構(gòu)建仿射坐標(biāo)系解題 湖北省陽新縣高級(jí)中學(xué) 鄒生書 直角坐標(biāo)系和斜角坐標(biāo)系統(tǒng)稱為仿射坐標(biāo)系,直角坐標(biāo)系是仿射坐標(biāo)系的特例,斜角坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系的類比推廣.本文通過類比直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo)、向量坐標(biāo)、直線方程等有關(guān)知識(shí),構(gòu)建仿射坐標(biāo)系解決向量共線、向量線性表示以及線性規(guī)劃等有關(guān)問題.
一、仿射坐標(biāo)系下的向量共線問題
我們知道在直角坐標(biāo)系下共線向量有如下結(jié)論:若,則。同樣在仿射坐標(biāo)系下此結(jié)論仍然成立。
例1 已知向量,則實(shí)數(shù)的值是( )
解法1(常規(guī)解法)因,故,.又,所以,解得,故選.
解法2 由,知不共線,以原直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為原點(diǎn),以作為單位基底建立仿射坐標(biāo)系, 則,因?yàn)?/span>,所以,所以,故選.
例2 已知向量其中不共線,向量.問是否存在這樣的非零實(shí)數(shù),使向量與共線?
解法1(常規(guī)解法) 因?yàn)?/span> ,若與共線,因,所以存在實(shí)數(shù),使得,即,所以,消去得,故存在這樣的非零實(shí)數(shù),只要,就能使向量與共線.
解法2 因不共線,在向量平面內(nèi)任取一點(diǎn)作為原點(diǎn),以作為單位基底建立仿射坐標(biāo)系,則,同法1得 .
若向量與共線,則,解得,故存在這樣的非零實(shí)數(shù),只要,就能使向量與共線.
二、仿射坐標(biāo)系下向量的線性表示問題
例3 如圖1,在中,,和交于點(diǎn).試用向量和表示向量.
解 以為坐標(biāo)原點(diǎn),以作為仿射坐標(biāo)系的單位基底,
建立平面仿射坐標(biāo)系如圖1所示.因?yàn)?/span>,所以
,.所以直
線在仿射坐標(biāo)系下的“截距式”方程為即①.
直線在仿射坐標(biāo)系下的“截距式”方程為即②.解①②得,則點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以.
圖1
例4 在平行四邊形中,,與相交于點(diǎn),若,則( )
解 以為坐標(biāo)原點(diǎn),以作為仿射坐標(biāo)系的單位基底,建立平面仿射坐標(biāo)系如圖2所示.因?yàn)?/span>,所以, .所以直線在仿射坐標(biāo)系下的“截距式”方程為即①.直線在仿射坐標(biāo)系下的“斜率”為,故直線在仿射坐標(biāo)系下的“點(diǎn)斜式”方程為②.解①②得,則點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,故選.
圖2
三、仿射坐標(biāo)系下的線性規(guī)劃問題
下面在類比思想的引領(lǐng)下用仿射坐標(biāo)系下的線性規(guī)劃解法解一類向量創(chuàng)新問題.
例5(2011南昌聯(lián)考)已知是內(nèi)任一點(diǎn)(不包括三角形邊上的點(diǎn)),且滿足,則的取值范圍是__
解 以為原點(diǎn)以作為軸軸上的單位向量建立仿射坐標(biāo)系如圖3所示,設(shè)則,又因?yàn)?sub>,于是有,則,設(shè)即該方程表示直線,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),,當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),。因是內(nèi)任一點(diǎn),所以的取值范圍是.
圖3
例6(2009年高考安徽理科第14題)如圖4,給定兩個(gè)長度為1的兩個(gè)向量和,它們的夾角為,點(diǎn)在以為圓心的圓弧上變動(dòng),若,其中,則的最大值是
圖4 圖5
解 以為原點(diǎn)以作為軸軸上的單位向量建立仿射坐標(biāo)系如圖5所示.設(shè)則,又因?yàn)?sub>,于是有,則,設(shè)該方程表示直線.而直線的方程是,所以平行于,當(dāng)直線與圓弧相切于點(diǎn)時(shí),直線在軸上的截距最大, ,故的最大值是2.
例7(2011年唐山市)在平行四邊形中,分別為的中點(diǎn),記三邊及其內(nèi)部組成的區(qū)域?yàn)?sub>,,當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí),
則的最大值為
解 以為原點(diǎn)以作為軸軸上的單位向量建立仿射坐標(biāo)系如圖6所示,設(shè)則,又因?yàn)?sub>,于是有,則,設(shè)即該方程表示直線,因?yàn)橹本€的“斜率”,所以當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),。
圖6
例8如圖7,正六邊形中,是內(nèi)(包括邊界)的動(dòng)點(diǎn),設(shè),則的取值范圍是__
圖7 圖8
解 如圖8,以為原點(diǎn)以作為軸軸上的單位向量建立仿射坐標(biāo)系.設(shè)則,又因?yàn)?sub>,于是有,則,設(shè)該方程表示的直線與直線平行.由圖2知,,當(dāng)直線與重合即直線過點(diǎn)時(shí)在軸上的截距最小,;當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)在軸上的截距最大,,故的取值范圍是.
例9(06年湖南高考題改編)如圖9,,點(diǎn)在由射線線段及的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi))不含邊界)運(yùn)動(dòng),且.(1)實(shí)數(shù)對(duì)可以是( )
(2)的取值范圍是__;當(dāng)時(shí),的取值范圍是__
解(特殊化)特別地,取且并建立直角坐標(biāo)系如圖1所示,則.又直線的方程為,直線的方程為,因點(diǎn)在陰影區(qū)域內(nèi),所以,經(jīng)檢驗(yàn)知,(1)應(yīng)選.
(2)因直線與直線和直線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為和,由圖12知,當(dāng)時(shí),的取值范圍是.
圖9 圖10
坐標(biāo)法是數(shù)學(xué)方法中最重要的方法之一,解析幾何的核心思想是“坐標(biāo)法”,坐標(biāo)法就是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn).綜上所述,構(gòu)建仿射坐標(biāo)系解決向量共線、向量線性表示以及線性規(guī)劃等有關(guān)問題具有獨(dú)特的解題功能,方法坐標(biāo)化運(yùn)算化、解法直觀快捷,學(xué)生容易掌握便于運(yùn)用“仿射坐標(biāo)系”是在學(xué)生熟悉的“直角坐標(biāo)系”相關(guān)知識(shí)和思想方法的類比拓展,符合“最近發(fā)展處”的理論要求.構(gòu)建仿射坐標(biāo)系解題,同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生類比推理能力、知識(shí)思想方法遷移能力和創(chuàng)新思維能力的良好載體. |
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