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我想盡可能不用數(shù)學(xué)符號，瞎扯一下現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。這篇帖子更多是從認(rèn)識論的角度，用數(shù)學(xué)為例子解釋人類思想能夠達到的邊界和逼近邊界的過程。不完全是在介紹數(shù)學(xué)。不過我也不知道是否足夠通俗易懂。 寫這個帖子的另外一個目的就是想說明數(shù)學(xué)除了是工程師的計算工具，物理學(xué)家的建模和解釋工具，他是能夠單獨存在的，是具有智力審美價值的，不是僅僅只是一些數(shù)值計算和邏輯證明，更多的是對人類思想極限的挑戰(zhàn)。當(dāng)然由于是瞎扯，就不能深入，而且這里不能用數(shù)學(xué)符號，所以也無法具體介紹過程。 以前我說過，大學(xué)工科學(xué)習(xí)的所謂高等數(shù)學(xué)，其實還是初等數(shù)學(xué)，不過是學(xué)會了怎么計算初等函數(shù)的微分（例如加速度，邊際效益等等）和積分（例如體積，面積，重量），也能用行列式解一次方程組，有的可能還能計算傅利葉變換等等，但是也只是掌握一點計算工具而已，大多數(shù)學(xué)生還是無法了解這些工具是怎么構(gòu)造的，是怎么來的。 數(shù)學(xué)系的學(xué)生當(dāng)然也要學(xué)習(xí)計算，但是在整個課程中占的比例極少，可能不到5%，大多數(shù)時間，還是在學(xué)習(xí)如何構(gòu)造工具現(xiàn)有工具的來龍去脈，但是更重要的是在培養(yǎng)一種精細(xì)的思維方式和邏輯結(jié)構(gòu)框架，只有具備了這些思維方式和邏輯框架，人才能超越直覺和常識，進入一種抽象的審美境界（當(dāng)然達到這個境界的人不多，因為達到了，就是大數(shù)學(xué)家了）。 下面瞎扯一點基于數(shù)學(xué)系學(xué)生的角度了解的現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 1、數(shù)學(xué)是什么 先扯扯我認(rèn)為的數(shù)學(xué)是什么。 我們在中學(xué)，學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)定義是：數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)（也即數(shù)學(xué)是研究客觀規(guī)律的科學(xué)），其實這個定義是不對的，柯朗就認(rèn)為數(shù)學(xué)不能通過語意學(xué)定義。 我不認(rèn)為數(shù)學(xué)是一種技術(shù)（當(dāng)然可以作為計算工具和計算技術(shù)），也不是一門科學(xué)（當(dāng)然可以作為物理學(xué)，化學(xué)，生物學(xué)等等科學(xué)的工具存在），數(shù)學(xué)是獨立于所有學(xué)科的一個存在（獨立于哲學(xué)，科學(xué)，文學(xué)，藝術(shù)等等）。舉例來講，很多學(xué)科的基礎(chǔ)定理或原則，如果不存在人，可能就不存在，因為依賴于人的參與，甚至物理學(xué)也是如此，沒有人的觀測，物理學(xué)的基礎(chǔ)可能就不存在，但是數(shù)學(xué)不同，例如π這個常數(shù)，不管是不是有人，甚至是不是有地球，有時間，有宇宙，都是存在的。 所以我認(rèn)為數(shù)學(xué)更是一種人類認(rèn)識世界的思想和一種思維方式。這種思維方式的特殊性在于他不是實證的，也不是形象類比的，而是基于邏輯的高度抽象，其概念完全可以沒有任何現(xiàn)實背景，而僅僅是語義上的概念或憑空定義的概念，完全可以脫離現(xiàn)實而獨立存在。 法國數(shù)學(xué)家普洛克魯斯（P roclus）認(rèn)為數(shù)學(xué)是：她提醒你有無形的靈魂；她賦予她所發(fā)現(xiàn)的真理以生命；她喚起心神,澄凈智慧；她給我們的內(nèi)心思想添輝；她滌盡我們有生以來的蒙昧與無知。 2、康托的樸素集合論 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是集合論。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)不管是分析，幾何，代數(shù)，還是其他專業(yè)，其基礎(chǔ)就是集合論。因為現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)語言、基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)和基礎(chǔ)表達方式就是集合。 樸素集合論是德國數(shù)學(xué)家康托(G.Cantor)于19世紀(jì)末創(chuàng)立的。 康托創(chuàng)立集合論，是基于解決微積分的邏輯基礎(chǔ)問題（微積分的邏輯基礎(chǔ)問題以后有機會介紹），為了使微積分里面采用的無窮小概念有一個清晰的邏輯基礎(chǔ)，康托開始定義實數(shù)點集，并在上面定義了算法，進一步對其性質(zhì)就行研究，把成果在發(fā)表在1874年的《克雷爾數(shù)學(xué)雜志》上，這一系列論文是奠定現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的革命性成果。 康托要做這個工作，是因為不管是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論邏輯上都是不嚴(yán)格的，兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的（例如牛頓就認(rèn)為它必須既是0，又不是0）。 貝克萊大主教對牛頓的理論進行了攻擊，其中就是貝克萊悖論（無窮小量究竟是否為0），其實本質(zhì)就是有限與無限，無窮小與零，零與非零的邏輯矛盾。 由于無窮概念沒有精確的定義，微積分遇到嚴(yán)重的邏輯困難，19世紀(jì)初，法國數(shù)學(xué)家柯西企圖用極限概念來彌補這個缺陷。給出了極限的定義：若代表某變量的一串?dāng)?shù)值無限地趨向于某一數(shù)值時，其差可任意小，則該固定值稱為這一串?dāng)?shù)值的極限。并在極限這基礎(chǔ)上建立起連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分以及無窮級數(shù)的理論。 但是，柯西并沒有徹底完成微積分的嚴(yán)密化，柯西的思想會產(chǎn)生邏輯矛盾。19世紀(jì)后期的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)使柯西產(chǎn)生邏輯矛盾的原因是奠定微積分基礎(chǔ)的極限概念上。嚴(yán)格地說柯西的極限概念并沒有真正地擺脫幾何直觀，并沒有確實地建立在純粹嚴(yán)密的算術(shù)的基礎(chǔ)上。 于是，許多大量的數(shù)學(xué)家開始致力于微積分的嚴(yán)格化，柯西之后，魏爾斯特拉斯，戴德金也做過類似工作，但是進展不大，責(zé)難不少。在這一過程中，他們都發(fā)現(xiàn)一定要涉及對微積分的基本研究對象----連續(xù)函數(shù)的描述，這是一個繞不過去的坎，因為在數(shù)與連續(xù)性的定義中，必須涉及無限集合這個概念。 因此，無限集合就成為數(shù)學(xué)嚴(yán)密化的攔路虎。所以為尋求微積分徹底嚴(yán)密的算術(shù)化，必須解決無限集合的性質(zhì)，這成了集合論產(chǎn)生的一個重要原因。 對無窮小的最深刻責(zé)難是黎曼在1854年的就職論文《關(guān)于用三角級數(shù)表示函數(shù)的可能性》中首次提出唯一性問題： 如果函數(shù)f（x）在某個區(qū)間內(nèi)除間斷點外所有點上都能展開為收斂于函數(shù)值的三角級數(shù)，那么這樣的三角級數(shù)是否是唯一的？ 