例1　已知等差數(shù)列{an}的前5項和為105，且a10＝2a5.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)對任意m∈N*，將數(shù)列{an}中不大于72m的項的個數(shù)記為bm.求數(shù)列{bm}的前m項和Sm.

(1)由已知列出關于首項和公差的方程組，解得a1和d，從而求出an.

(2)求出bm，再根據(jù)其特征選用求和方法．

解　(1)設數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Tn，
由T5＝105，a10＝2a5，
得5a1＋5×(5－1)2d＝105，a1＋9d＝2(a1＋4d)，
解得a1＝7，d＝7.
因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N*)．

(2)對m∈N*，若an＝7n≤72m，則n≤72m－1.
因此bm＝72m－1.
所以數(shù)列{bm}是首項為7，公比為49的等比數(shù)列，
故Sm＝b1(1－qm)1－q＝7×(1－49m)1－49＝7×(72m－1)48
＝72m＋1－748.

例2　(1)已知正數(shù)組成的等差數(shù)列{an}，前20項和為100，則a7·a14的最大值是(　　)

A．25B．50C．100D．不存在
(2)在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2013，其前n項和為Sn，若S1212－S1010＝2，則S2013的值為(　　)
A．－2011B．－2012C．－2010D．－2013
破題切入點　

(1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，a7＋a14＝a1＋a20，S20＝20(a1＋a20)2可求出a7＋a14，然后利用基本不等式．
(2)等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和，則Snn也成等差數(shù)列．
【答案】　(1)A　(2)D
【解析】　

(1)∵S20＝a1＋a202×20＝100，∴a1＋a20＝10.
∵a1＋a20＝a7＋a14，∴a7＋a14＝10.
∵an>0，∴a7·a14≤a7＋a1422＝25.
當且僅當a7＝a14時取等號．
故a7·a14的最大值為25.

(2)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得數(shù)列Snn也是等差數(shù)列，根據(jù)已知可得這個數(shù)列的首項S11＝a1＝－2013，公差d＝1，故S20132013＝－2013＋(2013－1)×1＝－1，所以S2013＝－2013.

例3　已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足條件2Sn＝3(an－1)，其中n∈N*.

(1)證明：數(shù)列{an}為等比數(shù)列；
(2)設數(shù)列{bn}滿足bn＝log3an，若cn＝anbn，求數(shù)列{cn}的前n項和．

(1)利用an＝Sn－Sn－1求出an與an－1之間的關系，進而用定義證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列．

(2)由(1)的結論得出數(shù)列{bn}的通項公式，求出cn的表達式，再利用錯位相減法求和．
(1)證明　由題意得an＝Sn－Sn－1＝32(an－an－1)(n≥2)，
∴an＝3an－1，∴anan－1＝3(n≥2)，
又S1＝32(a1－1)＝a1，解得a1＝3，
∴數(shù)列{an}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列．
(2)解　由(1)得an＝3n，則bn＝log3an＝log33n＝n，
∴cn＝anbn＝n·3n，
設Tn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋(n－1)·3n－1＋n·3n，
3Tn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.
∴－2Tn＝31＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1
＝3(1－3n)1－3－n·3n＋1，
∴Tn＝(2n－1)3n＋1＋34.

(1)關于等差、等比數(shù)列的基本量的運算，一般是已知數(shù)列類型，根據(jù)條件，設出a1，an，Sn，n，d(q)五個量的三個，知三求二，完全破解．

(2)等差數(shù)列和等比數(shù)列有很多相似的性質(zhì)，可以通過類比去發(fā)現(xiàn)、挖掘．

(3)等差、等比數(shù)列的判斷一般是利用定義，在證明等比數(shù)列時注意證明首項a1≠0，利用等比數(shù)列求和時注意公比q是否為1.
 
1．已知{an}為等差數(shù)列，其公差為－2，且a7是a3與a9的等比中項，Sn為{an}的前n項和，n∈N*，則S10的值為(　　)
A．－110B．－90
C．90D．110
【答案】　D
【解析】

∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，
又∵a7是a3與a9的等比中項，
∴(a1－12)2＝(a1－4)·(a1－16)，
解得a1＝20.
∴S10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110.

2．(2014·課標全國Ⅱ)等差數(shù)列{an}的公差為2，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則{an}的前n項和Sn等于(　　)
A．n(n＋1)  B．n(n－1)
C.n(n＋1)2D.n(n－1)2
【答案】　A
【解析】　

由a2，a4，a8成等比數(shù)列，得a24＝a2a8，
即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，
∴a1＝2.
∴Sn＝2n＋n(n－1)2×2
＝2n＋n2－n＝n(n＋1)．

3．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若2S4＝S5＋S6，則數(shù)列{an}的公比q的值為(　　)
A．－2或1B．－1或2
C．－2D．1
【答案】　C
【解析】　方法一　若q＝1，
則S4＝4a1，S5＝5a1，S6＝6a1，
顯然不滿足2S4＝S5＋S6，
故A、D錯．
若q＝－1，則S4＝S6＝0，S5＝a5≠0，
不滿足條件，故B錯，因此選C.
方法二　經(jīng)檢驗q＝1不適合，
則由2S4＝S5＋S6，
得2(1－q4)＝1－q5＋1－q6，化簡得
q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)，q＝－2.

