|
三階貝塞爾曲線被廣泛用于各種需要平滑曲線的設(shè)計領(lǐng)域，一般通過多段三階貝塞爾曲線順次連接，構(gòu)成比較復(fù)雜的曲線。 比如下圖中，A、B、C和D控制紅色曲線，D、E、F和G控制綠色曲線，G、H、I和A控制藍(lán)色曲線。
對于上面紅色曲線，我們把A和D稱為端點，B和C稱為柄點，可以發(fā)現(xiàn)端點總是被相鄰曲線共用。 每一段三階貝塞爾曲線均由兩個端點和兩個柄點，一共四個控制點進(jìn)行控制，對于其中每個控制點的改變，均會影響這段曲線所有部分。 出于曲線微調(diào)的目的，在柄點B的移動過程中，只改變端點A到點E的那一段曲線（E點的位置固定起來），而對于點E到端點D的部分則維持不變。 這樣的情況下，就需要分拆這段貝塞爾曲線為兩段，端點A到點E為一段，點E到端點D為一段，然后再單獨修改端點A到點E的那段曲線。
展示一下曲線分開后，單獨控制的效果：
我們知道A、B、C和D四個控制點，描述了上面的三階貝塞爾曲線，那么就有以下兩個問題： 第一，分拆后的曲線AE和曲線ED，能否用三階貝塞爾曲線描述？ 第二，如果能夠的話，那么曲線AE和曲線ED的控制點在哪里？
對于第一個問題，答案是肯定的。 可以證明曲線AE和曲線ED上的三階貝塞爾曲線的參數(shù)方程，經(jīng)過對參數(shù)變量的變換，可以轉(zhuǎn)換為完整三階貝塞爾曲線的參數(shù)方程（參數(shù)變量的取值范圍調(diào)整到對應(yīng)的定義域）。其中，曲線AE和曲線ED的三階貝塞爾曲線的參數(shù)方程的參數(shù)變量，與完整三階貝塞爾曲線的參數(shù)方程的參數(shù)變量，有著確定的函數(shù)關(guān)系。 那么，下面就針對第二個問題，來尋求解答。
由三階貝塞爾曲線的參數(shù)方程定義
可以將點E定義為t等于特定值e (0<e<1)時的點P(e)，也即：
針對三階貝塞爾曲線的定義，可以作出以下輔助點和輔助線；
根據(jù)貝塞爾曲線的特性，可以知道線段AB是貝塞爾曲線在A點的切線段，線段IJ是貝塞爾曲線在E點的切線，線段CD是貝塞爾曲線在D點的切線。 其中F、G、H、I、J是與貝塞爾曲線相關(guān)的輔助點，根據(jù)三階貝塞爾曲線的規(guī)則，坐標(biāo)可以定義如下：
另外，E也可以通過I和J來定義，如果進(jìn)行推算，那么結(jié)果和P(e)也是一致的：
經(jīng)過觀察，感覺A、F、I和E很像是曲線AE的貝塞爾曲線控制點的樣子，下面就針對這個猜想進(jìn)行驗證： 假設(shè)A、F、I和E就是曲線AE的貝塞爾曲線的控制點，那么以u為參數(shù)變量的三階貝塞爾曲線方程可以表達(dá)如下：  代入F、I和E的坐標(biāo)公式，則Q(u)可以轉(zhuǎn)換為如下形式：
經(jīng)過化簡和整理可得：
以自變量t代替ue，則可以定義如下函數(shù)：
而曲線AE就是三階貝塞爾曲線參數(shù)方程P(t)定義在t=[0, e]的部分，也即：
R(t)和PAE(t)的定義域和函數(shù)方程完全相同，所以可以得知Q(u)就是曲線AE的參數(shù)方程，也即A、F、I和E是曲線AE的三階貝塞爾曲線的控制點，從而可以驗證前面的猜想。
對于曲線ED部分，也可以采用相同方式進(jìn)行證明，這里不再贅述。
從而，控制點ABCD描述的三階貝塞爾曲線，可以被分解為控制點AFIE描述的貝塞爾曲線和控制點EJHD描述的貝塞爾曲線。 也即，對于三階貝塞爾參數(shù)曲線方程P(t)而言，對于任意0<e<1，均可以將該曲線從P(e)處斷開成兩個三階貝塞爾曲線。
感謝Grapher和GeoGebra軟件，使得方便排版文章中使用的公式和曲線。 |
|
|
