這里的目標(biāo)是取拓?fù)淇臻g然后把它們進(jìn)一步分成范疇或分類。該課題的舊稱之一是組合拓?fù)?，蘊(yùn)含著將重點(diǎn)放在如何從更簡(jiǎn)單的空間構(gòu)造空間X的意思?，F(xiàn)在應(yīng)用于代數(shù)拓?fù)涞幕痉椒ㄊ峭ㄟ^(guò)代數(shù)不變量，把空間映射到不變量上，例如，通過(guò)一種保持空間的同胚關(guān)系的方式映射到群上。

　　通過(guò)使用有限生成可交換群可以立刻得出幾個(gè)有用的結(jié)論。單純復(fù)形的n-階同調(diào)群的自由階等于n-階貝蒂數(shù)(Betti number),所以可以直接使用單純復(fù)形的同調(diào)群來(lái)計(jì)算它的歐拉特征數(shù)。作為另外一個(gè)例子，閉流形的最高維的積分上同調(diào)群可以探測(cè)可定向性：該群同構(gòu)于整數(shù)或者0，分別在流形可定向和不可定向時(shí)。這樣，很多拓?fù)湫畔⒖梢栽诮o定拓?fù)淇臻g的同調(diào)中找到。

　　一般來(lái)講，所有代數(shù)幾何的構(gòu)造都是函子式的：概念范疇, 函子和自然變換起源于此?；救?，同調(diào)和上同調(diào)群不僅是兩個(gè)拓?fù)淇臻g同胚時(shí)的不變量；而且空間的連續(xù)映射可以導(dǎo)出所相關(guān)的群的一個(gè)群同態(tài)，而這些同態(tài)可以用于證明映射的不存在性（或者，更深入的，存在性）。

　　代數(shù)拓?fù)涞慕?jīng)典應(yīng)用包括：

　　代數(shù)拓?fù)渲凶钪膸缀螁?wèn)題是龐加萊猜想。它已經(jīng)由Hamilton，Grigori Perelman等數(shù)學(xué)家們解決（龐加萊定理）。同倫理論領(lǐng)域包含了很多懸疑，最著名的有表述球面的同倫群的正確方式。

龐加萊猜想

令人頭疼的世紀(jì)難題　　

    前言：如果我們伸縮圍繞一個(gè)蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開(kāi)表面，使它慢慢移動(dòng)收縮為一個(gè)點(diǎn)。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個(gè)輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒(méi)有辦法把它收縮到一點(diǎn)的。我們說(shuō)，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來(lái)刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點(diǎn)有單位距離的點(diǎn)的全體)的對(duì)應(yīng)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題立即變得無(wú)比困難，從那時(shí)起，數(shù)學(xué)家們就在為此奮斗。

　　一位數(shù)學(xué)史家曾經(jīng)如此形容1854年出生的亨利?龐加萊（Henri Poincare）:“有些人仿佛生下來(lái)就是為了證明天才的存在似的，每次看到亨利，我就會(huì)聽(tīng)見(jiàn)這個(gè)惱人的聲音在我耳邊響起?！饼嫾尤R作為數(shù)學(xué)家的偉大，并不完全在于他解決了多少問(wèn)題，而在于他曾經(jīng)提出過(guò)許多具有開(kāi)創(chuàng)意義、奠基性的大問(wèn)題。龐加萊猜想，就是其中的一個(gè)。

　　1904年，龐加萊在一篇論文中提出了一個(gè)看似很簡(jiǎn)單的拓?fù)鋵W(xué)的猜想：在一個(gè)三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點(diǎn)，那么這個(gè)空間一定是一個(gè)三維的圓球。但1905年發(fā)現(xiàn)提法中有錯(cuò)誤，并對(duì)之進(jìn)行了修改，被推廣為：“任何與n維球面同倫的n維封閉流形必定同胚于n維球面?！焙髞?lái)，這個(gè)猜想被推廣至三維以上空間，被稱為“高維龐加萊猜想”。

　　如果你認(rèn)為這個(gè)說(shuō)法太抽象的話，我們不妨做這樣一個(gè)想象：

　　我們想象這樣一個(gè)房子，這個(gè)空間是一個(gè)球?；蛘撸胂笠恢痪薮蟮淖闱?，里面充滿了氣，我們鉆到里面看，這就是一個(gè)球形的房子。

　　我們不妨假設(shè)這個(gè)球形的房子墻壁是用鋼做的，非常結(jié)實(shí)，沒(méi)有窗戶沒(méi)有門，我們現(xiàn)在在這樣的球形房子里。拿一個(gè)氣球來(lái)，帶到這個(gè)球形的房子里。隨便什么氣球都可以（其實(shí)對(duì)這個(gè)氣球是有要求的）。這個(gè)氣球并不是癟的，而是已經(jīng)吹成某一個(gè)形狀，什么形狀都可以（對(duì)形狀也有一定要求）。但是這個(gè)氣球，我們還可以繼續(xù)吹大它，而且假設(shè)氣球的皮特別結(jié)實(shí)，肯定不會(huì)被吹破。還要假設(shè)，這個(gè)氣球的皮是無(wú)限薄的。

