函數(shù)的基本性質(zhì)

一、函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)圖像的走勢，高考中?？计湟幌伦饔茫罕容^大小，解不等式，求最值。

定義：（略）

定理1： 那么

上是增函數(shù)；

上是減函數(shù).

定理2：（導(dǎo)數(shù)法確定單調(diào)區(qū)間） 若 ，那么

上是增函數(shù)； 上是減函數(shù).

1.函數(shù)單調(diào)性的判斷(證明)

(1)作差法(定義法)   (2)作商法   (3)導(dǎo)數(shù)法

2.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定

對于函數(shù) 和 ，如果函數(shù) 在區(qū)間 上具有單調(diào)性，當(dāng) 時 ，且函數(shù) 在區(qū)間 上也具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù) 在區(qū)間 具有單調(diào)性。

3.由單調(diào)函數(shù)的四則運(yùn)算所得到的函數(shù)的單調(diào)性的判斷

對于兩個單調(diào)函數(shù) 和 ，若它們的定義域分別為 和 ，且 ：

(1)當(dāng) 和 具有相同的增減性時，

① 的增減性與 相同，

② 、 、 的增減性不能確定；

(2)當(dāng) 和 具有相異的增減性時，我們假設(shè) 為增函數(shù)， 為減函數(shù)，那么：

① 的增減性不能確定；

② 、 、 為增函數(shù)， 為減函數(shù)。

4.奇偶函數(shù)的單調(diào)性

奇函數(shù)在其定義域內(nèi)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其定義域內(nèi)的對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

二、函數(shù)的對稱性

函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個基本性質(zhì), 對稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中,而且利用對稱性往往能夠更簡捷的使問題得到解決,對稱關(guān)系同時還充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)之美。

1.函數(shù) 的圖象的對稱性（自身）:

定理1: 函數(shù) 的圖象關(guān)于直 對稱

特殊的有：

①函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱 。

②函數(shù) 的圖象關(guān)于 軸對稱（奇函數(shù)） 。

③函數(shù) 是偶函數(shù) 關(guān)于 對稱。

定理2：函數(shù) 的圖象關(guān)于點 對稱

特殊的有：

①     函數(shù) 的圖象關(guān)于點 對稱 。

②     函數(shù) 的圖象關(guān)于原點對稱（奇函數(shù)） 。

③     函數(shù) 是奇函數(shù) 關(guān)于點  對稱。

定理3：（性質(zhì)）

①若函數(shù)y=f (x)的圖像有兩條鉛直對稱軸x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)為周期函數(shù)且2|a-b|是它的一個周期。

②若函數(shù)y=f (x)的圖像有一個對稱中心M(m.n)和一條鉛直對稱軸x=a,那么f(x)為周期函數(shù)且4|a-m|為它的一個周期。

③若函數(shù)y = f (x) 圖像同時關(guān)于點A (a ,c)和點B (b ,c)成中心對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數(shù)，且2| a－b|是其一個周期。

④若一個函數(shù)的反函數(shù)是它本身,那么它的圖像關(guān)于直線y=x對稱。

2.兩個函數(shù)圖象的對稱性:

①函數(shù) 與函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 (即 軸)對稱.

②函數(shù) 與函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱.

特殊地: 與函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱

③函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱的解析式為

④函數(shù) 的圖象關(guān)于點 對稱的解析式為

⑤函數(shù)y = f (x)與a－x = f (a－y)的圖像關(guān)于直線x +y = a成軸對稱。

函數(shù)y = f (x)與x－a = f (y + a)的圖像關(guān)于直線x－y = a成軸對稱。

函數(shù)y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關(guān)于直線x = y 成軸對稱。

3．奇偶函數(shù)性質(zhì)

對于兩個具有奇偶性的函數(shù) 和 ，若它們的定義域分別為 和 ，且 ：

（1）滿足定義式子 （偶） （奇）

（2）在原點有定義的奇函數(shù)有

(3)當(dāng) 和 具有相同的奇偶性時，假設(shè)為奇函數(shù)，那么：

①函數(shù) 、 也為奇函數(shù)；

③兩個偶函數(shù)之和、差、積、商為偶函數(shù)

(4)當(dāng) 和 具有相異的奇偶性時，那么：

① 、 的奇偶性不能確定；

② 、 、 為奇函數(shù)。

（6）任意函數(shù) 均可表示成一個奇函數(shù) 與一個偶函數(shù) 的和。

（7）一般的奇函數(shù)都具有反函數(shù)，且依然是奇函數(shù)，偶函數(shù)沒有反函數(shù)