函數(shù)可用三角級數(shù)表示，最早是1822年傅立葉提出來的。此后對于間斷點的研究，越來越成為分析領(lǐng)域中引人注目的問題，從19世紀(jì)30年代起，不少杰出的數(shù)學(xué)家從事著對不連續(xù)函數(shù)的研究，并且都在一定程度上與集合這一概念掛起了鉤。這就為康托最終建立集合論創(chuàng)造了條件。 1870年，海涅證明：當(dāng)f（x）連續(xù)，且它的三角級數(shù)展開式一致收斂時，展開式是唯一的。海涅然后進一步證明：如果表示一個函數(shù)的三角級數(shù)在區(qū)間[-π,π]中去掉函數(shù)間斷點的任意小鄰域后剩下的部分上是一致收斂的，那么級數(shù)是唯一的。進一步的問題是：當(dāng)f（x）具有無窮多個間斷點時，唯一性能否成立？這個問題海涅沒能解決。海涅推薦康托來解決這個問題。 所以康托建立集合論的出發(fā)點問題是：任意函數(shù)的三角級數(shù)的表達式是否唯一？ 為了給出最有普遍性的解，康托引進了一些新的概念?？低袑嶋H上就是就是通過對這個唯一性問題的研究，認(rèn)識到無窮集合的重要性，并開始從事無窮集合的一般理論研究。直到康托利用實數(shù)集合建立了完整的實數(shù)體系，才完成了微積分的邏輯奠基工作。 在其后的三年中，康托先后發(fā)表了五篇有關(guān)這一題目的文章?？低邢仍?870年和1871年兩次在《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表論文，證明了函數(shù)f（x）的三角級數(shù)表示的唯一性定理，而且證明了即使在有限個間斷點處不收斂，定理仍然成立。1872年他在《數(shù)學(xué)年鑒》上發(fā)表了一篇題為《三角級數(shù)中一個定理的推廣》的論文，把海涅的一致收斂的嚴(yán)酷條件推廣到允許間斷點是某種無窮的集合的情形。為了描述這種集合，他首先定義了點集的極限點，然后引進了點集的導(dǎo)集和導(dǎo)集的導(dǎo)集等有關(guān)重要概念?？低?872年的論文是從間斷點問題過度到點集論的極為重要的環(huán)節(jié)，使無窮點集成為明確的研究對象。這是從唯一性問題的探索向點集論研究的開端，并為點集論奠定了理論基礎(chǔ)。 下面稍微介紹一下康托的工作。 康托對集合的定義：把若干確定的，有區(qū)別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，其中各事物稱為該集合的元素（其實現(xiàn)代系統(tǒng)論定義系統(tǒng)也是基于康托對集合的定義，只是系統(tǒng)有目標(biāo)）。 為了徹底解決無窮小的邏輯問題，康托29歲（1874）時在《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了一篇論文《論所有實代數(shù)數(shù)集體的一個性質(zhì)》。 在這篇論文中，康托的第一個要解決的問題是：正整數(shù)的集合（n）與實數(shù)的集合（x）之間能否把它們一一對應(yīng)起來。1873年12月7日，康托寫信給戴德金，說他已能成功地證明實數(shù)的“集體”是不可數(shù)的，也就是不能同正整數(shù)的“集體”一一對應(yīng)起來。這一天應(yīng)該看成是集合論的誕生日。 康托的《論所有實代數(shù)數(shù)集體的一個性質(zhì)》這篇文章1874年發(fā)表，提出了“可數(shù)集”概念，并以一一對應(yīng)為準(zhǔn)則對無窮集合進行分類，證明了如下重要結(jié)果： 一切代數(shù)數(shù)是可數(shù)的； 任何有限線段上的實數(shù)是不可數(shù)的； 超越數(shù)是不可數(shù)的； 一切無窮集并非都是可數(shù)的，無窮集同有窮集一樣也有數(shù)量（基數(shù)）上的區(qū)別。 上述結(jié)論的意思是：代數(shù)數(shù)集和有理數(shù)集是可數(shù)的和實數(shù)集是不可數(shù)的。這是一個超出直覺和想象力的結(jié)果。 為證明上述定理，康托假設(shè)了連續(xù)統(tǒng)公理（Cantor公理，后來被哥德爾證明與策梅洛選擇公理協(xié)調(diào)）。 連續(xù)統(tǒng)公理：無窮集合中，除了整數(shù)集的基數(shù)，實數(shù)集的基數(shù)是最小的。（實數(shù)集即直線上點的集合為連續(xù)統(tǒng)） 利用連續(xù)統(tǒng)公理，康托證明：任何一個集合的冪集(即它的一切子集構(gòu)成的集合)的勢都大于這個集合的勢，人們才認(rèn)識到無窮集合也可以比較大小。 自然數(shù)集是最小的無窮集合，自然數(shù)集的勢記作阿列夫零?？低凶C明連續(xù)統(tǒng)勢等于自然數(shù)集的冪集的勢。 是否存在一個無窮集合，它的勢比自然數(shù)集的勢大，比連續(xù)統(tǒng)勢?。窟@個問題被稱為連續(xù)統(tǒng)問題。 康托爾猜想這個問題的解答是否定的，即連續(xù)統(tǒng)勢是比自然數(shù)集的勢大的勢中最小的一個無窮勢，記作C1；自然數(shù)集的勢記作C0。這個猜想就稱為連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。（這個假設(shè)后來得到證明） 這篇文章所用的方法是康托集合論。 康托的集合論是從定義一個元素o和集合A之間的二元關(guān)系開始的：若o是A的元素，可表示為o ∈ A。上述關(guān)系也可以用在集合和集合的關(guān)系。 另外一種二個集合之間的關(guān)系，稱為包含關(guān)系。若集合A中的所有元素都是集合B中的元素，則稱集合A為B的子集，符號為A? B。例如{1,2} 是{1,2,3} 的子集，但{1,4} 就不是{1,2,3} 的子集。依照定義，任一個集合也是本身的子集，不考慮本身的子集稱為真子集。集合A為集合B的真子集當(dāng)且僅當(dāng)集合A為集合B的子集，且集合B不是集合A的子集。 數(shù)的算術(shù)中有許多一元及二元運算，集合論也有許多針對集合的一元及二元運算： 集合A和B的并集，符號為A ∪ B，是在至少在集合A或B中出現(xiàn)的元素，集合{1,2,3} 和集合{2, 3, 4} 的聯(lián)集為集合{1, 2, 3, 4} 。 集合A和B的交集，符號為A ∩ B，是同時在集合A及B中出現(xiàn)的元素，集合{1,2,3} 和集合{2, 3, 4} 的交集為集合{2, 3} 。 集合U和A的相對差集，符號為U \ A，是在集合U中,但不在集合A中的所有元素，相對差集{1,2,3} \ {2,3,4} 為{1} ，而相對差集{2,3,4} \ {1,2,3} 為{4} 。當(dāng)集合A是集合U的子集時，相對差集U \ A也稱為集合A在集合U中的補集。 集合A和B的對稱差，符號為A △ B或A⊕B，是指只在集合A及B中的其中一個出現(xiàn)，沒有在其交集中出現(xiàn)的元素。例如集合{1,2,3} 和{2,3,4} 的對稱差為{1,4} ，也是其并集和交集的相對差集(A ∪ B) \ (A ∩ B)，或是二個相對差集的聯(lián)集(A \ B) ∪ (B \ A)。 集合A和B的笛卡兒積，符號為A × B，是一個由所有可能的有序?qū)?a,b)形成的集合，其中第一個是A的成員，第二個是B的成員。例如{1, 2}和{red, white}的笛卡兒積為{(1, red), (1, white), (2, red), (2, white)}。 集合A的冪集是指是以A的全部子集為元素的集合，例如集合{1, 2} 的冪集為{ {}, {1}, {2}, {1,2} } 。 一些重要的基本集合包括空集（唯一沒有元素的集合），整數(shù)集合及實數(shù)集合。 1874年1月5日，康托給戴德金寫信，進一步提出下面的問題： 是否能把一塊曲面（如包含邊界在內(nèi)的正方形）一意地映射到一條線（如包含端點在內(nèi)的線段），使得面上每一點對應(yīng)線上一點而且反過來線上每一點對應(yīng)面上一點？