數(shù)學(xué)中的哲學(xué)觀（唯物與唯心）

1.     從數(shù)學(xué)運算的對立統(tǒng)一、不同的數(shù)學(xué)知識之間的相互聯(lián)系、數(shù)學(xué)理論發(fā)展過程的量變到質(zhì)變、數(shù)學(xué)中的否定之否定規(guī)律……數(shù)學(xué)中充滿著辯證法；

2.     述古希臘的數(shù)學(xué)是形成西方形而上學(xué)傳統(tǒng)的關(guān)鍵機制

探討畢達哥拉斯學(xué)派中“數(shù)是本原”的具體含義。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)·辯證法·對立統(tǒng)一·矛盾·相互聯(lián)系·形而上學(xué)·數(shù)是本原

一、數(shù)學(xué)中的辯證法（唯物主義）

唯物辨證法是指世界是客觀的、物質(zhì)世界，是普遍聯(lián)系和永恒發(fā)展的。

物質(zhì)產(chǎn)生、運動和變化、發(fā)展的。

數(shù)學(xué)中充滿著辯證法,古今數(shù)學(xué)家都把自然辯證法的思想作為研究數(shù)學(xué)的指導(dǎo)思想,

從而取得了一個個成果。 

數(shù)學(xué)中充滿著矛盾 ，它們是有區(qū)別的，但它們又具有相對性、依存性,在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化,因此又是統(tǒng)一的。

一、數(shù)學(xué)運算的對立統(tǒng)一 

A同級運算

數(shù)學(xué)中的互逆運算——現(xiàn)實世界中正與逆的矛盾在數(shù)學(xué)中的具體反映,

加與減、乘與除、乘方與開方、指數(shù)與對數(shù)、三角函數(shù)與反三角函數(shù)、微分與積分……

互逆運算互相依存,不可分割，在一定條件下相互轉(zhuǎn)化：

數(shù)學(xué)運算正與逆的存在與統(tǒng)一,是解決數(shù)學(xué)問題的有力杠桿。 

B高級運算與低級運算

數(shù)學(xué)運算的層次—第一、二和三級運算：加與減、乘與除、乘方與開方

這里較高一級的運算與較低一級運算之間有一定聯(lián)系,且能相互轉(zhuǎn)化。

例如,

乘法是加數(shù)相同的加法,

乘方是因數(shù)相同的乘法；

多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)歸結(jié)為求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù),

多元函數(shù)的積分歸結(jié)為一元函數(shù)的微分,

并且由“牛頓—萊布尼茲公式”,將一元函數(shù)的微分與積分聯(lián)系起來。 

二、常量與變量的對立統(tǒng)一

常量與變量是數(shù)學(xué)中兩個非常重要的概念,

常量是反映事物相對靜止?fàn)顟B(tài)的量,變量是反映事物運動變化狀態(tài)的量,

  三、有限與無限的對立統(tǒng)一

現(xiàn)實世界中的有限與無限,反映在數(shù)學(xué)中量的有限與無限。

有限與無限有著質(zhì)的差異：

數(shù)學(xué)中常以有限認(rèn)識無限;

無限既作為有限的總和而存在,又作為一切有限的對立物而存在;又可作為描述量的變化過程而存在。

1.有限集與無限集

一個有限集和它的任何真子集之間都不能建立一一對應(yīng)關(guān)系。

但在無限集中,就不完全是這樣。

比如,自然數(shù)集可以和它的真子集建立一一對應(yīng)關(guān)系,一個有限的數(shù)集必有最大數(shù)與最小數(shù),但是無限數(shù)集就不一定是這樣。

2.有限數(shù)集與無限數(shù)集的交換律與結(jié)合律

對于數(shù)的有限和滿足交換律與結(jié)合律,

在無限和式中就不能任意運用這些定律，否則將導(dǎo)致謬誤的結(jié)果。

  3. 直與曲可以相互轉(zhuǎn)化

現(xiàn)實中直與曲是兩種不同的形象, 數(shù)學(xué)里區(qū)別是極為明顯的：

幾何里,前者曲率是零,后者曲率非零。

代數(shù)里,前者是線性方程,后者是非線性方程,

但是它們也是相互聯(lián)系的，圓周的計算用直線來表現(xiàn)。具有漸近線的曲線,直線完全化為曲線,曲線完全化為直線，平行的概念也同樣趨于消失,兩條線并不是平行的,它們不斷地相互接近,但永遠不相交。

