原文作者：Keith Devlin， 英國數(shù)學家和科普作家，斯坦福大學教授

翻譯： Math001

實數(shù)有多少個呢？一種回答是：“無窮多個”。由于康托證明了實直線——即連續(xù)統(tǒng)-——不能和自然數(shù)有一一對應，于是能得到更好一些的回答是，“不可數(shù)多個”。但我們能更精確一些嗎？康托引進了一種度量無窮集合個數(shù)的方法：使用阿列夫數(shù)。阿列夫是一個希伯來字母，康托用它來表示無限集合的個數(shù)(阿列夫“?”這個號很多時候在網(wǎng)頁上都打不出來)。他把所有的無限集合的個數(shù)都用這樣的無限數(shù)量(基數(shù))進行了分層，?0(第一個無窮基數(shù)，自然數(shù)集的數(shù)量)，?1(第一個不可數(shù)基數(shù))，?2，等等。

無窮基數(shù)和有限的自然數(shù)一樣，可以做加法和乘法，只是比自然數(shù)的加法和乘法容易得多。兩個無窮基數(shù)相乘或者相加，都等于這兩個中最大的那個。

我們也能把任何一個有限或無限的基數(shù)來計算它的冪。這樣問題瞬間變得不那么容易了。我們來看一個相對最簡單的情況，如果κ(西臘字母,Kappa)是一個無窮基數(shù)，那么2^κ(2的κ次冪，即κ基數(shù)集合的冪集的基數(shù))的值是多少？康托證明了這個冪一定比κ本身大，但這也就是他得到的最深的結果了。特別的，他無法表明2^?0是否等于?1。

這個問題有何意義呢？在數(shù)學其它地方，已經證明了2^?0正好是連續(xù)統(tǒng)的個數(shù)，即實數(shù)的個數(shù)。由于康托能證明有理數(shù)的大小是?0，那接下來一個自然的問題，實數(shù)到底有多少個？這樣的問題不能回答是讓人沮喪的。希爾伯特也在1900年，把它列入了他《數(shù)學問題》中的23個問題之一。

命題2^?0=?1的就是著名的連續(xù)統(tǒng)假設。它和選用的構造無限集合的公理體系密切相關。這個公理體系是由策梅羅和弗蘭克爾在20世紀初建立的，叫做ZF公理體系，是被數(shù)學界普遍接受的。1936年，哥德爾用他的證明震驚了數(shù)學界。他證明了ZF公理體系是不能證明連續(xù)統(tǒng)假設是一個假命題的。

其實，部分邏輯學家、一些實分析學家，以及大部分數(shù)學家并不關心連續(xù)統(tǒng)假設是真是假。所以，讓人震驚的并不是這個結果本身。讓大家驚奇的是，哥德爾發(fā)現(xiàn)了一種證明手段，可以證明一些數(shù)學命題是不能被證明的。(注意，哥德爾證明的是連續(xù)統(tǒng)假設不可能在ZF公理體系下被證明是假的，但這并不意味著連續(xù)統(tǒng)假設可以在這個體系下被證明是真的。他沒有一個證明它是真命題的邏輯推導。)于是，大家知道了連續(xù)統(tǒng)假設不可能被證明是假命題，研究轉向去證明它是真命題。但這樣的研究是徒勞的，1963年科恩的證明告訴了大家，為什么之前的研究是徒勞的?？贫饔盟l(fā)明的力迫法證明了連續(xù)統(tǒng)假設也不可能被證明是真命題(在ZF公理體系的框架下)。于是這個假設是不可判定的。因為這個發(fā)現(xiàn)，科恩還在1966年獲得菲爾茲獎。

當然，一個很自然的想法。我們想在ZF公理體系下增加一些公理，讓連續(xù)統(tǒng)假設變得可以判定是真是假。的確有很多數(shù)學家做了這樣的工作，但都沒有成功。問題在于，我們試圖為所有的數(shù)學分支提供一個統(tǒng)一的集合論的基礎框架(這個框架包含算術系統(tǒng))，框架中的公理要被大家接受，還必須看上去是“顯然的”。沒人能找到這樣的公理。有一種我個人覺得很吸引人的公理叫做構造性公理(我博士期間是研究集合論和無窮基數(shù)算術的，我研究生涯的前15年都在搞那個)。