4．(2014·大綱全國)等比數(shù)列{an}中，a4＝2，a5＝5，則數(shù)列{lgan}的前8項和等于(　　)
A．6B．5C．4D．3
【答案】　C
【解析】　

數(shù)列{lgan}的前8項和S8＝lga1＋lga2＋…＋lga8
＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a1·a8)4
＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4.

5．(2014·大綱全國)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2＝3，S4＝15，則S6等于(　　)
A．31B．32C．63D．64
【答案】　C
【解析】　

在等比數(shù)列{an}中，S2、S4－S2、S6－S4也成等比數(shù)列，
故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，
則(15－3)2＝3(S6－15)，
解得S6＝63.

6．已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn，且AnBn＝7n＋45n＋3，則使得anbn為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是(　　)
A．2B．3C．4D．5
【答案】　D
【解析】　由等差數(shù)列的前n項和及等差中項，
可得anbn＝12(a1＋a2n－1)12(b1＋b2n－1)
＝12(2n－1)(a1＋a2n－1)12(2n－1)(b1＋b2n－1)＝A2n－1B2n－1
＝7(2n－1)＋45(2n－1)＋3＝14n＋382n＋2
＝7n＋19n＋1＝7＋12n＋1 (n∈N*)，
故n＝1,2,3,5,11時，anbn為整數(shù)．
即正整數(shù)n的個數(shù)是5.

7．(2013·課標全國Ⅰ)若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝23an＋13，則{an}的通項公式是an＝________.
【答案】　(－2)n－1
【解析】　當n＝1時，a1＝1；
當n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝23an－23an－1，
故anan－1＝－2，故an＝(－2)n－1.

8．(2014·江蘇)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，則a6的值是________．
【答案】　4
【解析】　因為a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到關于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.

9．(2014·安徽)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5構成公比為q的等比數(shù)列，則q＝________.
【答案】　1
【解析】　設等差數(shù)列的公差為d，
則a3＝a1＋2d，a5＝a1＋4d，
∴(a1＋2d＋3)2＝(a1＋1)(a1＋4d＋5)，解得d＝－1，
∴q＝a3＋3a1＋1＝a1－2＋3a1＋1＝1.

10．在數(shù)列{an}中，如果對任意n∈N*都有an＋2－an＋1an＋1－an＝k(k為常數(shù))，則稱數(shù)列{an}為等差比數(shù)列，k稱為公差比．現(xiàn)給出下列問題：
①等差比數(shù)列的公差比一定不為零；
②等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列；
③若an＝－3n＋2，則數(shù)列{an}是等差比數(shù)列；
④若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比．
其中正確命題的序號為________．
【答案】?、佗邰?/span>
【解析】　若k＝0，{an}為常數(shù)列，分母無意義，①正確；公差為零的等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，②錯誤；an＋2－an＋1an＋1－an＝3，滿足定義，③正確；設an＝a1qn－1(q≠0)，則an＋2－an＋1an＋1－an＝a1qn＋1－a1qna1qn－a1qn－1＝q，④正確．

11．(2014·課標全國Ⅰ)已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求數(shù)列{an2n}的前n項和．
解　(1)方程x2－5x＋6＝0的兩根為2,3，
由題意得a2＝2，a4＝3.
設數(shù)列{an}的公差為d，則a4－a2＝2d，
故d＝12，從而a1＝32.
所以{an}的通項公式為an＝12n＋1.
(2)設{an2n}的前n項和為Sn.
由(1)知an2n＝n＋22n＋1，則
Sn＝322＋423＋…＋n＋12n＋n＋22n＋1，
12Sn＝323＋424＋…＋n＋12n＋1＋n＋22n＋2.
兩式相減得
12Sn＝34＋(123＋…＋12n＋1)－n＋22n＋2
＝34＋14(1－12n－1)－n＋22n＋2.
所以Sn＝2－n＋42n＋1.

12．(2014·北京)已知{an}是等差數(shù)列，滿足a1＝3，a4＝12，數(shù)列{bn}滿足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}為等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2)求數(shù)列{bn}的前n項和．
解　(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得
d＝a4－a13＝12－33＝3，
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，…)．
設等比數(shù)列{bn－an}的公比為q，由題意得
q3＝b4－a4b1－a1＝20－124－3＝8，解得q＝2.
所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.
從而bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．
(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1,2，…)．
數(shù)列{3n}的前n項和為32n(n＋1)，
數(shù)列{2n－1}的前n項和為1－2n1－2＝2n－1.
所以，數(shù)列{bn}的前n項和為32n(n＋1)＋2n－1.