3、數(shù)學(xué)理論中體現(xiàn)著發(fā)展過程的量變到質(zhì)變規(guī)律。

量變質(zhì)變規(guī)律指出了量變、質(zhì)變是事物運動變化的兩種最基本狀態(tài),事物的發(fā)展變化都表現(xiàn)為由量變到質(zhì)變,再由質(zhì)變引起新的量變的反復(fù)過程。

一方面,數(shù)學(xué)中每種概念的存在都有著特定的量的界限,量變超出界限,就會質(zhì)變,形成新概念,新概念又蘊含新的量變。

例如,正多邊形邊數(shù)的范圍是“大于或等于3的有限數(shù)”,如果邊數(shù)的超出此范圍就不再是正多邊形,變?yōu)榫€段或圓。(邊數(shù)小于3時為線段;邊數(shù)超出有限數(shù)范圍,即趨于無窮時為圓。)不論線段還是圓,都有自身獨特的量變。

另一方面,數(shù)學(xué)理論的形成過程是從量變到質(zhì)變、從近似到精確的過程。

比如求曲邊梯形的面積,先將該曲邊梯形分割成若干個小曲邊梯形,如果分割足夠密,這些小曲邊梯形可以近似地看成小矩形,然后利用求矩形面積的方法求出各個小曲邊梯形面積的近似值,其和就是原曲邊梯形面積的近似值。因為所求的僅為近似值,所以上述過程是量變的過程,沒有發(fā)生質(zhì)的飛躍。如果分割無限加密,即各個小曲邊梯形的最大寬度趨于零時,就得到原曲邊梯形的精確面積,發(fā)生了從量變到質(zhì)變的飛躍,這正是定積分理論的基本思想。

 4、數(shù)學(xué)理論的發(fā)展過程中體現(xiàn)著否定之否定規(guī)律 

否定之否定規(guī)律揭示了事物自己發(fā)展自己的完整過程是:經(jīng)歷兩次否定、三個階段,即由肯定達到對自身的否定,并再由否定進到新的肯定——否定之否定。每一個數(shù)學(xué)理論的發(fā)展符合否定之否定規(guī)律。

在理論最初形成時,該理論得到肯定;隨著實踐的需要和研究的深入,該理論的不完善、不精確之處逐漸暴露出來并被否定;進而數(shù)學(xué)家們開始研究如何使該理論

更完善、更精確,最終得出新的結(jié)論,達到新的肯定。此外,數(shù)學(xué)的運算結(jié)果也體現(xiàn)著否定之否定規(guī)律,例如,正數(shù)取兩次相反數(shù)(兩次否定)仍是正數(shù);命題邏輯中,一個命題的兩次否定仍是原命題等。 

 通過上面的論述我們可以簡單地看出一些數(shù)學(xué)中滲透著的唯物主義哲學(xué)觀。

從一定意義上來說，數(shù)學(xué)是哲學(xué)產(chǎn)生的基礎(chǔ)，而哲學(xué)又為數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了基本的思路與方法。

