本文從近兩年的上海高三一模和二模的數(shù)學(xué)試卷中，對模考數(shù)學(xué)題涉及的考點(diǎn)，進(jìn)行一些粗略的分析，希望對正在復(fù)習(xí)的高三學(xué)子有一些微薄的幫助。 為了方便分析，將所有考點(diǎn)分為八個(gè)部分：1.集合命題和不等式；2.函數(shù)專題；3.三角比與三角函數(shù)；4.數(shù)列專題；5.向量與復(fù)數(shù)；6.解析幾何專題；7.立體幾何專題；8.剩余專題（矩陣行列式算法二項(xiàng)式排列組合概率統(tǒng)計(jì)參數(shù)方程線性規(guī)劃）  從分值上大致統(tǒng)計(jì)，可以得到各專題在模考試卷中的大致占比，排序依次為：函數(shù)>解析幾何>數(shù)列>立體幾何>剩余專題>三角函數(shù)>集合命題不等式>向量與復(fù)數(shù)。函數(shù)、解析幾何、數(shù)列、立體幾何占比較多，是因?yàn)閿?shù)學(xué)?？嘉宓来箢}中，這幾個(gè)專題是必考。 剩余專題占比也很高，是因?yàn)楹w了矩陣、行列式、算法、二項(xiàng)式、排列組合、概率、統(tǒng)計(jì)、參數(shù)方程、線性規(guī)劃九個(gè)考點(diǎn)，當(dāng)然一張?jiān)嚲碇胁豢赡苓@九個(gè)都考，一般考2~4個(gè)。比如下面這張模考卷，  這是2018年寶山二模，第3題、第6題、第7題、第9題，第14題，均屬于剩余專題，占了21分，占比算高的了，但難度上基本屬于送分題，對考點(diǎn)方法熟練的考生，基本上3分鐘就可以拿下這21分，可謂“性價(jià)比超值”. 但很多同學(xué)往往在這些方面不重視，導(dǎo)致失分，實(shí)在可惜 2017年各區(qū)?？紨?shù)學(xué)題共573題（除去重復(fù)），其中： 第一部集合命題不等式有61道， 第二部函數(shù)專題有102道， 第三部三角函數(shù)有65道， 第四部數(shù)列專題有68道， 第五部向量復(fù)數(shù)有50道， 第六部解析幾何有74道， 第七部立體幾何有69道， 第八部剩余專題有84道。 （有些題目可能綜合了多個(gè)專題， 則按主要考察的專題方向分類） 2018年各區(qū)?？紨?shù)學(xué)題共608題（除去重復(fù)），其中： 第一部集合命題不等式有66道， 第二部函數(shù)專題有105道， 第三部三角函數(shù)有70道， 第四部數(shù)列專題有75道， 第五部向量復(fù)數(shù)有57道， 第六部解析幾何有76道， 第七部立體幾何有66道， 第八部剩余專題有93道。 （同樣有些題目可能綜合了多個(gè)專題， 則按主要考察的專題方向分類） 接下來，我們對這八個(gè)部分再進(jìn)行更為細(xì)致的考點(diǎn)分析。 第一部 集合命題和不等式 這個(gè)部分，出題形式一般一模會(huì)有2~3道小題，二模會(huì)有1~2道小題，分值一般在8~14分左右，很少出現(xiàn)在大題中，大部分題目很簡單，屬于送分題，少部分有些難度。本專題大致分了9個(gè)考點(diǎn)題型：集合關(guān)系、集合運(yùn)算、命題、充要條件、不等式性質(zhì)、解不等式、基本不等式、不等式恒成立問題、專題綜合問題。 