（這是一個顛覆人類想象的結(jié)論，直觀說就是相當(dāng)于太平洋的點與一根火柴的點一樣多）。 1877年6月20日，他給戴德金寫信，告訴他已經(jīng)證明這個問題，信中說“我看到了它，但我簡直不能相信它”。這是一個更偉大的工作，實際上證明了一條線段上的點能夠和正方形上的點建立一一對應(yīng)，從而證明了直線上，平面上，三維空間乃至高維空間的所有點的集合，都有相同的勢。 從直觀上說，平面上的點顯然要比線上的點要多得多?？低凶约浩鸪跻彩沁@樣認(rèn)識的。但三年后，康托宣布：不僅平面和直線之間可以建立一一對應(yīng)，而且一般的n維連續(xù)空間也可以建立一一對應(yīng)。這一結(jié)果是出人意外的。就連康托本人也覺得“簡直不能相信”。然而這又是明擺著的事實，它說明直觀是靠不住的，只有靠理性才能發(fā)現(xiàn)真理，避免謬誤。 這篇論文揭示了度量空間維數(shù)的本質(zhì)，標(biāo)志點集拓?fù)涞拈_始。 這個工作其實揭示的是集合論里的核心難點：無窮集合這個概念本身。 從希臘時代以來，無窮集合很自然地引起數(shù)學(xué)家們和哲學(xué)家們的注意。而這種集合的本質(zhì)以及看來是矛盾的性質(zhì)，很難象有窮集合那樣來把握它。所以對這種集合的理解沒有任何進展。早在中世紀(jì)，人們已經(jīng)注意到這樣的事實：如果從兩個同心圓出發(fā)畫射線，那么射線就在這兩個圓的點與點之間建立了一一對應(yīng)，然而兩圓的周長是不一樣的。16世紀(jì)，伽俐略還舉例說，可以在兩個不同長的線段ab與cd之間建立一一對應(yīng)，從而想象出它們具有同樣的點。 他又注意到正整數(shù)可以和它們的平方構(gòu)成一一對應(yīng)，只要使每個正整數(shù)同它們的平方對應(yīng)起來就行了: 1 2 3 4 … … n … … 1 4 9 16 … … n2 … … 但這導(dǎo)致無窮大的不同的“數(shù)量級”，伽俐略以為這是不可能的.因為所有無窮大都一樣大。 不僅是伽俐略，在康托之前的數(shù)學(xué)家大多不贊成在無窮集之間使用一一對應(yīng)的比較手段，因為它將出現(xiàn)部分等于全體的矛盾。高斯明確表態(tài)：“我反對把一個無窮量當(dāng)作實體，在數(shù)學(xué)中是從來不允許的。無窮只是一種說話的方式… …”柯西也不承認(rèn)無窮集合的存在。他不能允許部分同整體構(gòu)成一一對應(yīng)這件事。 但是康托認(rèn)為一個無窮集合能夠和它的部分構(gòu)成一一對應(yīng)不是什么壞事，它恰恰反應(yīng)了無窮集合的一個本質(zhì)特征。對康托來說，如果一個集合能夠和它的一部分構(gòu)成一一對應(yīng)，它就是無窮的。它定義了基數(shù),可數(shù)集合等概念。 既然n維連續(xù)空間與一維連續(xù)統(tǒng)具有相同的基數(shù)，于是，康托在1879到1884年間集中于線性連續(xù)統(tǒng)的研究，相繼發(fā)表了六篇系列文章，匯集成《關(guān)于無窮的線性點集》。其中前四篇同以前的論文類似，討論了集合論的一些數(shù)學(xué)成果，包括集合論在函數(shù)論等方面的應(yīng)用。第五篇發(fā)表于1883年，它的篇幅最長，內(nèi)容也最豐富。它不僅超出了線性點集的研究范圍，而且給出了超窮數(shù)的一個完全一般的理論，其中借助良序集的序型引進了超窮序數(shù)的整個譜系。同時還專門討論了由集合論產(chǎn)生的哲學(xué)問題，包括回答反對者們對康托所采取的實無窮立場的非難。這篇文章對康托是極為重要的。1883年，康托將它以《一般集合論基礎(chǔ)》為題作為專著單獨出版。第六篇論文是第五篇的補充。 《一般集合論基礎(chǔ)》主要成果是引進了作為自然數(shù)系的獨立和系統(tǒng)擴充的超窮數(shù)，從內(nèi)容到敘述方式都同現(xiàn)代的樸素集合論基本一致，所以該書標(biāo)志著點集論體系的建立。 《一般集合論基礎(chǔ)》，引進了無窮點集的一些概念，如：基數(shù)，勢，序數(shù)等，試圖把不同的無窮離散點集和無窮連續(xù)點集按某種方式加以區(qū)分?？低性谶@篇文章中的主要貢獻是引進超窮數(shù)。 為構(gòu)造超窮數(shù)的序列?？低袘?yīng)用了以下幾條原則： 第一生成原則：從任一給點的數(shù)出發(fā)，通過相繼加1（個單位）可得到它的后繼數(shù)。 第二生成原則：任給一個其中無最大數(shù)的序列，可產(chǎn)生一個作為該序列極限的新數(shù)，它定義為大于此序列中所有數(shù)的后繼數(shù)。 第三（限制）原則：保證在上述超窮序列中產(chǎn)生一種自然中斷，使第二數(shù)類有一個確定極限，從而形成更大數(shù)類。 反復(fù)應(yīng)用三個原則，就得到超窮數(shù)的序列： ω，ω1，ω2，… 利用先前引入的集合的勢的概念，康托證明第一數(shù)類（Ⅰ）和第二數(shù)類（Ⅱ）的重要區(qū)別在于（Ⅱ）的勢大于（Ⅰ）的勢。還給出了良序集和無窮良序集編號的概念，指出整個超窮數(shù)的集合是良序的，而且任何無窮良序集，都存在唯一的一個第二數(shù)類中的數(shù)作為表示它的順序特性的編號。康托還借助良序集定義了超窮數(shù)的加法、乘法及其逆運算。 他另外一個重要工作是構(gòu)造了實變函數(shù)論中著名的Cantor集。 康托集是一個無處稠密的完備集，簡單說康托集是個測度為0的集，直觀的解析幾何說法就是這函數(shù)圖像面積為0。 通過考慮這個集合，康托奠定了現(xiàn)代點集拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)。（實際上斯梅爾的馬蹄映射也會形成康托集）。 最常見的構(gòu)造康托集方法是取一條長度為1的直線段，將它三等分，去掉中間一段，留剩下兩段，再將剩下的兩段再分別三等分，各去掉中間一段，剩下更短的四段，……，將這樣的操作一直繼續(xù)下去，直至無窮，由于在不斷分割舍棄過程中，所形成的線段數(shù)目越來越多，長度越來越小，在極限的情況下，得到一個離散的點集，這就是康托集。 康托點集的極限圖形長度趨于0，線段數(shù)目趨于無窮，實際上相當(dāng)于一個點集。操作n次后，邊長r=(1/3)^n，邊數(shù)N(r)=2^n，根據(jù)公式D=lnN(r)/ln(1/r) , D=ln2/ln3=0.631。 所以康托點集分?jǐn)?shù)維是0.631。 康托集中有無窮多個點，所有的點處于非均勻分布狀態(tài)。此點集具有自相似性，其局部與整體是相似的，所以是一個分形系統(tǒng)。 康托集具有：自相似性；精細(xì)結(jié)構(gòu)；無窮操作或迭代過程；長度為零；簡單與復(fù)雜的統(tǒng)一。 康托集的出現(xiàn)，導(dǎo)致傳統(tǒng)幾何學(xué)陷入危機。用傳統(tǒng)的幾何學(xué)術(shù)語難以描述，它既不滿足某些簡單條件，如點的軌跡，也不是任何簡單方程的解集。其局部也同樣難于描述。因為每一點附近都有大量被各種不同間隔分開的其它點存在。 康托于1895年和1897年先后發(fā)表了兩篇對超限數(shù)理論具有決定意義的論文。在該文中,他改變了早期用公理定義(序)數(shù)的方法，采用集合作為基本概念。他給出了超限基數(shù)和超限序數(shù)的定義，引進了它們的符號；依勢的大小把它們排成一個序列；規(guī)定了它們的加法，乘法和乘方。 但是集合論的內(nèi)在矛盾開始暴露出來。康托自己首先發(fā)現(xiàn)了集合論的內(nèi)在矛盾。他在1895年的文章中遺留下兩個懸而未決的問題：一個是連續(xù)統(tǒng)假說；另一個是所有超窮基數(shù)的可比較性。 他雖然認(rèn)為無窮基數(shù)有最小數(shù)而沒有最大數(shù)，但沒有明顯敘述其矛盾之處。一直到1903年羅素發(fā)表了他的著名悖論。集合論的內(nèi)在矛盾才突出出來，成為20世紀(jì)集合論和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的出發(fā)點。 