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最近看到一本 Max-Planck 研究所的講義: A walk in the noncommutative garden. Alain Connes 和 Matilde Marcolli 寫的. 大師當(dāng)然是閑庭信步了, 我就勉強(qiáng)算是管中窺豹吧, 不過(guò)也許連根毛都沒看到......還是希望有同修討論討論. 涉及到物理的部分可能會(huì)犯很多錯(cuò)誤, 希望同修們不吝賜教. 歷史上第一個(gè)非交換幾何的例子當(dāng)推 Heisenberg 關(guān)于光譜學(xué)中 Ritz-Rydberg 組合原理的見解. 這個(gè)原理是說(shuō), 一個(gè)原子的光譜里面, 某些譜線的頻率相加正好是另一些譜線的頻率, 但并非隨便拿出兩條譜線來(lái), 其頻率之和都是另一譜線的頻率. Bohr 用定態(tài)假設(shè)和躍遷假設(shè)解釋了這個(gè)原理, 但是背后的動(dòng)力學(xué)原理卻不清楚, 而且不能預(yù)言輻射的強(qiáng)度和偏振. Heisenberg 首先用牛頓力學(xué)和 Mexwell 理論研究了一下氫原子的輻射問題, 說(shuō)明了在這個(gè)模型下, 輻射有一組基頻, 而每個(gè)平面波分量的頻率是這些基頻的整系數(shù)線性組合 --- 這說(shuō)明所有可能的頻率組成一個(gè)加法群, 任何兩個(gè)譜線頻率相加必然是第三條譜線的頻率. 這顯然不符合 Ritz-Rydberg 組合原理. Heisenberg 決定拋棄經(jīng)典概念而只研究 "可觀察量", 即所有譜線組成的集合上的函數(shù) --- 這些函數(shù)其實(shí)是真實(shí)物理量的 Fourier 系數(shù). 所以物理量之間的乘法是這些系數(shù)(作為譜線集上的函數(shù))之間的卷積(卷積運(yùn)算本身要求集合上的群結(jié)構(gòu)). 然而, Ritz-Rydberg 組合原理告訴我們, 所有譜線的集合不是一個(gè)群, 而只是一個(gè)群胚 (groupoid). 借用 Bohr 的話來(lái)說(shuō), 每條譜線是從 n 能級(jí)到 m 能級(jí)的躍遷引起的輻射. 對(duì)群胚上的函數(shù)也可以類似地定義卷積, 但這個(gè)卷積再也不是交換的了 --- 比如譜線的集合這個(gè)群胚, 每條譜線由兩個(gè)整數(shù) (n,m) 代表, 所以譜線集上的函數(shù)實(shí)際上是矩陣 q(n,m), 而這個(gè)群胚上的卷積正好就是矩陣乘法 --- 注意這些矩陣是真實(shí)物理量的 Fourier 系數(shù), 它們的卷積對(duì)應(yīng)到真實(shí)物理量的乘法. 這樣 Heisenberg 不得不下結(jié)論說(shuō), 真實(shí)的物理量一定不是普通的函數(shù) (c數(shù)), 而是一些非交換的東西(q數(shù)), 因?yàn)槠胀ê瘮?shù)的 Fourier 系數(shù)必須是群上的函數(shù), 而事實(shí)上可觀察量的 "底空間" 卻是一個(gè)群胚. 應(yīng)該注意的是, 這并不是數(shù)學(xué)家的馬后炮, 而只是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言把 Heisenberg 原始的想法寫出來(lái)而已. 研究非交換幾何一個(gè)很直接的動(dòng)機(jī)(并不一定是 Connes 的動(dòng)機(jī))要追溯到 Gelfand 關(guān)于 Banach 代數(shù)的研究. 