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將無限循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的有效方法

龘龘清歡 2017-04-07

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一題多解、將無限循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)或者整數(shù)的有效方法：根據(jù)小數(shù)與分數(shù)的性質(zhì)、任意無限循環(huán)小數(shù)均有一個分數(shù)與其相相互對應，因此，將已知無限循環(huán)小數(shù)對應著的“未知分數(shù)”設為X, 無須用等比數(shù)列極限求前n項和的方法，然后求方程的解，答案完全正確：

例一：將無限循環(huán)小數(shù)0.123?化成分數(shù)：

解題：已知無限循環(huán)小數(shù)：0.123?，將已知無限循環(huán)小數(shù)0.123?的“未知分數(shù)”設為X,∴X=0.123?——1式，（1式）兩邊同時乘以10得：10X=1.23?——2式，（2式）-（1式）得：9X=1.11，X =1.11/9，X =0.37/3，X =37/300，∴X=0.123?=37/300，即：0.123?=37/300

例二：將無限循環(huán)小數(shù)0.9?化成分數(shù)（整數(shù)）：

解題：已知無限循環(huán)小數(shù)0.9?，將已知無限循環(huán)小數(shù)0.9?的“未知分數(shù)”設為X，即0.9?= X——1式，令10X=10（0.9+0.09?）,10X=9+0.9? ——2式，將（2式）中的無限循環(huán)小數(shù)0.9?更換為X得：10X=9+X， 10X-X=9，9X=9，X=9/9，X=1/1，X=1，∴X=0.9?=1，即：0.9?=1

例三：將無限循環(huán)小數(shù)0.26??化成分數(shù)：

解題：已知無限循環(huán)小數(shù)0.26??，將已知無限循環(huán)小數(shù)0.26??的“未知分數(shù)”設為X，

即0.26?? =X——1式，令100X=100(0.26+0.0026??)，100X=26+0.26??——2式，

將（2式）中的無限循環(huán)小數(shù)0.26??更換為X得：100x=26+X，

100X-X=26，99X= 26，X=26/99，∴X=0.26??=26/99，即：0.26??=26/99

例四：將無限循環(huán)小數(shù)0.123??化成分數(shù)：

解題：已知無限循環(huán)小數(shù)0.123??，將已知無限循環(huán)小數(shù)0.123??的“未知分數(shù)”設為X，

即0.123??= X ——1式，令1000X=1000(0.123+0.000123??)，1000X=123+0.123??——2式，將（2式）中的無限循環(huán)小數(shù)0.123??更換為X得：1000X=123+X，1000X-X=123， 999 X=123，X=123/999，X=41/333，∴X=0.123??=41/333，即：0.123??=41/333

例五：將無限循環(huán)小數(shù)0.128??化成分數(shù)：

解題：已知無限循環(huán)小數(shù)0.128??，將已知無限循環(huán)小數(shù)0.128??的“未知分數(shù)”設為X，即0. 128??= X——1式，令1000X=1000(0.128+0.000128??)，1000X=128+0.128??——2式，將（2式）中的無限循環(huán)小數(shù)0. 128??更換為X得：1000X=128+X，1000X-X=128， 999 X=128，X=128/999，

∴X=0.128??=128/999，即：0.128??=128/999

將其規(guī)律歸納如下：通過上述例題證明我們得知：設已知無限循環(huán)小數(shù)的“未知分數(shù)”為X ,而且令10X、100X、1000X等等，并非任意的，毫無目的，而是有針對性，需要區(qū)別對待，不過恰恰有規(guī)律可循，要根據(jù)小數(shù)循環(huán)節(jié)的數(shù)字來定，如果循環(huán)節(jié)是1位數(shù)字乘以101，如果循環(huán)節(jié)是2位數(shù)字乘以102，如果循環(huán)節(jié)是3位數(shù)字乘以103，等等以此類推如果循環(huán)節(jié)有n個數(shù)字需要乘以10n次方，目的是為了消除無限循環(huán)小數(shù)的無限循環(huán)節(jié)，…；因為無限不循環(huán)小數(shù)（無理數(shù)）無公度比，因此無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)）不能化成分數(shù)形式、即不能表達為n/m的形式，…。

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