　　好，現(xiàn)在我們繼續(xù)吹大這個(gè)汽球，一直吹。吹到最后會(huì)怎么樣呢？龐加萊先生猜想，吹到最后，一定是汽球表面和整個(gè)球形房子的墻壁表面緊緊地貼住，中間沒(méi)有縫隙。

　　我們還可以換一種方法想想：如果我們伸縮圍繞一個(gè)蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開(kāi)表面，使它慢慢移動(dòng)收縮為一個(gè)點(diǎn)；

　　另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個(gè)輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒(méi)有辦法把它收縮到一點(diǎn)的。

　　為什么？因?yàn)?，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。

　　看起來(lái)這是不是很容易想清楚？但數(shù)學(xué)可不是“隨便想想”就能證明一個(gè)猜想的，這需要嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理和邏輯推理。一個(gè)多世紀(jì)以來(lái)，無(wú)數(shù)的科學(xué)家為了證明它，絞盡腦汁甚至傾其一生還是無(wú)果而終。

艱難的證明之路

　　
　　2000年5月24日，美國(guó)克萊數(shù)學(xué)研究所的科學(xué)顧問(wèn)委員會(huì)把龐加萊猜想列為七個(gè)“千禧難題”（又稱世界七大數(shù)學(xué)難題）之一，這七道問(wèn)題被研究所認(rèn)為是“重要的經(jīng)典問(wèn)題，經(jīng)許多年仍未解決?！笨死讛?shù)學(xué)研究所的董事會(huì)決定建立七百萬(wàn)美元的大獎(jiǎng)基金，每個(gè)“千年大獎(jiǎng)問(wèn)題”的解決都可獲得百萬(wàn)美元的獎(jiǎng)勵(lì)。另外六個(gè)“千年大獎(jiǎng)問(wèn)題”分別是： NP完全問(wèn)題，霍奇猜想（Hodge），黎曼假設(shè)（Riemann），楊－米爾斯理論（Yang-Mills），納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes，簡(jiǎn)稱NS方程），BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）。

　　提出這個(gè)猜想后，龐加萊一度認(rèn)為自己已經(jīng)證明了它。但沒(méi)過(guò)多久，證明中的錯(cuò)誤就被暴露了出來(lái)。于是，拓?fù)鋵W(xué)家們開(kāi)始了證明它的努力。

　　20世紀(jì)30年代以前，龐加萊猜想的研究只有零星幾項(xiàng)。但突然，英國(guó)數(shù)學(xué)家懷特海（Whitehead）對(duì)這個(gè)問(wèn)題產(chǎn)生了濃厚興趣。他一度聲稱自己完成了證明，但不久就撤回了論文，失之桑榆、收之東隅。但是在這個(gè)過(guò)程中，他發(fā)現(xiàn)了三維流形的一些有趣的特例，而這些特例，現(xiàn)在被統(tǒng)稱為懷特海流形。
　　30年代到60年代之間，又有一些著名的數(shù)學(xué)家宣稱自己解決了龐加萊猜想，著名的賓（R.Bing）、哈肯（Haken）、莫伊澤（Moise）和帕帕奇拉克普羅斯（Papa-kyriakopoulos）均在其中。
　　帕帕奇拉克普羅斯是1964年的維布倫獎(jiǎng)得主，一名希臘數(shù)學(xué)家。因?yàn)樗拿殖L(zhǎng)超難念，大家都稱呼他“帕帕”（Papa）。在1948年以前，帕帕一直與數(shù)學(xué)圈保持一定的距離，直到被普林斯頓大學(xué)邀請(qǐng)做客。帕帕以證明了著名的“迪恩引理”（Dehn's Lemma）而聞名于世，喜好舞文弄墨的數(shù)學(xué)家約翰?米爾諾（John Milnor）曾經(jīng)為此寫下一段打油詩(shī)：“無(wú)情無(wú)義的迪恩引理/每一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)家的天敵/直到帕帕奇拉克普羅斯/居然證明得毫不費(fèi)力?！?br> 　　然而，這位聰明的希臘拓?fù)鋵W(xué)家，卻最終倒在了龐加萊猜想的證明上。在普林斯頓大學(xué)流傳著一個(gè)故事。直到1976年去世前，帕帕仍在試圖證明龐加萊猜想，臨終之時(shí)，他把一疊厚厚的手稿交給了一位數(shù)學(xué)家朋友，然而，只是翻了幾頁(yè)，那位數(shù)學(xué)家就發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)誤，但為了讓帕帕安靜地離去，最后選擇了隱忍不言。

