題1：（來源：高郵市贊化學校九年級數(shù)學自主練習，江都一模填空壓軸）

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點D是以點A為圓心，4為半徑的圓上一點，連接BD，點M為BD的中點，則線段CM長度的最大值為______________.

下面給出三種解法：

解法一：如圖1-1所示，取AB的中點N，連接CN、MN及半徑AD；

這里中點N的構(gòu)造可以說“一舉三得”：

一是與題目已知的中點M構(gòu)成△ABD的中位線模型，從而得NM=1/2AD=2；

二是聯(lián)系已知的Rt△ABC，構(gòu)成基本圖形“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，從而得CN=1/2AB=5；

三是將目標線段CM鎖定在△CMN中，當然也有可能當C、M、N三點共線時，構(gòu)不成△CMN，這也正是CM取得最值的特殊位置；

由“三角形的三邊關系”知5-2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7，當且僅當C、M、N三點共線時取得等號，即CM的最大值為7，順帶求出CM的最小值為3；

最后給同學們一個建議，就是同學們要養(yǎng)成檢驗或驗證的好習慣，即驗證上面求出的最大值及最小值能否取得，只需要畫出相應地圖形即可，如圖1-2及圖1-3所示；

解題后反思：本題中AB中點N的選取與構(gòu)造讓人印象深刻，可以說真的是發(fā)人深?。☆}目中已經(jīng)有一個中點M，再取一個中點N構(gòu)造出“雙中點”中位線模型以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半，這些基本圖形都是處理中點問題常見的構(gòu)思，最后鎖定一個確定兩邊長的三角形（當然這個三角形也可能不存在），利用三角形三邊關系得出目標線段的取值范圍與最值，也是處理最值問題常見的手段！

解法二（來自班級張“大嘴”同學的巧思妙構(gòu)）：

如圖1-4所示，延長BC至點E，使CE=BC，即點C為BE的中點，又已知點M為BD的中點，連接DE后再次構(gòu)造出中位線模型，則目標線段CM=1/2ED；

要求CM的最值，問題就轉(zhuǎn)化為了求ED的最值，很明顯點E是一定點，點D是定圓⊙A上一動點D的最值問題，這是學生熟知的模型，連接直線EA與⊙A的兩個交點即對應兩個最值，其中最大值為EA與半徑r之和，最小值為EA與半徑r之差；而很明顯EA=BA=10，因而ED的最大值為14，最小值為6,；從而所求CM的最大值為7，最小值為3； 

解題后反思：圖1-5是為了驗證最值確實可以取到，這種解題后驗證的好習慣，大家最好養(yǎng)成，它是一種好的解題品質(zhì)，形成了這種品質(zhì)，所謂初中階段“一做就錯”的易錯題都是浮云，很容易避免，而之所以反復做反復錯的本質(zhì)原因，筆者認為就是學生缺乏這種解題后驗證的重要品質(zhì)！

另外，此法中通過倍長BC至點E的輔助線，將目標線段的最值問題轉(zhuǎn)變?yōu)槿巳耸熘狞c到圓的最值問題，讓人嘆為觀止！更神奇的是，這還是在筆者講完此題第一種解法后本班學生的奇思妙想！是啊，學生的創(chuàng)造力與學習力是驚人的，作為老師不能忽視學生的這種能力，有的時候放手讓學生去思考、去表達，真的可能會有意想不到之效額！

最后再借助圖形的常見變換（平移、翻折、旋轉(zhuǎn)及位似等）看待題目中涉及的兩個動點關系，結(jié)合軌跡思想，利用“捆綁原理”（即“瓜豆（朋成）原理”，不妨稱之為“捆綁朋成”原理），介紹第三種解法，在筆者看來，這種解法更加普適，也更加自然，有能力接受的同學可認真研究琢磨！

解法三（捆綁整體思想）：

第一步（分析題中從動點M與主動點D之間的變換關系）：用圖形的常見變換（平移、翻折、旋轉(zhuǎn)及位似等）看待題目中涉及的兩個動點M與D的關系；

由題知點M為BD的中點，可以用“位似”的眼光看問題，即從動點M可以看成是主動點D以定點B為位似中心，位似比為1/2進行縮?。ㄏ喈斢诰€段BD放縮成了線段BM）；

第二步（分析題中從動點M的軌跡與主動點D的軌跡之間的變換關系）：既然從動點M可以看成是主動點D以定點B為位似中心，位似比為1/2進行縮小得來，很自然地就能想到所要尋找的從動點M的軌跡可以看成是由主動點D的軌跡圓⊙A以定點B為位似中心，位似比為1/2進行縮小而來；

這里的想法在筆者看來是極其自然而容易被理解的，其實本質(zhì)就是“整體思想”，相當于將主動點D的軌跡圓看作一個整體，這個整體在作相應地變換；

第三步（確定從動點M的軌跡）：既然知道了從動點M的軌跡可以看成是由主動點D的軌跡圓⊙A以定點B為位似中心，位似比為1/2進行縮小而來，由“經(jīng)過位似變換之后的圖形與原圖形相似，即位似不改變圖形的形狀，只改變圖形的大小與位置”這個理論支撐易知從動點M的軌跡仍是一個圓；

要想確定一個圓，應先找圓心確定位置，再找半徑確地大小，按照這個基本想法先找從動點M的軌跡圓心，有趣的是這個圓心也是經(jīng)過同樣的變換而來，即從動點M的軌跡圓心就是主動點D的軌跡圓⊙A的圓心A以定點B為位似中心，位似比為1/2進行縮小而來，記為點N，即點N就是AB的中點，如圖1-6所示；

再確定從動點M的軌跡圓⊙N的半徑，這個半徑其實也是位似而來，由主動點D的軌跡圓⊙A的半徑為4，位似比為1/2知所要找的從動點M的軌跡圓⊙N的半徑為2，如圖1-7所示，畫出目標點M的軌跡圓⊙N，其圓心為AB的中點N且半徑為2，是一個定圓；

這樣問題又被轉(zhuǎn)化為同學們耳熟能詳?shù)哪Ｐ?，即定點C到定⊙N上的最大距離，易知CM的最大值為CN+2=7，順帶求出最小值為CN-2=3，問題得解！

解題后反思：該解法有人愛它有人恨，仁者見仁智者見智！在筆者看來，這是一種極其自然的想法，本質(zhì)就是用圖形常見變換的眼光看動點間的關系，所謂“捆綁原理”本質(zhì)也只是整體思想，即將主動點的軌跡看作一個整體，利用這個整體去確定從動點的軌跡，思路自然大方，而且更加普適，是一種很大范圍內(nèi)適用的通解通法，建議有能力的學生可以再思考琢磨下，多想幾遍就通了，通了就簡單了！

其實大家可以把第一種“中位線”解法與第三種“瓜豆”解法類比琢磨，越琢磨你越會發(fā)現(xiàn)兩種解法本質(zhì)一樣，只不過前者的輔助線相對而言還是比較難想的，給人一點琢磨不透的巧合感，而后者則是有跡可循，其從動點M的圓心也正是第一種解法里的中點N，兩者不謀而言，絕不是偶然應該是必然，甚至于大家還可以用瓜豆的原理找到這個中點N后，再采取第一種解法解答！總而言之，“瓜豆原理”中的軌跡思想往往可以使抽象問題變得有跡可循，值得你擁有！