不過康托的集合論是數(shù)學(xué)上最具有革命性的理論，因為他精確定義和構(gòu)造了數(shù)學(xué)的最基礎(chǔ)概念：無窮集合。 康托的集合論是人類認(rèn)識史上第一次給無窮建立起抽象的形式符號系統(tǒng)和確定的運算。并從本質(zhì)上揭示了無窮的特性，使無窮的概念發(fā)生了一次革命性的變化，并滲透到所有的數(shù)學(xué)分支，從根本上改造了數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，促進了數(shù)學(xué)許多新的分支的建立和發(fā)展，成為實變函數(shù)論、代數(shù)拓?fù)?、群論和泛函分析等理論的基礎(chǔ)，還給邏輯學(xué)和哲學(xué)也帶來了深遠的影響。 康托的工作一開始是不受待見的，康托集合論的出現(xiàn)沖擊了傳統(tǒng)的觀念，顛倒了許多前人的想法，康托的成果超越了大多數(shù)人的想象邊界和常識邊界。 因為19世紀(jì)被普遍承認(rèn)的關(guān)于存在性的證明是構(gòu)造性的。你要證明什么東西存在，那就要具體造出來。因此，人只能從具體得數(shù)或形出發(fā)，一步一步經(jīng)過有限多步得出結(jié)論來。至于“無窮”，許多人更是認(rèn)為它是一個超乎于人的能力所能認(rèn)識的世界，不要說去數(shù)它，就是它是否存在也難以肯定，而康托竟然“漫無邊際地”去數(shù)它，去比較它們的大小，去設(shè)想沒有最大基數(shù)的無窮集合的存在。 反對康托最激烈的是德國數(shù)學(xué)大師克羅內(nèi)克（Kronecker，康托的老師）?？肆_內(nèi)克認(rèn)為，數(shù)學(xué)的對象必須是可構(gòu)造出來的，不可用有限步驟構(gòu)造出來的都是可疑的，不應(yīng)作為數(shù)學(xué)的對象，他反對無理數(shù)和連續(xù)函數(shù)的理論，惡毒攻擊康托的無窮集合和超限數(shù)理論不是數(shù)學(xué)而是神秘主義。他說康托的集合論空空洞洞毫無內(nèi)容，康托是精神病。 除了克羅尼克之外，龐加萊（Poincare）也說：“我個人，而且還不只我一人，認(rèn)為重要之點在于，切勿引進一些不能用有限個文字去完全定義好的東西”。他把集合論當(dāng)作一個有趣的“病理學(xué)的情形”來談，并且預(yù)測說：“后一代將把（Cantor）集合論當(dāng)作一種疾病”。 外爾（Weyl）認(rèn)為，康托關(guān)于基數(shù)的等級觀點是“霧上之霧”?？巳R因（Klein）也不贊成集合論的思想。施瓦茲原來是康托的好友，但他由于反對集合論而同康托斷交。埃里特·比修普駁斥集合論是“上帝的數(shù)學(xué)，應(yīng)該留給上帝”。維特根斯坦特別對無限的操作有疑問。當(dāng)羅素給出集合論的悖論出現(xiàn)之后，他們開始認(rèn)為集合論根本是一種病態(tài)。 1884年，由于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)長期得不到證明，再加上與克羅內(nèi)克的尖銳對立，精神上屢遭打擊康托精神崩潰，神經(jīng)分裂，住進精神病院，1918年1月6日在哈勒大學(xué)精神病院去世。不過偶爾恢復(fù)常態(tài)時，他的思想變得超乎尋常的清晰，繼續(xù)他的集合論的工作（他的很多重要工作都是精神病發(fā)病間歇期做出來的）。誰說數(shù)學(xué)家戰(zhàn)斗力弱？ 康托的集合論得到公開的承認(rèn)是在瑞士蘇黎世召開的第一屆國際數(shù)學(xué)家大會上霍爾維茨（Hurwitz）明確地闡述康托集合論對函數(shù)論的進展所起的巨大推動作用，阿達瑪（Hadamard），也報告康托對他的工作的重要作用。 希爾伯特(Hilbert)高度贊譽康托的集合論“是數(shù)學(xué)天才最優(yōu)秀的作品”，“是人類純粹智力活動的最高成就之一”，“是這個時代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上，希爾伯特高度評價了康托工作的重要性，并把康托的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)列入20世紀(jì)初有待解決的23個重要數(shù)學(xué)問題之首。 二十余年后，集合論價值才得到認(rèn)可。二十世紀(jì)初數(shù)學(xué)家們已經(jīng)普遍認(rèn)為從算術(shù)公理系統(tǒng)出發(fā)，只要借助集合論的概念，便可以建造起整個數(shù)學(xué)的大廈。按現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點，數(shù)學(xué)各分支的研究對象或者本身是帶有某種特定結(jié)構(gòu)的集合如群、環(huán)、拓?fù)淇臻g，或者是可以通過集合來定義的（如自然數(shù)、實數(shù)、函數(shù)）。從這個意義上說，集合論可以說是整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。 在1900年第二次國際數(shù)學(xué)大會上，龐加萊（這家伙改正錯誤倒是快得很）就興高采烈的說：數(shù)學(xué)已被算術(shù)化了，我們可以說，現(xiàn)在數(shù)學(xué)已經(jīng)達到了絕對的嚴(yán)格。 3、公理化集合論 在康托集合論得到認(rèn)可的大好形勢下，也有不信邪的。傳說1902年英國數(shù)學(xué)家羅素（Russel）給康托寫了一封信：“在一個村莊里住著一位理發(fā)師，這位理發(fā)師只給這個村莊里那些不給自己刮胡子的人刮胡子，請問這位理發(fā)師給不給自己刮胡子呢？”（也即理發(fā)師悖論），也即集合論是有漏洞的。其實不止羅素一人，當(dāng)時很多數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性是很懷疑的。 悖論的發(fā)現(xiàn)動搖了數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)。（后面我們會介紹集合論是現(xiàn)代一切數(shù)學(xué)以及相關(guān)科學(xué)理論的基礎(chǔ)）。 其實這種傳說有夸張行為，羅素的工作要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)枚?。羅素構(gòu)造了一個所有不屬于自身（即不包含自身作為元素）的集合R，現(xiàn)在問R是否屬于R？ 如果R屬于R，則R滿足R的定義，因此R不應(yīng)屬于自身，即R不屬于R； 如果R不屬于R，則R不滿足R的定義，因此R應(yīng)屬于自身,即R屬于R。 這樣,不論何種情況都存在著矛盾（為了使羅素悖論更加通俗易懂,羅素本人在1919年將其改寫為理發(fā)師悖論）。 這樣建立在集合論基礎(chǔ)上的號稱“天衣無縫”，“絕對嚴(yán)密”的數(shù)學(xué)就陷入了自相矛盾之中，這就是數(shù)學(xué)史上的第三次數(shù)學(xué)危機。 盡管后來在希爾伯特（Hilbert）領(lǐng)導(dǎo)下，世界上第一流的數(shù)學(xué)家們進行了100多年的基礎(chǔ)彌補工作，但是直到今天，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)仍然是晃悠的，扎實基礎(chǔ)并未能完全建立起來。現(xiàn)在能夠做到的就是湊合：給集合論附加了一些公理，避免悖論矛盾（這就是公理化集合論）。 公理化方法,就是從盡可能少的無需定義的基本概念（例如集合論的基本概念只有集合（set），關(guān)系（relation），函數(shù)（function），等價（equivalence）等4個）和盡可能少的一組不加證明的原始命題（基本公理或公設(shè)）出發(fā)，應(yīng)用嚴(yán)格的邏輯推理規(guī)則，用演繹推理得到基礎(chǔ)定理。 