倒立擺控制系統(tǒng)是一個復雜的、不穩(wěn)定的、非線性系統(tǒng)，是進行控制理論教學及開展各種控制實驗的理想實驗平臺。對倒立擺系統(tǒng)的研究能有效的反映控制中的許多典型問題：如非線性問題、魯棒性問題、鎮(zhèn)定問題、隨動問題以及跟蹤問題等。通過對倒立擺的控制，用來檢驗新的控制方法是否有較強的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力。同時，其控制方法在軍工、航天、機器人和一般工業(yè)過程領域中都有著廣泛的用途，如機器人行走過程中的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制等。
分類倒立擺系統(tǒng)按擺桿數(shù)量的不同，可分為一級，二級，三級倒立擺等，多級擺的擺桿之間屬于自有連接（即無電動機或其他驅動設備）?，F(xiàn)在由中國的北京師范大學李洪興教授領導的“模糊系統(tǒng)與模糊信息研究中心”暨復雜系統(tǒng)智能控制實驗室采用變論域自適應模糊控制成功地實現(xiàn)了四級倒立擺。是世界上第一個成功完成四級倒立擺實驗的國家。
倒立擺的控制目標
倒立擺的控制問題就是使擺桿盡快地達到一個平衡位置，并且使之沒有大的振蕩和過大的角度和速度。當擺桿到達期望的位置后，系統(tǒng)能克服隨機擾動而保持穩(wěn)定的位置。
倒立擺的控制方法
倒立擺系統(tǒng)的輸入為小車的位移（即位置）和擺桿的傾斜角度期望值，計算機在每一個采樣周期中采集來自傳感器的小車與擺桿的實際位置信號，與期望值進行比較后，通過控制算法得到控制量，再經(jīng)數(shù)模轉換驅動直流電機實現(xiàn)倒立擺的實時控制。直流電機通過皮帶帶動小車在固定的軌道上運動，擺桿的一端安裝在小車上，能以此點為軸心使擺桿能在垂直的平面上自由地擺動。作用力u平行于鐵軌的方向作用于小車，使桿繞小車上的軸在豎直平面內(nèi)旋轉，小車沿著水平鐵軌運動。當沒有作用力時，擺桿處于垂直的穩(wěn)定的平衡位置（豎直向下）。為了使桿子擺動或者達到豎直向上的穩(wěn)定，需要給小車一個控制力，使其在軌道上被往前或朝后拉動。

目錄

一、倒立擺控制系統(tǒng)概述 2

二、數(shù)學模型的建立 3

三、系統(tǒng)開環(huán)響應分析 4

四、根軌跡法控制器設計 5

4.1 根軌跡分析 5

4.2 系統(tǒng)根軌跡設計 6

4.3 校正后系統(tǒng)性能分析 8

4.4 系統(tǒng)控制器的調(diào)整 8

五、頻域法控制器設計 10

5.1 頻域法分析 10

5.2 串聯(lián)校正器的選擇與設計 10

5.3 系統(tǒng)的仿真 13

六、PID控制器設計 14

七、總結及心得體會 16

八、參考教材 16

一、倒立擺控制系統(tǒng)概述

倒立擺裝置被公認為自動控制理論中的典型實驗設備，也是控制理論教學和科研中控對象，運用控制手段可使之具有良好的穩(wěn)定性。通過對倒立擺系統(tǒng)的研究，不僅可以解決控制中的理論問題，還能將控制理論所涉及的三個基礎學科：力學、數(shù)學和電學（含計算機）有機的結合起來，在倒立擺系統(tǒng)中進行綜合應用。在多種控制理論與方法的研究和應用中，特別是在工程實踐中，也存在一種可行性的試驗問題，將其理論和方法得到有效的經(jīng)驗，倒立擺為此提供一個從控制理論通往實踐的橋梁。 

