【2018河北中考數(shù)學8題】輔助線作法不正確的是哪一個？

【中考真題】

（2018·河北·8題·3分）已知：如圖，點P在線段AB外，且PA=PB，求證：點P在線段AB的垂直平分線上，在證明該結論時，需添加輔助線，則作法不正確的是（ ）

A．作∠APB的平分線PC交AB于點C

B．過點P作PC⊥AB于點C且AC=BC

C．取AB中點C，連接PC

D．過點P作PC⊥AB，垂足為C

【思路探究】

需要從各選項所添加的輔助線進行推理，根據(jù)線段垂直平分線的概念進行判斷，如果不能推導出PC⊥AB且C是AB的中點，則這種輔助線的作法就不正確，從而得出答案．在推理過程中，往往需要根據(jù)輔助線的條件，運用三角形全等的判定和性質來證明垂直和線段相等．

【解答過程】

解：由已知點P在線段AB外，且PA=PB，得：

由選項A的作法可知，PC是∠APB的平分線，

∴∠APC=∠BPC，且PA=PB，PC=PC是公共邊，

∴由SAS可判斷出△PCA≌△PCB，

∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，

∴點P在線段AB的垂直平分線上，選項A符合題意；

由選項C的作法可知，點C是線段AB的中點，

∴AC=BC，且PA=PB，PC=PC是公共邊，

∴由SSS可判斷出△PCA≌△PCB，

∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，

∴點P在線段AB的垂直平分線上，選項C符合題意；

由選項D的作法可知PC⊥AB，

∴∠PCA=∠PCB=90°，

且PA=PB，PC=PC是公共邊，

∴由HL可判斷出Rt△PCA≌Rt△PCB，

∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，

∴點P在線段AB的垂直平分線上，選項D符合題意；

由選項B的作法：過點P作PC⊥AB于點C且AC=BC，

可知，經(jīng)過線段外一點作已知線段的垂線，不能保證也同時平分這條線段，

∴B的作法不能證明出點P在線段AB的垂直平分線上，

∴輔助線作法不正確的是B，故本題選B．

【考法解讀】

本題借助作輔助線為背景，考查了線段垂直分線的判定，還考查了三種全等三角形的判定方法和性質，也涉及到了等腰三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判斷方法是解本題的關鍵．

對于有關命題與證明的考查，是河北中考數(shù)學考查的重點，在選擇題中經(jīng)常出現(xiàn)，需要同學們準確掌握命題與證明的一般方法和思路，能夠將命題的文字語言、符號語言和圖形語言進行相互轉化和規(guī)范表達，形成良好的邏輯思維，提高推理能力．

本題的命題立意直接來源于教材中證明線段垂直平分線性質定理的逆定理的學習過程（如下圖所示）．同時將輔助線作法融入其中，逆向思考不成立的選項．因此學習和復習中一定要以教材為基礎和根本，吃透和掌握有關定理的形成過程和數(shù)學依據(jù)，才能有效應對相關的考查．

【知識方法】

我們知道，經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也可以簡稱“中垂線”．線段垂直平分線的判定定理和性質定理更是需要掌握的，它們兩個互為逆定理．

全等三角形常常是用來證明線段相等和角相等的工具，可以解決有關三角形中線段和角度的證明問題．我們學過的三角形的判定方法有四種：SAA、ASA、AAS，以及在直角三角形中的HL．

在判定三角形全等時，關鍵是根據(jù)已知條件，選擇恰當?shù)呐卸l件，應注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．也往往會跟等腰三角形的性質相結合，共同解決有關三角形中線段和角度的證明問題．

【變式訓練】

〖習題1〗如圖，銳角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙兩人想找一點P，使得∠BPC與∠A互補，其作法分別如下：

（甲）以A為圓心，AC長為半徑畫弧交AB于P點，則P即為所求；

（乙）作過B點且與AB垂直的直線l，作過C點且與AC垂直的直線，交l于P點，則P即為所求．

則對于甲、乙兩人的作法，下列說法正確的是（ ）

A．兩人皆正確

B．兩人皆錯誤

C．甲正確，乙錯誤

D．甲錯誤，乙正確

解：甲：如圖1，∵AC=AP，

∴∠APC=∠ACP，

∵∠BPC+∠APC=180°

∴∠BPC+∠ACP=180°，

∴甲錯誤；

乙：如圖2，∵AB⊥PB，AC⊥PC，

∴∠ABP=∠ACP=90°，

∴∠BPC+∠A=180°，

∴乙正確，

故本題選D．

〖習題2〗作等腰△ABC底邊BC上的高線AD，按以下作圖方法正確的個數(shù)有（ ）個

A．1 B．2 C．3 D．4

解：根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質可知：圖1，圖3中的作法正確；

根據(jù)對稱性可知，圖3中，線段BF和線段CE的交點在等腰三角形△ABC的對稱軸上，所以線段AD是△ABC的高，

如圖4中，根據(jù)對稱性可知：線段FM和線段EN的交點在在等腰三角形△ABC的對稱軸上，所以線段AD是△ABC的高，

綜上所述，四種作圖方法都是正確的，本題故選D．