高等數(shù)學公式——最新修訂

導數(shù)公式：

(tgx)??secx(ctgx)???cscx(secx)??secx?tgx(cscx)???cscx?ctgx(ax)??axlna

1

(logax)??

xlna

基本積分表：

三角函數(shù)的有理式積分：

2

2

(arcsinx)??

1

x2

1

(arccosx)???

x21

(arctgx)??

1?x2

1

(arcctgx)???

1?x2

tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C

secxdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?C

dx1x

arctg?C?a2?x2aadx1x?a

ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x

ln?a2?x22aa?x?Cdxx

arcsin?C?a2?x2

a

2

n

dx2

cos2x??secxdx?tgx?Cdx2

sin2x??cscxdx??ctgx?C

secx?tgxdx?secx?C?cscx?ctgxdx??cscx?C

ax

adx?lna?C

x

shxdx?chx?C?chxdx?shx?C?

dxx2?a2

ln(x?x2?a2)?C

2

In??sinxdx??cosnxdx?

n?1

In?2n

x2a22

x?adx?x?a?ln(x?x2?a2)?C

22x2a2222

x?adx?x?a?lnx?x2?a2?C

22xa2x2222

a?xdx?a?x?arcsin?C

22a

2

2

2u1?u2x2du

sinx?，　cosx?，　u?tg，　dx?

21?u21?u21?u2

1 / 12

一些初等函數(shù)：                           兩個重要極限：

ex?e?x

雙曲正弦:shx?

2ex?e?x

雙曲余弦:chx?

2

shxex?e?x

雙曲正切:thx??

chxex?e?xarshx?ln(x?x2?1）archx??ln(x?x2?1)

11?x

arthx?ln

21?x

三角函數(shù)公式： ·誘導公式：

sinx lim?1x?0 x

1

lim(1?)x?e?2.718281828459045...x?? x

·和差角公式：                          ·和差化積公式：

sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?tg(???)?

tg??tg?1?tg??tg?ctg??ctg??1

ctg(???)?

ctg??ctg?

sin??sin??2sin

22??????

sin??sin??2cossin

22??????

cos??cos??2coscos

22??????

cos??cos??2sinsin

22

cos

2 / 12

·倍角公式：

sin2??2sin?cos?

cos2??2cos2??1?1?2sin2??cos2??sin2?ctg2??1

ctg2??

2ctg?2tg?

tg2??

1?tg2?

·半角公式：

sin3??3sin??4sin3?cos3??4cos3??3cos?3tg??tg3?tg3??

1?3tg2?

sintg

2

cos???cos?

　　　　　　　　　　　　cos??222

1?cos?1?cos?sin???cos?1?cos?sin?

　　ctg????

1?cos?sin?1?cos?21?cos?sin?1?cos?

abc

2R     ·余弦定理：c2?a2?b2?2abcosC  sinAsinBsinC

2

·正弦定理：

·反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx?

2

arccosx　　　arctgx?

2

arcctgx

高階導數(shù)公式——萊布尼茲（Leibniz）公式：

(uv)

(n)

k(n?k)(k)

Cnuvk?0

n

u(n)v?nu(n?1)v??

n(n?1)(n?2)n(n?1)?(n?k?1)(n?k)(k)

uv?????uv???uv(n)

2!k!

中值定理與導數(shù)應(yīng)用：

拉格朗日中值定理：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)f(b)?f(a)f?(?)

F(b)?F(a)F?(?)

曲率：

當F(x)?x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

弧微分公式：ds??y?2dx,其中y??tg?平均曲率：K?

:從M點到M?點，切線斜率的傾角變化量；?s：MM?弧長。?s

y????d? M點的曲率：K?lim??.

s?0?sds(1?y?2)3

1.a

3 / 12

直線：K?0;半徑為a的圓：K?

定積分的近似計算：

b

矩形法：?f(x)?

ab

b?a

(y0?y1???yn?1)n

b?a1

[(y0?yn)?y1???yn?1]n2

b?a

[(y0?yn)?2(y2?y4???yn?2)?4(y1?y3???yn?1)]3n

梯形法：?f(x)?

a

b

拋物線法：?f(x)?

a

定積分應(yīng)用相關(guān)公式：

功：W?F?s

水壓力：F?p?A

mm

引力：F?k122,k為引力系數(shù)

r

b1

函數(shù)的平均值：y?f(x)dx?b?aa1f2(t)dt?b?aa

空間解析幾何和向量代數(shù)：

b

空間2點的距離：d?M1M2?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2向量在軸上的投影：Prju?cos?,?是u軸的夾角。

Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2????

a?b?a?bcos??axbx?ayby?azbz,是一個數(shù)量,兩向量之間的夾角：cos??i

c?a?b?ax

bx

jayby

axbx?ayby?azbz

ax?ay?az?bx?by?bz

2

2

2

2

2

2

k

az,c?a?bsin?.例：線速度：v?w?r.bz

aybycy

az

bz?a?b?ccos?,?為銳角時，

cz

ax

向量的混合積：[abc]?(a?b)?c?bx

cx代表平行六面體的體積。

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平面的方程：

1、點法式：A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0，其中n?{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax?By?Cz?D?0

xyz

3???1

abc平面外任意一點到該平面的距離：d?

