“應(yīng)該是這樣吧”。

許多時(shí)候我們遇到不懂的事情，常習(xí)慣就這么歪頭兩秒鐘，然后，彷佛答案卡在腦袋里面一樣，搖一搖，答案噗通一聲就掉出來(lái)了。

有人稱這是直覺(jué)。

然而，很遺憾地，大多數(shù)人的直覺(jué)都不是很準(zhǔn)，不然就不會(huì)那么多人在彩票選號(hào)時(shí)面帶微笑，還善良地想著要捐出一半頭彩。

要是理性點(diǎn)，應(yīng)該會(huì)很憂心忡忡地想著

50元花下去，中三碼的概率僅有1.78%，好低。

六碼全中的頭彩概率更是低到7.15億分之一，比每天車禍致死的概率5.25億分之一還低，唉。

就算不講容易讓人不理性的彩票，直覺(jué)在許多時(shí)候也經(jīng)不起數(shù)學(xué)的檢驗(yàn)。更正確一點(diǎn)的說(shuō)法是，直覺(jué)本來(lái)就不大準(zhǔn)，只是這世界并沒(méi)有太多事情能搞清楚對(duì)錯(cuò)，所以不容易察覺(jué)到直覺(jué)到底有多不準(zhǔn)。好比你覺(jué)得隔壁同學(xué)暗戀你，因?yàn)樗抡n常問(wèn)你要不要一起去商店，但事實(shí)上她只是單純想找人陪，可是在告白之前，你無(wú)法確認(rèn)這件事情的真相。

更可悲的是，就算告白成功了，你還是無(wú)法確認(rèn)她是否真的愛(ài)你。

聽(tīng)不懂嗎？沒(méi)關(guān)系，再長(zhǎng)大一點(diǎn)就懂了。

今天，我們藉由簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)，讓大家實(shí)際看看，直覺(jué)跟事實(shí)間的差距，恐怕比臺(tái)灣藍(lán)綠兩黨之間的差距還大。后者至少還有“無(wú)能”、“貪污”、“讓老百姓氣到高血壓”等等諸多共同點(diǎn)…嗯，他們其實(shí)蠻像的，我似乎舉錯(cuò)例子了。

直覺(jué) vs. 數(shù)學(xué)

翻開存折，看看最左邊的數(shù)字，將這個(gè)數(shù)字稱為“首位數(shù)”，一百多萬(wàn)的首位數(shù)是1，六千多元的首位數(shù)是6，八十幾塊的首位數(shù)即是8。現(xiàn)在，請(qǐng)用直覺(jué)判斷，全臺(tái)灣兩千三百萬(wàn)人的存款金額首位數(shù)，1~9各個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的概率各自是多少呢？

均勻分布，每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的概率皆是1/9。

許多人的直覺(jué)應(yīng)該此刻在腦海里吶喊著這個(gè)答案，還帶點(diǎn)不屑。

要是順從直覺(jué)，按照這個(gè)邏輯繼續(xù)推理下去，使用歐元的人的存款金額首位數(shù)，日本人的日幣存款金額首位數(shù)，每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的概率應(yīng)該也都是1/9的均勻分布。沒(méi)理由這項(xiàng)統(tǒng)計(jì)數(shù)字在臺(tái)灣是均勻分布，到歐洲或日本就會(huì)改變，大家理當(dāng)都該一樣。

現(xiàn)在，當(dāng)我們假設(shè)有9個(gè)人，戶頭里各自有100、200…900元新臺(tái)幣，符合均勻分布。

要是銀行忽然將他們的存款改以日幣或歐元計(jì)算，會(huì)得到下表。

可以看見(jiàn)，首位數(shù)1從出現(xiàn)一次，大幅增加到三與四次，首位數(shù)9則消失在表格中。

考慮更一般的狀況，可以得到下面的統(tǒng)計(jì)分析圖。當(dāng)臺(tái)幣換算成歐元或日幣時(shí)，首位數(shù)數(shù)字小的出現(xiàn)概率都比較高。

至此，可以宣告直覺(jué)失敗，輸給了所謂的“本福特定律Benford’s Law”：以自然形式出的數(shù)字，首位數(shù)是1的概率約30%，2的概率是17.6%，依序遞減，首位數(shù)是8與9的概率各自僅有5.1%與4.6%。

