微積分是很有用的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一。我就從微積分開始介紹我的理論。

        微積分是應(yīng)實(shí)際需要而產(chǎn)生的。例如知道運(yùn)動(dòng)的結(jié)果求運(yùn)動(dòng)的過程，反過來已知運(yùn)動(dòng)的過程求其運(yùn)動(dòng)的結(jié)果就需要微分運(yùn)算和積分運(yùn)算。幾何上求曲線的切線，物理上已知運(yùn)動(dòng)方程求瞬時(shí)速度，就是求函數(shù)的微分，反過來就是求積分。

        初期的微積分是由牛頓和萊布尼茲大體上完成的。最初的想法是研究自變量有微小的變化時(shí)函數(shù)有多大的變化，函數(shù)值的變化與自變量的變化有什么關(guān)系。例如自由落體的運(yùn)動(dòng)方程為：s=1/2gt/2（/2表示上標(biāo)即t/2表示t的平方）。在時(shí)刻t有一個(gè)微小的變化記為⊿t，此時(shí)的時(shí)刻為t+⊿t，函數(shù)值的變化為⊿s，是t+⊿t點(diǎn)的函數(shù)值減去t點(diǎn)的函數(shù)值之差。即⊿s=1/2g（t+⊿t）/2-1/2gt/2.在這個(gè)等式中，若⊿t=0，顯然⊿s=0，若⊿t≠0，顯然⊿s≠0，當(dāng)⊿t≠0時(shí)

⊿s=1/2g（t+⊿t）/2-1/2gt/2=⊿s=1/2g（t/2+2t⊿t+（⊿t）/2）-1/2gt/2=gt⊿t+1/2g（⊿t）/2=（gt+1/2g⊿t）⊿t。當(dāng)時(shí)就把等式最后的主要部分gt⊿t稱為函數(shù)在這點(diǎn)的微分，記為ds，此時(shí)把⊿t記為dt，稱為自變量的微分。ds/dt稱為微商，有微分的商的意思。即ds=gt*dt。ds/dt=gt。這兩個(gè)等式可看成是從dt=0中得到。在（gt+1/2g⊿t）中令dt=⊿t=0就得ds=gt*dt，在ds/dt=gt+1/2g⊿t，只有令等式右邊的⊿t=dt=0，才能得到ds/dt=gt。這就出現(xiàn)一個(gè)矛盾，在求微分時(shí)只能令括號(hào)里面的dt=0，括號(hào)外面的dt≠0，在求微商時(shí)只能令等式右邊的dt=0，等式左邊的dt≠0，才能求得。這樣dt、ds就有了雙重屬性，既等于0又不等于0.

    當(dāng)時(shí)用這種方求函數(shù)的微分是很方便的。例如求函數(shù)y=f（x）的微分，先假設(shè)dx≠0，計(jì)算差分⊿y=f（x+dx）-f（x）到⊿y=（dy/dx）*dx+ο（dx），ο（dx）表示dx平方以上的各項(xiàng)和。再令dx=0即ο（dx）=0就得dy=（dy/dx）*dx。這種方法靈活、方便，只要會(huì)函數(shù)式的代數(shù)運(yùn)算就能求函數(shù)的微分或微商。所以當(dāng)時(shí)有十多歲的兒童也能計(jì)算函數(shù)的微分。缺點(diǎn)是理論不嚴(yán)密，能把無微分的點(diǎn)也能求出微分。

 當(dāng)時(shí)的邏輯是不能允許dx、dy的是0又非0的屬性的。也不能理解把一個(gè)非0的數(shù)dx當(dāng)作0去掉以后還能得出一個(gè)正確的等式。數(shù)學(xué)史上為此爭(zhēng)論了二百多年，也試圖用各種方法解決這個(gè)問題，但都沒有從根本上解決。其中一個(gè)被多數(shù)人接受的理論，就是建立在極限理論為基礎(chǔ)的微積分理論，稱為標(biāo)準(zhǔn)分析。此外還有非標(biāo)準(zhǔn)分析，A.魯賓遜于1960年創(chuàng)立。魯賓遜證明，實(shí)數(shù)結(jié)構(gòu)R可擴(kuò)張為包含無窮小數(shù)和無窮大數(shù)的系統(tǒng)，在這個(gè)系統(tǒng)中微分是無窮小數(shù)。但因此理論基礎(chǔ)太深計(jì)算復(fù)雜應(yīng)用的人不多。

