這樣照出來的照片都是這同一頭豬的描述，但是又都不是這頭豬本身。 同樣的，對(duì)于一個(gè)線性變換，只要你選定一組基，那么就可以找到一個(gè)矩陣來描述這個(gè)線性變換。換一組基，就得到一個(gè)不同的矩陣。所有這些矩陣都是這同一個(gè)線性變換的描述，但又都不是線性變換本身。 但是這樣的話，問題就來了如果你給我兩張豬的照片，我怎么知道這兩張照片上的是同一頭豬呢？同樣的，你給我兩個(gè)矩陣，我怎么知道這兩個(gè)矩陣是描述的同一個(gè)線性變換呢？如果是同一個(gè)線性變換的不同的矩陣描述，那就是本家兄弟了，見面不認(rèn)識(shí)，豈不成了笑話。 好在，我們可以找到同一個(gè)線性變換的矩陣兄弟們的一個(gè)性質(zhì)，那就是： 若矩陣A與B是同一個(gè)線性變換的兩個(gè)不同的描述（之所以會(huì)不同，是因?yàn)檫x定了不同的基，也就是選定了不同的坐標(biāo)系），則一定能找到一個(gè)非奇異矩陣P，使得A、B之間滿足這樣的關(guān)系： A = P-1BP 線性代數(shù)稍微熟一點(diǎn)的讀者一下就看出來，這就是相似矩陣的定義。沒錯(cuò)，所謂相似矩陣，就是同一個(gè)線性變換的不同的描述矩陣。按照這個(gè)定義，同一頭豬的不同角度的照片也可以成為相似照片。俗了一點(diǎn)，不過能讓人明白。 而在上面式子里那個(gè)矩陣P，其實(shí)就是A矩陣所基于的基與B矩陣所基于的基這兩組基之間的一個(gè)變換關(guān)系。關(guān)于這個(gè)結(jié)論，可以用一種非常直覺的方法來證明（而不是一般教科書上那種形式上的證明），如果有時(shí)間的話，我以后在blog里補(bǔ)充這個(gè)證明。 這個(gè)發(fā)現(xiàn)太重要了。原來一族相似矩陣都是同一個(gè)線性變換的描述??！難怪這么重要！工科研究生課程中有矩陣論、矩陣分析等課程，其中講了各種各樣的相似變換，比如什么相似標(biāo)準(zhǔn)型，對(duì)角化之類的內(nèi)容，都要求變換以后得到的那個(gè)矩陣與先前的那個(gè)矩陣式相似的，為什么這么要求？因?yàn)橹挥羞@樣要求，才能保證變換前后的兩個(gè)矩陣是描述同一個(gè)線性變換的。當(dāng)然，同一個(gè)線性變換的不同矩陣描述，從實(shí)際運(yùn)算性質(zhì)來看并不是不分好環(huán)的。有些描述矩陣就比其他的矩陣性質(zhì)好得多。這很容易理解，同一頭豬的照片也有美丑之分嘛。所以矩陣的相似變換可以把一個(gè)比較丑的矩陣變成一個(gè)比較美的矩陣，而保證這兩個(gè)矩陣都是描述了同一個(gè)線性變換。 這樣一來，矩陣作為線性變換描述的一面，基本上說清楚了。但是，事情沒有那么簡(jiǎn)單，或者說，線性代數(shù)還有比這更奇妙的性質(zhì)，那就是，矩陣不僅可以作為線性變換的描述，而且可以作為一組基的描述。而作為變換的矩陣，不但可以把線性空間中的一個(gè)點(diǎn)給變換到另一個(gè)點(diǎn)去，而且也能夠把線性空間中的一個(gè)坐標(biāo)系（基）表換到另一個(gè)坐標(biāo)系（基）去。而且，變換點(diǎn)與變換坐標(biāo)系，具有異曲同工的效果。線性代數(shù)里最有趣的奧妙，就蘊(yùn)含在其中。理解了這些內(nèi)容，線性代數(shù)里很多定理和規(guī)則會(huì)變得更加清晰、直覺。 這個(gè)留在下一篇再寫吧。 因?yàn)橛袆e的事情要做，下一篇可能要過幾天再寫了。 |
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