一個(gè)交換的 Banach 代數(shù)對(duì)應(yīng)于一個(gè)緊致拓?fù)淇臻g, 叫做這個(gè)代數(shù)的 "譜" (spectrum), 這個(gè)代數(shù)正好是這個(gè)緊致拓?fù)淇臻g上的所有連續(xù)函數(shù)形成的代數(shù). 這種 代數(shù)-幾何 對(duì)應(yīng)被 Grothendieck 在代數(shù)范疇里發(fā)展到了極至. 一個(gè)自然的想法就是把這種對(duì)應(yīng)推廣到非交換的對(duì)象. 在代數(shù)范疇的推廣就是所謂非交換代數(shù)幾何, 在拓?fù)浞懂牭耐茝V一般籠統(tǒng)稱為非交換幾何. Alain Connes 從某一類 Banach 代數(shù) --- von Neumann 代數(shù)的研究出發(fā)看待整個(gè)非交換幾何. von Neumann 代數(shù)跟物理有密切關(guān)系. 從某種意義上來(lái)說(shuō)這很明顯, 因?yàn)?Banach 代數(shù)都可以被實(shí)現(xiàn)為 Hilbert 空間的算子代數(shù), 從而可能是某個(gè)物理系統(tǒng)的可觀察量形成的代數(shù). 事實(shí)上還有更直接的關(guān)系. 涉及到量子統(tǒng)計(jì)力學(xué). 統(tǒng)計(jì)力學(xué)研究一個(gè)由大量原子組成的復(fù)雜物理系統(tǒng). 這個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)很難細(xì)致描述. 但是這個(gè)系統(tǒng)有很多宏觀性質(zhì)可以非常準(zhǔn)確地描述. 所以我們有必要區(qū)分系統(tǒng)的微觀狀態(tài)和宏觀狀態(tài). 宏觀狀態(tài)由有限個(gè)參數(shù)(溫度, 壓強(qiáng), 極化等等)描述, 微觀狀態(tài)由大量的動(dòng)力學(xué)參數(shù)描述. 這個(gè)系統(tǒng)具有統(tǒng)計(jì)性質(zhì)是因?yàn)閷?duì)于微觀態(tài)的信息缺失 --- 不同的微觀態(tài)可能給出完全相同的宏觀態(tài), 這時(shí)我們說(shuō)這兩個(gè)微觀態(tài)有同等概率描述系統(tǒng)真實(shí)的狀態(tài). 為了對(duì)這個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行定量研究, 我們需要假定宏觀物理量是微觀物理量對(duì)于某個(gè) "系綜" (微觀態(tài)的概率分布) 的平均值. 然而系統(tǒng)在某一時(shí)刻實(shí)際上確定地處于某個(gè)微觀態(tài), 只是我們不知道關(guān)于這個(gè)微觀態(tài)的信息. 所以系綜的使用是有條件的, 這就是 "遍歷假設(shè)", 就是說(shuō), 微觀物理量在某個(gè)微觀運(yùn)動(dòng)態(tài)下的時(shí)間平均應(yīng)該可以等同于在某一固定時(shí)刻對(duì)于一個(gè)系綜的平均. 我們其實(shí)還需要進(jìn)一步假設(shè)實(shí)現(xiàn)遍歷的時(shí)間間隔足夠小, 小于我們測(cè)量這個(gè)系統(tǒng)的宏觀物理量所需要的時(shí)間. 遍歷假設(shè)實(shí)際上給出了一個(gè)對(duì)應(yīng): (微觀態(tài)時(shí)間演化 <----> 系綜). 熱平衡系統(tǒng)的 Boltzmann 分布就是這么一個(gè)例子, 這個(gè)分布的密度函數(shù)就是 exp(bH), 其中 b 定義了這個(gè)熱平衡系統(tǒng)的溫度, 而 H 就是控制時(shí)間演化的 Hamilton 函數(shù). 