為什么要學(xué)習(xí)函數(shù)?
    簡單的說,你這么問,回答可能千奇百怪呢,呵呵.
    函數(shù)什么時(shí)候出現(xiàn)的?近代數(shù)學(xué)才開始研究函數(shù).函數(shù)的出現(xiàn)相對(duì)于沒有函數(shù)的時(shí)代是一個(gè)非常巨大的進(jìn)步,它代表著思維方式,思考角度的不同,是一個(gè)新的數(shù)學(xué)時(shí)代的到來.函數(shù)是一個(gè)解決問題的有力的數(shù)學(xué)工具。數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科，幾經(jīng)滲透到幾乎所有的社會(huì)學(xué)科，自然學(xué)科中了，函數(shù)的影響力由此可見一斑。
     下面是從百度百科中COPY來的材料

函數(shù)概念的發(fā)展歷史
  1.早期函數(shù)概念——幾何觀念下的函數(shù)
  十七世紀(jì)伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《兩門新科學(xué)》一書中，幾乎全部包含函數(shù)或稱為變量關(guān)系的這一概念，用文字和比例的語言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系。1673年前后笛卡爾(Descartes，法，1596－1650)在他的解析幾何中，已注意到一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的依賴關(guān)系，但因當(dāng)時(shí)尚未意識(shí)到要提煉函數(shù)概念，因此直到17世紀(jì)后期牛頓、萊布尼茲建立微積分時(shí)還沒有人明確函數(shù)的一般意義，大部分函數(shù)是被當(dāng)作曲線來研究的。
  1673年，萊布尼茲首次使用“function” （函數(shù)）表示“冪”，后來他用該詞表示曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長等曲線上點(diǎn)的有關(guān)幾何量。與此同時(shí)，牛頓在微積分的討論中，使用 “流量”來表示變量間的關(guān)系。
  2.十八世紀(jì)函數(shù)概念——代數(shù)觀念下的函數(shù)
  1718年約翰?貝努利(Bernoulli Johann，瑞，1667－1748)在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了定義：“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量?！彼囊馑际欠沧兞縳和常量構(gòu)成的式子都叫做x的函數(shù)，并強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式來表示。
  1755，歐拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函數(shù)定義為“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)?！?br>  18世紀(jì)中葉歐拉(L．Euler，瑞，1707－1783)給出了定義：“一個(gè)變量的函數(shù)是由這個(gè)變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式?！彼鸭s翰?貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)，還考慮了“隨意函數(shù)”。不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰?貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。
  3.十九世紀(jì)函數(shù)概念——對(duì)應(yīng)關(guān)系下的函數(shù)
  1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 從定義變量起給出了定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)?！痹?a class="inner-link decor-none"  target="_blank" rel="nofollow" data-word="43" log="pos:innerLink" style="color: rgb(45, 100, 179); text-decoration: none; ">柯西的定義中，首先出現(xiàn)了自變量一詞，同時(shí)指出對(duì)函數(shù)來說不一定要有解析表達(dá)式。不過他仍然認(rèn)為函數(shù)關(guān)系可以用多個(gè)解析式來表示，這是一個(gè)很大的局限。
  1822年傅里葉（Fourier，法國，1768——1830）發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)也已用曲線表示，也可以用一個(gè)式子表示，或用多個(gè)式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個(gè)式子表示的爭論，把對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)又推進(jìn)了一個(gè)新層次。
  1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859) 突破了這一局限，認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無關(guān)緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對(duì)于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有一個(gè)或多個(gè)確定的值，那么y叫做x的函數(shù)?！边@個(gè)定義避免了函數(shù)定義中對(duì)依賴關(guān)系的描述，以清晰的方式被所有數(shù)學(xué)家接受。這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義。
