圖1. 從三維人臉曲面到平面圓盤(pán)的調(diào)和映照。

我們前面的課程介紹了虧格為0帶邊界曲面的典范共形映射，包括古典理論和基于全純微分的計(jì)算方法。這里，我們著重介紹拓?fù)淝蛎娴綐?biāo)準(zhǔn)球面的典范共形映射，主要是基于調(diào)和映照理論。

同時(shí)，調(diào)和映照是一個(gè)極好的例子，從理論到實(shí)踐，橫跨物理學(xué)，偏微分方程理論，有限元理論，數(shù)值計(jì)算，微分幾何等諸多領(lǐng)域，使我們能夠融會(huì)貫通，體會(huì)到這些領(lǐng)域各有側(cè)重，同時(shí)相輔相成的關(guān)系。

如圖1所示，人臉曲面到平面區(qū)域的調(diào)和映射，可以表示成坐標(biāo)映射，這里是相互獨(dú)立的調(diào)和函數(shù)。如果坐標(biāo)分量函數(shù)彼此非獨(dú)立而共軛，則調(diào)和映照稱(chēng)為共形映照。下面，我們首先考察調(diào)和函數(shù)。

物理解釋

黎曼考察了這樣一個(gè)物理問(wèn)題：（Dirichlet問(wèn)題）假設(shè)是平面中的有界區(qū)域，由某種電阻率處處相同的材料制成。我們?cè)诘倪吘?img doc360img-src='http://image108.360doc.com/DownloadImg/2017/08/0506/107543106_6' data-ratio='0.5909090909090909' data-type='png' data-w='22' title='This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.' src='http://image108.360doc.com/DownloadImg/2017/08/0506/107543106_6'>處設(shè)置電壓，問(wèn)內(nèi)部電壓函數(shù)是多少？

根據(jù)物理定律，內(nèi)的電場(chǎng)誘導(dǎo)電流，電流發(fā)熱做功，那么真實(shí)可能的電壓函數(shù)必定使得發(fā)熱功率最小。電流強(qiáng)度正比于電壓梯度，電阻率處處相同，因此電流發(fā)熱功率可以表示成所謂的調(diào)和能量：

，

如果函數(shù)極小化調(diào)和能量，則我們稱(chēng)其為調(diào)和函數(shù)。

我們進(jìn)一步考察調(diào)和函數(shù)應(yīng)該滿(mǎn)足的條件。令試探函數(shù)為在邊界上取值為0的無(wú)窮階光滑函數(shù)。假設(shè)，則對(duì)一切，的調(diào)和能量在為0的時(shí)候取到極值，因此

，

由關(guān)系式

，

我們得到

由斯托克斯定理和，我們有

，

因?yàn)閔任意，因此我們得到調(diào)和函數(shù)的歐拉-拉格朗日方程

，

即所謂的Laplace方程。這里L(fēng)aplace算子的物理意義是梯度的散度。

事實(shí)上，熱力學(xué)問(wèn)題中穩(wěn)衡溫度場(chǎng)，彈性力學(xué)中橡皮膜的彈性位移，擴(kuò)散過(guò)程中的化學(xué)濃度都是調(diào)和函數(shù)，都滿(mǎn)足Laplace方程。

黎曼認(rèn)為調(diào)和函數(shù)u的存在性是不證自明的，因?yàn)樵谝陨想妶?chǎng)模型中，它是唯一可能的真實(shí)電壓。1849年，Riemann提出所謂的Dirichlet原理，即上述變分問(wèn)題總是有解的。將解析函數(shù)看做特定的場(chǎng)分布，他用這一原理研究幾何函數(shù)論，“證明”了著名的Riemann映射定理。

在線(xiàn)性空間上定義內(nèi)積，

自然地，我們可以在取一系列調(diào)和能量遞減的函數(shù)，構(gòu)成柯西列，我們希望這一序列的極限就是調(diào)和函數(shù)。但是函數(shù)空間是不完備的，柯西列的極限有可能不屬于。恰如有理數(shù)構(gòu)成的柯西列，其極限有可能是無(wú)理數(shù)。這需要我們擴(kuò)充函數(shù)空間，使得極限運(yùn)算封閉。

