概念、方法、題型、易誤點及應試技巧總結

數(shù)列

一．數(shù)列的概念：數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集N*（或它的有限子集｛1,2，3，?，n｝）

的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項公式也就是相應函數(shù)的解析式。如

n

(n?N*)，則在數(shù)列{an}的最大項為__ （1）已知an?2

n?156

1

（答：）；

25

an

（2）數(shù)列{an}的通項為an?，其中a,b均為正數(shù)，則an與an?1的大小關系為

bn?1

___

（答：an?an?1）；

（3）已知數(shù)列{an}中，an?n2??n，且{an}是遞增數(shù)列，求實數(shù)?的取值范圍 （答：???3）；

（4）一給定函數(shù)y?f(x)的圖象在下列圖中，并且對任意a1?(0,1)，由關系式?f(an)得到的數(shù)列{an}滿足an?1?an(n?N*)，則該函數(shù)的圖象是 （）

（答：A）

an?1

A              B                 C                 D

二．等差數(shù)列的有關概念：

1．等差數(shù)列的判斷方法：定義法an?1?an?d(d為常數(shù)）或an?1?an?an?an?1(n?2)。如

設{an} 是等差數(shù)列，求證：以bn=

a1?a2???an

n?N*為通項公式的數(shù)列{bn}為

n

等差數(shù)列。

2．等差數(shù)列的通項：an?a1?(n?1)d或an?am?(n?m)d。如

(1)等差數(shù)列{an}中，a10?30，a20?50，則通項an?（答：2n?10）；

（2）首項為-24的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是______

8

（答：?d?3）

3

n(a1?an)n(n?1)

d。如 3．等差數(shù)列的前n和：Sn?，Sn?na1?

221315

（1）數(shù)列 {an}中，an?an?1?(n?2,n?N*)，an?，前n項和Sn??，則a1＝

222

＿，n＝＿

（答：a1??3，n?10）；

（2）已知數(shù)列 {an}的前n項和Sn?12n?n2，求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn

2*

12n?n(n?6,n?N)

（答：Tn??2）. *

n?12n?72(n?6,n?N)

a?b

4．等差中項：若a,A,b成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且A?。

2

提醒：

（1）等差數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、d、n、an及Sn，

其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。

（2）為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設為?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差為d）；偶數(shù)個數(shù)成等差，可設為?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（公差為2d） 三．等差數(shù)列的性質：

1．當公差d?0時，等差數(shù)列的通項公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關于n的一次函數(shù)，

n(n?1)dd

d?n2?(a1?)n是關于n的二次函數(shù)且常且斜率為公差d；前n和Sn?na1?

222

數(shù)項為0.

2．若公差d?0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d?0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d?0，則為常數(shù)列。 3．當m?n?p?q時,則有am?an?ap?aq，特別地，當m?n?2p時，則有am?an?2ap.如

（1）等差數(shù)列{an}中，Sn?18,an?an?1?an?2?3,S3?1，則n＝____

（答：27）；

（2）在等差數(shù)列?an?中，a10?0,a11?0，且a11?|a10|，Sn是其前n項和，則   A、S1,S2?S10都小于0，S11,S12?都大于0   B、S1,S2?S19都小于0，S20,S21?都大于0   C、S1,S2?S5都小于0，S6,S7?都大于0   D、S1,S2?S20都小于0，S21,S22?都大于0

（答：B）

4．若{an}、則{kan}、{bn}是等差數(shù)列，{kan?pbn} (k、p是非零常數(shù))、{ap?nq}(p,q?N*)、

Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也成等差數(shù)列，而{aan}成等比數(shù)列；若{an}是等比數(shù)列，且

an?0，則{lgan}是等差數(shù)列. 如

等差數(shù)列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為             。

（答：225）

5．在等差數(shù)列{an}中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶－S奇?nd；項數(shù)為奇數(shù)2n?1時，

，S2n?1?(2n?1)?a中（這里a中即an）；S奇S:S奇?S偶?a中（1）在等差數(shù)列中，S11＝22，則a6＝______

（答：2）；

（2）項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列{an}中，奇數(shù)項和為80，偶數(shù)項和為75，求此數(shù)列的中間項與項數(shù)

（答：5；31）.

偶

k(:)1?k。如

6．若等差數(shù)列{an}、{bn}的前n和分別為An、Bn，且

an(2n?1)anA2n?1

f(2n?1).如 bn(2n?1)bnB2n?1

An

f(n)，則 Bn

設{an}與{bn}是兩個等差數(shù)列，它們的前n項和分別為Sn和Tn，若那么

an

___________ bn

Sn3n?1

，?

