簡評上海市2008年數(shù)學(xué)高考題

撰文/大罕

    上海市2008年數(shù)學(xué)高考題總體來說是平和的，但平和中有亮點(diǎn)。平和指題目不偏不怪、源于教材而不拘泥于教材、坡度平緩，亮點(diǎn)指題目在應(yīng)用和創(chuàng)新上有所突破。它具有如下特點(diǎn)：
    ⑴ 起點(diǎn)低，終點(diǎn)高。第1題到第6題，起點(diǎn)很低，只需要套用相關(guān)公式或略加變形即可。而壓軸題（第21題）的第⑶小題難度很大，要在短時(shí)間內(nèi)做出此題確非易事。
    ⑵ 難度布局合理。全卷150分，其中A級題（最基礎(chǔ)題）占24分，B級題（基礎(chǔ)題）占74分，C級題（較難題）占31分，D級題（很難題）占8分。
    ⑶ 重視基礎(chǔ)強(qiáng)化能力。例如第7題求從6個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)可得到三角形的概率，既需要求概率的基礎(chǔ)知識又需要數(shù)形結(jié)合的能力。又如，第18題正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像與某直線分別交于兩點(diǎn)，計(jì)算線段長和最大值，這一情景既熟悉又陌生，解題時(shí)要在理解題意的前提下運(yùn)用基礎(chǔ)知識，進(jìn)行分析和綜合。
    ⑷ 應(yīng)用題較為自然。第10題海島測量把立體幾何與解析幾何有機(jī)地結(jié)合在一起，第17題住宅小區(qū)情景下計(jì)算扇形與現(xiàn)實(shí)生活較為貼切。
    ⑸ 壓軸題亮點(diǎn)鮮活。第11題首先是立意新穎。解方程可以理解為求兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而此題是將方程兩邊同除以x后得到的兩條曲線，這更有新鮮感。其次是理解題意上給考生設(shè)置了一個(gè)不大不小的障礙。最后在解題理念上更需要結(jié)合圖像進(jìn)行慎密的理性的思維。第21題給出的是一個(gè)具有周期性遞增的非單調(diào)數(shù)列，很是新穎。第2小題已展現(xiàn)難度，難在把握此數(shù)列的規(guī)律，而第3小題難度最大，很難在短時(shí)間內(nèi)明了數(shù)列的奧妙和玄機(jī)。
    上海市2008年數(shù)學(xué)高考題給我們?nèi)缦聠⑹荆?br>     ⑴ 重視教材的使用，從教材中知識點(diǎn)中挖掘能力點(diǎn)。那種教材內(nèi)容一帶而過補(bǔ)充習(xí)題鋪天蓋地的做法是不可取的。
    ⑵ 重視基礎(chǔ)的掌握。對于教材中的概念、公式和定理，一定要爛熟于心。常用公式的變招也應(yīng)予以足夠的注意。例如二倍角公式cos2α=2cos²α-1=1-2sin²α的變招是1+cos2α=2cos²α 和1-cos2α=2sin²α-1，既可以用來降次又可以用來升次。
    ⑶ 重視數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)理念的培養(yǎng)。
    一是認(rèn)知再現(xiàn)能力。解決數(shù)學(xué)問題時(shí)大量的是認(rèn)知再現(xiàn)的過程。從問題出發(fā)，有選擇地在頭腦中再現(xiàn)有關(guān)知識和方法，從而逐步地解決問題。例如第19題，第1小題只需令f(x)=3，解這個(gè)簡單的對數(shù)方程，考慮對數(shù)的真數(shù)為正，故舍去一根留下另一個(gè)根。第2小題首先直譯接已知不等式，有

    當(dāng)t∈[1,2]時(shí)，2 ^t (2^{2 t} -1/2^2t)+m(2 ^t -1/2^t) ≥0恒成立，

再將此不等式予以變形，得到

    m(2^2t -1) ≥-(2 ^4t -1)，

    ∵2 ^2t -1>0，

    ∴m≥-(2 ^2t +1)當(dāng)t∈[1,2]時(shí)恒成立，

    欲使以上不等式恒成立，就需要考查右邊函數(shù)的值域，

    由1≤t≤2可得5≤2^2t≤17,

    因此當(dāng)t∈[1,2]時(shí)，-(2 ^2t +1) ∈[-17,-5]，

    故t的取值范圍是[-5,+∞)。

    二是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)理念。本套試題有十道題（第2,7,8,10,11,13,15,18,19,20）需用數(shù)形結(jié)合的方法加以解決，可見這一理念的重要性。

    利用數(shù)形結(jié)合是解題時(shí)，畫圖是關(guān)鍵的步驟。例如第11題如何畫圖？這里有三條曲線：直線y=x、曲線y=4/x和y=x3+a。前兩者好畫，第三個(gè)怎么辦？特值法在這里起作用了，可以令a=0！可見畫圖中也體現(xiàn)了一個(gè)考生的機(jī)智與否。圖形畫出來了，“看圖說話”就方便了。

    三是分類討論的數(shù)學(xué)方法。教學(xué)中要讓學(xué)生掌握：

    ①什么情況下需要討論？（根據(jù)給出的條件無法得出唯一的正確答案時(shí)，就應(yīng)該分類討論。）

    ②如何討論？（要確定一個(gè)分類的標(biāo)尺，在這一標(biāo)尺下分幾種情況加以討論。）

    例如第20題第3小題試問動點(diǎn)的軌跡落在哪種二次曲線上，當(dāng)我們得到方程2aca²+b²-2qa=0時(shí)，就發(fā)現(xiàn)方程表示的曲線類型不是唯一的，必須討論。由于b2的系數(shù)為1，而a2的系數(shù)非1，根據(jù)二次曲線相應(yīng)的二次方程的特征，對a²的系數(shù)加以討論。

    四是解題應(yīng)變能力。有的學(xué)生對于見過面的題目會做，對于“陌生”的題目就不會做，或不敢做。為了克服這一毛病，教師就采取題海戰(zhàn)術(shù)，讓學(xué)生盡可能多與各種題型見面?？墒?，天算不如人算，在考試中總會有學(xué)生從未見過面的題目。解決這一問題的根本途徑還是要在落實(shí)雙基的前提下，讓學(xué)生每做一題都要掌握解題的思路、方法以及為什么要用這個(gè)方法，從而提高解題能力。基礎(chǔ)打好了，能力具備了，數(shù)學(xué)題就變?nèi)菀琢恕?/p>                       2008-6-27，寫于上海