存在性 一個(gè)經(jīng)典擴(kuò)充方法如下：如果兩個(gè)柯西列的并集依然是柯西列，則我們說(shuō)這兩個(gè)柯西列彼此等價(jià)。我們考察空間中所有柯西列的等價(jià)類(lèi)構(gòu)成的空間，則這個(gè)空間必然對(duì)極限運(yùn)算封閉。這一過(guò)程被稱(chēng)為是原來(lái)空間的完備化。例如，有理數(shù)的完備化就是實(shí)數(shù)。函數(shù)空間的完備化就是索伯列夫空間(Sobolev Space) 。那么，我們不斷地減小調(diào)和能量就會(huì)得到柯西列，柯西列的極限依然在空間中，我們稱(chēng)之為弱解。這給出了Laplace方程解的存在性。

正則性 但是弱解在空間中，有可能極度不光滑。我們需要證明弱解實(shí)際上是經(jīng)典解，恰如我們證明某個(gè)有理數(shù)柯西列的極限依然是一個(gè)有理數(shù)，這被稱(chēng)為是方程解的正則性問(wèn)題。正則性微妙地依賴(lài)于邊界的光滑性，和邊值條件的光滑性。正則性證明依賴(lài)于Weyl引理：如果

對(duì)任意成立，則可推出u光滑，這里探測(cè)函數(shù)空間

。

因此，弱解就是經(jīng)典解。

唯一性 我們考察調(diào)和函數(shù)u的梯度場(chǎng)，因?yàn)?img doc360img-src='http://image108.360doc.com/DownloadImg/2017/08/0506/107543106_31' data-ratio='0.26' data-type='png' data-w='50' title='This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.' src='http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif'>為0，所以的旋度和散度同時(shí)為0. 我們將旋轉(zhuǎn)90度，所得矢量場(chǎng)記成，那么的旋度和散度也為0，因此可積， 存在函數(shù)，滿(mǎn)足。那么v被稱(chēng)為是u的共軛函數(shù)，它們一同組成解析函數(shù)：。由柯西積分公式，

這里是以a為圓心的小圓。因此，我們得到調(diào)和函數(shù)的均值性質(zhì)(mean avalue property)，調(diào)和函數(shù)的每一點(diǎn)的值都是其鄰域內(nèi)所有點(diǎn)的值的平均。由此，我們可以得到調(diào)和函數(shù)的極大值定理：調(diào)和函數(shù)的極值點(diǎn)必在邊界上。

我們用極大值定理來(lái)證明解的唯一性。假設(shè)存在兩個(gè)調(diào)和函數(shù)具有同樣的邊值，則也是調(diào)和函數(shù)，并且邊值為0，因此的極大值和極小值都為0，必處處相等。

穩(wěn)定性 所謂穩(wěn)定性就是解連續(xù)依賴(lài)于初邊值條件。在柯西積分公式中，我們?nèi)》e分路徑為的邊緣，則任意一點(diǎn)的函數(shù)值等于邊界值的加權(quán)平均，穩(wěn)定性由此可以得證。或者，我們用調(diào)和函數(shù)的極大值定理來(lái)證：內(nèi)點(diǎn)處調(diào)和函數(shù)值之差介于邊值之差的最大和最小值之間。

由此，偏微分方程理論給出了Laplace方程解的存在性，唯一性和穩(wěn)定性，滿(mǎn)足這三條性質(zhì)的問(wèn)題被稱(chēng)為是適定問(wèn)題。同時(shí)，由Weyl引理，我們得到調(diào)和函數(shù)是無(wú)窮階光滑的。

圖2. 曲面的三角剖分。

有限元法將橢圓型偏微分方程（如Lapalce方程）轉(zhuǎn)換成等價(jià)的變分形式（調(diào)和能量?jī)?yōu)化），將線(xiàn)性偏微分方程轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性方程組來(lái)求解。

有限元法需要強(qiáng)有力的網(wǎng)格生成算法，對(duì)所用網(wǎng)格質(zhì)量有一定要求。對(duì)于平面區(qū)域，最為通用的方法當(dāng)推Delaunay Refinement算法，如果不存在過(guò)于尖銳的內(nèi)角，則三角剖分的最小內(nèi)角可以被保證。如果三角剖分質(zhì)量達(dá)到要求，則離散解收斂到連續(xù)解，考慮函數(shù)值和一次導(dǎo)數(shù)，解的誤差界為，這里為三角形邊長(zhǎng)。