Tn4n?3

（答：

6n?2

）

8n?7

7．“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等

差數(shù)列中，前n項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組

an?0??an?0?確定出前多少項為非負（或非正）；法二：因等差數(shù)列前n項是?或??????an?1?0??an?1?0?

關于n的二次函數(shù)，故可轉化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性n?N*。上述兩種方法是運用了哪種數(shù)學思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎？如

（1）等差數(shù)列{an}中，a1?25，S9?S17，問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值。

（答：前13項和最大，最大值為169）；

（2）若{an}是等差數(shù)列，首項a1?0,a2003?a2004?0，

a2003?a2004?0，則使前n項和Sn?0成立的最大正整數(shù)n是（答：4006）

8．如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 注意：公共項僅是公共的項，其項數(shù)不一定相同，即研究an?bm. 四．等比數(shù)列的有關概念：

1．等比數(shù)列的判斷方法：定義法an?1?q(q為常數(shù)），其中q?0,an?0或an?1?an

an

an

an?1

(n?2)。如

（1）一個等比數(shù)列{an}共有2n?1項，奇數(shù)項之積為100，偶數(shù)項之積為120，則an?1

為____

5

（答：）；

6

（2）數(shù)列{an}中，Sn=4an?1+1 (n?2)且a1=1，若bn?an?1?2an ，求證：數(shù)列｛bn｝是等比數(shù)列。

2．等比數(shù)列的通項：an?a1qn?1或an?amqn?m。如

設等比數(shù)列{an}中，a1?an?66，a2an?1?128，前n項和Sn＝126，求n和公比q.

1

（答：n?6，q?或2）

2

a1(1?qn)a1?anq

3．等比數(shù)列的前n和：當q?1時，Sn?na1；當q?1時，Sn?。如 1?q1?q

（1）等比數(shù)列中，q＝2，S99=77，求a3?a6???a99

（答：44）；

k

（2）?(?Cn)的值為__________

n?1k?0

10n

（答：2046）； 特別提醒：等比數(shù)列前n項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n項和時，首先要判斷公比q是否為1，再由q的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比q是否為1時，要對q分q?1和q?1兩種情形討論求解。

4．等比中項：若a,A,b成等比數(shù)列，那么A叫做a與b的等比中項。提醒：不是任何兩

數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個。如已知兩個正數(shù)a,b(a?b)的等差中項為A，等比中項為B，則A與B的大小關系為______（答：A＞B）

提醒：（1）等比數(shù)列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、q、n、an

及Sn，其中a1、q稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2；（2）為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設為?，aaaa23

q,,a,aq,aq?（公比為）；但偶數(shù)個數(shù)成等比時，不能設為?，?，,,aq,aq23

qqqq因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時才可如此設，且公比為q2。如有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12，求此四個數(shù)。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16） 5.等比數(shù)列的性質：

n?p?q（1）當m?時，則有am?特別地，當m?n?2p時，則有am?an?ap?aq，an?ap2.如

（1）在等比數(shù)列{an}中，a3?a8?124,a4a7??512，公比q是整數(shù)，則a10=___

（答：512）；

（2）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5?a6?9，則log3a1?log3a2???log3a10?

（答：10）。

(2) 若{an}是等比數(shù)列，則{|an|}、若{an}、{kan}成等比數(shù)列；{bn}{ap?nq}(p,q?N*)、

a

成等比數(shù)列，則{anbn}、{n}成等比數(shù)列； 若{an}是等比數(shù)列，且公比q??1，則數(shù)列

bn

Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也是等比數(shù)列。當q??1，且n為偶數(shù)時，數(shù)列

Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列. 如

gxn1（1）已知a?0且a?1，設數(shù)列{xn}滿足loa?1??

x1?x2???x10?0100，則x101?x102???x200?.

(n?N*)，且loxagn

（答：100a100）；

（2）在等比數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，若S30?13S10,S10?S30?140，則S20的值為______

（答：40）

(3)若a1?0,q?1，則{an}為遞增數(shù)列；若a1?0,q?1, 則{an}為遞減數(shù)列；若

a1?0,0?q?1 ，則{an}為遞減數(shù)列；若a1?0,0?q?1, 則{an}為遞增數(shù)列；若q?0，則{an}為擺動數(shù)列；若q?1，則{an}為常數(shù)列.

a1na

(4) 當q?1時，Sn?q?1?aqn?b，這里a?b?0，但a?0,b?0，這是

1?q1?q

等比數(shù)列前n項和公式的一個特征，據(jù)此很容易根據(jù)Sn，判斷數(shù)列{an}是否為等比數(shù)列。

如若{an}是等比數(shù)列，且Sn?3n?r，則r＝

（答：－1）

(5) Sm?n?Sm?qmSn?Sn?qnSm.如設等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，若Sn?1,Sn,Sn?2成等差數(shù)列，則q的值為_____

（答：－2）

(6) 在等比數(shù)列{an}中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶?qS奇；項數(shù)為奇數(shù)2n?1時，

S奇?a1?qS偶.