二者是相互依存，相輔相成的。也許，也正因為如此他們兩個在希臘誕生時被賦予了兄弟一般的名字：“學(xué)識”和“智慧”。 

二、數(shù)學(xué)是形而上學(xué)的本原（唯心主義） 

形而上學(xué)之所以能在西方（古希臘）出現(xiàn)并成為傳統(tǒng)哲學(xué)中的顯學(xué)，

首先要歸于西方數(shù)學(xué)的激發(fā)與維持。概念形而上學(xué)的“真身”是在數(shù)學(xué)。

形而上學(xué)的起源上溯到畢達哥拉斯這位主張“數(shù)是萬物本原”的數(shù)理哲學(xué)家。

  為了論證“數(shù)是本原”，畢達哥拉斯學(xué)派提出萬物與數(shù)是“相似”的，而他們用以論證這種相似的最根本理由是結(jié)構(gòu)性的，即認(rèn)為數(shù)中的比率或和諧結(jié)構(gòu)證明萬物必與它們相似，以獲得存在的能力。比如，“10”對于他們是最完滿的數(shù)，因為10是前四個正整數(shù)之和，而且這四個數(shù)構(gòu)成了名為四元體（tetraktys，四面體）的神圣三角，此組成10的四個基本數(shù)或四元體可表現(xiàn)為：1為點，2為線，3為面，4為體；而且是點或1的流動或移動產(chǎn)生了線，線的流動產(chǎn)生了平面，平面的運動產(chǎn)生了立體，這樣就產(chǎn)生了可見的世界。畢達哥拉斯派的最有約束力的誓言之一是：“它

[四元體]蘊含了永恒流動的自然的根本和源泉”。對于畢達哥拉斯學(xué)派，數(shù)字與幾何形狀，

特別是10以內(nèi)的數(shù)字和某些形狀（比如圓形、四面體、十二面體）都具有像“1”、“2”、“4”、“10”那樣的語義和思想含義，而且這些含義被表達得盡量與數(shù)、形本身的結(jié)構(gòu)掛鉤。例如“3”意味著“整體”和“現(xiàn)實世界”，因為它可以指開端、中間和終結(jié)，又可以指長、寬、高；此外，三角形是幾何中第一個封閉的平面圖形，基本的多面體的每一面是三角形，而這種多面體構(gòu)成了水、火、土等元素，再構(gòu)成了萬物。

所以，“世界及其中的一切都是由數(shù)目‘三’所決定的”。而此類的對“數(shù)”

的結(jié)構(gòu)意義的把握及其語義賦值和哲理解釋是典型的畢達哥拉斯派的風(fēng)格。從這些討論可以看出，在畢達哥拉斯學(xué)派、也可以說是在西方傳統(tǒng)形而上學(xué)的主流唯理論的開端這里，

也有一種結(jié)構(gòu)推演的精神在發(fā)揮關(guān)鍵性作用。“本原”意味著推演花樣的最密集豐滿處，

也就是在這個意義上的最可理解處，最有理性處。所以，這里也有一個避不開的問題，即有自身推演力的符號系統(tǒng)[對于畢達哥拉斯是數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)]與它的語言與思想內(nèi)容的關(guān)系的問題，簡言之，就是數(shù)與言的關(guān)系問題。對這個問題處理得成功與否，或在什么意義上成功與失敗，決定著畢達哥拉斯派在哲學(xué)史上的地位，實際上也決定了西方傳統(tǒng)哲學(xué)主流后來的發(fā)展方向。數(shù)學(xué)成為科學(xué)的楷模，理性的化身。在西方傳統(tǒng)哲學(xué)中，畢達哥拉斯派論述過的前三個數(shù)字和某些圖形，比如三角形、圓形，也獲得了思想與語言的生命，尤其是，畢達哥拉斯派的“數(shù)本原”說中包含的追求可變現(xiàn)象后面的不變本質(zhì)的傾向，幾乎成了西方傳統(tǒng)哲學(xué)主流中的一

以貫之的“道統(tǒng)”。然而，畢達哥拉斯派對于數(shù)、形所做的思想和語言賦值的大部分具體工作都失敗了。其中最重要的一個原因是畢達哥拉斯派固守十進制的數(shù)字結(jié)構(gòu)和幾何形狀結(jié)構(gòu)，使得這種意義上的“數(shù)”與“言（表達哲學(xué)思想的自然語言）”的有機聯(lián)系無法在稍微復(fù)雜一點的層次上建立起來。原因是（1）哪怕以阿拉伯?dāng)?shù)字為例，十進制數(shù)字也要在10個[算上零的話]不同形態(tài)的符號后才出現(xiàn)“位置”的含義和“循環(huán)”，這就使得整個符號結(jié)構(gòu)很不經(jīng)濟，很不輕巧，冗員雜多，跨度過大，大大削弱了它的直接顯示結(jié)構(gòu)意義的能力，也就是“成象”的能力。后來只有兩、三個數(shù)字和圖形獲得了重要的哲學(xué)含義這個事實暗示著：哲學(xué)思維可以與數(shù)字或圖象有關(guān)系，但只能與結(jié)構(gòu)上非常簡易者打交道。（2）這種包含過多、過硬的自家符號和循環(huán)方式的表達系統(tǒng)很難與其他符號系統(tǒng)及解釋符號系統(tǒng)的方式（比如從空間方向、時間階段、不同的次序與位置出發(fā)的解釋）