Ax0?By0?Cz0?D

A2?B2?C2

x?x0?mt

x?xy?y0z?z0??

0???t,其中s?{m,n,p};參數(shù)方程：?y?y0?nt

mnp?z?z?pt

0?二次曲面：

x2y2z2

12?2?2?1

abcx2y2

2??z（,p,q同號）

2p2q3、雙曲面：

x2y2z2

2?2?2?1

abcx2y2z2

2?2?2?（馬鞍面）1

abc

多元函數(shù)微分法及應(yīng)用

全微分：dz?

z?z?u?u?udx?dy　　　du?dx?dy?dz?x?y?x?y?z

全微分的近似計算：?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y多元復合函數(shù)的求導法：

dz?z?u?z?v

z?f[u(t),v(t)]????　

dt?u?t?v?t

z?z?u?z?v

z?f[u(x,y),v(x,y)]????

x?u?x?v?x

當u?u(x,y)，v?v(x,y)時，du?

u?u?v?v

dx?dy　　　dv?dx?dy　?x?y?x?y

隱函數(shù)的求導公式：

FxFFdydyd2y??

隱函數(shù)F(x,y)?0??2?(?x)＋(?x)?

dxFy?xFy?yFydxdxFyFx?z?z

隱函數(shù)F(x,y,z)?0????

xFz?yFz

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重積分及其應(yīng)用：

f(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd?

D

D?

曲面z?f(x,y)的面積A???

D

z???z?1???????y??dxdy?x????

2

2

Mx?M

x?(x,y)d?

D

(x,y)d?

D

D

,?

MyM

y?(x,y)d?

D

(x,y)d?

D

D

平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于x軸Ix???y2?(x,y)d?,　　對于y軸Iy???x2?(x,y)d?平面薄片（位于xoy平面）對z軸上質(zhì)點M(0,0,a),(a?0)的引力：F?{Fx,Fy,Fz}，其中：Fx?f??

D

(x,y)xd?

(x?y?a)

2

2

22

Fy?f??3

D

(x,y)yd?

(x?y?a)

2

2

22

Fz??fa??3

D

(x,y)xd?

(x?y?a)

2

2

3

22

柱面坐標和球面坐標：

x?rcos??

柱面坐標：f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,z)rdrd?dz,?y?rsin?,　　　??????z?z

其中：F(r,?,z)?f(rcos?,rsin?,z)

x?rsin?cos??2

球面坐標：?y?rsin?sin?，　　dv?rd??rsin??d??dr?rsin?drd?d?

z?rcos??

2?

r(?,?)

2

F(r,?,?)rsin?dr?0

f(x,y,z)dxdydz????F(r,?,?)rsin?drd?d???d??d?

2

1

M

x?dv,　　?

1M

y?dv,　　?

1M

z?dv，　　其中M??????dv

轉(zhuǎn)動慣量：Ix????(y2?z2)?dv，　　Iy????(x2?z2)?dv，　　Iz????(x2?y2)?dv

曲線積分：

第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）：

x??(t)設(shè)f(x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為：,　　(??t??),則：?

y??(t)

L

x?t22

f(x,y)ds??f[?(t),?(t(t)??(t)dt　　(???)　　特殊情況：?

y??(t)?

7 / 12

第二類曲線積分（對坐標的曲線積分）：?x??(t)設(shè)L的參數(shù)方程為，則：?

y??(t)?

P(x,y)dx?Q(x,y)dy???{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt

L

兩類曲線積分之間的關(guān)系：?Pdx?Qdy?

L

(Pcos??Qcos?)ds，其中?和?分別為

L

L上積分起止點處切向量的方向角。

Q?P?Q?P

格林公式：(?)dxdy?Pdx?Qdy格林公式：(?)dxdy??????x?y?x?yDLD?Q?P當P??y,Q?x??2時，得到D的面積：A?

x?y·平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件：1、G是一個單連通區(qū)域；

2、P(x,y)，Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，且減去對此奇點的積分，注意方向相反！

·二元函數(shù)的全微分求積：

Q?P在＝時，Pdx?Qdy才是二元函數(shù)u(x,y)的全微分，其中：

x?y

(x,y)

Pdx?Qdy

L

dxdy?2xdy?ydx

D

L

1

Q?P

＝。注意奇點，如(0,0)，應(yīng)?x?y

u(x,y)?