  等到康托(Cantor，德，1845－1918)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學(xué)中占有重要地位之后，維布倫(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“對(duì)應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過集合概念把函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其它對(duì)象。
  4.現(xiàn)代函數(shù)概念——集合論下的函數(shù)
  1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合論綱要》中用不明確的概念“序偶”來定義函數(shù)，其避開了意義不明確的“變量”、“對(duì)應(yīng)”概念。庫拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來定義“序偶”使豪斯道夫的定義很嚴(yán)謹(jǐn)了。
  1930 年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為“若對(duì)集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=f(x)。元素x稱為自變?cè)?，元素y稱為因變?cè)??！?br>  術(shù)語函數(shù)，映射，對(duì)應(yīng)，變換通常都有同一個(gè)意思。
  但函數(shù)只表示數(shù)與數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，映射還可表示點(diǎn)與點(diǎn)之間，圖形之間等的對(duì)應(yīng)關(guān)系?？梢哉f函數(shù)包含于映射。
  正比例函數(shù):
  正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線．當(dāng)k>0時(shí)，圖象經(jīng)過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當(dāng)k<0時(shí)，圖象經(jīng)過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減?。?br>  正是由于正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象是一條直線，我們可以稱它為直線y=kx．
  （另：中文“函數(shù)”名稱的由來
  在中國清代數(shù)學(xué)家李善蘭（1811—1882）翻譯的《代數(shù)學(xué)》一書中首次用中文把“function”翻譯為“函數(shù)”，此譯名沿用至今。對(duì)為什么這樣翻譯這個(gè)概念，書中解釋說“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”；這里的“函”是包含的意思。） 
  深入研究一次函數(shù)
  徐若翰
  在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)，根據(jù)中學(xué)要求，我們還要深入研究它的實(shí)際應(yīng)用，以及如何改變圖象的位置。
  一、實(shí)際問題中的分段函數(shù)
  〔例1〕（2005年武漢市）小明早晨從家騎車到學(xué)校，先上坡后下坡，行程情況如圖。若返回時(shí)上、下一個(gè)坡的速度不變，那么小明從學(xué)校騎車回家用的時(shí)間是多少？
  分析：上、下坡的速度不同，問題要分兩段來研究。
  根據(jù)函數(shù)圖象提供的信息，可知小明從家去學(xué)校時(shí)，上坡路程為3600米，下坡路程為9600－3600=6000（米）。
  ∴上坡速度為3600÷18=200（米/分鐘）
  下坡速度為6000÷（30－18）=500（米/分鐘）
  小明回家時(shí)，上坡路程6000米，下坡路程3600米，所用時(shí)間為6000÷200＋3600÷500=37.2（分鐘）。
  二、在物理學(xué)科中的應(yīng)用
  〔例2〕（2004年黃岡市）某班同學(xué)在探究彈簧的長度與外力的變化關(guān)系時(shí)，實(shí)驗(yàn)記錄得到的相應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：
  求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及自變量的取值范圍。
  分析：根據(jù)物理學(xué)知識(shí)可知，彈簧在外力（所掛砝碼的重力）作用下發(fā)生形變（伸長），外力與指針位置的關(guān)系可以用一次函數(shù)表示；但是，每個(gè)彈簧所受的外力都有一定的限度，因此我們必須求出自變量的取值范圍。
  由已知數(shù)據(jù)求出：在彈簧受力伸長過程中，
  令y=7.5，得x=275
  ∴所求函數(shù)為
  注 兩段之間的分界點(diǎn)是x=275，不是x=300。
  三、直線平移的應(yīng)用
  〔例3〕（2005年黑龍江?。┰?a class="inner-link decor-none"  target="_blank" rel="nofollow" data-word="3" log="pos:innerLink" style="color: rgb(45, 100, 179); text-decoration: none; ">直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（－9，0）、P（0，－3）、C（0，－12）。問：在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，求直線PQ的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由。
  分析：在所研究的梯形中哪兩邊平行？有兩種可能：如果，就是把直線CA平移，經(jīng)過P點(diǎn)易求直線CA的解析式為
  平移后得到直線的解析式為
  如果
  把直線PA：平移，經(jīng)過C點(diǎn)
  得到直線：
  直線交x軸于點(diǎn)（－36，0）
  直線的解析式為
  如何理解函數(shù)概念
  曹陽