溝通和耦合，于是失去了從結(jié)構(gòu)上多維互連而觸類旁通的能力。這樣，對數(shù)、形的各種語義解釋就顯得牽強，缺少暗示力和對各種復(fù)雜的人生局面的顯示力。（3）為了取得數(shù)字的象性，畢達哥拉斯派做了大量工作，主要是通過數(shù)點排列及其運動使之與幾何圖形掛鉤。然而，絕大多數(shù)幾何圖形離語言和哲學(xué)思想還是太遠，缺少生存的方向、時間與境域的顯示力。而且，

畢達哥拉斯派自己就發(fā)現(xiàn)了“無理數(shù)”，比如正方形對角線與邊之比值，由此而動搖了在這個方向上的努力。（4）為了從根本上改變數(shù)、形與語言缺少聯(lián)通渠道的局面，這一派提出了“對立是本原”。它確實能夠極大地簡化符號系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，增強數(shù)、形的直接表現(xiàn)力和構(gòu)意能力。然而，在畢達哥拉斯派那里，這種對立不僅仍然潛在地以十進制數(shù)字和幾何圖形為前提，未能獲得符號的結(jié)構(gòu)層次上的意義，而且，它對立得還不夠真實原發(fā)，以致于每個對子的兩方的意義未能充分地相互需要，一方可以從“本質(zhì)”上壓制和統(tǒng)治另一方，因而大大限制了這種對立的變通能力和構(gòu)造能力。所以，在大多數(shù)畢達哥拉斯派之?dāng)?shù)與哲理語言之間很難出現(xiàn)居中的、溝通兩者的象，再加上西方文字的拼音特點，致使畢達哥拉斯派的數(shù)與言的溝通努力大多是無功的。但他之后的希臘哲學(xué)家，比如巴門尼德、柏拉圖、亞里士多德等，在保留其基本精神的前提下另辟蹊徑，試圖在人們普遍使用的語言中找出或構(gòu)造出最接近數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的東西。于是，他們發(fā)現(xiàn)了或不如說是發(fā)明了一種概念化的自然語言。這種語言似乎具有數(shù)學(xué)語言的“是其所是”的先天確定性和數(shù)學(xué)運算那樣的推演力，這是一種有意識地去爭得數(shù)學(xué)那樣的確定性的語言游戲，幾乎就是重言式，卻為兩千多年的西方哲學(xué)確立了“存在”或“是”這個形而上學(xué)的大問題。

【參考文獻】  1、《古希臘悲劇經(jīng)典》，羅念生譯，北京：作家出版社，1998

年，49頁；2、亞里士多德：《形而上學(xué)》，昊壽彭譯，北京：商務(wù)印書館，1981年，12-13頁；  3、若-弗·馬泰伊：《畢達哥拉斯和畢達哥拉斯學(xué)派》，管震湖譯，北京：商務(wù)印書館， 1997年，90頁以下；  4  《古希臘哲學(xué)》，苗力田主編，中國

人民大學(xué)出版社，1989年，78頁； 5、《數(shù)學(xué)中的哲學(xué)觀淺談》 

考文獻： 

《數(shù)學(xué)與人類文明》，蔡天新，浙江大學(xué)出版社

 《生活與哲學(xué)》，張漢云，人民教育出版社

 論文《自然科學(xué)與哲學(xué)》，楊永坤，東北師范大學(xué)