在穩(wěn)定性控制問題上，倒立擺既具有普遍性又具有典型性。倒立擺系統(tǒng)作為一個控制裝置，結構簡單、價格低廉，便于模擬和數(shù)字實現(xiàn)多種不同的控制方法，作為一個被控對象，它是一個高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性、強耦合的快速系統(tǒng)，只有采用行之有效的控制策略，才能使其穩(wěn)定。倒立擺系統(tǒng)可以用多種理論和方法來實現(xiàn)其穩(wěn)定控制，如PID、自適應、狀態(tài)反饋、智能控制、模糊控制及人工神經(jīng)元網(wǎng)絡等多種理論和方法，都能在倒立擺系統(tǒng)控制上得到實現(xiàn)，而且當一種新的控制理論和方法提出以后，在不能用理論加以嚴格證明時，可以考慮通過倒立擺裝置來驗證其正確性和實用性。 

倒立擺的種類：懸掛式、直線、環(huán)形、平面倒立擺等。一級、二級、三級、四級乃至多級倒立擺。

倒立擺控制系統(tǒng)的組成：倒立擺系統(tǒng)由倒立擺本體，電控箱以及控制平臺（包括運動控制卡和PC機）三大部分組成。

本次課程設計利用單級倒立擺，主要設計PC機內(nèi)控制函數(shù)，減小超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間！

二、數(shù)學模型的建立   

系統(tǒng)建模可以分為兩種：機理建模和實驗建模。對于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困難。機理建模就是在了解研究對象的運動規(guī)律基礎上，通過物理、化學等學科的知識和數(shù)學手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部變量、輸入變量以及輸出變量之間的數(shù)學關系。

圖 1 直線一級倒立擺系統(tǒng)

· M 小車質量1.096 Kg

· m 擺桿質量0.109 Kg

· b 小車摩擦系數(shù)0.1N/m/sec

· l 擺桿轉動軸心到質心長度0.25m

· I 擺桿慣量0.0034 kg·m2

· F 加在小車上的力

· x 小車位置

· f 擺桿與垂直向上方向的夾角 

· q 擺桿與垂直向下方向的夾角

圖 2小車及擺桿受力分析---------- N 和P 為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量

小車水平方向的合力： 

擺桿水平方向的合力：

擺桿水平方向的運動方程：

擺桿力矩平衡方程：

擺桿垂直方向的合力：

擺桿垂直方向的運動方程：

用u 來代表被控對象的輸入力F，線性化后，兩個運動方程如下(其中  )：

如果令進行拉普拉斯變換，得到擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)：

把實際參數(shù)帶入可得系統(tǒng)的實際模型為：

三、系統(tǒng)開環(huán)響應分析

我們已經(jīng)得到系統(tǒng)的實際模型，下面對其進行單位階躍響應分析，在MATLAB中輸入以下程序：

M = 0.5;

m = 0.2;

b = 0.1;

I= 0.006;

g = 9.8;

l = 0.3;

q = (M+m )*( I+m*l^2)-(m*l)^2; 

num = [m*l/q  0  0];

den = [1  b*(I+m*l^2)/q  -(M+m)*m*g*l/q  -b*m*g*l/q  0];

t = 0 : 0.05 : 5;

impulse( num , den , t );

axis ( [ 0 1 0 60 ]);

可以得到小車位置與加速度實際模型的單位階躍響應如圖3：

圖 3 系統(tǒng)的單位階躍響應曲線

由圖可知，在進行校正之前，小車的單位階躍響應是發(fā)散的，倒立擺系統(tǒng)不穩(wěn)定！

四、根軌跡法控制器設計

4.1 根軌跡分析

上面已經(jīng)得到系統(tǒng)被控對象的傳遞函數(shù)：

在MATLAB中輸入以下程序：

clear all;

clc;

num =[0.02725 ];

den =[0.0102125 0 -0.26705];

rlocus (num,den)；

運行程序后便得到控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡圖。由圖4我們知道系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點：

可以看出一個極點位于右半平面，并且有一條根軌跡起始于該極點，并沿著實軸向左跑到位于原點的零點處，這意味著無論增益如何變化，這條根軌跡總是位于右半平面，即系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。

4.2 系統(tǒng)根軌跡設計

開環(huán)傳遞函數(shù)為：

根軌跡設計的要求為：

最大超調(diào)亮：

調(diào)整時間：(2%誤差帶)