按近兩年各考點(diǎn)的綜合分值占比，9個(gè)考點(diǎn)在本專題中的占比大致如下：  可以看出，在集合命題不等式這個(gè)專題中，充要條件、集合運(yùn)算（交并補(bǔ)）、解不等式占據(jù)了大部分的比例，充要條件這個(gè)知識(shí)點(diǎn)占比高，是因?yàn)闀r(shí)常綜合其他知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考察，且絕大部分都為5分的選擇題，如下圖的這些例題，其實(shí)也考察了向量、數(shù)列、三角等方面的內(nèi)容，但為了統(tǒng)一集中進(jìn)行專項(xiàng)練習(xí)，就統(tǒng)一分到充要條件這個(gè)考點(diǎn)里面  并且，在充要條件的考點(diǎn)中，題型也是很集中的，如：  集合運(yùn)算（交并補(bǔ)），也是絕大部分試卷會(huì)出的一道送分題，并且統(tǒng)一歸納整理后，可以看出，各區(qū)的題型高度統(tǒng)一，就那么幾類。   解不等式也是一樣，題型主要集中在解分式不等式和絕對值不等式，且各區(qū)高度雷同。  而其他考點(diǎn)諸如命題、基本不等式、不等式性質(zhì)等在?？荚嚲碇谐霈F(xiàn)的頻率較低。但出現(xiàn)頻率低不代表可以忽視，往往這些低頻考點(diǎn)才是區(qū)分度比較高的易錯(cuò)題。 第二部 函數(shù)專題 此專題在?？贾幸话?~4道小題，1道大題，少部分情況下會(huì)外加一個(gè)函數(shù)應(yīng)用題，有一定難度，綜合知識(shí)點(diǎn)較多，對能力考察較深。本專題大致分為9個(gè)考點(diǎn)題型：函數(shù)定義域、函數(shù)值域與最值、函數(shù)基本性質(zhì)、函數(shù)圖像、反函數(shù)、指對數(shù)方程、函數(shù)應(yīng)用題、函數(shù)方程不等式綜合、定義類函數(shù)綜合。  由圖可得，定義類函數(shù)綜合題型、函數(shù)性質(zhì)、及函數(shù)方程不等式綜合題型在函數(shù)專題中占據(jù)了大部分比重，函數(shù)應(yīng)用題、反函數(shù)、值域最值問題，也占據(jù)著一定份額。函數(shù)的這些考點(diǎn)中、除了定義域、反函數(shù)、指對數(shù)方程考察相對比較簡單，其他考點(diǎn)，并無太多可以取巧之處，需要在復(fù)習(xí)的時(shí)候硬啃。 從題目數(shù)量分析，2018年?？贾?，關(guān)于函數(shù)性質(zhì)方面和函數(shù)應(yīng)用題的題量，相比2017年是在增加的，與之對應(yīng)的是，2018年?？贾械暮瘮?shù)方程不等式與定義類函數(shù)綜合題型的題量，相比2017年略有減少。整體來看，函數(shù)的考察難度有所下降，但各區(qū)的情況又因區(qū)而異。 定義類函數(shù)綜合題型，鐵打的定義，流水的名字，什么K階格點(diǎn)函數(shù)、對稱函數(shù)、保值域函數(shù)、取上整函數(shù)、H函數(shù)、L函數(shù)、M類函數(shù)、性質(zhì)P、P(a)性質(zhì)、k-利普希茲條件函數(shù)、控制增長函數(shù)、T同比不減函數(shù)、可平衡函數(shù)、逼近函數(shù)、封閉函數(shù)、映像函數(shù)、依賴函數(shù)、最佳劃分、正弦奇函數(shù)……，各種名字應(yīng)有盡有，這方面和定義類數(shù)列綜合題型是一樣的，后面講到數(shù)列的時(shí)候，我再羅列。沒有命題老師想不到的名字，只有你做不錯(cuò)來的題?？荚嚂r(shí)遇到這種題，就按定義來，做的來就做，做不來就果斷放。 函數(shù)性質(zhì)相關(guān)題，更多出現(xiàn)在小題中，且大部分都考察奇偶性、單調(diào)性，而其他性質(zhì)如零點(diǎn)、周期性、對稱性等考察較少。  函數(shù)方程不等式綜合題型，一般都含參數(shù)，離不開分類討論，而分類討論也是很多學(xué)生的死穴，所有得分率也不高。  函數(shù)應(yīng)用題，一般理解好了題目，都不會(huì)太難。做應(yīng)用題，最重要的是耐心和細(xì)心。