這個公理是哥德爾發(fā)現(xiàn)的。哥德爾用它來證明了連續(xù)統(tǒng)假設在ZF公理體系下不是假命題。雖然哥德爾不建議讓它成為一個集合論的公理，但我覺得它還是比較“自然”，能成為一條公理。不是因為我相信那個是“真”的。當我們在無限集合上討論數(shù)學時，我認為不應該較真公理的對錯。甚至，我覺得科恩的結果(以及很多之后的結果)向我們表明的原始信息應該是：我們在選擇集合論的公理時，應該務實一點。由于集合論的終極目的是為數(shù)學提供一個普遍的根基，我可以提出（事實上在1977年我已經提出過）一個非常好的支持將構造公理納入公理體系的論點。(我把這個觀點寫進了我的專著《The Axiom of Constructibity: A Guide for the Mathematician》，于1977年在Springer-Verlag出版。) 如果構造性公理被假定成立(作為一條新的公理，加到ZF公理體系里)，就可以證明連續(xù)統(tǒng)假設是真命題。由于各種原因，很多數(shù)學家不支持我以及其他支持構造公理體系的人的觀點。但沒有一個人提出一個我認為令人信服的反對理由。至少，在那個時候沒有。

1986年，情況發(fā)生了改變。Freiling在《Journal of Symbolic Logic》上發(fā)表了一個有趣的文章，題目叫《公理的對稱性：往實直線上投飛標》。在文章中，F(xiàn)reiling提出了下面這個假想實驗。你我兩人向一個飛標靶子投擲飛標。我們之間隔了一個屏風，所以我們之間互不影響。當我們收到一個來自第三方的信號的時候，我們一起向靶子投擲飛鏢。我們投擲的結果完全是隨機的。(形式上，由于靶子上的點可和實數(shù)產生一一對應，所以我們兩個人可以簡單的看成兩個獨立的隨機數(shù)發(fā)生器。)那誰是贏家呢？恩，實驗的組織者把所有實數(shù)排成一個良序(即把靶子上的點排成良序)，記為“<<”。我們的目標是在這個良序下，擊中的目標比對手大。如果你擊中的實數(shù)是Y，而我擊中的M，若Y<<M，就我贏，否則，你贏。

好的，再多說幾句。假如連續(xù)統(tǒng)假設成立。實驗的組織者可以把這個良序排成這樣：對任意實數(shù)x，集合{r|r<<x}是可數(shù)的。同意嗎？好，由于我們是獨立投擲的，我可以假設我第一個投，我擊中了M。現(xiàn)你輪到你投了，由于{r|r<M}是可數(shù)的，所以如果你擊中的是Y，那么Y<<M的概率是1，即你贏的概率是1。但，我們的條件是完全對稱的，所以相似討論，我贏的概率也應該是1.但這是不可能的。結論：我們不到找到這樣的良序，所以連續(xù)統(tǒng)假設是假命題。

是吧?別急，別太武斷。要讓上面的推理成立，我們假設了良序“<<”是可測的。但沒有任何理由支持這個假設。所以，我們并沒有證明連續(xù)統(tǒng)假設是一個假命題。但我們(或者Freiling)也不是要證明他是假命題。相反，我們是在找一些似是而非的理由，來找一個公理集合論體系來解決連續(xù)統(tǒng)假設。如果，你們公理集合集結看成一個構造集合的框架，這個框架為數(shù)學其它所有分支都提供一個構造集合的保守方法，那么，你可以用構造性公理。這時，連續(xù)統(tǒng)假設成立。但是，如果你認為數(shù)學是現(xiàn)實經驗的抽象，且你認為Freiling的投標假想實驗是直觀、自然且“應該是對的”，那么你能承認的集合論中的公理就得讓連續(xù)統(tǒng)假設是一個假命題。(或者，退一萬步來講，你的公理體系不能讓連續(xù)統(tǒng)假設是真命題。)那我現(xiàn)在是觀點是什么呢？恩，我還是在考慮一個支持構造性公理的論點。但我也發(fā)現(xiàn)Freiling的假想實難是寧人信服的。

所以，我的觀點是，從直觀的層面上考慮，肯定要讓連續(xù)統(tǒng)假設是一個假命題。當一個數(shù)學家發(fā)現(xiàn)他在支持兩個互相矛盾的命題的時候，他顯然是當系主任或者院長太長時間了。是時候放棄職位而繼續(xù)前進了。你知道嗎？我這樣做了。請注意我的聯(lián)系地址已經變了。