1）根據(jù)要求的性能指標，計算出校正后閉環(huán)主導極點的坐標。

由,計算出考慮到非主導極點和閉環(huán)零點的影響，設計時的取值應留有余量。取，，再由得。

期望閉環(huán)主導極點,為校正的開環(huán)傳遞函數(shù)

2）畫出未校正系統(tǒng)的根軌跡圖及標明

觀察發(fā)現(xiàn)為校正系統(tǒng)的根軌跡并不經(jīng)過期望的閉環(huán)主導極點，如果想要校正后的根軌跡經(jīng)過該點，需要增加校正網(wǎng)絡。

3）計算超前校正網(wǎng)絡應提供的超前相角。

4）計算角、和：

故校正網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為：

該校正網(wǎng)絡使校正后的開環(huán)傳遞函數(shù)滿足了希望極點是根軌跡上的點的相角條件。

5）為了使校正后的傳遞函數(shù)滿足幅值條件，應當串入一個，開環(huán)傳遞函數(shù)為：

由幅值條件   即可求得。在MATLAB里面鍵入以下程序：

s=-9+7.22*i

f1=abs(s+5.246)

f2=abs(s+24.54)

f3=abs(0.0102125*s^2-0.26705)

solve('k*f1*0.02725/(f2*f3)=1')；

解得

6）于是系統(tǒng)的校正網(wǎng)絡傳遞函數(shù)為：

4.3 校正后系統(tǒng)性能分析

在Simulink中進行系統(tǒng)仿真，得到校正后系統(tǒng)單位階躍響應為：

圖 5校正后系統(tǒng)的單位階躍響應

計算超調(diào)量： 滿足要求

計算調(diào)節(jié)時間： 不滿足要求

計算結果表明，校正后系統(tǒng)的超調(diào)亮滿足要求，但是調(diào)節(jié)時間不滿足要求，并且穩(wěn)態(tài)誤差過大。

4.4 系統(tǒng)控制器的調(diào)整

調(diào)整至220，進行仿真，得到系統(tǒng)單位階躍響應如圖6 所示：

圖 6調(diào)整增益后的系統(tǒng)單位階躍響應

同時進行零極點調(diào)整，最后得出滿足條件的零極點及增益為：

圖 6滿足條件的單位階躍響應

超調(diào)量：滿足要求

調(diào)節(jié)時間：0.28s 滿足要求

穩(wěn)態(tài)誤差：17%  

以上結果均滿足設計要求。

五、頻域法控制器設計

5.1 頻域法分析

一級倒立擺實際模型的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

在MATLAB中輸入以下程序：

clear all;

clc;

num = [0.02725];

den =[0.0102125 0 -0.26705];

G = tf(num,den);

figure;

margin(G);

grid on;

得到校正前系統(tǒng)的bode圖為：

由圖可以看出，系統(tǒng)的bode圖不經(jīng)過0dB線，系統(tǒng)不穩(wěn)定，需要增加串聯(lián)校正環(huán)節(jié)。

5.2 串聯(lián)校正器的選擇與設計

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：

系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差常數(shù)為：10

相位裕量為：

增益裕量等于或者大于10分貝

控制器設計：

1）對比bode圖和系統(tǒng)頻域設計的要求，我們可以看出，只需要給系統(tǒng)增加一個超前校正裝置即可使校正后的系統(tǒng)滿足頻域設計要求。設超前校正裝置為：

設計要求校正后的靜態(tài)位置誤差常數(shù)為10，所以：

解得 K=98

2）將K帶入校正前的開環(huán)傳遞函數(shù)，利用MATLAB畫出系統(tǒng)的bode圖，從圖中獲取校正前系統(tǒng)的相角裕量為：

3）計算超前校正裝置應提供的最大相角：

式中為性能指標要求的相角裕量，為原系統(tǒng)的相角裕量，增加是為了補償因增加超前校正裝置使開環(huán)截止頻率右移而造成的相位下降

4）計算超前校正裝置參數(shù)。

5）確定系統(tǒng)校正后的截止頻率 。

截止頻率就是對應期望相角裕量的頻率。即在校正前的對數(shù)幅頻特性bode圖中，對數(shù)幅頻特性時，對應的頻率就是系統(tǒng)超前校正后的截止頻率，求得 如圖示：