公理系統(tǒng)要求無矛盾性，完備性和獨立性。也即在公理系統(tǒng)中不能推出自相矛盾的結(jié)論，公理系統(tǒng)應(yīng)盡可能多地推出這門科學(xué)中已經(jīng)客觀存在的結(jié)論，最好是能推出全部的結(jié)論，要求基本公理不多不少，任何一條公理都不能從其他公理中推出來。 公理化的目的是在于通過一個演繹系統(tǒng)+基本概念+公理，獲得全部定理，確保學(xué)科的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)。 公理化集合論是1908年德國數(shù)學(xué)家策梅羅（E.Zermelo）提出的，通過集合論公理化來消除悖論。他認(rèn)為悖論的出現(xiàn)是由于康托沒有把集合的概念加以限制，康托爾對集合的定義是含混的。策梅羅認(rèn)為簡潔的公理能使集合的定義及其具有的性質(zhì)更為顯然，這就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)里面的ZF公理系統(tǒng)（除ZF系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如馮諾伊曼提出的NBG系統(tǒng)等）。 具體來說ZF公理系統(tǒng)包括（由策梅洛和A.A.弗倫克爾提出）外延公理、空集公理、無序?qū)?、并集公理、冪集公理、無窮公理、分離公理模式、替換公理模式、正則公理和選擇公理。 利用上述公理可以定義出空集、序?qū)?、關(guān)系、函數(shù)等集合，還可以給出序關(guān)系、良序關(guān)系、序數(shù)、基數(shù)，也可以給出自然數(shù)、整數(shù)、實數(shù)等概念。 在ZF公理系統(tǒng)中，集合的元素都是集合，自然數(shù)可用皮亞諾公理系統(tǒng)表示，如3={0,1,2}={{},{{}},{{},{{}}}}。 外延公理:一個集合完全由它的元素所決定。如果兩個集合含有同樣的元素，則它們是相等的。 空集合存在公理:存在一集合s，它沒有元素。 無序?qū)?任給兩個集合x、y，存在第三個集合z，而w∈z當(dāng)且僅當(dāng)w=x或者w=y。 并集公理:任給一集合x，可以把x的元素的元素匯集到一起，組成一個新集合。（對任意集合x，存在集合y，w∈y當(dāng)且僅當(dāng)存在z使z∈x且w∈z）。 冪集公理：任意的集合x，P(x)也是一集合（對任意集合x，存在集合y，使z∈y當(dāng)且僅當(dāng)對z的所有元素w，w∈x）。 無窮公理：存在一集合x，它有無窮多元素（存在一個集合，使得空集是其元素，且對其任意元素x，x∪{x}也是其元素。根據(jù)皮亞諾公理系統(tǒng)對自然數(shù)的描述，此即存在一個包含所有自然數(shù)的集合）。 替換公理：對于任意的函數(shù)F(x)，對于任意的集合t，當(dāng)x屬于t時，F(xiàn)(x)都有定義（ZF系統(tǒng)中唯一的對象是集合，以F(x)必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得對于所有的x屬于t，在集合s中都有一元素y，使y=F(x)。也就是說，由F(x)所定義的函數(shù)的定義域在t中的時候，那么它的值域可限定在s中。 正則公理:也叫基礎(chǔ)公理。所有集都是良基集。說明一個集合的元素都具有最小性質(zhì)，例如，不允許出現(xiàn)x屬于x的情況（對任意非空集合x，至少有一元素y使x∩y為空集） 選擇公理：對任意集c存在以c為定義域的選擇函數(shù)g，使得對c的每個非空元集x，g(x)∈x。 策梅羅的主要工作是引入了選擇公理。 下面重點介紹選擇公理（Axiom of Choice）：任意的一群非空集合，一定可以從每個集合中各拿出一個元素。 這是顯然的命題，就象平面內(nèi)兩點確定一條直線易于理解。但是這個命題能演繹出一些超出人類直覺的結(jié)論,例如巴拿赫--塔斯基分球定理: 一個球，能分成五個部分，對它們進行一系列剛性變換（平移旋轉(zhuǎn)）后，能組合成兩個一樣大小的球。 下面直觀的來描述一下這個數(shù)學(xué)大廈基礎(chǔ)公理的價值。 沒有選擇公理很多問題將無解。假設(shè)我們要在N個批次的輪胎中每個批次抽一個出來送檢，如果N是有限的，顯然沒問題，但是如果N是無限的，比如N與無理數(shù)一樣多，怎么辦？邏輯上就不可能保證每個批次能夠選出一個了，因為無窮大是無法排隊的，也就是沒法挨個選。而選擇公理告訴我們：可以選得出來。所以這個公理非常不平凡。 1904年，策梅羅通過選擇公理證明了良序定理。這個公理有極多的等價形式，例如代數(shù)中常用的佐恩引理（Zorn's Lemma），也被稱為庫那圖斯克-佐恩引理（Kuratowski-Zorn）（在任何一個非空的偏序集中，如果任何鏈（即一個全序子集）都有上界，那么這個偏序集必然存在一個極大元素，可以證明與選擇公理等價）。 選擇公理的用途很大，許多學(xué)科的基本定理都依賴依賴于選擇公理才能成立。例如泛函分析中的哈恩-巴拿赫定理(關(guān)于巴拿赫空間上的線性泛函的可擴張性)，拓?fù)鋵W(xué)的吉洪諾夫定理(關(guān)于任意多緊空間的直積為緊)；布爾代數(shù)的斯通表示定理，每個布爾代數(shù)皆同構(gòu)于集代數(shù)；自由群論的尼爾森定理，自由群的子群也是自由的；拓?fù)鋵W(xué)的Baire 綱定理；實分析（測度理論）的Lebesgue 不可測集的存在性 ；泛函分析的Banach--Steinhaus 定理 （一致有界定理）， 開映射定理， 閉圖像定理等等。其他還有許多定理，如果沒有選擇公理也不行。 現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，基于集合論的基礎(chǔ)，有數(shù)學(xué)分析（Analysis）和抽象代數(shù)（Algebra）。至于微分幾何，代數(shù)幾何，代數(shù)拓?fù)浜透怕收摰鹊?，他們的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)分析和抽象代數(shù)，所以可以說，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，就是集合論。 當(dāng)然公理化的集合論也是形式語義學(xué)和程序理論的基礎(chǔ)，其實現(xiàn)在公理語義學(xué)是軟件開發(fā)工具的基本語言。 公理化集合論建立后，希爾伯特激動萬分，老淚叢橫：沒有人能把我們從康托為我們創(chuàng)造的樂園中趕出去。不過龐加萊認(rèn)為一些基本問題并未獲得解決：公理化集合論，僅僅是為了防備狼，羊群用籬笆圍了起來，但不知道圈內(nèi)有沒有狼。 龐加萊這次說對了，因為哥德爾（Godel）后來又證明完備的公理系統(tǒng)是不存在的，所以數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)仍然在晃悠，仍然需要修補。 順便補充一句，ZF如果另加選擇公理（AC），則所得的公理系統(tǒng)簡記為ZFC?，F(xiàn)在已經(jīng)證明，ZF對于發(fā)展集合論足夠了,它能避免已知的集合論悖論，并在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中提供了一種方便的語言和工具。在ZF中，幾乎所有的數(shù)學(xué)概念都能用集合論語言表達，數(shù)學(xué)定理也大都可以在ZFC內(nèi)得到形式證明，因而作為整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，ZFC是完備的，數(shù)學(xué)的無矛盾性可以歸結(jié)為ZFC的無矛盾性。 選擇公理和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)有重要地位，是集合論中長期研究的課題。