在熱力學(xué)極限下(粒子數(shù)趨于無(wú)窮), 這種對(duì)應(yīng)(遍歷假設(shè))再也不成立了, 但是它們之間還是有一定的關(guān)系, 在量子統(tǒng)計(jì)學(xué)中叫做 Kubo-Martin-Schwinger 條件, 微觀態(tài)的時(shí)間演化 a_t 和一個(gè)量子系綜 E 滿足這個(gè)條件當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意兩個(gè)可觀察量 A, B 存在一個(gè)在條帶 R * [0, hb] 上的全純函數(shù) F, 使得 F(t)= E[A a_t(B)], 而 F(t+ i hb)= E[a_t(B) A]. 其中 h 是 Planck 常數(shù), b 定義了這個(gè)系綜的溫度. 而在 von Neumann 代數(shù)理論中, 這個(gè) Kubo-Martin-Schwinger 條件比較自然地出現(xiàn). von Neumann 代數(shù)是由 Hilbert 空間上某些有界算子組成的. 這個(gè)代數(shù)的一個(gè)態(tài)就是 Hilbert 空間里的一個(gè)向量 x, 代數(shù)里的元素 A 對(duì)于這個(gè)態(tài)的平均值是 <x|A|x>. 對(duì)于每個(gè)態(tài) x, 可以定義這個(gè)代數(shù)的一個(gè)單參數(shù)自同構(gòu)群 S_t. 這個(gè)單參數(shù)同構(gòu)群跟態(tài) x 正好滿足 hb=1 的 Kubo-Martin-Schwinger 條件. Gelfand 已經(jīng)告訴我們一個(gè)緊致拓?fù)淇臻g X 對(duì)應(yīng)到一個(gè)交換的 Banach 代數(shù), 就是 X 上所有連續(xù)函數(shù)組成的代數(shù) C(X). 如果我們?cè)?X 上有一個(gè)等價(jià)關(guān)系 R, 我們可以做商空間 Y = X/R. 這個(gè)商空間的商拓?fù)淇赡芎茉愀? 比如, 它可能不是 Hausdorff 的. 我們希望存在相應(yīng)的 Banach 代數(shù) "C(Y)", 而且它可以由 C(X) 做某種代數(shù)上的操作得到. 由下面一些例子我們可以看到, 如果要得到一些不平凡的信息, 我們就被自然地帶到非交換的范疇. 先看一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子: X = {a, b}. 那么 C(X) = C "+" C, 這里的 "+" 表示代數(shù)的直和, C 表示復(fù)數(shù)域作為自身上的一維代數(shù). 更好的寫法是用矩陣: C 0 0 C 現(xiàn)在, 如果我們有等價(jià)關(guān)系 aRb, 即, 我們把這兩個(gè)點(diǎn)等同起來(lái), 那么有兩種看法可以得到商空間對(duì)應(yīng)的代數(shù), (1) 取在等價(jià)關(guān)系下不變的函數(shù), 即所有函數(shù) f 使得 f(a)=f(b), 所以是常數(shù)函數(shù), 這個(gè)意義下的 C(Y) = C. 可能有點(diǎn)太平凡了, 并沒有反映出 Y 是通過(guò)等同 X 中的兩點(diǎn)得到的這個(gè) "商" 過(guò)程; (2) 把對(duì)角矩陣組成的代數(shù)擴(kuò)張到整個(gè) 2 x 2 矩陣代數(shù) M_2(C). 這是一個(gè)單代數(shù), 只有一個(gè)極大理想 0. 所以它的譜正好就是 Y, 所以它是 "C(Y)" 的一個(gè)可能的選擇. 顯然第二種看法會(huì)保留更多的信息. 但是我們必須要有直觀的幾何解釋, 要不然這種推廣就太過(guò)任意. 這個(gè)幾何解釋就是, M_2(C) 是等價(jià)關(guān)系 R 的圖像上所有連續(xù)函數(shù)組成的代數(shù). 