　　這一時(shí)期拓?fù)鋵W(xué)家對(duì)龐加萊猜想的研究，雖然沒(méi)能產(chǎn)生他們所期待的結(jié)果，但是，卻因此發(fā)展出了低維拓?fù)鋵W(xué)這門學(xué)科。
　　一次又一次嘗試的失敗，使得龐加萊猜想成為出了名難證的數(shù)學(xué)問(wèn)題之一。然而，因?yàn)樗菐缀瓮負(fù)溲芯康幕A(chǔ)，數(shù)學(xué)家們又不能將其撂在一旁。這時(shí)，事情出現(xiàn)了轉(zhuǎn)機(jī)。
　　1966年菲爾茨獎(jiǎng)得主斯梅爾（Smale），在60年代初想到了一個(gè)天才的主意：如果三維的龐加萊猜想難以解決，高維的會(huì)不會(huì)容易些呢？1960年到1961年，在里約熱內(nèi)盧的海濱，經(jīng)?？梢钥吹揭粋€(gè)人，手持草稿紙和鉛筆，對(duì)著大海思考。他，就是斯梅爾。1961年的夏天，在基輔的非線性振動(dòng)會(huì)議上，斯梅爾公布了自己對(duì)龐加萊猜想的五維空間和五維以上的證明，立時(shí)引起轟動(dòng)。

　　10多年之后的1983年，美國(guó)數(shù)學(xué)家福里德曼（Freedman）將證明又向前推動(dòng)了一步。在唐納森工作的基礎(chǔ)上，他證出了四維空間中的龐加萊猜想，并因此獲得菲爾茨獎(jiǎng)。但是，再向前推進(jìn)的工作，又停滯了。

　　拓?fù)鋵W(xué)的方法研究三維龐加萊猜想沒(méi)有進(jìn)展，有人開(kāi)始想到了其他的工具。瑟斯頓（Thruston）就是其中之一。他引入了幾何結(jié)構(gòu)的方法對(duì)三維流形進(jìn)行切割，并因此獲得了1983年的菲爾茨獎(jiǎng)。

　　“就像費(fèi)馬大定理，當(dāng)谷山志村猜想被證明后，盡管人們還看不到具體的前景，但所有的人心中都有數(shù)了。因?yàn)?，一個(gè)可以解決問(wèn)題的工具出現(xiàn)了?！鼻迦A大學(xué)數(shù)學(xué)系主任文志英說(shuō)。

