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首先，最近家里事情較多，更新較慢，請(qǐng)大家見諒。 上次介紹了均值不等式的萬(wàn)能解法，很多學(xué)生希望能總結(jié)一下均值不等式的技巧性解法，本篇就對(duì)不等式技巧性解法進(jìn)行專門匯總。 篇幅有限，本文總結(jié)的方法應(yīng)對(duì)高考足矣。但競(jìng)賽方法，千變?nèi)f化，非一篇文章可覆，競(jìng)賽生請(qǐng)自動(dòng)略過本文。 （再次強(qiáng)調(diào)：高考中面對(duì)均值不等式問題仍推薦使用技巧性解法，如果技巧性解法難以解出，再考慮萬(wàn)能解法，關(guān)于萬(wàn)能解法請(qǐng)參考上一篇文章） 常數(shù)代換例1：x，y 均為正實(shí)數(shù)，且 2x+y=1，求 1/x + 1/y 的最小值。 本題較簡(jiǎn)單，在原式上乘以1，即2x+y即可： 例2：x，y 均為正實(shí)數(shù)，且 x+3y=5xy，求 3x+4y 的最小值 本題表面不存在常數(shù)，但只要將題設(shè)條件左右同時(shí)除以 5xy，即出現(xiàn)常數(shù)1。 換元換元的關(guān)鍵在于務(wù)必保留約束條件的全部信息。 例3：x，y 均為正實(shí)數(shù)，且 x+2y+2xy=8，求 x+2y 的最小值 本例似乎無(wú)法使用常數(shù)代換，考慮換元法。 可令：p=x+2y，q=2xy，于是 p+q=8，但僅僅這樣的話，并沒有保留約束條件的全部信息，比如：p=2，q=6，是符合 p+q=8 這個(gè)約束條件的，但很明顯 這個(gè)方程組是無(wú)法解得 x，y 的正實(shí)數(shù)解的。 即 p+q=8 并沒有保留原始約束條件的全部信息，我們需要再加上其他的約束條件： 故： 上述條件即保留了完整約束信息，滿足上述條件的 p，q 實(shí)數(shù)對(duì)，必然能聯(lián)立解出 x，y 的正實(shí)數(shù)解。 將 q=8-p 代入②式： 解關(guān)于 p 的二次不等式且 p>0，解得 p=x+2y≥4，即 x+2y 的最小值為 4，當(dāng) x=2，y=1 時(shí)等號(hào)成立。 二次分式值域上述兩種方法，可以解決高考中均值不等式的大部分問題。除此之外，還有一些問題可能間接的用到均值不等式，比如二次分式值域問題。 例4：求二次分式 的值域 類似的題目，常數(shù)分離都是首要思路之一 法一： 如果此時(shí)分子只有一次項(xiàng)，則可以上下同除以 x，利用均值不等式或者對(duì)鉤函數(shù)性質(zhì)求解。但上式還包含常數(shù)項(xiàng)，能否使用同樣的思路呢？只需簡(jiǎn)單的換元即可： 令：t=3x+2，則：x=t/3-2/3 則： 此時(shí)，可以根據(jù)均值不等式或?qū)︺^函數(shù)性質(zhì)解得函數(shù)值域?yàn)?[ 5/7 , 3] 。 （注意：最終的⑤式中，分子不可能等于0，即⑤式不可能等于2，這是因?yàn)樯舷峦粤藅，但原函數(shù)中t=0，即 x=-2/3 時(shí)，y 可以等于2。） 還有一種比較直觀的通用解法，即判別式法。 判別式法的基本思路是：如果y能取到某一個(gè)值，則必有一個(gè)實(shí)數(shù)x與這個(gè)y值相對(duì)應(yīng)，即y的取值必須滿足x有實(shí)數(shù)解。 法二： 解：原函數(shù)可化為：
整理得：
當(dāng) y=2 時(shí)，x=-2/3 所以，綜上可得函數(shù)值域?yàn)?[ 5/7 , 3]。 對(duì)所有二次分式值域問題，都可考慮用判別式法求解，但要注意變形后二次項(xiàng)系數(shù)是否為零及二次分式分母為零等問題，至于最終的代數(shù)結(jié)論，形式過于復(fù)雜，有興趣的讀者可以自行嘗試。 文|高見遠(yuǎn)，轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明出處。 |
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