(x0,y0)

P(x,y)dx?Q(x,y)dy，通常設(shè)x

y0?0。

曲面積分：

對面積的曲面積分：??f(x,y,z)ds?

Dxy

f[x,y,z(x,y22?zx(x,y)?zy(x,y)dxdy

對坐標的曲面積分：，其中：??P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy

，取曲面的上側(cè)時取正號；??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy

Dxy

，取曲面的前側(cè)時取正號；??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz

Dyz

號。??Q(x,y,z)dzdx????Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右側(cè)時取正

Dzx

兩類曲面積分之間的關(guān)系：??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds

高斯公式：

(

P?Q?R

)dv?Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?(Pcos??Qcos??Rcos?)ds?x?y?z??

高斯公式的物理意義——通量與散度：

P?Q?R?

散度：div????,即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若div??0,則為消失...

x?y?z??

通量：??A?nds???Ands???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds，?因此，高斯公式又可寫成：divA???dv?Ands

8 / 12

斯托克斯公式——曲線積分與曲面積分的關(guān)系：

(

R?Q?P?R?Q?P?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy?Pdx?Qdy?Rdz?y?z?z?x?x?y?

cos?

yQ

cos???zR

dydzdzdxcos?????

上式左端又可寫成：??????x?y?z?x??

PQRP

R?Q?P?R?Q?P

空間曲線積分與路徑無???

y?z?z?x?x?yijk

旋度：rotA?

x?y?zPQR

向量場A沿有向閉曲線?Pdx?Qdy?Rdz?A?tds

常數(shù)項級數(shù)：

1?qn等比數(shù)列：1?q?q???q?

1?q(n?1)n

等差數(shù)列：1?2?3???n?

2

111

調(diào)和級數(shù)：1?????是發(fā)散的

23n

2

n?1

級數(shù)審斂法：

1、正項級數(shù)的審斂法——根植審斂法（柯西判別法）：???1時，級數(shù)收斂

設(shè)：??limnun，則???1時，級數(shù)發(fā)散

n??

1時，不確定?

2、比值審斂法：

1時，級數(shù)收斂

U?

設(shè)：??limn?1，則???1時，級數(shù)發(fā)散

n??Un???1時，不確定

3、定義法：

sn?u1?u2???un;limsn存在，則收斂；否則發(fā)散。

n??

交錯級數(shù)u1?u2?u3?u4??(或?u1?u2?u3??,un?0)的審斂法——萊布尼茲定理：? ?un?un?1如果交錯級數(shù)滿足s?u1,其余項rnrn?un?1。?limu?0，那么級數(shù)收斂且其和

n??n??

絕對收斂與條件收斂：

9 / 12

(1)u1?u2???un??，其中un為任意實數(shù)；(2)u1?u2?u3???un??

如果(2)收斂，則(1)肯定收斂，且稱為絕對收斂級數(shù)；

如果(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱(1)為條件收斂級數(shù)。1(?1)n

調(diào)和級數(shù)：?n發(fā)散，而?n1

　　級數(shù)：?n2收斂；

１時發(fā)散1

　　p級數(shù)：?npp?1時收斂

冪級數(shù)：

1

x?1時，收斂于

1?x1?x?x2?x3???xn??x?1時，發(fā)散

對于級數(shù)(3)a0?a1x　?a2x2???anxn??，如果它不是僅在原點收斂，也不是在全

x?R時收斂

數(shù)軸上都收斂，則必存在R，使x?R時發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。

x?R時不定

1

0時，R?

求收斂半徑的方法：設(shè)lim

n??

an?1

，其中an，an?1是(3)??0時，R???an

時，R?0

函數(shù)展開成冪級數(shù)：

f??(x0)f(n)(x0)2

函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：f(x)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??

2!n!

f(n?1)(?) 余項：Rn?(x?x0)n?1,f(x)可以展開成泰勒級數(shù)的充要條件是：limRn?0

n??(n?1)!f??(0)2f(n)(0)n

x0?0時即為麥克勞林公式：f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x??

2!n!

一些函數(shù)展開成冪級數(shù)：

m(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)n

(1?x)m?1?mx?x???x??　　　(?1?x?1)

2!n!