在這個(gè)簡(jiǎn)單情況下, R 的圖像是離散的, 包括四個(gè)點(diǎn) (a,a), (a,b), (b,a), (b,b), 其實(shí)也就是笛卡兒積 X x X. 這個(gè)圖像上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)就是一個(gè) 2 x 2 矩陣( a,b 是腳標(biāo)). 這樣我們給了矩陣一個(gè)幾何解釋. 矩陣之間的乘法可以解釋為在 R 這個(gè)群胚上的卷積 ( 一個(gè)等價(jià)關(guān)系自然是一個(gè)群胚. Heisenberg 已經(jīng)告訴我們?cè)鯓釉谌号呱献鼍矸e了). 回憶 Heisenberg 怎樣得到他的q數(shù), 就是把 Fourier 系數(shù)解釋為 {所有譜線} 這個(gè)群胚上的函數(shù)而非通常情況下的 {所有整數(shù)} 這個(gè)交換群上的函數(shù). 現(xiàn)在, Connes 所做的是把商空間 Y 加強(qiáng)為定義這個(gè)商空間的等價(jià)關(guān)系 R, 而把非交換的 C(R) (R 上的函數(shù)以對(duì) R 的群胚結(jié)構(gòu)的卷積作為乘法) 作為商空間 Y 所對(duì)應(yīng)的 Banach 代數(shù). 這種處理可以推廣到拓?fù)淞餍? 一個(gè)緊致拓?fù)淞餍?M, 如果我們?nèi)《ㄒ粋€(gè)有限開覆蓋 {U_i}, i=1,...,m. 那么 M 可以看做一個(gè)商空間 --- 設(shè) X 為 U_i 的無(wú)交并, 等價(jià)關(guān)系 R 就是 U_i 之間的粘合. 大家現(xiàn)在可以想象一下 R 的圖像 (作為 X x X 的子空間). 其實(shí)這個(gè)圖像就是所有 (U_i 交 U_j) 的無(wú)交并, 從而 C(R) 中每個(gè)元素可以寫成一個(gè) m x m 矩陣, 其 (i,j) 元是 (U_i 交 U_j) 上一個(gè)在邊界趨于零的連續(xù)函數(shù). C(R) 的乘法就是矩陣乘法, 而矩陣元 f(i,j) 和 g(j,k) 的乘積顯然是 (U_i 交 U_k) 上消失在邊界的函數(shù). 所以乘法是定義好的. 當(dāng)然, 這種構(gòu)造必須要有好處, 要不然我們就白白犧牲了交換性這么好的性質(zhì). 這個(gè)構(gòu)造最表面的好處就是, 一旦我們有 M 的一個(gè)開覆蓋了, 我們不用理會(huì) M 的任何整體性質(zhì)就能構(gòu)造出 C(R), 所涉及到的只是開覆蓋的組合結(jié)構(gòu). 這就像用 Cech 上同調(diào)一樣, 在某些情況下會(huì)方便很多. 理解 Connes 關(guān)于測(cè)度論的描述花了不少時(shí)間。測(cè)度的概念看似簡(jiǎn)單，但比較深入的思考讓我意識(shí)到以前的理解有多么膚淺。當(dāng)然，認(rèn)識(shí)到自己膚淺并不代表現(xiàn)在就不膚淺，Connes 的好多議論還是讓我一頭霧水。 測(cè)度是長(zhǎng)度，面積，體積，概率這些古典數(shù)學(xué)概念在二十世紀(jì)的統(tǒng)一的建立在集合論基礎(chǔ)上的表述。Lebesgue 本人的動(dòng)機(jī)是為了定義積分，所以現(xiàn)在普遍接受的觀點(diǎn)是，要定義一種積分，首先要定義一個(gè)測(cè)度。比如 Riemann 積分對(duì)應(yīng)于 Jordan 測(cè)度，Stieltjes積分對(duì)應(yīng)于推廣的 Jordan 或者 Lebesgue 測(cè)度，一些隨機(jī)積分對(duì)應(yīng)于 Wiener 測(cè)度，等等。（說(shuō)到這里，應(yīng)該提一下，為了給物理學(xué)中常用的路徑積分建立一個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也許需要推廣現(xiàn)有的測(cè)度概念，這當(dāng)然也是 Connes 建立非交換幾何這個(gè)框架的動(dòng)機(jī)之一。） 