圖8 校正前系統(tǒng)bode圖求

6）計算超前校正裝置的例外一個參數(shù)T。

7）確定校正裝置的傳遞函數(shù)：

8) 畫出校正后系統(tǒng)的bode圖，在MATLAB中輸入以下程序：

clear all;

num1=[0.11 1];

num2=[2.6705]

num=conv(num1,num2);

den1=[0.011 1];

den2=[0.0102125 0 -0.267005];

den=conv(den1,den2));

G=tf(num,den);

figure;

Margin;

grid on ;

圖 10 校正后系統(tǒng)的bode圖

由圖可以看出，校正后系統(tǒng)的復制頻率特性過0db線，幅值裕量和相角裕量都滿足條件要求。

5.3 系統(tǒng)的仿真

在Simulink中進行校正后系統(tǒng)的仿真，如圖所示：

圖 11 校正后系統(tǒng)的單位階躍響應

由圖可以看出，校正后系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：11% 超調(diào)亮和調(diào)節(jié)時間都滿足要求。因此頻域法超前校正成功。

六、PID控制器設計

PID控制器是比例-微分-積分控制器的簡稱。在生產(chǎn)過程自動化的發(fā)展歷程中，從20世紀40年代之前至今，PID控制是久用不衰、生命力最強的基本控制規(guī)律。它原理簡單，使用方便，適用性強，廣泛應用于生產(chǎn)過程的各個領域，PID控制的控制品質對被控對象特性的變化不敏感，因此在自動控制系統(tǒng)中，首先想到的基本控制規(guī)律就是PID控制。

控制器中微分控制作用可以減小響應過程中的動態(tài)偏差，縮短調(diào)節(jié)時間，積分作用的特點是消除穩(wěn)態(tài)誤差，但將使響應曲線的動態(tài)偏差和調(diào)節(jié)時間增大，故此采用PID控制。PID 控制并不需要對系統(tǒng)進行精確的分析，因此采用實驗的方法對系統(tǒng)進行控制器參數(shù)的設置。

系統(tǒng)的實際模型：

PID控制器設計的基本要求：

最大超調(diào)亮：

調(diào)整時間：(2%誤差帶)

在 Simulink 中建立如圖所示的直線一級倒立擺模型：

圖12 Simulink構建PID 控制MATLAB 仿真模型

圖 13  系統(tǒng)的單位階躍響應

通過仿真圖像我們可以看出，在的的情況下，系統(tǒng)響應不收斂，通過不斷調(diào)整PID參數(shù)，最后我們的到滿足條件的響應曲線，如下圖所示：此時

此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差: 0,超調(diào)量：14.6%,調(diào)節(jié)時間：1.25s。滿足PID控制器的設計要求。

七、總結及心得體會

通過這次課程設計，是我對自動控制原理這門課程有了更深刻的理解，將抽象的控制理論運用到實際中去，使我對理論知識的運用能力有了很大的提高，通過觀察實際的控制效果，也強化了我對自動控制原理理論知識的掌握。

在實際的操作過程中，我認識到，理論上可行的東西在實際的模擬過程中并不一定行得通，要綜合考慮所有的誤差一級影響然后做正確的判斷；同時，在實際操作當中，當結果不滿意時，并不一定是理論出了問題，有可能只是一個簡單的操作錯誤，而這次的課程設計正好鍛煉了我的耐心，是我能夠不厭其煩的試驗，最后得出切實可行的結果。

這次的課程設計業(yè)很好的鍛煉了我的觀察以及學習能力，在實際的操作過程當中，有些數(shù)據(jù)的變化對結果的影響并不能夠用公式表達出來，有可能只是很小的相關性，這就要求我們在試驗的過程當中仔細觀察，掌握規(guī)律。

八、參考教材

[1] 自動控制原理 謝昭莉 2012年版

[2]直線倒立擺安裝與使用手冊R1.0：p39-45

[3]固高MATLAB實時控制軟件用戶手冊