  函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一個(gè)極其重要的基本概念，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，函數(shù)及其有關(guān)的內(nèi)容很豐富，所占份量重，掌握好函數(shù)的概念對(duì)今后的學(xué)習(xí)非常有用?；仡櫤瘮?shù)概念的發(fā)展史，“函數(shù)”作為數(shù)學(xué)術(shù)語是萊布尼茲首次采用的，他在1692年的論文中第一次提出函數(shù)這一概念，但其含義與現(xiàn)在對(duì)函數(shù)的理解大不相同?，F(xiàn)代初中數(shù)學(xué)課程中，函數(shù)定義采用的是“變量說”。即：
  在某變化過程中，有兩個(gè)變量x，y，如果對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么就把y稱為x的函數(shù)，x稱為自變量，y稱為因變量。
  它明確指出，自變量x在某一給定范圍可以取任一個(gè)值，因變量y按一定的規(guī)律也相應(yīng)每次取唯一確定的值。但是，初中階段并不要求掌握自變量的取值范圍（看一下初中要學(xué)的幾個(gè)函數(shù)可知，這個(gè)定義完全夠用，而且，對(duì)于初中生來說，也容易理解）。
  函數(shù)概念的抽象性很強(qiáng)，學(xué)生不易理解，要理解函數(shù)概念必須明確兩點(diǎn)：第一，明確自變量和因變量的關(guān)系，在某變化過程中，有兩個(gè)變量x，y，如果看成y隨x的變化而變化，那么x稱為自變量，y稱為因變量；如果看成x隨y的變化而變化，那么y稱為自變量，x稱為因變量。第二，函數(shù)定義的核心是“一一對(duì)應(yīng)”，即給定一個(gè)自變量x的值就有唯一確定的因變量y的值和它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)可以是“一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)一個(gè)因變量”（簡稱“一對(duì)一”），也可以是“幾個(gè)自變量對(duì)應(yīng)一個(gè)因變量”（簡稱“多對(duì)一”），但不可以是“一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)多個(gè)因變量”（簡稱“一對(duì)多”），下面以圖1來闡述這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系（其中x是自變量，y是因變量）：
  “一對(duì)一” “多對(duì)一” “一對(duì)多”
  是函數(shù) 是函數(shù) 不是函數(shù)
  圖1
  下面舉4個(gè)例子幫助大家理解函數(shù)的概念：
  例1 一根彈簧的長度為10cm，當(dāng)彈簧受到拉力F（F在一定的范圍內(nèi)）時(shí)，彈簧的長度用y表示，測得有關(guān)的數(shù)據(jù)如表1：
  表1
  拉力F（kg）
  1
  2
  3
  4
  …
  彈簧的長度y（c）
  …
  彈簧的長度y是拉力F的函數(shù)嗎？
  分析：從表格中可讀出信息，當(dāng)拉力分別是1kg、2kg、3kg、4kg時(shí)，都唯一對(duì)應(yīng)了一個(gè)彈簧的長度y，滿足函數(shù)的定義，所以彈簧的長度y是拉力F的函數(shù)。一般地，以表格形式給出的函數(shù)，第一行是自變量的值，第二行是因變量的值。
  例2 圖2是某地區(qū)一年內(nèi)每個(gè)月的最高氣溫和最低氣溫圖。
  圖2
  圖2描述了哪些變量之間的關(guān)系？你能將其中某個(gè)變量看成另一個(gè)變量的函數(shù)嗎？
  分析：圖中給出了三個(gè)變量，最高氣溫、最低氣溫和月份，從圖中可以直觀地看出最高氣溫和最低氣溫隨著月份的變化而變化，而且每月的最高氣溫和最低氣溫都是唯一的，所以最高氣溫（或最低氣溫）是月份的函數(shù)。我們還可以發(fā)現(xiàn)7月和8月的最高氣溫相同，也就是說兩個(gè)自變量對(duì)應(yīng)了同一因變量。一般地，以圖象形式給出的函數(shù)，橫軸表示自變量，縱軸表示因變量。
  例3 下列變量之間的關(guān)系是不是函數(shù)關(guān)系？說明理由。
  （1）圓的面積S與半徑r之間的關(guān)系；
  （2）汽車以70千米/時(shí)的速度行駛，它駛過的路程s（千米）和所用時(shí)間t（時(shí)）之間的關(guān)系；
  （3）等腰三角形的面積是，它的底邊長y（厘米）和底邊上的高x（厘米）之間的關(guān)系。
  分析：（1）圓的面積S與半徑r之間的關(guān)系式是，當(dāng)半徑確定時(shí)，圓的面積S也唯一確定，所以圓的面積S與半徑r之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系。
  （2）路程s（千米）和所用時(shí)間t（時(shí)）的關(guān)系式是，當(dāng)時(shí)間t確定時(shí)，路程s也唯一確定，所以路程s（千米）和所用時(shí)間t（時(shí)）之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系。
  （3）底邊長ycm和底邊上的高xcm的關(guān)系式是，當(dāng)?shù)走吷系母選確定時(shí)，底邊長y也唯一確定，所以底邊長ycm和底邊上的高xcm之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系。
  一般地，以關(guān)系式形式給出的函數(shù)，等號(hào)左邊是因變量，等號(hào)右邊的未知數(shù)是自變量。
  例4 下列圖象中，不能表示函數(shù)關(guān)系的是（ ）
  分析：在上面四個(gè)圖象中，A、C、D都可以表示函數(shù)關(guān)系，因?yàn)槿我饨o定一個(gè)自變量x的值，都有唯一的一個(gè)y值與它相對(duì)應(yīng)，但是B圖中，任意給定一個(gè)自變量x的值，卻有兩個(gè)不同的y值與它對(duì)應(yīng)，所以本題應(yīng)選B。
  〔問題2.9〕設(shè)m是一個(gè)小于2006的四位數(shù)，已知存在正整數(shù)n，使得m－n為質(zhì)數(shù)，且mn是一個(gè)完全平方數(shù)，求滿足條件的所有四位數(shù)m。