[轉(zhuǎn)載]裴波那契數(shù)列

王虎應(yīng)六爻求真 2016-01-21

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裴波那契數(shù)列

800年前，意大利的數(shù)學(xué)家斐波納契出版了驚世之作《算盤書》。在《算盤書》里，他提出了著名的“兔子問題”：假定一對(duì)兔子每個(gè)月可以生一對(duì)兔子，而這對(duì)新兔子在出生后第二個(gè)月就開始生另外一對(duì)兔子，這些兔子不會(huì)死去，那么一對(duì)兔子一年內(nèi)能繁殖多少對(duì)兔子？

答案是一組非常特殊的數(shù)字：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……不難發(fā)現(xiàn)，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都是前兩數(shù)之和，這個(gè)數(shù)列則稱為“斐波納契數(shù)列”，其中每個(gè)數(shù)字都是“斐波納契數(shù)”。這個(gè)數(shù)列從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。它的通項(xiàng)公式為：

斐波拉契數(shù)列是一個(gè)非常美麗、和諧的數(shù)列，它的形狀可以用排成螺旋狀的一系列正方形來說明起始的正方形(圖中用灰色表示)的邊長(zhǎng)為1，在它左邊的那個(gè)正方形的邊長(zhǎng)也是1 ，在這兩個(gè)正方形的上方再放一個(gè)正方形，其邊長(zhǎng)為2，以后順次加上邊長(zhǎng)為3、5、8、13、21……等等的正方形。這些數(shù)字每一個(gè)都等于前面兩個(gè)數(shù)之和，它們正好構(gòu)成了斐波那契數(shù)列。

斐波納契數(shù)列還暗含著許多有趣的數(shù)字規(guī)律，如從第3個(gè)數(shù)開始每隔兩個(gè)必是2的倍數(shù)，從第4個(gè)數(shù)開始每隔3個(gè)必是3的倍數(shù)，從第5個(gè)數(shù)開始每隔4個(gè)必是5的倍數(shù)……另外，這個(gè)數(shù)列最具有和諧之美的地方是，越往后，相鄰兩項(xiàng)的比值會(huì)無限趨向于黃金比0.61803……。

生活中的裴波那契數(shù)列

斐波拉契數(shù)列無處不在，以下僅舉幾條常見的例子：

1．楊輝三角對(duì)角線上各數(shù)之和構(gòu)成斐波拉契數(shù)列．

2．多米諾牌（可以看作一個(gè)2×1大小的方格）完全覆蓋一個(gè)n×2的棋盤，覆蓋的方案數(shù)等于斐波拉契數(shù)列。

3．從蜜蜂的繁殖來看，雄蜂只有母親，沒有父親，因?yàn)榉浜螽a(chǎn)的卵，受精的孵化為雌蜂，未受精的孵化為雄峰。人們?cè)谧匪菪鄯宓淖嫦葧r(shí)，發(fā)現(xiàn)一只雄峰的第n代祖先的數(shù)目剛好就是斐波拉契數(shù)列的第n項(xiàng)Fn。

4．鋼琴的13個(gè)半音階的排列完全與雄蜂第六代的排列情況類似，說明音調(diào)也與斐波拉契數(shù)列有關(guān)。

5．自然界中一些花朵的花瓣數(shù)目符合于斐波拉契數(shù)列，也就是說在大多數(shù)情況下，一朵花花瓣的數(shù)目都是3,5,8,13,21,34,……(有6枚是兩套3枚;有4枚可能是基因突變)。

6．如果一根樹枝每年長(zhǎng)出一根新枝，而長(zhǎng)出的新枝兩年以后，每年也長(zhǎng)出一根新枝，那么歷年的樹枝數(shù)，也構(gòu)成一個(gè)斐波拉契數(shù)列．

斐波納契數(shù)列引發(fā)出了許多重要的應(yīng)用。像斐波納契方塊，斐波納契螺旋以及斐波納契樹，在生活中都可以見到類似的圖案，譬如說海螺、蝸牛殼等等。

很神奇的是：這樣一個(gè)完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項(xiàng)公式居然是用無理數(shù)來表達(dá)的。

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