　　然而，龐加萊猜想，依然沒(méi)有得到證明。人們?cè)谄诖粋€(gè)新的工具的出現(xiàn)?？墒?，解決龐加萊猜想的工具在哪里？
    工具有了。
　　理查德?漢密爾頓，生于1943年，比丘成桐大6歲。雖然在開(kāi)玩笑的時(shí)候，丘成桐會(huì)戲謔地稱這位有30多年交情、喜歡沖浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”，但提起他的數(shù)學(xué)成就，卻只有稱贊和惺惺相惜。
　　1972年，丘成桐和李偉光合作，發(fā)展出了一套用非線性微分方程的方法研究幾何結(jié)構(gòu)的理論。丘成桐用這種方法證明了卡拉比猜想，并因此獲得菲爾茨獎(jiǎng)。1979年，在康奈爾大學(xué)的一個(gè)討論班上，當(dāng)時(shí)是斯坦福大學(xué)數(shù)學(xué)系教授的丘成桐見(jiàn)到了漢密爾頓?！澳菚r(shí)候，漢密爾頓剛剛在做Ricci流，別人都不曉得，跟我說(shuō)起。我覺(jué)得這個(gè)東西不太容易做。沒(méi)想到，1980年，他就做出了第一個(gè)重要的結(jié)果?！鼻鸪赏┱f(shuō)，“于是我跟他講，可以用這個(gè)結(jié)果來(lái)證明龐加萊猜想，以及三維空間的大問(wèn)題?！?br> 　　Ricci流是以意大利數(shù)學(xué)家里奇（Gregorio Ricci）命名的一個(gè)方程。用它可以完成一系列的拓?fù)涫中g(shù)，構(gòu)造幾何結(jié)構(gòu)，把不規(guī)則的流形變成規(guī)則的流形，從而解決三維的龐加萊猜想?？吹竭@個(gè)方程的重要性后，丘成桐立即讓跟隨自己的幾個(gè)學(xué)生跟著漢密爾頓研究Ricci流。其中就包括他的第一個(gè)來(lái)自中國(guó)大陸的學(xué)生曹懷東。
　　第一次見(jiàn)到曹懷東，是在超弦大會(huì)丘成桐關(guān)于龐加萊猜想的報(bào)告上。雖然那一段時(shí)間里，幾乎所有的媒體都在找曹懷東，但穿著件顏色鮮艷的大T恤的他，在會(huì)場(chǎng)里走了好幾圈，居然沒(méi)有人認(rèn)出。這也難怪。絕大多數(shù)的數(shù)學(xué)家，依然是遠(yuǎn)離公眾視線的象牙塔中人，即使是名動(dòng)天下如威滕（Witten），坐在后排，儼然也是大隱隱于市的模樣。
　　1982年，曹懷東考取丘成桐的博士。1984年，當(dāng)丘成桐轉(zhuǎn)到加州大學(xué)圣迭戈分校任教時(shí)，曹懷東也跟了過(guò)來(lái)。但是，他的絕大多數(shù)時(shí)間，是與此時(shí)亦從康奈爾大學(xué)轉(zhuǎn)至圣迭戈分校的漢密爾頓“泡在一起”。這時(shí)，丘成桐的4名博士生，全部在跟隨漢密爾頓的研究方向。其中做得最優(yōu)秀的，是施皖雄。他寫出了很多非常漂亮的論文，提出很多好的觀點(diǎn)，可是，因?yàn)閭€(gè)性和環(huán)境的原因，在沒(méi)有拿到大學(xué)的終身教職后，施皖雄竟然放棄了做數(shù)學(xué)。提起施皖雄，時(shí)至今日，丘成桐依然其辭若有憾焉。一種雖然于事無(wú)補(bǔ)但惹人深思的假設(shè)是，如果，當(dāng)時(shí)的施皖雄堅(jiān)持下去，關(guān)于龐加萊猜想的故事，是否會(huì)被改寫？
　　在使用Ricci流進(jìn)行空間變換時(shí)，到后來(lái)，總會(huì)出現(xiàn)無(wú)法控制走向的點(diǎn)。這些點(diǎn)，叫做奇點(diǎn)。如何掌握它們的動(dòng)向，是證明三維龐加萊猜想的關(guān)鍵。在借鑒了丘成桐和李偉光在非線性微分方程上的工作后，1993年，漢密爾頓發(fā)表了一篇關(guān)于理解奇點(diǎn)的重要論文。便在此時(shí)，丘成桐隱隱感覺(jué)到，解決龐加萊猜想的那一刻，就要到來(lái)了。
　　與其同時(shí)，地球的另一端，一個(gè)叫格里戈里?佩雷爾曼的數(shù)學(xué)家在花了8年時(shí)間研究這個(gè)足有一個(gè)世紀(jì)的古老數(shù)學(xué)難題后，將3份關(guān)鍵論文的手稿在2002年11月和2003年7月之間，粘貼到一家專門刊登數(shù)學(xué)和物理論文的網(wǎng)站上，并用電郵通知了幾位數(shù)學(xué)家。聲稱證明了幾何化猜想。到2005年10月，數(shù)位專家宣布驗(yàn)證了該證明，一致的贊成意見(jiàn)幾乎已經(jīng)達(dá)成。
　　“如果有人對(duì)我解決這個(gè)問(wèn)題的方法感興趣，都在那兒呢—讓他們?nèi)タ窗??！迸謇谞柭┦空f(shuō)，“我已經(jīng)發(fā)表了我所有的算法，我能提供給公眾的就是這些了?！?br> 　　佩雷爾曼的做法讓克雷數(shù)學(xué)研究所大傷腦筋。因?yàn)榘凑者@個(gè)研究所的規(guī)矩，宣稱破解了猜想的人需在正規(guī)雜志上發(fā)表并得到專家的認(rèn)可后，才能獲得100萬(wàn)美元的獎(jiǎng)金。顯然，佩雷爾曼并不想把這100萬(wàn)美金補(bǔ)充到他那微薄的收入中去。
　　對(duì)于佩雷爾曼，人們知之甚少。這位偉大的數(shù)學(xué)天才，出生于1966年6月13日，他的天分使他很早就開(kāi)始專攻高等數(shù)學(xué)和物理。16歲時(shí)，他以優(yōu)異的成績(jī)?cè)?982年舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽中摘得金牌。此外，他還是一名天才的小提琴家，桌球打得也不錯(cuò)。
　　從圣彼得堡大學(xué)獲得博士學(xué)位后，佩雷爾曼一直在俄羅斯科學(xué)院圣彼得堡斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所工作。上個(gè)世紀(jì)80年代末期，他曾到美國(guó)多所大學(xué)做博士后研究。大約10年前，他回到斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所，繼續(xù)他的宇宙形狀證明工作。
　　證明龐加萊猜想關(guān)鍵作用讓佩雷爾曼很快曝光于公眾視野，但他似乎并不喜歡與媒體打交道。據(jù)說(shuō)，有記者想給他拍照，被他大聲制止；而對(duì)像《自然》《科學(xué)》這樣聲名顯赫雜志的采訪，他也不屑一顧。
　　“我認(rèn)為我所說(shuō)的任何事情都不可能引起公眾的一絲一毫的興趣?！迸謇谞柭f(shuō)，“我不愿意說(shuō)是因?yàn)槲液芸粗刈约旱碾[私，或者說(shuō)我就是想隱瞞我做的任何事情。這里沒(méi)有頂級(jí)機(jī)密，我只不過(guò)認(rèn)為公眾對(duì)我沒(méi)有興趣?！彼麍?jiān)持自己不值得如此的關(guān)注，并表示對(duì)飛來(lái)的橫財(cái)沒(méi)有絲毫的興趣。