(7)如果數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列{an}是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列{an}僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。如設

數(shù)列?an?的前n項和為Sn（n?N）， 關于數(shù)列?an?有下列三個命題：①若an?an?1(n?N)，則?an?既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；②若Sn?an2?bn?a、b?R?，則

an?是等差數(shù)列；③若Sn?1???1?n，則?an?是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號是

（答：②③）

五.數(shù)列的通項的求法：

⑴公式法：①等差數(shù)列通項公式；②等比數(shù)列通項公式。如已知數(shù)列1111

3,5,7,9,?試寫出其一個通項公式：__________ 481632

1

（答：an?2n?1?n?1）

2

S,(n?1)

⑵已知Sn（即a1?a2???an?f(n)）求an，用作差法：an?S1?S,(n?2)。如

nn?1

①已知{an}的前n項和滿足log2(Sn?1)?n?1，求an

（答：an?

111

②數(shù)列{an}滿足a1?2a2???nan?2n?5，求an

222

3,n?1

）；

2n,n?2

（答：an?

14,n?1

）

2n?1,n?2

f(1),(n?1)??f(n)

⑶已知a1?。如數(shù)列{an}中，a2???an?f(n)求an，用作商法：an??

,(n?2)

a1?1,對所有的n?2都有a1a2a3?an?n2，則a3?a5?______

61

（答：）

16

⑷若an?1?an?f(n)求an用累加法：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)

1

(n?2)，則an=________

a1(n?2)。如已知數(shù)列{an}滿足a1?1，an?an?1?

n?1?n

（答：an?1）

aaaa

an?n?n?1???2?a1(n?2)。⑸已知n?1?f(n)求an，用累乘法：如已知數(shù)列{an}

anan?1an?2a1中，a1?2，前n項和Sn，若Sn?n2an，求an

如（1）設{an}為等比數(shù)列，Tn?na1?(n?1)a2???2an?1?an，已知T1?1，T2?4，①求數(shù)列{an}的首項和公比；②求數(shù)列{Tn}的通項公式.（答：①a1?1，q?2；②Tn?2n?1?n?2）；

（2）設函數(shù)f(x)?(x?1)2，g(x)?4(x?1)，數(shù)列{an}滿足：a1?2,f(an)?(an? an?1)g(an)(n?N?)，①求證：數(shù)列{an?1}是等比數(shù)列；②令h(x)?(a1?1)x?(a2?1)x2

888???(an?1)xn，求函數(shù)h(x)在點x?處的導數(shù)h?()，并比較h?()與2n2?n的大小。333

888h?()＝2n2?n；h?()<2n2?n；（答：①略；②h?()?(n?1)?2n?1，當n?1時，當n?2時，333

8當n?3時，h?()>2n2?n） 3

5．裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有： ①??； ②?(?)； 111111111111?(?)，?③2?2??2???； kk?12k?1k?1kk?1(k?1)kk(k?1)kk?1k

n111111?[?] ；⑤④；

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)(n?1)!n!(n?1)!

. ⑥?如（1）求和：111?????1?44?7(3n?2)?(3n?1)

（答：

（2）在數(shù)列{an}中，an?1

n?n?1n）； 3n?1，且Sｎ＝９，則n＝_____

（答：99）；

6．通項轉換法：先對通項進行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運用分組求和法求和。如 ①求數(shù)列1×4，2×5，3×6，?，n?(n?3)，?前n項和Sn n(n?1)(n?5)（答：）； 3

②求和：1?111????? 1?21?2?31?2?3???n

（答：2n） n?1

七．“分期付款”、“森林木材”型應用問題

1．這類應用題一般可轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.但在求解過程中，務必“卡手指”，細心計算“年限”.對于“森林木材”既增長又砍伐的問題，則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”解決.

2．利率問題：①單利問題：如零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型：若每期存入本金p元，每期利率為r，則n期后本利和為：Sn?p(1?r)?p(1?2r)??p(1?nr)

n(n?1)?p(n?r)（等差數(shù)列問題）；②復利問題：按揭貸款的分期等額還款（復利）模2

型：若貸款（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，分n期還清。如果每期利率為r（按復利），那么每期等額還款x元應滿足：（等比數(shù)列問題）. p(1?r)n?x(1?r)n?1?x(1?r)n?2???x(1?r)?x

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