    真正現(xiàn)代意義上的極限定義，一般認(rèn)為是由魏爾斯特拉斯給出的。

數(shù)列極限：

　　定義：設(shè)|Xn|為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，不等式

　　|Xn - a|<ε

　　都成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列|Xn|的極限，或稱數(shù)列|Xn|收斂于a。記為lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）

函數(shù)極限的專業(yè)定義:

　　設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x。的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么小），總存在正數(shù)δ ，使得當(dāng)x滿足不等式0<|x-x。|<δ 時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式：

　　|f(x)-A|<ε

　　那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→x。時(shí)的極限。

    在此前提下函數(shù)y=f(x)的微商被定義為dy/dx=lim ⊿y/⊿x （⊿x →0）。也稱為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)。微分被定義為函數(shù)改變量⊿y的線性主部，即dy=A*dx。可以證明A=dy/dx，所以dy=（dy/dx）*dx。這個(gè)理論的缺點(diǎn)是。此定義是存在性定義，沒給出極限的具體求法。而且極限的證明：是根據(jù)給定的ε找δ，過程繁雜。失去了微積分初期的靈活、方便和易求的特點(diǎn)。也沒從根本上解決邏輯上的矛盾?？匆豢炊x中的正數(shù)ε，它必須具有常量特性，（無論它多么小）也不能是無窮小變量，否則就會(huì)犯用無窮小變量定義無窮小變量的邏輯錯(cuò)誤。其次正數(shù)ε是任意給定的，必須具有變量的屬性。所以正數(shù)ε在取極限過程中既是常量又是變量。既然這樣為什么dx既等于0又不等于0就不可以接受呢？我們?cè)倏吹仁絛y=（dy/dx）*dx。其中dx顯然是可以約分的，兩邊為dy=dy。但在定義中，分母的dx是⊿x →0得到的。而分子的*dx是不取極限的。也是個(gè)矛盾。在初期微積分中和非標(biāo)準(zhǔn)分析中⊿x →0都可看成是無窮小數(shù)，在標(biāo)準(zhǔn)分析中成為無窮小變量，其倒數(shù)也是無窮大變量，不同階的無窮大變量是變化的快慢，沒有了無窮大數(shù)，也就沒有了超限數(shù)，白爾序數(shù)沒了，很有用的超限歸納法也就無基礎(chǔ)了。標(biāo)準(zhǔn)分析的問題還是不少的。

    再看一看我國(guó)的科學(xué)界對(duì)此問題是何態(tài)度。在文化大革命中，我國(guó)一個(gè)數(shù)學(xué)權(quán)威機(jī)構(gòu)，以筆名舒立，發(fā)表一篇權(quán)威性文章《微積分的理論是怎么來的？》摘錄幾段：“但是，由牛頓和萊布尼茲大體上完成的微積分，還有著嚴(yán)重的缺點(diǎn)，它的理論基礎(chǔ)是很不完善的。”接著肯定了極限論為基礎(chǔ)的標(biāo)準(zhǔn)分析，說它是符合辯證唯物論。指出：“理論既有客觀真理性，又具有階級(jí)性。每一個(gè)時(shí)期的各種理論，包括自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的各種理論，都為一定的階級(jí)服務(wù)的，是整個(gè)社會(huì)的產(chǎn)物，它必定反應(yīng)著當(dāng)時(shí)站統(tǒng)治地位的思想體系。例如，十六到十八世紀(jì)，歐洲的資產(chǎn)階級(jí)，正是上升時(shí)期，站統(tǒng)治地位的哲學(xué)思想是形而上學(xué)的唯物主義（形式邏輯）。因而當(dāng)時(shí)人們衡量理論存不存在缺點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)，它的理論基礎(chǔ)是不是完善的標(biāo)準(zhǔn)，是形而上學(xué)的唯物主義及機(jī)戒唯物論。”“我們現(xiàn)在的觀點(diǎn)應(yīng)當(dāng)是客觀真理性與階級(jí)性統(tǒng)一的觀點(diǎn)，因而，看他符合不符合辯證唯物論?！痹谶@樣的環(huán)境下，誰還能，誰還敢有所突破，有所創(chuàng)新呢？