　　2003年，在發(fā)表了他的研究成果后不久，這位頗有隱者風(fēng)范的大胡子學(xué)者就從人們的視野中消失了。據(jù)說(shuō)他和母親、妹妹一起住在圣彼得堡市郊的一所小房子里，而且這個(gè)猶太人家庭很少對(duì)外開(kāi)放。

　　就這樣，在前人的不斷努力下，龐加萊猜想的證明也變得水到渠成。
　　2006年6月3日，中山大學(xué)的朱熹平教授和曹懷東以一篇長(zhǎng)達(dá)300多頁(yè)的論文，以?？姆绞娇d在美國(guó)出版的《亞洲數(shù)學(xué)期刊》六月號(hào)，補(bǔ)全了佩雷爾曼證明中的漏洞，給出了龐加萊猜想的完全證明。破解了國(guó)際數(shù)學(xué)界關(guān)注上百年的重大難題——龐加萊猜想。運(yùn)用漢密爾頓、佩雷爾曼等的理論基礎(chǔ)，朱熹平和曹懷東第一次成功處理了猜想中“奇異點(diǎn)”的難題，從而完全破解了困擾世界數(shù)學(xué)家多年的龐加萊猜想。今后，“龐加萊猜想”就要被稱作“龐加萊定理”啦！
　　但是，因?yàn)檫€有其他人宣稱證明了該猜想，包括佩雷爾曼、漢密爾頓都對(duì)此問(wèn)題有著巨大貢獻(xiàn)，佩雷爾曼還一度聲稱自己證明了該猜想，而朱熹平和曹懷東卻完成了最后的封頂，因此誰(shuí)是首個(gè)證明者，還有爭(zhēng)議。

龐加萊猜想的意義　　

    龐加萊猜想的證明意義重大，該猜想的證明，凝結(jié)了中國(guó)五六個(gè)科學(xué)家的貢獻(xiàn)，是人類在三維空間研究角度解決的第一個(gè)難題，也是一個(gè)屬于代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)中帶有基本意義的命題，將有助于人類更好地研究三維空間，其帶來(lái)的結(jié)果將會(huì)加深人們對(duì)流形性質(zhì)的認(rèn)識(shí)，對(duì)物理學(xué)和工程學(xué)都將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響，甚至?xí)?duì)人們用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述宇宙空間產(chǎn)生影響。

其他難題的解決情況

　　我們?cè)賮?lái)看看和龐加萊猜想同樣被列為“世界七大數(shù)學(xué)難題”的其他問(wèn)題都解決得怎么樣了：

　　黎曼假設(shè)：很多人攻關(guān)，沒(méi)看到希望

　　霍奇猜想：進(jìn)展不大

　　楊-米爾理論：太難，幾乎沒(méi)人做

　　P與NP問(wèn)題：沒(méi)什么進(jìn)展

　　波奇和斯溫納頓—戴雅猜想：有希望破解

　　納威厄—斯托克斯方程：離解決相差很遠(yuǎn)