射影定理（歐幾里得定理）內(nèi)容為：在任何一個直角三角形中，作出斜邊上的高，則斜邊上的高的平方等于高所在斜邊上的點到不是兩直角邊垂足的另外兩頂點的線段長度的乘積。

幾何語言：若△ABC滿足∠ACB=90°，作CD⊥AB，則CD^2=AD×BD

射影定理的拓展：若△ABC滿足∠ACB=90°，作CD⊥AB，

(1)AC^2=AD·AB

(2)BC^2=BD·AB

(3)ACXBC=ABXCD

證明：射影定理可以由圓冪定理推出，拓展（3）可由前三式推出，也可以用等面積法證明

內(nèi)容：在任何一個三角形中，每個角的正弦與對邊之比等于三角形面積的兩倍與三邊邊長和的乘積之比

幾何語言：在△ABC中，sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三角形/abc

結(jié)合三角形面積公式，可以變形為a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R是外接圓半徑）

內(nèi)容：在任何一個三角形中，任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊的2倍乘以它們夾角的余弦

幾何語言：在△ABC中，a^2=b^2+c^2-2bc×cosA

此定理可以變形為：cosA=（b^2+c^2-a^2）÷2bc

梅涅勞斯（Menelaus）定理是由古希臘數(shù)學家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、 BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么（AF/FB）×（BD/DC）×（CE/EA)=1。

證明：

過點A作AG∥BC交DF的延長線于G,

則AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG。

三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1

它的逆定理也成立：若有三點F、D、E分別在的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足（AF/FB）×（BD/DC）            ×（CE/EA)=1，則F、D、E三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。

設(shè)O是△ABC內(nèi)任意一點，

AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

證法簡介

（Ⅰ）本題可利用梅涅勞斯定理證明：

∵△ADC被直線BOE所截，

∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①

而由△ABD被直線COF所截，∴ BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②

②÷①：即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

（Ⅱ）也可以利用面積關(guān)系證明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點：

設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，

根據(jù)塞瓦定理逆定理，因為（AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*                    [(BF*ctgC)/

[(AE*ctgB)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點。

將三角形的三個內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個交點，則這樣的三個交點可以構(gòu)成一個正三角        形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。

內(nèi)容：任意一個三角形中隨意兩條邊長度之差一定小于剩下那一條邊的長度。

三角函數(shù)（Trigonometric）是數(shù)學中屬于初等函數(shù)中的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們的本質(zhì)是任意角的集合與一       個比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標系中定義的，其定義域為整個實數(shù)域。另一種       定義是在直角三角形中，但并不完全。現(xiàn)代數(shù)學把它們描述成無窮數(shù)列的極限和微分方程的解，將其定義擴展到復 數(shù)系。它由于三角函數(shù)的周期性，它并不具有單值函數(shù)意義上的反函數(shù)、但具有特殊的反三角函數(shù)（如： arcsin），三角函數(shù)在復數(shù)中有較為重要的應用。在物理學中，三角函數(shù)也是常用的工具。

包含六種基本函數(shù)：正弦(sin）、余弦(cos）、正切(tan）、余切(cot）、正割(sec）、余割(csc）。

在直角三角形ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，∠C為直角。則定義以下運算方式：

in A=∠A的對邊長/斜邊長，sin A記為∠A的正弦；sinA=a/c

cos A=∠A的鄰邊長/斜邊長，cos A記為∠A的余弦；cosA=b/c

tan A=∠A的對邊長/∠A的鄰邊長， tanA=sinA/cosA=a/ b tan A記為∠A的正切；

當∠A為銳角時sin A、cos A、tan A統(tǒng)稱為“銳角三角函數(shù)”。

inA=cosB sinB=cosA

解直角三角形需要用到勾股定理（弦）定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理（Pythagoras Theorem）。數(shù)學公          式中常寫作a^2+b^2=c^2，其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。

勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個正整數(shù)。比如：3，4，5。

常見的勾股弦數(shù)有：3，4，5；6，8，10；5,12,13；10,24,26；等等。

其中，互素的勾股數(shù)組成為基本勾股數(shù)組，例如：3,4,5；5,12,13；8,15,17等等

在三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c. 則有

（1）正弦定理

a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R為三角形外接圓半徑）。

（2）余弦定理

a^2=b^2+c^2-2bc*CosA；

^2=a^2+c^2-2ac*CosB；

c^2=a^2+b^2-2ab*CosC。

備注：勾股定理其實是余弦定理的一種特殊情況。

（3）余弦定理變形公式

cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bc；

cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac；

cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab。

在歐幾里得的幾何體系中，三角形都是平面上的，所以三角形的內(nèi)角和為180度；三角形的一個外角等于兩個          不相鄰的內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于其他兩內(nèi)角的任一個角。（注：在非歐幾何中，三角形的內(nèi)角和有可能        大于180度也有可能小于180度，此時的三角形也從平面也變?yōu)榱饲蛎婊蛘邆吻蛎妫?/span>

證明：根據(jù)三角形的外角和等于內(nèi)角可以證明，詳細參見《培優(yōu)：走進三角形》

如何證明三角形的內(nèi)角和等于180°

方法1：將三角形的三個角撕下來拼在一起，可求出內(nèi)角和為180°。

方法2：在三角形任意一個頂點處做輔助線，可求出內(nèi)角和為180°。

例題：已知有一△ABC，求證∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°

證明：做BC的延長線至點D，過點C作AB的平行線至點E

∵AB∥CE（已知）

∴∠ABC=∠ECD（兩直線平行，同位角相等），∠BAC=∠ACE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∵∠BCD=180°

∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°（等式的性質(zhì)）

∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°（等量代換）

兩個能夠完全重合的三角形稱為全等三角形。

1．軸對稱。2.平移。3.旋轉(zhuǎn)。4.翻折。5.多種變換疊加。

1．兩個三角形對應的三條邊相等，兩個三角形全等，簡稱“邊邊邊”或“SSS"。

2．兩個三角形對應的兩邊及其夾角相等，兩個三角形全等，簡稱“邊角邊”或“SAS”。

3．兩個三角形對應的兩角及其夾邊相等，兩個三角形全等，簡稱“角邊角”或“ASA”。

4．兩個三角形對應的兩角及其一角的對邊相等，兩個三角形全等，簡稱“角角邊”或“AAS”。

5．兩個直角三角形對應的一條斜邊和一條直角邊相等，兩個直角三角形全等，簡稱“直角邊、斜邊”或“HL”。

注意，證明三角形全等沒有“SSA”或“邊邊角”的方法，即兩邊與其中一邊的對角相等無法證明這兩個三角形全等，          但從意義上來說，直角三角形的“HL”證明等同“SSA”。                                                                                                                                                                                                                 而且三角形證明全等沒有"AAA"的方法，即三個角全等。從意義上來說，這是證明相似三角形的方法。。