重要的數(shù)據(jù)要用筆，邊默讀邊劃線標(biāo)注。函數(shù)應(yīng)用題中，收益利潤最大問題考得最多，其次是面積最大問題，主要也是以這兩個(gè)題材為載體考察值域最值問題。 對反函數(shù)的考察相對來說就比較單一了，題目雷同度很高，基本都算送分題，基本都會(huì)考那么一道，做著做著自己都能總結(jié)套路的。 函數(shù)專題的其他考點(diǎn)，如定義域、指對數(shù)方程等，基本和反函數(shù)的難度差不多了，屬于送分題，但占比不高。所以總體來說，函數(shù)專題還是較難的，同學(xué)們在復(fù)習(xí)過程中，要做好打一場硬仗的準(zhǔn)備。 第三部 三角比與三角函數(shù) 此專題在考試中大致分值在5~20分之間。出題形式一般1~2道小題，0~1道大題，難度一般，基本為常見題型，套路題型，對于知識(shí)方法掌握熟練的同學(xué)而言，基本也算送分題。常見考點(diǎn)題型大致分為5個(gè)：三角比恒等變換、三角函數(shù)圖像性質(zhì)、解三角形、三角函數(shù)應(yīng)用題，三角函數(shù)綜合題。 按近兩年各考點(diǎn)的綜合分值占比，5個(gè)考點(diǎn)在本專題中的占比大致如下： 各考點(diǎn)題型在本專題的考察分布比較均衡，雖然單純的三角恒等變換考察相對較少，占比不多，但在三角函數(shù)綜合題型及一些圖像性質(zhì)類的題目中，基本都涉及了三角恒等變換的一些公式。所以整體的真實(shí)占比，比圖中所呈現(xiàn)的比例還要更均衡一些。 從近兩年各考點(diǎn)題型的題量分值上看，2018年對三角函數(shù)圖像性質(zhì)方面及解三角形方面的考查要明顯多于2017年，而在三角函數(shù)應(yīng)用題的考查方面，則2018年是明顯少于2017年的，可能是因?yàn)?018年的函數(shù)應(yīng)用題更多了，所以三角函數(shù)的應(yīng)用題就相應(yīng)減少了。而在三角函數(shù)恒等變換、三角函數(shù)綜合題型方面，近兩年的浮動(dòng)都不大。 三角函數(shù)圖像性質(zhì)方面，對最小正周期的考查頻率最高，這種考查基本送分，考試看到必須心花怒放。其次是對三角函數(shù)單調(diào)性和三角函數(shù)值域最值方面的考查，結(jié)合圖像分析，一般都不難，但易錯(cuò)，失分率較高。 三角函數(shù)的各考點(diǎn)，套路性都很強(qiáng)，并且很容易上手，如解三角形，心中牢記正弦定理、余弦定理即可。三角函數(shù)綜合題型，也基本是先二倍角公式統(tǒng)一化，再輔助角公式，出來Asin(wx+y）的形式，再分析單調(diào)性或者值域最值，或者順便解一下三角形。 對于中等程度的學(xué)生而言，要在?？贾腥〉靡粋€(gè)不難看的分?jǐn)?shù)，三角函數(shù)部分是必須拿下的，不然回天乏力。 第四部 數(shù)列專題 數(shù)列專題在?？贾写笾路种涤?6~28分，出題形式一般0~2道小題，1道大題。小題難度中上，大題難度較大，綜合性較強(qiáng)，一般作為壓軸題。常見的考點(diǎn)題型大致分為6個(gè)：等差等比數(shù)列、通項(xiàng)與求和、數(shù)列單調(diào)性、數(shù)列極限、數(shù)列新定義題型、數(shù)列綜合題型。 按近兩年各考點(diǎn)的綜合分值占比，6個(gè)考點(diǎn)在本專題中的占比大致如下： 由圖可以看出，和函數(shù)專題一樣，新定義類綜合題，在數(shù)列專題中占據(jù)了最大的比重，因?yàn)榛径級狠S，各區(qū)基本都有一道這樣的壓軸題。通項(xiàng)與求和題型以及數(shù)列綜合題也占據(jù)不小的比重，因?yàn)楹芏嘁彩且源箢}形式出現(xiàn)，占分值多。