曹培英

數(shù)學(xué)思想的重要性不言而喻。許多數(shù)學(xué)家以及數(shù)學(xué)教育家都有一些精辟的論述。例如，弗利德曼曾指出： “數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)的一個(gè)特殊的和最重要的要素就是數(shù)學(xué)思想。整個(gè)數(shù)學(xué)科學(xué)就是建立在這些思想的基礎(chǔ)上，并按照這些思想發(fā)展起來(lái)的?！?/span>^［１］然而，數(shù)學(xué)思想成為小學(xué)數(shù)學(xué)課程的有機(jī)組成部分，卻有著一個(gè)逐步發(fā)展的過(guò)程。

一、數(shù)學(xué)思想融入小學(xué)數(shù)學(xué)課程的回顧

在我國(guó)，數(shù)學(xué)思想受到一線小學(xué)數(shù)學(xué)教師的關(guān)注，始于 １９７８ 年 小 學(xué) 數(shù) 學(xué) 教 學(xué) 大 綱 的 印 行。在當(dāng)時(shí) “四個(gè)現(xiàn)代化”建設(shè)的大背景下，這份首次將 “小學(xué)算術(shù)”更名為 “小學(xué)數(shù)學(xué)”的教學(xué)大綱明確提 出： “適 當(dāng) 滲 透 一 些 現(xiàn) 代 數(shù) 學(xué) 的 思想……通過(guò)直觀，使學(xué)生盡早接觸集合、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)等一些現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想，可以擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，加深對(duì)某些內(nèi)容的理解，有利于進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)?！?/span>^［２］這是小學(xué)算術(shù)學(xué)科演變?yōu)樾W(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)涵發(fā)展之一。但滲透、接觸數(shù)學(xué)思想，主要是為知識(shí)教學(xué)服務(wù)。小學(xué)數(shù)學(xué)教材與廣大教師也正 是結(jié)合具體 的 數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，有機(jī)地滲透了數(shù)學(xué)的思想，在這方面積累了較為豐富的經(jīng)驗(yàn)。

２１世紀(jì)初，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》的 “基本理念”部分，不僅指出 “數(shù)學(xué)是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語(yǔ)言是現(xiàn)代文明的重要組成部分”，還強(qiáng)調(diào) “在自主探索和合作交流的過(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。^［３］由此，數(shù)學(xué)思想開(kāi)始與數(shù)學(xué)知識(shí)、技能 “平起平坐”，不再只為他人做嫁衣。伴隨數(shù)學(xué)文化成為教學(xué)中廣受關(guān)注的熱點(diǎn)，數(shù)學(xué)思想也逐漸顯現(xiàn) 它 在數(shù)學(xué)文化 中的核心地位，因?yàn)闆](méi)有思想就沒(méi)有文化。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （２０１１ 年版）》 進(jìn)一步將數(shù)學(xué)的基本思想列入了課程總目標(biāo)，確立為 “四基”之一。無(wú)疑，這是我國(guó)數(shù)學(xué)課程改革邁出的重要一步。

可見(jiàn)，三十多年來(lái)，數(shù)學(xué)思想融入小學(xué)數(shù)學(xué)課程，經(jīng) 歷 了 從 內(nèi) 容 滲 透 到 成 為 課 程 目 標(biāo) 的過(guò)程。

二、從數(shù)學(xué)思想到數(shù)學(xué)基本思想

何為數(shù)學(xué)思想，歷來(lái)眾說(shuō)紛紜。如有人認(rèn)為“數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)研究的本質(zhì)及其規(guī)律的深刻認(rèn)識(shí)”。^［４］也有人說(shuō) “數(shù)學(xué)思想尚不成為一種專有名詞，人們常用它來(lái)泛指某些有重大意義的、內(nèi)容比較豐富的、體系相當(dāng)完整的數(shù)學(xué)成果”。^［５］

根據(jù)恩格斯關(guān)于數(shù)學(xué)的經(jīng)典定義，數(shù)學(xué)是關(guān)于客觀世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)；根據(jù)工具書關(guān)于思想的解釋 “客觀存在反映在人的意識(shí)中經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果” “相對(duì)于感性認(rèn)識(shí)的理性認(rèn)識(shí)”，可以推演數(shù)學(xué)思想的界說(shuō)：“所謂數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，它 是 對(duì) 數(shù) 學(xué) 事 實(shí) 與數(shù) 學(xué) 理 論 的 本 質(zhì) 認(rèn)識(shí)”。^［６］如此界定自然外延比較寬泛。它包括基于數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容的思想，如函數(shù)思想，方法論層面的思想，如數(shù)形結(jié)合，以及更高層次的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想，如運(yùn)動(dòng)變化思想，等等。