在一個(gè)測(cè)度空間 X 上，有一個(gè)自然的交換 C* 代數(shù)，就是 L^無(wú)窮，所有 X 上本性有界的可測(cè)函數(shù)組成的空間，上面的乘法就是函數(shù)之間的點(diǎn)點(diǎn)乘法。有意思的是，所有的交換 C* 代數(shù)都可以實(shí)現(xiàn)為某個(gè)測(cè)度空間的 L^無(wú)窮。（這是一個(gè)深刻的定理，在尋找這個(gè)定理證明的過(guò)程中我接觸到了所謂一般表示論，獲益匪淺。）這個(gè)定理說(shuō)明，經(jīng)典的測(cè)度空間對(duì)應(yīng)到交換 C*代數(shù)。 很自然的想法是，非交換的 C* 代數(shù)會(huì)不會(huì)是測(cè)度論的自然推廣呢？Connes 認(rèn)識(shí)到，這并不是空泛的推廣，而有著深刻的經(jīng)典幾何背景。在各個(gè)幾何分支里面，對(duì)于商空間的研究都產(chǎn)生出漂亮的理論，比如幾何不變量理論，辛商空間，等變 上同調(diào)等等。商空間可能會(huì)有很壞的性質(zhì)，比如一個(gè)流形的商空間可能不僅不是流形，甚至都不是 Hausdroff 的，或者一個(gè)代數(shù)流形的商空間可能不再是代數(shù)流形。在測(cè)度論意義下，一個(gè)測(cè)度空間的商空間可以壞到無(wú)法談?wù)摐y(cè)度的地步。 一個(gè)非常有趣的例子就是環(huán)面 T 上的無(wú)理流。環(huán)面可以看作由所有經(jīng)線組成，或者看成由所有緯線組成，數(shù)學(xué)上把這種結(jié)構(gòu)叫“分葉”?，F(xiàn)在我們來(lái)看環(huán)面上其它一些曲線。有一些曲線，繞經(jīng)圓 p 圈，繞緯圓 q 圈，我們把這種曲線叫做斜率為 p/q 的曲線，所有這些曲線也組成整個(gè)環(huán)面。這個(gè)分葉叫做“有理流”。（之所以叫“流”是因?yàn)檫@些曲線可以看作環(huán)面上某個(gè)微分方程的積分曲線。）現(xiàn)在斜率的概念 已經(jīng)很直觀了，所以我們可以看看斜率為無(wú)理數(shù)的那些曲線。這些曲線不是閉合的－－－環(huán)面上的閉曲線必然繞經(jīng)圓和緯圓整數(shù)次。實(shí)際上這些曲線同胚于直線。固 定斜率 m, 所有這個(gè)斜率的曲線也組成整個(gè)環(huán)面，這個(gè)分葉叫做“無(wú)理流”。它的動(dòng)力學(xué)可以從它同一個(gè)經(jīng)圓的相交看出來(lái)：這樣一條曲線每繞緯圓一周，就繞經(jīng)圓 m 周，也就是說(shuō)，連續(xù)兩次同一個(gè)經(jīng)圓的交點(diǎn)相差 2pi m 的距離。由于 m 是無(wú)理數(shù)，所以交點(diǎn)永遠(yuǎn)不會(huì)重復(fù)，而且根據(jù) Poincare 回歸定理，交點(diǎn)會(huì)無(wú)限次回到任意小鄰域，所以交點(diǎn)會(huì)稠密地分布在這個(gè)經(jīng)圓上。 如果我們想看看這個(gè)分葉的所有“葉子”的空間 X，也就是說(shuō)，把每條斜率 m 的曲線看作一個(gè)點(diǎn)，組成一個(gè)空間，它是原來(lái)環(huán)面的一個(gè)商空間。X 上的一個(gè)可測(cè)函數(shù)應(yīng)該對(duì)應(yīng)于環(huán)面 T 上一個(gè)在每片葉子上為常數(shù)的可測(cè)函數(shù)，也可以看作經(jīng)圓上的一個(gè)可測(cè)函數(shù)，在跟同一片葉子的所有交點(diǎn)上取值相同。