（8）圖形的對稱性  關(guān)于 軸對稱的函數(shù)（偶函數(shù)）關(guān)于原點 對稱的函數(shù)（奇函數(shù)）

（9）若 是偶函數(shù)，則必有

     若 是奇函數(shù)，則必有

（10）若 為偶函數(shù)，則必有

      若 是奇函數(shù)，則必有

（11）常見的奇偶函數(shù)

三、函數(shù)的周期性

函數(shù)的周期性反映了函數(shù)的重復(fù)性，在試題中它的主要用途是將大值化小，負(fù)值化正，求值。

1.周期性的定義

對于函數(shù) ，如果存在一個非零常數(shù) ，使得當(dāng) 取定義域內(nèi)的每一個值時，都有 都成立，那么就把函數(shù) 叫做周期函數(shù)，非零常數(shù) 叫做這個函數(shù)的周期。如果所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就把這個最小的正數(shù)叫做最小正周期。如果非零常數(shù) 是函數(shù) 的周期，那么 、 （ ）也是函數(shù) 的周期。

2. 函數(shù)的周期性的主要結(jié)論：

結(jié)論1：如果 （ ），那么 是周期函數(shù)，其中一個周期

結(jié)論2：如果 （ ），那么 是周期函數(shù)，其中一個周期

結(jié)論3：如果定義在 上的函數(shù) 有兩條對稱軸 、 對稱，那么 是周期函數(shù)，其中一個周期

結(jié)論4：如果偶函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 （ ）對稱，那么 是周期函數(shù)，其中一個周期

結(jié)論5：如果奇函數(shù) 的圖像關(guān)于直線 （ ）對稱，那么 是周期函數(shù)，其中一個周期

結(jié)論6：如果函數(shù)同時關(guān)于兩點 、 （ ）成中心對稱，那么 是周期函數(shù)，其中一個周期

結(jié)論7：如果奇函數(shù) 關(guān)于點 （ ）成中心對稱，那么 是周期函數(shù)，其中一個周期

結(jié)論8：如果函數(shù) 的圖像關(guān)于點 （ ）成中心對稱，且關(guān)于直線 （ ）成軸對稱，那么 是周期函數(shù)，其中一個周期

結(jié)論9：如果 或 ，那么 是周期函數(shù)，其中一個周期

結(jié)論10：如果 或 ，那么 是周期函數(shù)，其中一個周期

結(jié)論11：如果 ，那么 是周期函數(shù)，其中一個周期

例1：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f (10+x)為偶函數(shù)，且f (5－x) = f (5+x),則f (x)一定是（   ） （第十二屆希望杯高二 第二試題）

(A)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)        (B)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

(C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)        (D)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

解：∵f (10+x)為偶函數(shù)，∴f (10+x) = f (10－x).

∴f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個周期的周期函數(shù)， ∴x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函數(shù)。

故選(A)               

例6.求證:若 為奇函數(shù)，則方程 =0若有根一定為奇數(shù)個。

證:   為奇函數(shù)   - =

2 =0                即 =0是方程 =0的根

若 是 =0的根，即 =0                由奇數(shù)定義得 =0

也是方程的根

即方程的根除 =0外成對出現(xiàn)。

方程根為奇數(shù)個。                                                                             

例2：設(shè)定義域為R的函數(shù)y = f (x)、y = g(x)都有反函數(shù)，并且f(x－1)和g^-1(x－2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對稱，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。

（A）    1999； （B）2000； （C）2001；（D）2002。

解：∵y = f(x－1)和y = g^-1(x－2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y = x對稱，

∴y = g^-1(x－2) 反函數(shù)是y = f(x－1)，而y = g^-1(x－2)的反函數(shù)是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001

故f(4) = 2001,應(yīng)選（C）

例3.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1+x)= f(1－x),當(dāng)－1≤x≤0時，

f (x) = － x，則f (8.6 ) = _________   （第八屆希望杯高二 第一試題）

解：∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)∴x = 0是y = f(x)對稱軸；

又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3

例4. 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+2)= －f(x),當(dāng)0≤x≤1時，

f (x) = x，則f (7.5 ) = （  ）

  (A)  0.5            (B)  －0.5             (C) 1.5                 (D) －1.5

解：∵y = f (x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴點（0，0）是其對稱中心；

   又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直線x = 1是y = f (x) 對稱軸，故y = f (x)是周期為2的周期函數(shù)。

   ∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故選(B)

一、 反函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用

（1）定義域值域相反    （2）圖象關(guān)于 對稱  （3）具有相同的單調(diào)性、奇偶性

（4）單調(diào)函數(shù)一定具有反函數(shù)，具有反函數(shù)的函數(shù)不一定單調(diào)，偶函數(shù)和周期函數(shù)一定不具有反函數(shù)       （5）原函數(shù)過 則反函數(shù)過 反之亦然