352n?1xxx

sinx?x?????(?1)n?1??　　　(???x???)

3!5!(2n?1)!

歐拉公式：

eix?e?ix

cosx???2 eix?cosx?isinx　　　或?ix?ix?sinx?e?e?2?

三角級數(shù)：

10 / 12

a0

(ancosnx?bnsinnx)2n?1n?1

其中，a0?aA0，an?Ansin?n，bn?Ancos?n，?t?x。

f(t)?A0??Ansin(n?t??n)?

正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意兩個不同項的乘積在[??,?]上的積分＝0。

傅立葉級數(shù)：

a0

f(x)???(ancosnx?bnsinnx)，周期?2?

2n?1

1

f(x)cosnxdx　　　(n?0,1,2?)?an??????

其中??

b?1f(x)sinnxdx　　　(n?1,2,3?)?n?????

11?2

1?2?2???

835

　111?2

24224262

正弦級數(shù)：an?0，bn?余弦級數(shù)：bn?0，an?

111?2

1?2?2?2???6234

111?2

1?2?2?2???122342

2

f(x)sinnxdx　　n?1,2,3?　f(x)??b

n

sinnx是奇函數(shù)

f(x)cosnxdx　　n?0,1,2?　f(x)?

a0

ancosnx是偶函數(shù)2

周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)：

a0n?xn?x

f(x)???(ancos?bnsin)，周期?2l

2lln?1l?1n?x

dx　　　(n?0,1,2?)?an??f(x)cos

ll??l

其中?l

b?1f(x)sinn?xdx　　　(n?1,2,3?)?nl?l?l?

微分方程的相關(guān)概念： 一階微分方程：y??f(x,y)　或　P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0

可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化為g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：

g(y)dy??f(x)dx　　得：G(y)?F(x)?C稱為隱式通解。

齊次方程：一階微分方dyy

f(x,y)??(x,y)，即寫成的函數(shù)，解法：dxx

ydydududxduy

設(shè)u?，則?u?x，u???(u)，??代替u，

xdxdxdxx?(u)?ux即得齊次方程通解。

一階線性微分方程：

dy

1?P(x)y?Q(x)

dx

P(x)dx

當Q(x)?0時,為齊次方程，y?Ce?

P(x)dx

P(x)dx

dx?C)e?

當Q(x)?0時，為非齊次方程，y?(?Q(x)e?dy2?P(x)y?Q(x)yn，(n?0,1)

dx

11 / 12

高等數(shù)學公式——最新修訂

導數(shù)公式：

(tgx)??secx(ctgx)???cscx(secx)??secx?tgx(cscx)???cscx?ctgx(ax)??axlna

1

(logax)??

xlna

基本積分表：

三角函數(shù)的有理式積分：

2

2

(arcsinx)??

1

x2

1

(arccosx)???

x21

(arctgx)??

1?x2

1

(arcctgx)???

1?x2

tgxdx??lncosx?C?ctgxdx?lnsinx?C

secxdx?lnsecx?tgx?C?cscxdx?lncscx?ctgx?C

dx1x

arctg?C?a2?x2aadx1x?a

ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x

ln?a2?x22aa?x?Cdxx

arcsin?C?a2?x2

a

2

n

dx2

cos2x??secxdx?tgx?Cdx2

sin2x??cscxdx??ctgx?C

secx?tgxdx?secx?C?cscx?ctgxdx??cscx?C

ax

adx?lna?C

x

shxdx?chx?C?chxdx?shx?C?

dxx2?a2

ln(x?x2?a2)?C

2

In??sinxdx??cosnxdx?

n?1

In?2n

x2a22

x?adx?x?a?ln(x?x2?a2)?C

22x2a2222

x?adx?x?a?lnx?x2?a2?C

22xa2x2222

a?xdx?a?x?arcsin?C

22a

2

2

2u1?u2x2du

sinx?，　cosx?，　u?tg，　dx?

21?u21?u21?u2

1 / 12

一些初等函數(shù)：                           兩個重要極限：

ex?e?x

雙曲正弦:shx?

2ex?e?x

雙曲余弦:chx?

2

shxex?e?x

雙曲正切:thx??

chxex?e?xarshx?ln(x?x2?1）archx??ln(x?x2?1)

11?x

arthx?ln

21?x

三角函數(shù)公式： ·誘導公式：

sinx lim?1x?0 x

1

lim(1?)x?e?2.718281828459045...x?? x

·和差角公式：                          ·和差化積公式：

sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?cos??sin?sin?tg(???)?

tg??tg?1?tg??tg?ctg??ctg??1

ctg(???)?

ctg??ctg?

sin??sin??2sin

22??????

sin??sin??2cossin

22??????

cos??cos??2coscos

22??????

cos??cos??2sinsin

22

cos

2 / 12

·倍角公式：

sin2??2sin?cos?

cos2??2cos2??1?1?2sin2??cos2??sin2?ctg2??1

ctg2??

