小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理（三）

王永春（課程教材研究所）

三，模型思想

    1．模型思想的概念。

    數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物地特征，數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從廣義角度講，數(shù)學(xué)的概念，定理，規(guī)律，法則，公式，性質(zhì)，數(shù)量關(guān)系式，圖表，程序等都是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)的模型思想是一般化的思想方法，數(shù)學(xué)模型的主要模型形式是數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)式和圖表，因而它與符號(hào)化思想有很多相同之處，同樣具有普遍的意義。不過(guò)，也有很多數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解似乎更注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用性。即把數(shù)學(xué)模型描述為特定的事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)。如通過(guò)數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)，物理，農(nóng)業(yè)，生物，社會(huì)學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，所構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型。為了把數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)知識(shí)或是符號(hào)思想明顯的區(qū)分開(kāi)來(lái)，本文主要從狹義的角度討論數(shù)學(xué)模型，即重點(diǎn)分析小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用及數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。

    2．模型思想的重要意義。

    數(shù)學(xué)模型是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和工具，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的一些信息進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，經(jīng)過(guò)推理和運(yùn)算，對(duì)相應(yīng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，預(yù)算，決策和控制，并且要經(jīng)過(guò)實(shí)踐的檢驗(yàn)。如果檢驗(yàn)的結(jié)果是正確的，便可以指導(dǎo)我們的實(shí)踐。如上所述，數(shù)學(xué)模型在當(dāng)今市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)和信息化社會(huì)已經(jīng)有比較廣泛的應(yīng)用；因而，模型思想在數(shù)學(xué)思想方法中有非常重要的地位，在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域也應(yīng)該有它的一席之地。

    如果說(shuō)符號(hào)化思想更注重?cái)?shù)學(xué)抽象和和符號(hào)表達(dá)，那么模型思想更注重?cái)?shù)學(xué)地應(yīng)用，更通過(guò)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化解決問(wèn)題，尤其是現(xiàn)實(shí)中的各種問(wèn)題；當(dāng)然，把現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的過(guò)程也是一個(gè)抽象化的過(guò)程?，F(xiàn)行的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)符號(hào)化思想有明確要求，如要求學(xué)生“能從具體行進(jìn)中抽象出數(shù)量變化和變化規(guī)律并用符號(hào)來(lái)表示”，這實(shí)際上就包含了模型思想。但是，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)第一，二學(xué)段并沒(méi)有提出模型思想要求，只是在第三學(xué)段的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)建議中明確提出了模型思想，要求在教學(xué)中“注重使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型”，教學(xué)過(guò)程以“問(wèn)題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用于擴(kuò)展”的模式展開(kāi)。如果說(shuō)小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者中有人關(guān)注了模型思想，多數(shù)人只是套用第三學(xué)段對(duì)模型思想的要求進(jìn)行研究也很難做到要求的具體化和課堂教學(xué)的貫徹落實(shí)。

    據(jù)了解，即將頒布的課程標(biāo)準(zhǔn)與現(xiàn)行的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）》相比有了較大變化，在課程內(nèi)容部分明確提出了“初步形成模型思想”，并具體解釋為“模型思想建立是幫助學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量變化和變量規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用知識(shí)”。并在教材編寫(xiě)中提出了“教材應(yīng)當(dāng)根據(jù)課程內(nèi)容，設(shè)計(jì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的活動(dòng)。這樣的活用應(yīng)體現(xiàn)‘問(wèn)題情境—建立模型—求解驗(yàn)證’過(guò)程，這個(gè)過(guò)程要有利于理解和掌握相關(guān)的知識(shí)技能，感悟數(shù)學(xué)思想、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；要有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)”。

    這是否可以理解為：在小學(xué)階段，從《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明確了模型思想的重要意義。這不僅表明了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)明確了建立模型是數(shù)學(xué)運(yùn)用和解決問(wèn)題的核心。

