第3期利用三視圖確定正方體的個數(shù)

xyz3i 2016-09-22

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三

規(guī)則：主俯長對正、主左高平齊、俯左寬相等

即：

主視圖和俯視圖的長要相等

主視圖和左視圖的高要相等

左視圖和俯視圖的寬要相等。

應(yīng)用

如圖表示某個由小正方體搭成的幾何體的俯視圖，俯視圖無法表示該幾何體的高度，用3代表右上角這個位置有3個立方體。用2表示左上角這個位置有2個立方體，1表示右下角這個位置有1個立方體，此時，我們不但可以輕易地畫出該幾何體的其它兩個視圖，也可以得知該物體一共由1 2 3=6個小正方體組成.

借助俯視圖的這個功能，我們在確定一個幾何體由多少個小正方體組成的時候，可以先畫出俯視圖，再根據(jù)主視圖與左視圖，確定俯視圖各位置上的立方體的個數(shù)，從而快速找出正方體的個數(shù).

例1

如圖是由一些相同的小正方體構(gòu)成的立體圖形的三視圖，那么構(gòu)成這個立體圖形的小正方體有_______個

解析

第一步：從俯視圖入手，結(jié)合主視圖，從正面看過去，也就是從如下圖的箭頭方向看過去，可以確定的是俯視圖最右側(cè)只有一層，標上數(shù)字1，左邊這列最高有兩層，具體數(shù)目還不能確定

第二步：結(jié)合左視圖，從箭頭方向看過去，右側(cè)有兩個一層的，所以馬上可以確定如圖兩個位置的數(shù)量.

由于左視圖的最左側(cè)最高有2個，所以，沿箭頭方向看過去最左側(cè)最高有2個，所以，俯視圖的空白處應(yīng)填2，如圖，所以，一共有2 1 1 1=5個正方體.

點撥：

此立體圖形的三視圖都已知，所以俯視圖結(jié)合主視圖和左視圖，容易明確個位置上的正方體的個數(shù).

例2

一個幾何體由若干個大小相等的小立方體組成，下面分別是此幾何體的主視圖，和俯視圖，該幾何體至少是用錯少個小立方塊搭成的.

解析

此題已經(jīng)存在俯視圖，還是從俯視圖出發(fā)考慮，因為主視圖已經(jīng)確定，如藍色所示，右側(cè)兩個位置最高只有一個，所以填寫數(shù)字1.

而最左側(cè)最高有兩個，因為是最少是多少個，所以左側(cè)三個位置，只要有一個位置是2個，其余都是1個即可，如圖，有下面三種可能

總數(shù)都為2 2 2=6個.

此時順便還可以求出最多有多少個.

如圖，只需要左側(cè)最高都是2個即可，所以，最多有2 2 2 1 1=8個.

點撥：

此題已知主視圖與俯視圖，可利用主視圖在俯視圖的基礎(chǔ)上填寫添加數(shù)字，但由于左視圖不確定，所以，可能有多種情況.

例3

如圖，一個幾何體是由若干個小正方體堆積而成的，主視、左視圖如下，要擺成這樣的圖形，至少需要多少塊小正方形，最多需要多少塊小正方體.

解析

此題沒有俯視圖，不妨嘗試去畫出俯視圖，

主視圖和俯視圖的長要相等

左視圖和俯視圖的寬要相等.

已知俯視圖的長和和寬也不一定能完全確定俯視圖的形狀，但是可以確定俯視圖最大可能是什么

由題意，俯視圖最大可能是

首先算出幾何體最多可能是多少個，再次基礎(chǔ)上，減少正方體的個數(shù)，在主視圖和左視圖不變的前提下，看最少能剩下幾個.

結(jié)合主視圖，從前面看俯視圖，右側(cè)兩個最高是1，所以可以確定右側(cè)兩列的最多全是1

結(jié)合左視圖，從左邊看俯視圖，最上面行和最下面的行最高都是2，

如圖.最后確定左視圖中間的，最高為1 .

此時我們得出的小正方體最多可能是2 2 1 1 1 1 1 1 1=11個.

如圖，減少4個，不影響主視圖

再減少1個，不影響左視圖

不能再減少了，所以，此時的數(shù)量2 2 1 1=6即是最少需要的正方體個數(shù).

點撥：

此題已知主視圖與左視圖，但是不知道俯視圖，利用投影的原則，主視圖和俯視圖的長要相等，左視圖和俯視圖的寬要相等.嘗試畫出俯視圖的最大可能，首先確定出幾何體的最多可能的正方體的個數(shù)，在此基礎(chǔ)上減少正方體的個數(shù)，但不改變主視圖與俯視圖，到最后不能再減少時，即可確定最少的可能的個數(shù).

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。為了適應(yīng)時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學(xué)課程還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

空間觀念

主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等.

幾何直觀

主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用.

利用三視圖確定正方體的個數(shù)這種類型的題目，想象物體的方位與相互之間的關(guān)系，很好地發(fā)展了學(xué)生的空間觀念，探索，預(yù)測正方體的個數(shù)，發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀，也很好地發(fā)展了學(xué)生的空間思維能力.

小試牛刀

有一個幾何體的主視圖和左視圖完全相同，如圖所示，則搭建一個這樣的幾何體至少需要____個小正方體，最多需要_____個小正方體.

參考答案：4個，10個