但是根據(jù)回歸性質(zhì)，這樣的函數(shù)必然幾乎處處 跟一個(gè)常數(shù)函數(shù)相等。所以說(shuō)，這個(gè)商空間上的測(cè)度性質(zhì)是平凡的。學(xué)過(guò)實(shí)變函數(shù)的同修也許會(huì)認(rèn)識(shí)到這跟“不可測(cè)集”有點(diǎn)關(guān)系－－－如果在每一片葉子上取一個(gè) 點(diǎn)組成 T 的一個(gè)子集（根據(jù)選擇公理這個(gè)子集存在-所有葉子的笛卡兒積非空，從而非空），那么我們得到的是一個(gè)不可測(cè)集。 那么這種商空間到底有沒有跟測(cè)度論類似的結(jié)構(gòu)可以研究呢？Connes 告訴我們，有，就是從這個(gè)分葉構(gòu)造出的非交換 C* 代數(shù)。這個(gè)構(gòu)造的原理我們?cè)谧詈?jiǎn)單的例子（兩個(gè)點(diǎn)被等同為一個(gè)點(diǎn)）里面已經(jīng)看到了。分葉是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，兩個(gè)點(diǎn)等價(jià)如果它們?cè)谕黄~子上。等價(jià)關(guān)系決定 了一個(gè)群胚，這個(gè)群胚上的函數(shù)在卷積下形成一個(gè)非交換 C* 代數(shù)。對(duì)于環(huán)面上的無(wú)理流，這個(gè)非交換的 C* 代數(shù)就是著名的“非交換環(huán)面”。 如果這個(gè)分葉比較好，比如環(huán)面 T 上的有理流，以至于商空間 X 上有非平凡的測(cè)度論，那么以上構(gòu)造的這個(gè) C* 代數(shù)就有一個(gè)中心子代數(shù)，正好同構(gòu)于 X 上的 L^無(wú)窮 函數(shù)代數(shù)。這說(shuō)明如此構(gòu)造的 C* 代數(shù)的確是經(jīng)典測(cè)度論的一個(gè)推廣。 [附錄一] 也許我應(yīng)該更仔細(xì)地解釋一下群胚的概念. 以 Ritz-Rydberg 原理為例子, 記從 n 能級(jí)到 m 能級(jí)的躍遷發(fā)射光子的頻率為 v(n,m), 那么 v(n,m)+ v(m,l) = v(n,l). 但是 v(n,m) + v(l,k) (m 不等于 l) 就不是另一條譜線的頻率. 所以群胚就好像一個(gè) "圖", 頂點(diǎn)之間有箭頭, 這些箭頭就是群胚里的元素, 它們能乘起來(lái)當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)箭頭的終點(diǎn)是另一個(gè)箭頭的起點(diǎn)。群就是只有一個(gè)頂點(diǎn)的群胚, 這樣所有的元素都能相乘。從對(duì)群胚的描述來(lái)看, 它不僅是一個(gè)集合 (箭頭的集合), 還需要指定每個(gè)箭頭是從哪個(gè)頂點(diǎn)到哪個(gè)頂點(diǎn)的. 所以群胚最好被視為一個(gè)范疇而不僅僅是一個(gè)帶有運(yùn)算的集合. [附錄二] 遍歷假設(shè)并不意味著 (微觀時(shí)間演化 <---> 系綜) 這個(gè)對(duì)應(yīng). 這個(gè)對(duì)應(yīng)只對(duì)熱平衡態(tài)有效 ... 經(jīng)典情況, Boltzmann 分布就是這種對(duì)應(yīng)的所有例子. 量子統(tǒng)計(jì), 在有限粒子情況, 有 Boltzmann 分布的類似物, Hamilton 量決定了分布, 但是在熱力學(xué)極限 Hamilton 量不能決定分布, 可能有多個(gè)分布都反應(yīng)微觀態(tài)的時(shí)間演化. Kubo-Martin-Schwinger 條件就是對(duì)唯一性失效的補(bǔ)償. |
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