    3．模型思想的具體運(yùn)用

    數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展過(guò)程，也是一個(gè)應(yīng)用的過(guò)程。從這個(gè)角度而言，伴隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展，數(shù)學(xué)模型實(shí)際上也隨后產(chǎn)生和發(fā)展了。如自然數(shù)系統(tǒng)1,2,3…是描述離散數(shù)量的數(shù)學(xué)模型。2000多年前的古人用公式計(jì)算土地面積，用方程解決實(shí)際問(wèn)題等，實(shí)際上都是用各種數(shù)學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題等，實(shí)際上都是用各種數(shù)學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的。就小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用來(lái)說(shuō)，大多數(shù)是古老的初等數(shù)學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，也許在數(shù)學(xué)家的眼里，這根本就不是真正的數(shù)學(xué)模型；不過(guò)小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用雖然簡(jiǎn)單，但仍然是現(xiàn)實(shí)生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所不可缺的。小學(xué)數(shù)學(xué)中的模型如下表。

    4．?dāng)?shù)學(xué)模型思想的教學(xué)。

    5．從表格中可以看出：模型思想與符號(hào)化思想都是經(jīng)過(guò)抽象后用符號(hào)和圖表表達(dá)數(shù)量關(guān)系和空間形式，這是他們的共同之處；但是模型思想更加注重如何經(jīng)過(guò)分析抽象建立模型，更加重視如何應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活和科學(xué)研究的各種問(wèn)題。正是因?yàn)閿?shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，不但促進(jìn)了科學(xué)和人類(lèi)的進(jìn)步，也使人們對(duì)數(shù)學(xué)有了新的認(rèn)識(shí)：數(shù)學(xué)不僅僅是數(shù)學(xué)家的樂(lè)園，它特不應(yīng)是抽象和枯燥的代名詞，它是全人類(lèi)的朋友，也是廣大中小學(xué)生的朋友。廣大教師在教學(xué)中結(jié)合數(shù)學(xué)的應(yīng)用和解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)，要注意貫徹《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的理念，另一方面要注重滲透模型思想，另一方面要教會(huì)學(xué)生如何建立模型，比不過(guò)喜歡數(shù)學(xué)。

    學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型大概有兩種情況：第一種是基本模型的學(xué)習(xí)，即學(xué)習(xí)教材中以例題為代表的新知識(shí)，這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程可能是一個(gè)探索的過(guò)程，也可能是一個(gè)接受學(xué)習(xí)的過(guò)程；第二種是利用基本模型區(qū)解決各種問(wèn)題，即利用學(xué)習(xí)的基本知識(shí)解決教材中豐富多彩的習(xí)題以及各種課外問(wèn)題。

    教學(xué)建模是一個(gè)比較復(fù)雜和富有挑戰(zhàn)的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程大致有以下幾個(gè)步驟：（1）理解問(wèn)題的實(shí)際問(wèn)題，明確要解決什么問(wèn)題，屬于什么模型系統(tǒng)。（2）把復(fù)雜的情境經(jīng)過(guò)分析和簡(jiǎn)化，確定必要的數(shù)據(jù)。（3）建立模型，可以是數(shù)量關(guān)系式，也可以是圖標(biāo)形式。（4）解答問(wèn)題。下面結(jié)合案例做簡(jiǎn)要分析。