直面客觀存在的數(shù)學(xué)思想泛化傾向，如何提煉，史寧中教授給出了兩條標(biāo)準(zhǔn)： “一是數(shù)學(xué)產(chǎn)生以及數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中所必須依賴的那些思想。二是學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)的人所具有的思維特征”。進(jìn)而“歸納 為 三 種 基 本 思 想， 即 抽 象、 推 理 和 模型”。^［７］

這三種基本思想涵蓋了數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、數(shù)學(xué)的內(nèi)部發(fā)展、數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，確實(shí)是眾多數(shù)學(xué)思想中具有本質(zhì)意義的重要思想。同時(shí)，又正好對(duì)應(yīng)了數(shù)學(xué)的三大特征———高度的抽象性、邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性和廣泛的應(yīng)用性，因而也是理論數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中起關(guān)鍵核心作用的思想。

這三種基本思想也是數(shù)學(xué)教育的內(nèi)核。支持這一論點(diǎn)最主要的論據(jù)是：兒童思維的特點(diǎn)及其常識(shí)經(jīng)驗(yàn)的局限性，決定了小學(xué)數(shù)學(xué)必須遵循從直觀到抽象、從舉例驗(yàn)證到算理解釋、從聯(lián)系日常生活到聯(lián)系社會(huì)自然及其他學(xué)科。這些貫穿各年級(jí)的教學(xué)策略原則，既是廣大教師追求有效教學(xué)長(zhǎng)期實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)提煉，也是三種基本思想貫穿數(shù)學(xué)教育始終的客觀反映。實(shí)踐歸納與理論思辨在這里得到了相互印證。

三、數(shù)學(xué)基本思想與學(xué)科核心素養(yǎng)、學(xué)科育人價(jià)值

為了進(jìn)一步推進(jìn)素質(zhì)教育，在 《教育部關(guān)于全面深化課程改革 落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》這份文件中，出現(xiàn)了一個(gè)奪人眼球的詞“核心素養(yǎng)體系”。核 心素養(yǎng)被譽(yù)為基礎(chǔ)教育的ＤＮＡ。構(gòu)建核心素養(yǎng)體系，是面向教育系統(tǒng)外部的社會(huì)需求，順應(yīng)國(guó)際教育改革趨向，提升我國(guó)人才培養(yǎng)質(zhì)量，增強(qiáng)國(guó) 家核心競(jìng)爭(zhēng)力 的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

核心素養(yǎng)體系作為國(guó)家對(duì)于教育的頂層設(shè)計(jì)，需要凸顯它的整體性、綜合性和 系統(tǒng)連貫性，自然強(qiáng)調(diào)跨學(xué)科的共同素養(yǎng)。進(jìn)而，核心素養(yǎng)體系的層級(jí)化，又必然要求各學(xué)科在落實(shí)綜合性核心素養(yǎng)的同時(shí)，彰顯本學(xué)科獨(dú)特的育人價(jià)值，確立學(xué)科自身的核心素養(yǎng)。所謂學(xué)科核心素養(yǎng)，粗略地說(shuō)是指凸顯學(xué)科本質(zhì)，具有獨(dú)特、重要育人價(jià)值的素養(yǎng)。

國(guó)際上無(wú)論是由政府主導(dǎo)還是由民間組織推動(dòng)的核心素養(yǎng)架構(gòu)或評(píng)價(jià)，都少不了數(shù)學(xué)素養(yǎng)或素養(yǎng)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。那么數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)有哪些？數(shù)學(xué)基本思想是否就是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)？如果是，它們的學(xué)科育人價(jià)值何在？這些問(wèn)題，可以綜合起來(lái)回答。

首先，抽象、推理和模型思想分別對(duì)應(yīng)三種具有一般意義的能力，即抽象能力、推理能力和應(yīng)用能力，因而并非數(shù)學(xué)學(xué)科的獨(dú)門秘 籍。文科、理科，凡是理論知識(shí)都有不同程度的抽象，都有不同表現(xiàn)形式的從個(gè)別到一般或從一般到個(gè)別以及從個(gè)別到個(gè)別的推理。同樣，不僅數(shù)學(xué)學(xué)科有數(shù)學(xué)模型，其他學(xué)科也有自己的模型，如物理模型、化學(xué)模型等。因此可以認(rèn)為，抽象、推理和模型有著跨學(xué)科共同素養(yǎng)的特征。

其次，抽象、推理和模型思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中，又具有其他學(xué)科不可替代的育人價(jià)值。分述如下。