選擇公理成為數(shù)學(xué)史上繼平行公理之后最有爭議的公理，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是1878年康托提出來的，簡單的說，就是關(guān)于直線上有多少點的問題。 1938年，哥德爾證明了：從ZF推不出選擇公理的否定，從ZFC推不出連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否定，即選擇公理對于ZF，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)對于ZFC是相對無矛盾的。1963年，科恩證明了選擇公理對于ZF,連續(xù)統(tǒng)假設(shè)對于ZFC的相對獨立性,即從ZF推不出選擇公理,從ZFC推不出連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。綜合這兩個結(jié)果,得出選擇公理在ZF中,連續(xù)統(tǒng)假設(shè)在ZFC中都是不可判定的。 4、布爾巴基的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 數(shù)學(xué)界另外一座公理化的高峰是法國布爾巴基學(xué)派（Bourbaki）的工作，這個是必須介紹的，沒法繞過去。 20世紀(jì)30年代后期，法國數(shù)學(xué)期刊上發(fā)表了若干數(shù)學(xué)論文，所論問題深刻，內(nèi)容詳盡，署名為尼古拉·布爾巴基。1939年出版了一本《數(shù)學(xué)原理》，這是一套關(guān)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的綜合性叢書的第一卷，水平絕對秒殺世界上大多數(shù)數(shù)學(xué)家，作者也是尼古拉·布爾巴基。 誰是布爾巴基，成為當(dāng)時世界數(shù)學(xué)家的一大猜想。后來還是布爾巴基自己解密：他們就是一群年輕的法國數(shù)學(xué)家。 布爾巴基里面牛人輩出，例如韋伊（Weil）、H.嘉當(dāng)（H. Cartan）、讓·迪多內(nèi)（Dieudonné）、薛華荔（Chevalley）、塞爾（Serre）、格羅登迪克（Grothendieck）等人。布爾巴基成員之中，產(chǎn)生了許多具有世界意義的數(shù)學(xué)大師，例如讓·迪多內(nèi)，發(fā)表了大量論文，他本人的《Treaiseon Analysis》是具有世界影響的現(xiàn)代分析著作；韋伊在代數(shù)數(shù)論和代數(shù)幾何上的工作十分深刻，是20世紀(jì)中葉以后世界上最重要的數(shù)學(xué)家之一；H.嘉當(dāng)以多復(fù)變函數(shù)和同調(diào)代數(shù)馳名天下；成員之一薛華荔，建立了李（Lie）理論和有限群之間的橋梁等等。在布爾巴基成員中，獲得菲爾茲獎的有施瓦茲（Schwartz，廣義函數(shù)的奠基人）、格羅申第克（Grothendick，現(xiàn)代代數(shù)幾何學(xué)家），塞爾（Serre，《數(shù)學(xué)原本》代數(shù)部分的主要貢獻者），愛倫伯格（S. Eilenderg，同調(diào)代數(shù)的制定者）。而且塞爾是世界上第一個數(shù)學(xué)“三冠王”，最重要的三個國際數(shù)學(xué)大獎——阿貝爾獎、沃爾夫獎、菲爾茲獎的獲得者。 布爾巴基主要成就就是編寫了多卷集的《數(shù)學(xué)原理》（超過40冊），這是一部影響現(xiàn)代數(shù)學(xué)格局的偉大著作。 《數(shù)學(xué)原理》這本書是基于公理化基礎(chǔ)+數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)概念來寫的，下面先介紹他們的公理化基礎(chǔ)。 前面我們說過，數(shù)學(xué)的“公理化體系”（Axiomatic Systems）是由一組公理（Axioms）與相關(guān)定義（或規(guī)定，即Definitions）構(gòu)建起來的一種邏輯演繹體系（也叫”數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)“）。當(dāng)這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是客觀現(xiàn)象的“模型”時，基于這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的的邏輯推理能夠提供關(guān)于這種客觀現(xiàn)象的理解（洞察）與預(yù)測。 布爾巴基將空集合（Empty Set）用”?”表示，定義自然數(shù)：數(shù)字0=?（空集本身），1={?}空集作為集合的元素），2={?，{?}}，3={?，{?}，{?，{?}}}，4={......}}}}（注意，這里有4個“}”右括號），因此存在順序關(guān)系：0≤1，1≤2，2≤3，......和包含關(guān)系0∈1，1∈2，2∈3，......（符號“∈”是包含在內(nèi)的意思，即前者是后者的元素，前者包含在后者的里面）。 根據(jù)上述定義，我們有了自然數(shù)系N，整數(shù)系Z，加上定義的加法，和乘法，就繼有了有理數(shù)系Q，實數(shù)系R，以及超實數(shù)系*R（注意：星號“*”必須打在實數(shù)系R符號的左上方，這是非標(biāo)準(zhǔn)分析的規(guī)矩。超實數(shù)系*R 里面包含有“無窮小”）。至此，我們有了各種數(shù)系。 布爾巴基的公理系統(tǒng)很復(fù)雜，下面只簡單介紹一下實數(shù)系的公理系統(tǒng)： 代數(shù)公理： A. 封閉律：0與1 是實數(shù)。如果a與b是實數(shù)，則a+b，ab以及 -a均為實數(shù)； B. 交換律： a+b = b+a ab = ba； C. 結(jié)合律： a+(b+c) = (a+b)+c a(bc) =(ab)c； D. 單元律： 0+a = a 1a = a； E. 逆元律： a + (-a) = 0 ， a 1/a = 1 (a≠0)； F. 分配律： a(b + c) = ab + ac； 定義：正整數(shù)是：1，2=1+1，3 =1+1+1，4=1+1+1+1，...... 次序公理： A. 0 < 1； B. 傳遞律： 如果a < b以及b < c，則a < c； C. 分配律： a < b a = b 或 b < a，其中只有一個式子成立； D. 加法律： 如果a < b 則a+c < b+c； E. 乘法律： 如果a < b，而且0 < c，則ac < bc； F.. 求根律：如果a > 0，對于任意正整數(shù)n，存在一個實數(shù)b，使得b的n次方等于a； 完備公理： 如果A為實數(shù)集合，其中x，y屬于A，而且x與y之間的任何實數(shù)均屬于A，則A為一個實數(shù)區(qū)間。 然后布爾巴基在各種數(shù)系上引入不同的公理系統(tǒng)與相關(guān)概念的“定義”，使其成為不同的“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”。例如布爾巴基利用實數(shù)系R構(gòu)建“連續(xù)統(tǒng)”（Continium，物理量的模型），其實就是數(shù)學(xué)上的“實數(shù)軸”。再進一步構(gòu)建平面坐標(biāo)系（即坐標(biāo)平面），再進而構(gòu)建三維空間，......，等等。 簡單點說，布爾巴基認(rèn)為現(xiàn)代數(shù)學(xué)就是空集?的邏輯延伸物（也即無中生有，與中國道家的無極生太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八方，八方生萬物是一致的）。 再說說結(jié)構(gòu)。布爾巴基認(rèn)為數(shù)學(xué)是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論。 