昨天說了高寬比今天總結(jié)一下二次函數(shù)與幾何相關(guān)的性質(zhì)。

001高寬比

    所謂“高寬比”    其實(shí)就是函數(shù)上兩點(diǎn)之間的“鉛錘高”和“水平寬”之比。在一次函數(shù)中，高寬比基本可以看做高中的斜率。初中的時(shí)候也可以適當(dāng)?shù)慕榻B。    

    初中一共學(xué)三種函數(shù)（什么？你說三角函數(shù)不算函數(shù)？）除了一次函數(shù)，還有二次函數(shù)和反比例函數(shù)，其實(shí)這三種函數(shù)的高寬比都有各自的特點(diǎn)。比如一次函數(shù)的高寬比就是解析式里的k，并且和所取的兩點(diǎn)無關(guān)，也就是一次函數(shù)上任意兩點(diǎn)的高寬比都為k(k為定值則高寬比為定值)。

    今天借助GGB（GeoGebra從“0”基礎(chǔ)到入門精通教程01-09+實(shí)操案例整合版）軟件，探究下二次函數(shù)的高寬比是什么樣的？

    取一個(gè)頂點(diǎn)和其他任意點(diǎn)，高寬比并不是常數(shù)，根據(jù)過原點(diǎn)的二次函數(shù)解析式易得，高比寬方才為定值（就是二次項(xiàng)系數(shù)a）。并且可以推廣平移至任何的二次函數(shù)圖像。

    如下圖；注意觀察，a變化但是BC/OC方始終等于a.并且可以推廣平移

    下圖依然：a變化但是BC/OC方始終等于a.并且可以推廣平移

    平移：

    B變換位置比值BC/OC方依然不變，平移后依然成立

    如果不取頂點(diǎn)而是任意兩個(gè)點(diǎn)的高寬比和高/寬方，那么這兩個(gè)比值都會隨著點(diǎn)D，E的變化而變化。

    如果讓其中一個(gè)和頂點(diǎn)重合此時(shí)，再移動另一個(gè)點(diǎn)，比值就不會再變了，而是始終等于a.

    綜上我們得出結(jié)論，二次函數(shù)存在高比寬方，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)的時(shí)候，高比寬方為a(二次項(xiàng)系數(shù)),當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)都不是頂點(diǎn)的時(shí)候，高比寬（方）的值，與兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)有關(guān).(到底有什么關(guān)系？其實(shí)可以設(shè)點(diǎn)做標(biāo)計(jì)算)

002平行弦的性質(zhì)

    首先要知道什么叫二次函數(shù)里的弦，其實(shí)就是曲線上兩點(diǎn)的連線。它有什么樣的性質(zhì)呢？

    如下圖k確定的一組直線系，和二次函數(shù)交于兩點(diǎn)形成弦，弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是不變的，注意這就說明了k固定的直線系和二次函數(shù)的交點(diǎn)組成的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)不受b的影響。

    這樣一來我們平移這組（條）直線，兩個(gè)交點(diǎn)必然是越來越近，總有一個(gè)時(shí)刻，兩交點(diǎn)重合也就是相切的時(shí)候，此時(shí)顯然中點(diǎn)也和兩個(gè)點(diǎn)重合了。 也就是說切點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

    想一想是不是可以解決三角形面積最大值問題。已知AB在AB下方的函數(shù)圖像找一點(diǎn)C使得三角形ABC面積最大，這個(gè)C是切點(diǎn)的時(shí)候面積最大（AB看做底高最大）（也可以看做鉛錘高最大（下文）），如果A，B做標(biāo)已知可以快速算出C的做標(biāo)。

    如下圖同樣設(shè)點(diǎn)做標(biāo)易得證。

003二次函數(shù)內(nèi)接三角型面積公式

    其實(shí)就是割補(bǔ)的一種，叫做寬高法，可以選任意兩點(diǎn)水平距離為水平寬，第三點(diǎn)做豎直線與剛才兩點(diǎn)所在直線交點(diǎn)的距離為鉛錘高。

    第一種：

第二種：

第三種：

各種變化都是一樣道理：

    如下圖，這里因?yàn)槿齻€(gè)點(diǎn)都在拋物線上，所以水平寬和鉛錘高還有一個(gè)特別的關(guān)系：看到了么？用漢字?jǐn)⑹霾惶谜f，我就不打字了，大家可以自己試著用漢語敘述一下。

    這樣一來，寬高公式可以寫成下面這樣：

    通過公式我們可以看出，拋物線內(nèi)接三角型的面積，和a有關(guān)，還和三點(diǎn)的水平相對位置有關(guān)，（也就是和b,c都沒關(guān)系）具體來說就是其中一個(gè)點(diǎn)和另外兩個(gè)點(diǎn)的水平距離有關(guān)（即公式中的MQ，MN，特別注意下圖是用A做垂直找鉛錘高，換成B，C也是可以的）

    簡證：

    為啥和b,c 沒關(guān)系，因?yàn)?strong>a決定了拋物線的大小（注意是大小不是形狀，為什么不是形狀一會在下面會說（拋物線都相似）），b,c只能決定拋物線的位置（不改變大小和形狀）。

004(插播)a,b,c對拋物線的影響

    如下圖a對圖像的影響：

    如下圖b對圖像的影響：

        如下圖c對圖像的影響：

    什么??？  b 的影響你沒看清，我們追蹤一下頂點(diǎn)再看看下圖：

    b變化時(shí)，每一個(gè)點(diǎn)的軌跡都與拋物線自身形狀相同，且倒映在水面。。。

005拋物線都相似？？？：

    我第一聽說的時(shí)候也是大吃一斤，還百度了一下：

    怎么看也不像相似。

    加上輔助線再隱去一部分：

看著還不行，換個(gè)地方試試看看：

    是不是舒服多了：

    再換一個(gè)地方看看：

    從理論角度分析一下：c具有任意性，所以對于任意的對應(yīng)的點(diǎn)就都成立了啊。

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