（一）抽象

對(duì)于學(xué)科來(lái)說(shuō)，抽象是數(shù)學(xué)的首要特征，抽象為推理提供了對(duì)象，抽象了，才可能廣應(yīng)用。“兩種事物，如果有相同的量或形，便可用相同的數(shù)學(xué)方法，因而數(shù)學(xué)必然、也必須是抽象的。”^［８］

對(duì)于育人來(lái)講，“數(shù)學(xué)雖不研究事物的質(zhì)，但任一事物必有量和形，所以數(shù)學(xué)是無(wú)處不在、無(wú)時(shí)不用的”。^［８］因而，學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的抽象，不僅由此生成了數(shù)學(xué)的研究?jī)?nèi)容，更具普遍意義的是抽象的過(guò)程，能讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何從量或形的視角，去觀察、把握周圍的現(xiàn)實(shí)事物。這一認(rèn)識(shí)客觀世界的獨(dú)特方式，是每個(gè)社會(huì)公民無(wú)論從事何種職業(yè)都不可或缺的基本素養(yǎng)因此，它是抽象思想所獨(dú)有的、最核心的育人價(jià)值。

且不說(shuō)數(shù)學(xué)抽象的層次性、理想化、形式化、符號(hào)化對(duì)發(fā)展學(xué)生抽象思維的作用與貢獻(xiàn)，僅當(dāng)兒童從現(xiàn)實(shí)世界形態(tài)各異、異彩紛呈的事物中抽取共同的量或形的屬性時(shí)，就已經(jīng)得到了從考察對(duì)象中分離多種屬性，提取本質(zhì)屬性，排除各種非 本 質(zhì) 屬 性 干 擾 等 一 系 列 的 知 覺(jué)、 思 維訓(xùn)練。

例如， “１０以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”，從實(shí)物數(shù)量的比較過(guò)渡到數(shù)的大小的比較 （見(jiàn)圖 １），學(xué)生必須摒棄動(dòng)物 （猴）與水果 （桃、香蕉、梨）各自的多種物質(zhì)屬性，抽象 出共同的數(shù)量屬 性 “幾個(gè)”，借助一一對(duì)應(yīng)純粹比較多少。然后由學(xué)生自己選擇三種水果中的兩種比較多少，抽象成數(shù)的大小比較，用符號(hào)表示比較的結(jié)果。從中還能使學(xué)生感悟，因?yàn)楹锱c桃個(gè)數(shù)相等，所以桃與香蕉、猴與香蕉比多少，結(jié)果也是３＞２ （見(jiàn)圖２）。同樣，猴與梨、桃與梨比，也是 ３＜４。這一概括對(duì)兒童來(lái)說(shuō)，又是進(jìn)一步的抽象。

事實(shí)上，小學(xué)數(shù)學(xué)幾乎每一節(jié)課都有量或形的抽象活動(dòng)，都在為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)抽象，發(fā)展抽象能力奠定基礎(chǔ)。

可以說(shuō)，通過(guò) 學(xué) 習(xí) 數(shù) 學(xué) 培 養(yǎng) 學(xué) 生 的 抽 象 能力，對(duì)于學(xué)習(xí)研究其他領(lǐng)域的問(wèn)題，對(duì)于今后在各種場(chǎng)合，面對(duì)事物錯(cuò)綜復(fù)雜的多種因素，主動(dòng)進(jìn)行舍去次要因素，提取主要因素的分析活動(dòng)，具有其他學(xué)科難以比擬的基礎(chǔ)訓(xùn)練價(jià)值。

（二）推理

基礎(chǔ)教育課程體系的理科設(shè)置，實(shí)驗(yàn)學(xué)科占了多數(shù)。過(guò)去是理化生，現(xiàn)在還多了一門科學(xué)。這些學(xué)科都用事實(shí)說(shuō)話，主要靠實(shí)驗(yàn)判斷對(duì)錯(cuò)。唯有數(shù)學(xué)，可以憑推理辨別真?zhèn)?，證明結(jié)論。這是數(shù)學(xué)的精髓，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)有別于其他學(xué)科的育人價(jià)值。

即使在小學(xué)，也能讓學(xué)生初步感知數(shù)學(xué)的推理 （包括運(yùn)算），可以得到不可能通過(guò)感覺(jué)經(jīng)驗(yàn)掌握的新認(rèn)識(shí)、新結(jié)論。

例如，設(shè)想地球是一個(gè)表面光滑的球，有一條很長(zhǎng)的繩子，恰好繞地球赤道 （球的大圓）一周。把這根繩子 再 接長(zhǎng) ｘ 米，繞 著赤道懸在空中，使姚明 （身高２．２６米）正好能從繩圈下穿過(guò) （見(jiàn)圖３）。^［９］