而等差等比性質(zhì)、數(shù)列極限相關(guān)題，都是小題居多。 而對比2017年與2018年，等差等比性質(zhì)、新定義類綜合題的比重在增加，而數(shù)列單調(diào)性、數(shù)列普通綜合題的比重在減少。且2017年沒有數(shù)列應(yīng)用題，而2018年在金山一模、崇明一模、閔行一模中均開始出現(xiàn)了數(shù)列的應(yīng)用題，當(dāng)然也是考查數(shù)列通項(xiàng)與求和。 和函數(shù)專題一樣，我們也來羅列一些新定義類數(shù)列的名稱，開心開心。性質(zhì)P、性質(zhì)P(k)、性質(zhì)T、U數(shù)列、K數(shù)列、H型數(shù)列、H(k)數(shù)列、N型標(biāo)準(zhǔn)數(shù)列、指數(shù)數(shù)列、創(chuàng)新數(shù)列、逆序數(shù)、一階差分?jǐn)?shù)列、緊密數(shù)列、數(shù)列內(nèi)積、準(zhǔn)最大項(xiàng)、等比源數(shù)列、可控?cái)?shù)列、封閉數(shù)列、伴隨數(shù)列、雙底數(shù)列、……熟悉熟悉這些名詞，考場上不會(huì)做的時(shí)候，好歹有些熟悉感，不會(huì)太慌。 數(shù)列求通項(xiàng)與數(shù)列求和問題，小題大題都有，一般不會(huì)太難。記住求通項(xiàng)的常用方法：作差作商、累加累乘、構(gòu)造歸納等等；記住求和的常用方法：倒序加、錯(cuò)位減、裂項(xiàng)分組或歸納。并且現(xiàn)在不少題目都喜歡分奇偶再求通項(xiàng)或求和，多轉(zhuǎn)一個(gè)彎，失分率就大增。 數(shù)列普通的綜合題，一般和函數(shù)、不等式、向量、集合甚至解析幾何等其他知識(shí)點(diǎn)綜合考查。如2018年青浦一模的這道： 而數(shù)列極限相關(guān)題型，考查就比較單一，除了求極限，就是無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和。比較簡單，是送分題。 而等差等比數(shù)列的性質(zhì)相關(guān)題，熟悉這些數(shù)列性質(zhì)的話，基本都可以目測答案，秒解題目，屢試不爽。而關(guān)于數(shù)列的單調(diào)性，一般可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性的定義去分析，只不過注意n∈N*，如果是小題考查數(shù)列單調(diào)性，很多可以通過計(jì)算器或者簡單的歸納得到，可以大大減少運(yùn)算量。 但取巧的題目畢竟少數(shù)，所以，數(shù)列專題的復(fù)習(xí)也要做好心理準(zhǔn)備，數(shù)列是函數(shù)之后，第二塊需要硬啃的硬骨頭。 第五部 向量與復(fù)數(shù) 因?yàn)橄蛄繉ｎ}與復(fù)數(shù)專題都屬于較小的模塊，并且之間有一定的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，所以并作第五部，一起分析。本專題在?？贾械姆种荡笾略?~13分左右，一般1~3道小題，偶爾會(huì)在大題中綜合其他知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)。如2018的長寧嘉定一模、2018寶山一模、2018寶山二模、2018金山二模，大題中都出現(xiàn)了復(fù)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容。 尤其是2018寶山一模這道，此題一出，寶山大地，哀鴻遍野，民不聊生。向量與復(fù)數(shù)在?？贾斜旧黼y度不大，但如果命題人想要它難，則它不敢不難。