    第一，學(xué)習(xí)的過(guò)程可以經(jīng)歷類(lèi)似于數(shù)學(xué)家建模的再創(chuàng)造過(guò)程，現(xiàn)實(shí)過(guò)程中已有的數(shù)學(xué)模型基本上是數(shù)學(xué)家和物理家等科學(xué)家們應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域經(jīng)過(guò)艱辛的研究創(chuàng)造出來(lái)的，是的我們能夠享受現(xiàn)實(shí)的成果。如阿基米德發(fā)現(xiàn)了杠桿定律;平行的杠桿，物體到杠桿支點(diǎn)的距離之比，即F1：F2=L2；L1.根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程有時(shí)是一個(gè)探索的過(guò)程，也是一個(gè)再創(chuàng)造的過(guò)程；也就是說(shuō)有些模型是可以由學(xué)生再創(chuàng)造的，可以吧科學(xué)家發(fā)明的成果再創(chuàng)造一次。如在學(xué)習(xí)了反比例關(guān)系以后，可以利用簡(jiǎn)單的學(xué)具進(jìn)行操作實(shí)驗(yàn)，探索杠桿定律。再如利用若干個(gè)相同的小正方體拼擺成一個(gè)長(zhǎng)方體，探索長(zhǎng)方體中含有小正方體的個(gè)數(shù)與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的關(guān)系，進(jìn)而歸納出長(zhǎng)方體的體積公式，建立模型v=abc，這是一個(gè)模型化的過(guò)程，也是一個(gè)再創(chuàng)造的過(guò)程。

    第二，對(duì)于大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，在現(xiàn)實(shí)生活中和工作中利用數(shù)學(xué)解決各種問(wèn)題，基本上都是根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)情境的分析，利用已有的學(xué)習(xí)知識(shí)構(gòu)建模型。這樣的模型是已經(jīng)存在并且科學(xué)的，并不是新發(fā)明的，由學(xué)生進(jìn)行再創(chuàng)造也幾乎是不可行的；換句話(huà)說(shuō)，有些模型由于難度較大或不便于探索，不必讓學(xué)生在創(chuàng)造。如兩個(gè)變量成反比例關(guān)系，如果給出兩個(gè)量數(shù)據(jù)變化的表格，學(xué)生通過(guò)觀察和計(jì)算有可能發(fā)現(xiàn)者兩個(gè)量的關(guān)系。但是如果讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐操作去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，還是有一定難度的。再如物體運(yùn)動(dòng)地路程、時(shí)間和速度的關(guān)系為s=vt，利用這個(gè)基本模型可以解決各種有關(guān)勻速運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。但是由于這個(gè)模型比較抽象，操作難度較大，因而也不適合學(xué)生進(jìn)行再創(chuàng)造。教師只需要通過(guò)現(xiàn)實(shí)模擬或者動(dòng)畫(huà)模擬，是學(xué)生能夠理解模型的意義便可。

    案例1;小明的家距學(xué)校600米，每天上學(xué)從家步行10分鐘到學(xué)校。今天早上出門(mén)2分鐘后發(fā)現(xiàn)忘記帶學(xué)具了，立即回家去取。他如果想按原來(lái)的時(shí)間趕到學(xué)校，步行的速度應(yīng)是多少？（取東西的時(shí)間忽略不計(jì)）

    第三,應(yīng)用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)分析數(shù)量關(guān)系和空間形式，經(jīng)過(guò)抽象建立模型進(jìn)而解決各種問(wèn)題。學(xué)生學(xué)習(xí)了教材上的基礎(chǔ)知識(shí)后，利用已有的知識(shí)解決新的更加復(fù)雜的各種問(wèn)題，是一個(gè)富有挑戰(zhàn)的過(guò)程，也可以是一個(gè)合作探究的過(guò)程。如小學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有很多應(yīng)用數(shù)學(xué)解決的問(wèn)題，就是一個(gè)建立模型的過(guò)程；再如中學(xué)生和大學(xué)生組隊(duì)參加數(shù)學(xué)建模大賽，就是一個(gè)團(tuán)隊(duì)合作探究的過(guò)程。

    解題過(guò)程如下：

   （1）本題是日常生活中常見(jiàn)的行程問(wèn)題，問(wèn)題是要求小明步行的速度，是關(guān)于時(shí)間、速度和路程的問(wèn)題。

   （2） 這里需要明確所求的速度行相對(duì)應(yīng)的路程和時(shí)間是什么，因?yàn)槿|西等時(shí)間忽略不計(jì)，因此剩余的時(shí)間就可以確定為步行的時(shí)間；路程是從家出來(lái)2分鐘后開(kāi)始算，在回家的路程加上從家到回家的路程的和；時(shí)間是10分鐘減去2分鐘，只有8分鐘的時(shí)間了。