結(jié)構(gòu)就是以初始概念和公理出發(fā)的演繹系統(tǒng)。布爾巴基認(rèn)為只有三種基本的抽象結(jié)構(gòu)：有三種基本的抽象結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)（群，環(huán)，域……），序結(jié)構(gòu)（偏序，全序……），拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（鄰域，極限，連通性，維數(shù)……）。他們把全部數(shù)學(xué)看作按不同結(jié)構(gòu)進行演繹的體系。 用實數(shù)舉例，實數(shù)可以比較大小，也就是定義一個元素x小于或等于另一個元素y，比如記為xRy。它滿足一些公理： 1、對任何x，xRx； 2、由xRy和yRx可以推出x=y； 3、xRy且yRz推出xRz。 滿足這組公理的集合就被稱為有序結(jié)構(gòu)。 同樣，實數(shù)可以加減乘除（除數(shù)不為0），所以它們滿足域公理，這就是代數(shù)結(jié)構(gòu)。 實數(shù)還有鄰域、開集等等概念，由此可以引出極限、連續(xù)等等概念，這就是拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（即滿足拓?fù)淇臻g的公理）。 有些集合只有一兩個結(jié)構(gòu)，比如：素數(shù)集合只有序結(jié)構(gòu)；整數(shù)集合沒有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)；矩陣只有代數(shù)結(jié)構(gòu)。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是布爾巴基學(xué)派的一大重要發(fā)明。這一思想的來源是公理化方法，布爾巴基反對將數(shù)學(xué)分為分析、幾何、代數(shù)、數(shù)論的經(jīng)典劃分，而要以同構(gòu)概念對數(shù)學(xué)內(nèi)部各基本學(xué)科進行分類。他們認(rèn)為全部數(shù)學(xué)基于三種母結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。 所謂結(jié)構(gòu)就是“表示各種各樣的概念的共同特征僅在于他們可以應(yīng)用到各種元素的集合上。而這些元素的性質(zhì)并沒有專門指定，定義一個結(jié)構(gòu)就是給出這些元素之間的一個或幾個關(guān)系，人們從給定的關(guān)系所滿足的條件（他們是結(jié)構(gòu)的公理）建立起某種給定結(jié)構(gòu)的公理理論就等于只從結(jié)構(gòu)的公理出發(fā)來推演這些公理的邏輯推論?！? 于是一個數(shù)學(xué)學(xué)科可能由幾種結(jié)構(gòu)混合而成，同時每一類型結(jié)構(gòu)中又有著不同的層次。比如實數(shù)集就具有三種結(jié)構(gòu)：一種由算術(shù)運算定義的代數(shù)結(jié)構(gòu)；一種順序結(jié)構(gòu)；最后一種就是根據(jù)極限概念的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。 三種結(jié)構(gòu)是有機結(jié)合在一起的，比如李群是特殊的拓?fù)淙?，是拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和群結(jié)構(gòu)相互結(jié)合而成。 因此布爾巴基著作中，數(shù)學(xué)的分類不再象過去那樣劃分成代數(shù)、數(shù)論、幾何、分析等部門，而是依據(jù)結(jié)構(gòu)的相同與否來分類。比如線性代數(shù)和初等幾何研究的是同樣一種結(jié)構(gòu)，也就說它們“同構(gòu)”，可以一起處理。這樣，他們從一開始就打亂了經(jīng)典數(shù)學(xué)世界的秩序。 布爾巴基說：從現(xiàn)在起，數(shù)學(xué)具有了幾大類型的結(jié)構(gòu)理論所提供的強有力的工具，它用單一的觀點支配著廣大的領(lǐng)域，它們原先處于完全雜亂無章的狀況，現(xiàn)在已經(jīng)由公理方法統(tǒng)一起來了。由這種新觀點出發(fā)，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)就構(gòu)成數(shù)學(xué)的唯一對象，數(shù)學(xué)就表現(xiàn)為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的倉庫。 基于結(jié)構(gòu)的思想，布爾巴基把代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、同調(diào)代數(shù)、微分拓?fù)鋵W(xué)、微分幾何學(xué)、多復(fù)變量函數(shù)論、代數(shù)幾何學(xué)、代數(shù)數(shù)論、李群和代數(shù)群理論、泛函分析等數(shù)學(xué)領(lǐng)域匯合在一起，形成一個整體。 布爾巴基認(rèn)為，數(shù)學(xué)主要考慮抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，強調(diào)考慮的是對象的集合之間的關(guān)系，而對對象（元素）究竟是數(shù)、是形、是函數(shù)還是運算并不關(guān)心；只考慮抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，不關(guān)心對象具體是什么。這與經(jīng)典數(shù)學(xué)關(guān)心具體的數(shù)學(xué)對象是大不相同的。 “數(shù)學(xué)家研究的不是客體，而是客體之間的關(guān)系?！彼麄兏信d趣的對象是某些“集合”的“元素”以及它們之間的某些“關(guān)系”。 布爾巴基的結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)在方法論和認(rèn)識論上都有重要意義，一方面，從適當(dāng)選定的少數(shù)公理能夠得出在證明中特別有用的大量結(jié)論；另一方面在極為豐富多彩的數(shù)學(xué)對象中能夠識別出這些結(jié)構(gòu)，結(jié)果把它所帶給自己的工具變成整個數(shù)學(xué)工具庫的一部分。并且，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是分成層次的，代數(shù)結(jié)構(gòu)（如李群、群、環(huán)、域等）、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（如拓?fù)淇臻g等）、序結(jié)構(gòu)（如偏序、全序、格等）是比較基本的3大類結(jié)構(gòu)。兩種或多種結(jié)構(gòu)可以復(fù)合而成更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，它們之間通過映射或運算聯(lián)系在一起；兩種或多種結(jié)構(gòu)還可以同時出現(xiàn)在同一集合上，它們之間通過一定關(guān)系彼此相容，形成多重的結(jié)構(gòu)；多重結(jié)構(gòu)經(jīng)過組合，就形成更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。 數(shù)學(xué)研究的種種對象經(jīng)過分析可以發(fā)現(xiàn)其中的種種結(jié)構(gòu)。 這樣數(shù)學(xué)家的工作濃縮為要著重解決兩大問題，一是對于某種類型的結(jié)構(gòu)把不同構(gòu)的結(jié)構(gòu)加以分類；二是兩種結(jié)構(gòu)何時看成是同構(gòu)的。 