本專題常見的考點(diǎn)題型有5個(gè)：向量數(shù)量積與向量幾何意義、平面向量相關(guān)性質(zhì)、復(fù)數(shù)運(yùn)算、復(fù)數(shù)幾何意義、實(shí)系數(shù)一元二次方程。 圖中可以看出，向量數(shù)量積及幾何意義（投影相關(guān)）的相關(guān)考點(diǎn)幾乎占據(jù)了向量專題的大部分，而復(fù)數(shù)運(yùn)算在復(fù)數(shù)專題中也是占據(jù)了半壁江山。而向量的相關(guān)性質(zhì)（分解定理、共線定理、定比分點(diǎn)等）、復(fù)數(shù)的幾何意義（復(fù)平面相關(guān)）、實(shí)系數(shù)一元二次方程（韋達(dá)定理、共軛根等）也占據(jù)著一定的比重。 對比2017年的?？碱}來看，2018年的?？碱}中，平面向量相關(guān)性質(zhì)（分解定理、共線定理、定比分點(diǎn)等）、復(fù)數(shù)幾何意義（復(fù)平面相關(guān)）以及實(shí)系數(shù)一元二次方程（韋達(dá)定理、共軛根等）的相關(guān)?？碱}明顯有所增加，而復(fù)數(shù)運(yùn)算的相關(guān)?？碱}則明顯減少了。 并且2017年，復(fù)數(shù)沒有作為大題出現(xiàn)，而在2018年的?？碱}中，長寧嘉定一模、寶山一模和二模、金山二模，大題中都出現(xiàn)了復(fù)數(shù)的相關(guān)內(nèi)容。相比較來說，復(fù)數(shù)專題基本屬于送分題，而向量專題的一些考題則有一定難度，常綜合其他知識(shí)作小題的壓軸題。 向量相關(guān)的壓軸題一般綜合性強(qiáng)，有一定技巧性，需要在復(fù)習(xí)訓(xùn)練的時(shí)候，多思考總結(jié)歸納，多做一些類似題型進(jìn)行鞏固強(qiáng)化。 第六部 解析幾何專題 解析幾何專題在?？贾械姆种荡蟾?0~30分左右，一般1~3道小題，1道大題。但一模因?yàn)楦鲄^(qū)復(fù)習(xí)進(jìn)度不一樣，有可能極少一些一模卷中不涉及解析幾何內(nèi)容，如2018年的長寧嘉定一模試卷就不涉及解析幾何知識(shí)。但這種情況比較少。 解析幾何專題，和函數(shù)專題、數(shù)列專題，并稱高考三大專題。所以在難度上，屬于中上難度。對比全國其他地區(qū)，上海在解析幾何方面的難度是要降一個(gè)檔次的，因?yàn)椴恢v離心率和準(zhǔn)線，且題型較傳統(tǒng)，函數(shù)也是，因?yàn)椴恢v導(dǎo)數(shù)。數(shù)列則不一樣，一般比全國其他地方的數(shù)列題要難，因?yàn)榫C合性強(qiáng)，且涉及數(shù)論等一些較高級的知識(shí)。 個(gè)人認(rèn)為，一般在上海的?？碱}中，壓軸大題的難度順序?yàn)椋簲?shù)列>函數(shù)>解析幾何。解析幾何雖然傳統(tǒng)，一般就面積問題、值域問題、定值問題、存在性問題等，但一般運(yùn)算量都比較大，容不得失誤，很多學(xué)生經(jīng)常是一步錯(cuò)導(dǎo)致全盤皆輸，所以在解析幾何專題，得分率也不高。 常見考點(diǎn)題型方面，分為6個(gè)考點(diǎn)：軌跡方程、直線方程、圓的方程、橢圓方程及相關(guān)綜合題、雙曲線方程及相關(guān)綜合題、拋物線方程及相關(guān)綜合題。按近兩年各考點(diǎn)的綜合分值占比，6個(gè)考點(diǎn)在本專題中的占比大致如下： 由圖可以看出，橢圓方程、雙曲線方程、拋物線方程占據(jù)了解析幾何專題的絕大部分比重。尤其是橢圓方程，在一模和二模中的差別就更明顯，如2018年各區(qū)的一模試卷中，只有奉賢區(qū)的解析幾何大題是雙曲線相關(guān)題，其余各區(qū)的一模試卷的解析幾何大題考的都是橢圓?？