矩陣運(yùn)算 通過(guò)有限元法，橢圓形偏微分算子被轉(zhuǎn)化成正定對(duì)稱(chēng)陣，橢圓形偏微分方程被轉(zhuǎn)化成求解大型稀疏線(xiàn)性系統(tǒng)，這進(jìn)一步被轉(zhuǎn)化為優(yōu)化二次能量，

。

二次能量的水平集為橢球面。傳統(tǒng)的最速下降法沿著梯度探索，因此算法的搜索方向和橢球面垂直，搜索路徑蜿蜒曲折，費(fèi)時(shí)低效。

圖3. 最速下降法和共軛梯度法對(duì)比。

共軛梯度法每一步的下降方向和橢球面切方向相互共軛（仿射正交），也跟以前所有下降方向共軛，從而直達(dá)橢球中心，直截了當(dāng)，迅速高效。理論上，如果矩陣為n維，則共軛梯度法必在n步內(nèi)達(dá)到最優(yōu)。

微分幾何的解釋

下面，我們?cè)購(gòu)奈⒎謳缀谓嵌葋?lái)考察。假設(shè)曲面帶有黎曼度量，我們采用等溫參數(shù)，

，

則梯度算子，這里是歐式平面上的微分算子；面積元，這里是歐式平面上的面積元。我們來(lái)看調(diào)和能量

，

這意味著調(diào)和能量在共形變換下不變。我們?cè)倏凑{(diào)和函數(shù)，

，

這意味著調(diào)和函數(shù)在共形變換下不變。這為計(jì)算帶來(lái)極大的便利。比如我們可以將曲面片用保角變換映到單位圓盤(pán)上，然后在單位圓盤(pán)上解Dirichlet問(wèn)題。在圓盤(pán)上，關(guān)于Laplace方程的解我們有解析解：Poisson核為

，

調(diào)和函數(shù)的公式為

對(duì)于一般的橢圓型偏微分算子，

，這里矩陣

處處正定。從幾何上講，我們可以找到一個(gè)定義在上的黎曼度量，使得橢圓型微分算子是度量下的Laplace算子。進(jìn)一步，我們可以找到度量的等溫坐標(biāo)

，

則微分算子成為標(biāo)準(zhǔn)的Laplace算子，

這意味著橢圓型PDE本質(zhì)上和Laplace方程是一致的，只不過(guò)變換了度量和參數(shù)。

調(diào)和映照之所以在工程領(lǐng)域備受青睞，除了算法簡(jiǎn)單，計(jì)算穩(wěn)定之外，主要是因?yàn)樗哂形⒎滞咝再|(zhì)，即下面的Rado定理：

定理（Rado）假設(shè)調(diào)和映射滿(mǎn)足

1. 平面區(qū)域是凸的，

2. 映射在邊界上的限制是拓?fù)渫撸?br>

那么調(diào)和映射在內(nèi)部是微分同胚。

其證明概略如下：由Weyl引理，我們得到映射的光滑性，我們證映射為同胚。假設(shè)在某一內(nèi)點(diǎn)，映射不是同胚，則Jacobi矩陣退化，存在常數(shù)不同時(shí)為0，使得，因此調(diào)和函數(shù)以p為極值點(diǎn)。因?yàn)檎{(diào)和函數(shù)的極大值原理，內(nèi)點(diǎn)p必為鞍點(diǎn)。p點(diǎn)附近的水平集具有兩個(gè)連通分支，和邊界有四個(gè)交點(diǎn)。但是為平面凸曲線(xiàn)，和直線(xiàn)只有兩個(gè)交點(diǎn)，矛盾。因此映射必為微分同胚。

圖3. 調(diào)和映射是微分同胚，并且接近共形映射。

工程上偏愛(ài)調(diào)和映照的另外一個(gè)原因是調(diào)和映射接近保角映射，因此曲面的角度畸變比較小，如圖3所示。通常意義下，共形映射是調(diào)和映射，調(diào)和映射不一定是共形映射。