   （3） 根據(jù)基本的關(guān)系式s=vt，可先求出s=600+(600÷10)×2=720(米),t=10-2=8(分鐘)。列式為：720=8v

   （4） V=90,即小明步行的速度每分鐘為90米。

    從上面的解答過(guò)程來(lái)看，小學(xué)數(shù)學(xué)的情境還是比較容易理解的，模型系統(tǒng)也容易確定。如果說(shuō)此題比教材中的一般習(xí)題有難度的話(huà)，就是路程和時(shí)間沒(méi)有直接給出，拐了個(gè)彎。也就是說(shuō)難點(diǎn)在于第二步中知道模型系統(tǒng)后相應(yīng)的數(shù)量怎么確定的找出來(lái)，一定要注意題中每一個(gè)量是怎樣訴述的，有什么特殊的要求，在認(rèn)真讀題的基礎(chǔ)上準(zhǔn)確的找出來(lái)或計(jì)算出來(lái)。

    案例2.;有一根20米長(zhǎng)的繩子，要剪成2米和5米長(zhǎng)兩種規(guī)格的跳繩，每種跳繩各剪多少根？（要求繩子無(wú)剩余，并且每種規(guī)格的繩子至少要有一根）

分析：此題從表面上看，是小學(xué)數(shù)學(xué)整數(shù)乘法的一般問(wèn)題，但是由于題中有特殊要求，無(wú)法列式解答。如果用方程，題目中涉及了兩個(gè)未知數(shù)，屬于二元一次方程，超出了小學(xué)數(shù)學(xué)的范圍。那么，面對(duì)這樣的問(wèn)題如何解決呢？在小學(xué)數(shù)學(xué)中面對(duì)一些非常規(guī)范的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)運(yùn)用列表列舉或猜測(cè)的方式是一種可行的策略，只不過(guò)會(huì)繁瑣些。

    由上表可知符號(hào)要求的答案為：5米和2米的跳繩分別減2根和5根。

    此題如果用方程解決，可設(shè)5米和2米的跳繩分別剪x根和y根，可列方程:5x=2y=20.可仿照正比例關(guān)系y=kx圖像的畫(huà)法，再有方格紙的坐標(biāo)系里，通過(guò)兩點(diǎn)（0,10）和（4,0）畫(huà)出一條直線(xiàn)，就是方程5x=2y=20.圖像。再找出圖像與方程的交叉點(diǎn)重合的點(diǎn)，就是方程的解。

    案例3：一瓶礦泉水滿(mǎn)瓶為500毫升，小林喝了一些，剩余的水都在圓柱形的部分，高度是16厘米。如果把瓶蓋擰緊，倒立過(guò)來(lái)，無(wú)水的部分高度為4厘米。小林喝了多少水？

    分析;此題是求水的容積，有一個(gè)在建模過(guò)程中需要假設(shè)，就是礦泉水瓶援助部分并不是一個(gè)圓柱的形狀，這樣才便于建立模型，由于不知道圓柱的底面積，所以無(wú)法用容積公式直接求解。這就需要換一個(gè)思路來(lái)想，根據(jù)容積公式v=sh.可知如果底面積一定，容積與圓柱的高成正比，這樣就把求容積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比例問(wèn)題。由于礦泉水瓶最上面部分形狀不規(guī)則，倒立過(guò)來(lái)以后喝的水就相當(dāng)于圓柱形瓶子高度為4厘米的水。滿(mǎn)瓶礦泉水就相當(dāng)于這瓶水都裝在圓柱形瓶子后，高度為20厘米的水?？稍O(shè)小林喝的水為v毫升，列式為：v:500=4:(16+4)，V=100