赡芨鷱?fù)習(xí)的進(jìn)度有一些關(guān)系。 而相比2017年的?？碱}，2018年的?？碱}中，橢圓相關(guān)題所占的比例明顯增加了，對應(yīng)的是雙曲線相關(guān)題明顯減少了，而拋物線、直線、圓的相關(guān)題都有少量增加。 解析幾何的運(yùn)算量繁復(fù)，對學(xué)生的計(jì)算能力有很高的要求，并且這種計(jì)算能力是計(jì)算器幫不上什么忙的，因?yàn)槎际亲帜?，所以遇到解析幾何大題，也不要心存僥幸了，耐心細(xì)致去算，草稿紙上一步一步，踏實(shí)往下算，聯(lián)立方程，韋達(dá)定理，該算算、該寫寫。這也是一塊要硬啃的骨頭。 第七部 立體幾何專題 立體幾何專題在?？贾械姆种荡笾略?4~23分左右，出題形式一般有0~2道小題，1道大題。同樣因?yàn)楦鲄^(qū)復(fù)習(xí)進(jìn)度不一樣，有可能極少一些一模卷中不涉及立體幾何內(nèi)容，如2018年的松江一模試卷就不涉及立體幾何知識(shí)。 ?？碱}中的立體幾何相關(guān)題的難度偏易，基本屬于送分題。套路明顯直接，一般用幾何法和空間向量法都能解決。但如果用空間向量法，計(jì)算量偏大，對計(jì)算能力有更高的要求。常見考點(diǎn)題型可以分為5個(gè)：立體幾何判斷題、多面體相關(guān)題（棱柱棱錐）、旋轉(zhuǎn)體相關(guān)題（圓柱圓錐球）、斜二測與三視圖、立體幾何綜合題（主要大題）。 立體幾何綜合大題作為單獨(dú)的題型歸為一類，因?yàn)槭谴箢}，占分值多，所以占比很大。以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體綜合考察線線角、線面角、距離、體積、面積等相關(guān)知識(shí)。剩下的立體幾何判斷題、多面體、旋轉(zhuǎn)體、斜二測與三視圖基本以小題為主。 其中斜二測只在2017的青浦一模中考過，其他?？荚嚲砭丛俪霈F(xiàn)。三視圖則相對考查較多。但對比2017年的?？碱}，2018年對三視圖的考查更少了。甚至在2017年的普陀一模中，立體幾何大題也涉及到了三視圖，但2018年的?？季碇?，沒有立體幾何大題涉及三視圖。 多面體相對旋轉(zhuǎn)體而言，考的相對較少。而旋轉(zhuǎn)體中，以圓錐和球的體積和面積相關(guān)題考的較多，多與側(cè)面積母線相關(guān)，題目相似度很高。而讓很多學(xué)生比較頭疼的球面距離，卻考的相當(dāng)少，僅在2017普陀一模和2018虹口二模出現(xiàn)過。 第八部 剩余專題 除了上文提及的七個(gè)較大專題之外，還有矩陣、行列式、算法框圖、二項(xiàng)式定理、排列組合、概率、統(tǒng)計(jì)、參數(shù)方程、線性規(guī)劃等9個(gè)較小的知識(shí)模塊。所以統(tǒng)一放入剩余專題進(jìn)行考點(diǎn)分析。該專題在?？贾姓挤种荡蟾?~18分左右，出題形式一般為2~4道小題，難易程度方面，大部分很簡單，屬送分題，僅有少部分較難。 由圖可以看出，二項(xiàng)式定理的占比還是很高的，其次是概率與排列組合。而除了算法考得很少，僅在2017年青浦一模、松江一模、2018年松江一模、靜安二模中出現(xiàn)過。其他考點(diǎn)的考查比重都差不多在5%~10%左右。 而對比2017年來看，2018年的?？碱}中，矩陣、二項(xiàng)式定理的考查比例明顯增加，而統(tǒng)計(jì)和參數(shù)方程的考查比例則明顯下降 2018年?？贾袑y(tǒng)計(jì)知識(shí)的考查只有這4題 參數(shù)方程?？歼x題 |
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