本福特定律是哪招

要解釋這種不直覺(jué)的遞減現(xiàn)象，我們得先提一個(gè)生活中的例子。

想象一條長(zhǎng)條狀的蛋糕，蛋糕上不同區(qū)域，有不同的裝飾：有些地方是草莓、有些地方是櫻桃、還有些地方是肉桂跟大蒜。

要是有四人想分這條蛋糕，而且每種裝飾都想吃到，最常見(jiàn)的作法，就是先將蛋糕由上往下，切成許多片，每一片的大小符合每個(gè)人能拿到的比例，切完后依序1、2、3、4、1、2、3、4…等分。每個(gè)人再根據(jù)自己的編號(hào)，周期性地挑出屬于自己的蛋糕。如同下圖。

上圖就是其中一人的切法。在每隔一段距離，切下等寬的一部份?？梢源_保每個(gè)人拿到他該拿到的比例，且各種裝飾都能拿到。我們稱這種為“理想蛋糕分法”。

回到首位數(shù)的問(wèn)題。

要是統(tǒng)計(jì)全臺(tái)灣的人銀行存款，可以畫出存款的統(tǒng)計(jì)分布圖，我們用下面這張示意圖表示。

存款首位數(shù)為1的區(qū)域我們用紫色表示。要是將整個(gè)曲線想成一條蛋糕，切下的紫色區(qū)域起先是一條細(xì)細(xì)的“1”，過(guò)了2-9后，再來(lái)一塊粗一點(diǎn)的“10-19”，這次得隔久一點(diǎn)，過(guò)了0-99，才會(huì)再出現(xiàn)更粗的“10-19”。然后，得一直等到“1000-1999”。

切下的區(qū)域分別是1、10、100、1000……切的間隔是8、80、800……。

換句話說(shuō)，依據(jù)不同首位數(shù)的蛋糕切法，在不同間隔間，切下大小不同的面積，不是剛才說(shuō)的“理想蛋糕分法”。可能，落在300-500的櫻桃就這么沒(méi)了。

不過(guò)，要是將x軸的金額取對(duì)數(shù)(log)，就會(huì)得到下面這張圖。

方才所說(shuō)的“理想蛋糕分法”——等間隔切下同樣大小的區(qū)域，在此重現(xiàn)了。

因?yàn)槭堑乳g隔，不同區(qū)域的裝飾都能拿到，以取樣的角度來(lái)，就是取下來(lái)的部分能夠充分反映原來(lái)曲線的特性。

有趣的是，在對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換后，首位數(shù)為1切下來(lái)的面積所占比例是log₁₀2- log₁₀1=log2-30%，首位數(shù)是2的比例則是log₁₀3- log₁₀2=log₁₀(3/2)-17.6%，歸納出首位數(shù)為x時(shí)，所占比例為log₁₀(1+1/x)。

這才是真正的首位數(shù)分布。

回到剛剛不同幣值的問(wèn)題，如果假設(shè)新臺(tái)幣的存款首位數(shù)分布是依據(jù)本福特定律時(shí)，換算成歐元跟日幣后，可以得到下圖。

可以看見(jiàn)，換算到不同貨幣后，趨勢(shì)依然相似，大致依然符合本福特定律。終于，我們看到log離家出走，離開了數(shù)學(xué)課本。

數(shù)學(xué)界的捉蟲達(dá)人，本福特定律

只要是自然產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，且數(shù)據(jù)涵蓋范圍很大，首位數(shù)分布即會(huì)符合本福特定律。

因此，本福特定律相當(dāng)具有實(shí)際用途。好比，統(tǒng)計(jì)公司一年的各種報(bào)賬款項(xiàng)，便會(huì)看見(jiàn)本福特定律的存在。政府或會(huì)計(jì)師即可反過(guò)來(lái)利用本福特定律，審核公司報(bào)賬是否誠(chéng)實(shí)，如果不符合本福特定律，可能就有問(wèn)題了。

奈何我無(wú)法拿各級(jí)政府，或首長(zhǎng)特別費(fèi)的資料實(shí)際測(cè)試一下本福特定律的威力(也怕測(cè)出來(lái)發(fā)現(xiàn)不符合，大家反而會(huì)說(shuō)“這不是理所當(dāng)然嗎”)，只好拿2012“總統(tǒng)”大選各鄉(xiāng)鎮(zhèn)的投票結(jié)果來(lái)看：

結(jié)果相當(dāng)符合本福特定律，這告訴我們，要么“總統(tǒng)”大選沒(méi)作票，不然就是作票的人精通本福特定律。

從一開始就說(shuō)，別相信直覺(jué)了嘛。

參考文獻(xiàn)

1. R. M. Fewster, “A simple explanation of Benford’s law,” the American Statistician, vol. 63, no. 1, pp. 26-32, 2009, Nov.