（6） ， ，但 僅當(dāng) 才成立

（二）奇偶函數(shù)性質(zhì)

（1）滿足定義式子（2）在原點有定義的奇函數(shù)有 （3）兩個偶函數(shù)之和、差、積、商為偶函數(shù)；（4）兩個奇函數(shù)之和、差為奇函數(shù)；積（商）為偶函數(shù)；（5）一個奇函數(shù)和偶函數(shù)之積、商為奇函數(shù)．（6）任意函數(shù) 均可表示成一個奇函數(shù) 與一個偶函數(shù) 的和（7）一般的奇函數(shù)都具有反函數(shù)，且依然是奇函數(shù)，偶函數(shù)沒有反函數(shù)（8）圖形的對稱性

（三）   周期性：定義、判斷

常見具有周期性的函數(shù)      或

（四）   對稱性：判斷、性質(zhì)

（1）一個函數(shù)的對稱性：

1、函數(shù) 關(guān)于 對稱 或  或    顯然： 特殊的有偶函數(shù)關(guān)于y（即x=0）軸對稱，則有關(guān)系式 ；一般的有 ，函數(shù) 關(guān)于直線  對稱

2、函數(shù) 關(guān)于點 對稱

或 顯然特殊的有奇函數(shù)關(guān)于（0，0）對稱，奇函數(shù)有關(guān)系式

一般的有 ，函數(shù) 關(guān)于點  對稱

3、函數(shù)自身不可能關(guān)于 對稱，曲線則可能

（2）兩個函數(shù)的對稱性：

1、    與 關(guān)于X軸對稱。

2、    與 關(guān)于Y軸對稱。

3、    與 關(guān)于直線 對稱。

4、    與 關(guān)于直線 對稱。

5、    關(guān)于點(a,b)對稱。

6、 與 關(guān)于直線 對稱。

7、 關(guān)于直線 對稱

（四）三性的綜合應(yīng)用

（08湖北卷6）已知 在R上是奇函數(shù)，且 A

  A.-2                 B.2                 C.-98            D.98

（08四川卷）函數(shù) 滿足 ，若 ，則 ( C )

（Ａ） 　　     （Ｂ） 　　       （Ｃ） 　　      （Ｄ）

（2010安徽理數(shù)）若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)=1，f(2)=2則 的值為（    ）A、        B、1         C、        D、2

（09江西卷）已知函數(shù) 是 上的偶函數(shù)，若對于 ，都有 ，且當(dāng) 時， ，則 的值為 ( C    )

A． 　　　     B． 　　     　C． 　　　   　D．

(09東興十月)定義在R上的函數(shù) 的圖象關(guān)于點 對稱，且滿足 ， ， ，則 _______

2009廣東三校一模）定義在 上的函數(shù) 是奇函數(shù)又是以 為周期的周期函數(shù),則

等于                 (  B  )

A.-1              B.0               C.1          D.4    

（2009全國卷Ⅰ理）函數(shù) 的定義域為R，若 與 都是奇函數(shù)， 則 ( D   )          A、2009      B、-2009        C 、-2            D.、2

若函數(shù)y=f (x)的圖像有一個對稱中心M(m.n)和一條鉛直對稱軸x=a,那么f(x)為周期函數(shù)且4|a-m|為它的一個周期。

∵函數(shù)y = f (x)圖像既關(guān)于點A (a ,c) 成中心對稱，

∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）

又∵函數(shù)y = f (x)圖像直線x =b成軸對稱，

∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：

f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：

f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函數(shù)，且4| a－b|是其一個周期。

例2. 是定義在R上滿足 的函數(shù)且滿足 若 時 則 時＿＿

,                              

知識點及方法

對稱性、函數(shù)的奇偶性；二次函數(shù)的對稱性；對稱性與函數(shù)的解析式；化歸思想

二次函數(shù)的對稱性

1．     已知 是二次函數(shù)，圖象開口向上, , 比較 大小。

2．     若二次函數(shù) 的圖象開口向下，且f(x)=f(4-x),比較 的大小。

3．     二次函數(shù) 滿足 ,求 的頂點的坐標(biāo)。

4．     已知 ,且 .（1）寫出 的關(guān)系式   （2）指出 的單調(diào)區(qū)間。

函數(shù)的對稱性求解析式

1．  已知 是偶函數(shù)，當(dāng) 時， ,求 的解析式.

2．  已知函數(shù)的 圖象與函數(shù) 的圖象關(guān)于原點成中心對稱, 求 的解析式。

3．  設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，若當(dāng)x￡1時，y=x²＋1，求當(dāng)x>1時, ,f(x)的解析式.