設(shè)繩子原長(zhǎng)２πｒ米，接長(zhǎng)ｘ 米，由題意得

２πｒ＋ｘ＝２π（ｒ＋２．２６）

ｘ≈１４．２

這個(gè)方程小學(xué)六年級(jí)學(xué)生也能解。運(yùn)算揭示了事實(shí)：只要接長(zhǎng)１４．２ 米，居然就能處處離地面２．２６米。盡管我們無(wú)法實(shí)際操作驗(yàn)證，但千真萬(wàn)確、毋庸置疑。因?yàn)檫\(yùn)算沒(méi)有錯(cuò)，而運(yùn)算的本質(zhì)是由一般 （法則）到特殊 （具體數(shù)值）的演繹推理，在這里就相當(dāng)于證明。

我們不應(yīng)該要求每個(gè)人都具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)推理能力。但是，如果一個(gè)人只相信眼見(jiàn)為實(shí)，不知道思維的能動(dòng)性可以通過(guò)推理幫助人類突破感官、經(jīng)驗(yàn)、常識(shí)的局限性，那就是個(gè)人素養(yǎng)的一大缺失。

（三）模型

在參與上海市中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制、修改的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，各學(xué)科專家都認(rèn)為建模與問(wèn)題解決能力是數(shù)學(xué)最具學(xué)科特征的育人價(jià)值，因?yàn)樗峭ㄓ媚芰?。確實(shí)，隨著計(jì)算機(jī)的應(yīng)用深入到社會(huì)生活的所有領(lǐng)域的各個(gè)層面，人們心目中數(shù)學(xué)的普適性貢獻(xiàn)首推建模。

關(guān)于模型思想的意蘊(yùn)及其學(xué)科育人價(jià)值，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（２０１１年版）》已有相當(dāng)清晰的闡述： “模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)?！?/span>^［１０］

這些內(nèi)涵在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也能不同程度地予以落實(shí)。

例如，“數(shù)學(xué)廣角”中的 “烙餅問(wèn)題”（見(jiàn)圖４）。

容易啟發(fā)學(xué)生得到 “模型假設(shè)”：保持鍋內(nèi)始終有兩張餅的烙餅時(shí)間最短。通過(guò)用圓片模擬烙餅的操作實(shí)驗(yàn)，找出烙３張餅的最優(yōu)過(guò)程 （見(jiàn)圖５），然后啟發(fā)學(xué)生加以一般化：偶數(shù)張餅不用討論，奇數(shù)張餅可以由３張餅類推，最終歸納得出最少時(shí)間的數(shù)學(xué)模型：

設(shè)ｎ為正整數(shù)，

烙ｎ張餅的最少時(shí)間    ６分鐘 （ｎ＝１）

３ｎ分鐘 （ｎ＞１）

進(jìn)入模型檢驗(yàn)環(huán)節(jié)時(shí)，常有學(xué)生質(zhì)疑：烙３張餅最優(yōu)過(guò)程的第２次 （見(jiàn)圖５），２號(hào)餅只烙了一面就拿走，豈不半生不熟？是啊，如果真的每３張餅有一張夾生，這個(gè)數(shù)學(xué)模型還能用嗎？有相關(guān)生活經(jīng)驗(yàn)的 教師不難 啟發(fā)學(xué)生找到解決辦法：將本該拿走的２號(hào)餅疊放在１號(hào)餅上面，留在鍋內(nèi)保溫。［１１］如此生動(dòng)的教學(xué)，給學(xué)生留下了相當(dāng)鮮活、豐富、強(qiáng)烈的建模感受。

可見(jiàn)，解決類似實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，能使學(xué)生初步體驗(yàn)從建模準(zhǔn)備 （了解、掌握情況）一直到模型檢驗(yàn)、推廣的大致流程。更具發(fā)展意義的價(jià)值在于它能增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識(shí)與自信，這對(duì)于培養(yǎng)各級(jí)各類人才來(lái)說(shuō)，都是必備的素養(yǎng)基礎(chǔ)。

綜上所述，數(shù)學(xué)基本思想承載了獨(dú)特的、鮮明的學(xué)科育人價(jià)值，可教、可學(xué)，是名副其實(shí)的學(xué)科核心素養(yǎng)。

至于這些基本思想學(xué)習(xí)效果的可測(cè)性，還有待深入研究、實(shí)踐與檢驗(yàn)。

——摘自《課程·教材·教法》2015.9