他們認(rèn)為只有抽象和綜合才真正導(dǎo)致了本來就很特殊的情況和經(jīng)常掩蓋著事情本質(zhì)的那些現(xiàn)象的消失，才能夠弄清楚外表完全不同的問題之間的深刻聯(lián)系；進而弄清楚整個數(shù)學(xué)的深刻的統(tǒng)一性。例如最早被認(rèn)識和研究了的結(jié)構(gòu)，是由伽羅華（Galois）所發(fā)現(xiàn)的‘群’的結(jié)構(gòu)。 布爾巴基學(xué)派產(chǎn)生的原因是在1914年到1918年的第一次世界大戰(zhàn)中，法國年輕的優(yōu)秀數(shù)學(xué)家們有三分之二參軍上戰(zhàn)場犧牲。所以一戰(zhàn)結(jié)束后，法國數(shù)學(xué)已經(jīng)嚴(yán)重落后于歐洲和世界，因為數(shù)學(xué)是個年輕人的行業(yè)，法國活下來的數(shù)學(xué)家都是老頭子，他們水平還停留在20年前，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展一無所知，例如對莫斯科拓?fù)鋵W(xué)派和波蘭的拓?fù)浜头汉治鰧W(xué)派一無所知，也不理解馮·諾依曼和黎茲的工作，對阿廷（Artin，抽象代數(shù)奠基人之一）、諾特（Noether，一般理想理論）所創(chuàng)立的抽象代數(shù)學(xué)，西格爾（Siegel）和海塞（Hasse）在任意代數(shù)數(shù)系數(shù)的二次型研究上獲得重要結(jié)果，范。德。瓦爾登（Waerden）劃時代的著作《近世代數(shù)學(xué)》，希爾伯特的泛函分析，巴拿赫的線性算子理論，蓋爾范德、豪斯多夫等人的微分拓?fù)浜痛鷶?shù)拓?fù)洌硗饫钊?、李代?shù)、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、現(xiàn)代分析（由泛函分析所推動分析）、和廣義函數(shù)論、偏微分方程理論上巨大的突破都一無所知（其中代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)和微分拓?fù)鋵W(xué)被稱為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的女王），還是只在函數(shù)論這個法國傳統(tǒng)領(lǐng)域做道場，而且對法國自己的e·嘉當(dāng)?shù)墓ぷ饕膊焕斫猓ǔ鏊瑫r代人的水平20多年）。而這個時候，德國數(shù)學(xué)突飛猛進，涌現(xiàn)了一批第一流的數(shù)學(xué)家，例如諾特、西格爾、阿廷、哈塞等等。當(dāng)時法國最年輕一代數(shù)學(xué)家，例如韋伊、H.嘉當(dāng)、讓·迪多內(nèi)、薛華荔、塞爾、格羅登迪克等人（這些人就是布爾巴基的第一代核心成員），不滿足于法國數(shù)學(xué)界的現(xiàn)狀，認(rèn)識到了法國數(shù)學(xué)同世界先進水平的差距，他們認(rèn)為必須改革法國數(shù)學(xué)，不然世界就會忘掉法國數(shù)學(xué)，使法國的二百多年大師輩出的傳統(tǒng)中斷，這就是產(chǎn)生布爾巴基學(xué)派的原因。 一般把傳統(tǒng)模型數(shù)學(xué)稱為第一代 ，結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)稱為第二代，布爾巴基寫的《數(shù)學(xué)原理》創(chuàng)造了第二代數(shù)學(xué)。這套書有七千多頁，是有史以來篇幅最大的數(shù)學(xué)巨著，包含了集合論、代數(shù)學(xué)、一般拓?fù)鋵W(xué)、一元實變量函數(shù)、拓?fù)湎蛄靠臻g、積分論、交換代數(shù)學(xué)、微分簇及解析簇、李群和李代數(shù)、譜理論等卷，把代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、同調(diào)代數(shù)、微分拓?fù)鋵W(xué)、微分幾何學(xué)、多復(fù)變量函數(shù)論、代數(shù)幾何學(xué)、代數(shù)數(shù)論、李群和代數(shù)群理論、泛函分析等數(shù)學(xué)領(lǐng)域整合在一起成為一個整體，而不是各個專業(yè)。其實布爾巴基初衷只是撰寫一本用于教授微積分的教材，并以此取代當(dāng)時法國較為流行的分析教材，不想搞成一座摩天大廈。 《數(shù)學(xué)原理》的各分冊都是按照嚴(yán)格的邏輯順序來編排的。在某一處用到的概念或結(jié)果，一定都在以前各卷、各分冊中出現(xiàn)過。全書特點是簡潔而清晰，論述和證明都沒有廢話。所以《數(shù)學(xué)原理》能夠成為標(biāo)準(zhǔn)參考書，并且是戰(zhàn)后的數(shù)學(xué)文獻中被人引用次數(shù)最多的書籍之一。 20世紀(jì)中期，世界數(shù)學(xué)界是布爾巴基集體的寡頭統(tǒng)治的時代，在二戰(zhàn)后的十幾年間，布爾巴基的聲望達到了頂峰，使法國數(shù)學(xué)在第二次世界大戰(zhàn)之后又能保持先進水平，而且影響著整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展?！稊?shù)學(xué)原理》成為新的經(jīng)典，經(jīng)常作為文獻征引。布爾巴基討論班的成果就是當(dāng)時世界數(shù)學(xué)的最新成果。不過數(shù)學(xué)是年輕人的科學(xué)，所以布爾巴基成員50歲退休。 1970年左右，布爾巴基比較忽視的分析數(shù)學(xué)、概率論、應(yīng)用數(shù)學(xué)、計算數(shù)學(xué)，特別是理論物理和動力系統(tǒng)理論開始蓬勃發(fā)展，而他們熟悉的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、微分拓?fù)鋵W(xué)、多復(fù)變量函數(shù)論等相對平穩(wěn)，數(shù)學(xué)家的興趣更集中于經(jīng)典的、具體的問題，而對于大的理論體系建設(shè)并不熱衷，數(shù)學(xué)研究更加趨于專業(yè)化、技術(shù)化，在這種情況下，20世紀(jì)70年代以來，在論文中引用布爾巴基《數(shù)學(xué)原理》的人越來越少了。布爾巴基終于進入黃昏。 不過后來的數(shù)學(xué)重大進展，例如莫德爾猜想的證明、費馬大定理證明，橢圓曲線是模曲線的完全證明等等都是布爾巴基數(shù)學(xué)的開花結(jié)果。在1980年以后出現(xiàn)的非交換幾何、量子群理論、M.Gromov的群論和辛幾何也少不了布爾巴基結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)的框架。 希爾伯特說過“只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力；而問題缺乏則預(yù)示著獨立發(fā)展的衰亡或中止?！笨低幸舱f過，“問題是數(shù)學(xué)的心臟”。而會提重要的或有價值的問題，按照陳省身說法，需要審美能力。 中國數(shù)學(xué)家目前最大問題是沒有提有價值問題的能力。 華羅庚說過，問題提得好，就解決一半。很多大數(shù)學(xué)家，例如陳省身，吳文俊，丘成桐，陳希孺等人，很欣賞在課堂上提好問題的學(xué)生，吳文俊先生甚至?xí)澆唤^口：你真的是一個好問題，好問題，多遍重復(fù)后，有時會邀請?zhí)釂栴}學(xué)生上講臺與他共同商量解決問題，讓學(xué)生在黑板上解釋自己想法。陳希孺先生甚至?xí)诤诎迳祥_始企圖解決學(xué)生的問題，直接展示大師是如何做研究的過程。 估計這篇帖子能夠看到這里的不多。有十個人就不錯了。 |
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