我們來做一個(gè)簡短的回顧. 

矩陣乘法可以理解為一個(gè)特定的線性變換, 矩陣的列向量相當(dāng)基向量 i: (1,0) 和 j: (0,1) 經(jīng)過變換過后的到達(dá)向量.

 (原諒我用鼠標(biāo)進(jìn)行的標(biāo)注吧)

空間變換后的任何向量都可以由矩陣 A 的列向量線性表出, 而這些所有可能的結(jié)果, 也就是矩陣的列所張成的列空間(Column Space). 

原先的空間經(jīng)過這樣2x2 矩陣 A 線性變換后的空間可能會(huì)三種情況: 

• 還是平面 -仍是二維空間;

• 被壓縮為一條線 - 變成了一維;

• 被壓縮到原點(diǎn) -  零維;

在數(shù)學(xué)專業(yè)的詞匯來表示線性變換后空間的維數(shù), 稱之為矩陣的秩( Rank ) . 換句話說, 列空間就是矩陣的列所張成的空間. 所以矩陣秩的另一種定義可以說是列空間的維數(shù). 經(jīng)過變換后被壓縮到原點(diǎn)的向量集合, 稱為矩陣 A 的"零空間"(Null Space)或"核"(Kernel), 記為 Null(A) 或 Ker(A). 

對(duì)照上面的三種情況, 來分別來觀察. 

觀察要點(diǎn): 

• 如果經(jīng)過矩陣 A 變換后的結(jié)果是一個(gè)平面, 則 rank( ) = 2, 空間沒有被壓縮扁平化, 因此可逆, 稱之為非奇異矩陣;

• 這樣秩與列數(shù)相等, 稱之為滿秩(Full Rank)矩陣. 

• 對(duì)于滿秩矩陣來說, 變換后唯一落在原點(diǎn)的就是零向量本身, 也就是 dim Ker( ) = 0;

• 當(dāng)變換的結(jié)果是一條直線, 該矩陣是一維的, 稱rank(A) = 1, 此時(shí)矩陣不可逆, 稱為奇異矩陣;

• 這樣非滿秩矩陣, 會(huì)將空間壓縮到更低的一維直線上, 也就是由嫩綠色直線上一系列的向量在變換后成為零向量;

• 零空間的維度為 1,  dim Ker(A) = 1;

• 當(dāng)變換的結(jié)果是壓縮到原點(diǎn), 則該矩陣是零維的, 稱 rank(A) = 0;

• 而零空間維度為 2, dim Ker(A) = 2;

假設(shè) A 是 mxn 矩陣(非方陣的情況, 下次會(huì)介紹), 維數(shù)定理就是:

dim Ker(A) + rank(A) = n

相信如果理解透徹 2x2 矩陣的情況, 那更高維的矩陣也就清楚了. 

上面就是本次圖解線性代數(shù)所回顧的知識(shí)點(diǎn). 好了, 現(xiàn)在讓我們?cè)谙乱黄闹性僖?

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