2ctg?2tg?

tg2??

1?tg2?

·半角公式：

sin3??3sin??4sin3?cos3??4cos3??3cos?3tg??tg3?tg3??

1?3tg2?

sintg

2

cos???cos?

　　　　　　　　　　　　cos??222

1?cos?1?cos?sin???cos?1?cos?sin?

　　ctg????

1?cos?sin?1?cos?21?cos?sin?1?cos?

abc

2R     ·余弦定理：c2?a2?b2?2abcosC  sinAsinBsinC

2

·正弦定理：

·反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx?

2

arccosx　　　arctgx?

2

arcctgx

高階導數(shù)公式——萊布尼茲（Leibniz）公式：

(uv)

(n)

k(n?k)(k)

Cnuvk?0

n

u(n)v?nu(n?1)v??

n(n?1)(n?2)n(n?1)?(n?k?1)(n?k)(k)

uv?????uv???uv(n)

2!k!

中值定理與導數(shù)應(yīng)用：

拉格朗日中值定理：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)f(b)?f(a)f?(?)

F(b)?F(a)F?(?)

曲率：

當F(x)?x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

弧微分公式：ds??y?2dx,其中y??tg?平均曲率：K?

:從M點到M?點，切線斜率的傾角變化量；?s：MM?弧長。?s

y????d? M點的曲率：K?lim??.

s?0?sds(1?y?2)3

1.a

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直線：K?0;半徑為a的圓：K?

定積分的近似計算：

b

矩形法：?f(x)?

ab

b?a

(y0?y1???yn?1)n

b?a1

[(y0?yn)?y1???yn?1]n2

b?a

[(y0?yn)?2(y2?y4???yn?2)?4(y1?y3???yn?1)]3n

梯形法：?f(x)?

a

b

拋物線法：?f(x)?

a

定積分應(yīng)用相關(guān)公式：

功：W?F?s

水壓力：F?p?A

mm

引力：F?k122,k為引力系數(shù)

r

b1

函數(shù)的平均值：y?f(x)dx?b?aa1f2(t)dt?b?aa

空間解析幾何和向量代數(shù)：

b

空間2點的距離：d?M1M2?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2向量在軸上的投影：Prju?cos?,?是u軸的夾角。

Prju(a1?a2)?Prja1?Prja2????

a?b?a?bcos??axbx?ayby?azbz,是一個數(shù)量,兩向量之間的夾角：cos??i

c?a?b?ax

bx

jayby

axbx?ayby?azbz

ax?ay?az?bx?by?bz

2

2

2

2

2

2

k

az,c?a?bsin?.例：線速度：v?w?r.bz

aybycy

az

bz?a?b?ccos?,?為銳角時，

cz

ax

向量的混合積：[abc]?(a?b)?c?bx

cx代表平行六面體的體積。

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平面的方程：

1、點法式：A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0，其中n?{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax?By?Cz?D?0

xyz

3???1

abc平面外任意一點到該平面的距離：d?

Ax0?By0?Cz0?D

A2?B2?C2

x?x0?mt

x?xy?y0z?z0??

0???t,其中s?{m,n,p};參數(shù)方程：?y?y0?nt

mnp?z?z?pt

0?二次曲面：

x2y2z2

12?2?2?1

abcx2y2

2??z（,p,q同號）

2p2q3、雙曲面：

x2y2z2

2?2?2?1

abcx2y2z2

2?2?2?（馬鞍面）1

abc

多元函數(shù)微分法及應(yīng)用

全微分：dz?

z?z?u?u?udx?dy　　　du?dx?dy?dz?x?y?x?y?z

全微分的近似計算：?z?dz?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y多元復合函數(shù)的求導法：

dz?z?u?z?v

z?f[u(t),v(t)]????　

dt?u?t?v?t

z?z?u?z?v

z?f[u(x,y),v(x,y)]????

x?u?x?v?x

當u?u(x,y)，v?v(x,y)時，du?

u?u?v?v

dx?dy　　　dv?dx?dy　?x?y?x?y

隱函數(shù)的求導公式：

FxFFdydyd2y??

隱函數(shù)F(x,y)?0??2?(?x)＋(?x)?

dxFy?xFy?yFydxdxFyFx?z?z

隱函數(shù)F(x,y,z)?0????

xFz?yFz

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