4．  設(shè) , 求 關(guān)于直線 對稱的曲線的解析式.

5．  已知函數(shù) 是偶函數(shù)，且x∈(0,+∞)時有f(x)= , 求當(dāng)x∈(－∞,－2)時, 求  的解析式.

6．  已知函數(shù) 是偶函數(shù)，當(dāng) 時， 又 的圖象關(guān)于直線 對稱，求 在 的解析式.

7．   已知函數(shù) ）是奇函數(shù)，則下列坐標(biāo)表示的點一定在函數(shù) 圖象上A．   B．   C．   D．

8．  已知 是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng) 時， ，那么不等式 的解集是（    ）

9．    設(shè)定義域為R的函數(shù) 滿足以下條件；    ⑴ 對任意 ；    ⑵ 對任意 ，當(dāng) 時，有 則以下不等式不一定成立的是（    ） A． B．

C．          D．

5、 已知定義在 上的函數(shù) 的圖象關(guān)于點 對稱，且 ， ， ，則 的值為（    ）

    A．          B．          C．0          D．1

7、已知函數(shù) ，給出下列命題，

⑴ 不可能為偶函數(shù)；    ⑵ 當(dāng) 時， 的圖象必關(guān)于直線 對稱；    ⑶ 若 0，則 在區(qū)間 上是增函數(shù)；    ⑷ 有最小值 ，其中正確命題的序號是______（將你認(rèn)為正確的命題的序號都填上）．

9．已知函數(shù)f(x)=x+x³+x⁵，x_l，x₂，x₃∈R，且x_I+x₂＜0，x₁+x₃<0，x₂+x₃<0，則f(x₁)+f(x₂)+f(x₃)的值(B )

     A．大于0          B．小于0          C．等于0        D．不確定

10．函數(shù) 在區(qū)間 上有最小值，則函數(shù) 在區(qū)間 上一定             （ D）

    A．有最小值         B．有最大值          C．是減函數(shù)          D．是增函數(shù)

12．函數(shù) ，若f（0）=3，且f（2 x）=f（x），則有（B?。?/SPAN>

A. 　            B.

C. 　            D. 與 的大小不確定

14．函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，那么實數(shù)a的取值范圍是        （ A）

       A．                 B．                 C．                  D．

熱點1 （圖象與性質(zhì)）．函數(shù) 的圖象是兩條直線的一部分（如圖所示），其定義域為[-1，0）∪（0，1]，則不等式 － ＞-1的解集是

A．      B.      

C.  D.

５．函數(shù) 的定義域為D： 且滿足對于任意 ，有

（１）求 的值；

（２）判斷 的奇偶性并證明；

（３）如果 上是增函數(shù)，求x的取值范圍.

７．對于函數(shù) ，若存在 ，使 成立，則稱 為 的“滯點”.已知函數(shù) = .

(１)試問 有無“滯點”？若有，求之，否則說明理由；

８．已知 是定義在[－1，1]上的奇函數(shù)，且 ，若 ， 恒成立.

   （1）判斷 在[－1，1]上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；

   （2）解不等式 ；

   （3）若 對所有 恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

21．設(shè)函數(shù) 定義在R上，對于任意實數(shù) 、 恒有  當(dāng) 時，

①求證：

②求證： 在R上遞減；

③設(shè)集合

若  求 的取值范圍．

23.已知函數(shù) 的定義域為R，對任意實數(shù)m、n都有 ，且 ，當(dāng) 時， .（1）求 ；（2）求和 ；（3）判斷函數(shù) 的單調(diào)性并證明。

22．設(shè)函數(shù) 的定義域為 且對任意的正實數(shù) 有 ，已知 且當(dāng) 時 .

⑴求 的值；⑵試判斷 在 上的單調(diào)性并證明；

（17）已知函數(shù)

（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性,并用定義證明;　　?。?/SPAN>2）求函數(shù)的最大值和最小值.

 （19）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)對任意x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0時，f(x)＜0.（1）證明：f(x)為奇函數(shù)；　　　　?。?/SPAN>2）證明：f(x)在R上為減函數(shù).

13.對于函數(shù)f(x)和g(x)，在公共的定義域內(nèi)，規(guī)定f(x)*g(x)＝min{f(x),g(x)}，若f(x)＝3－x，g(x)＝ ，則f(x)*g(x)的最大值是＿＿＿＿。

變式：對于函數(shù)f(x)與g(x)，規(guī)定當(dāng)f(x)≤g(x)時，f(x)·g(x)＝f(x)；當(dāng)f(x)＞g(x)時，f(x)·g(x)＝g(x)。如果f(x)＝ ，g(x)＝3－x，則f(x)·g(x)的最大值為＿＿＿＿。