工程問題+行程問題典型應(yīng)用題——西工大李老師小升初超常教育實驗班

特別提醒：西工大喬老師、李老師編寫的《2012小真卷  數(shù)學(xué)》（牛皮紙，基礎(chǔ)教育評價中心）

《2012版小學(xué)生挑戰(zhàn)重點中學(xué)——考前輔導(dǎo)數(shù)學(xué)》接收預(yù)定，目前正在緊急預(yù)定，分班考必備

李老師特別說明：現(xiàn)在的五年級今年10月下旬-12月中旬五大名校就開始招考了，五年級同學(xué)現(xiàn)在就應(yīng)該抓緊時間做真卷子了。時間緊迫啊！牛皮紙真卷子要2007--2012年6年的真卷2-3遍??！《考前輔導(dǎo)》要仔細(xì)過3遍??！

    劉京友題庫之所以重要是主要是因為近年來很多重點中學(xué)的考試題中頻繁出現(xiàn)《奧林匹克訓(xùn)練題庫》（劉京友題庫）的題目，使這本書的重要性很突出。（另兩本命題題源書，就是朱華偉的《多功能題典：小學(xué)數(shù)學(xué)競賽》和單墫的《華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽集訓(xùn)題典》）劉京友的《題庫》最核心和經(jīng)典的部分是圖形問題和應(yīng)用題。這三本書都是西工大李老師小升初超常教育實驗班快班的核心教材的主體。

工程問題+行程問題

首先給大家講下分?jǐn)?shù)工程問題，這種題一般不給出總量。這種題的解法重點是：
1 把總工作量看做單位“1”
2 工作效率*工作時間=工作量
3 變式關(guān)系式：工作量÷工作效率=工作時間；工作量÷工作時間=工作效率
4 比如一項工程甲單獨做需要6天完成，乙單獨做需要10天完成，那么甲的工作效率就是可1/6，乙的為1/10（即1天工作全部工程1/6或1/10）
還是通過例子來學(xué)習(xí)吧。

例題1
一項工程，甲、乙隊合作20天可以完成。共同做了8天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了18天才完成。如果這項工程單獨由甲隊或乙隊單獨完成，各需要幾天？
思路導(dǎo)航：設(shè)這項工程為單位“1”，
當(dāng)甲離開后，乙做的工作量為:1-1/20*8=3/5
乙單獨做這項工程的時間為
18除以3/5   18÷3/5=30天
甲單獨做的時間： 1÷(1/20-1/30)=60天


例題2
師傅和徒弟合做一件工作要15天才能完成。若讓師傅先做10天，則剩下的工作，徒弟單獨做還需要17天才能完成。徒弟單獨做這件工作需要多少天才能完成？
思路導(dǎo)航：由于給出條件是“合做15天完成”，所以，將分開做的轉(zhuǎn)化成為合做10天共做多少：1/15*10；還剩下多少：1-1/15*10=1/3。徒弟單獨做幾天完成：（17-10）/1/3=21天。
寫下解析就是：1-1/15*10=1/3
               17-10=7
               7÷1/3=21
當(dāng)然可以解方程，但是比較麻煩:
1/X+1/Y=1/15
10/X+17/Y=1

例題3
一批稿件，甲單獨做20分鐘打完；乙單獨30分鐘打完。現(xiàn)在兩人合打這批稿件，合做中，甲因有事離開了5分鐘，乙休息了若干分鐘，這樣共用了16分鐘打完。乙休息了多少分鐘？
思路導(dǎo)航：由于不知16分鐘有多少是在合作，也不知道甲、乙各自單獨做了幾分鐘，因此，假設(shè)既沒有離開也沒有休息，16分鐘全部在工作，次題就好做了。
甲、     乙合作不休息16分鐘能打：（1/20+1/30）*16=4/3
                             4/3-1=1/3-------表示甲5分鐘打的加上乙為休息做的
甲5分鐘能打多少？             5*1/20=1/4
乙休息的時間能打多少？         1/3-1/4=1/12
乙休息了多少時間？           1/12÷1/30=5/2
即乙休息了5/2分鐘。

例題4
一件工作，甲先做7天，乙接著做14天可以完成；如果由甲先做10天，乙接著做2天也可以完成?，F(xiàn)在甲先做了5天后，剩下的全部由乙接著做，還需要多少天完成？
思路導(dǎo)航：一般解法：設(shè)甲每天做1/X，乙每天做1/Y
那么可以得到方程：7/X+14/Y=1
                   10/X+2/Y=1
解法二：等量代換法
甲（10-7）天的工作量=乙（14-2）天的工作量
即：甲1天的工作量=乙4天的工作量
甲（7-5）天的工作量=乙8天的工作量
所以乙還需要8+14=22天
解法很快就能得出答案

例題5
搬運一個倉庫的貨物，甲需9小時，乙需12個小時，并需18個小時。有同樣的倉庫A和B，甲在A倉庫，乙在B倉庫同時開始搬運貨物。丙開始幫忙甲搬運，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運。最后三人同時搬完。問：丙幫了甲、乙各多少時間？
思路導(dǎo)航：設(shè)一個倉庫的總貨物為“1”，盡管丙在AB兩倉庫搬運的時間難以確定，但是我們要“變種找不變”，什么不變？因為他們?nèi)送瑫r搬完，那就是他們?nèi)齻€搬運的時間。
2÷(1/9+1/12+1/18)=8小時
丙幫助甲搬的時間為（1-1/9*8）÷1/18=2
所以幫助乙的就是8-2=6小時
第二部分：行程問題
例題1
甲、     乙兩車同時從A、B兩地相對開出，第一次在離A地50千米處相遇，相遇后繼續(xù)前進到達(dá)目的地后又立刻返回，第二次相遇在離B地26千米處。A、B兩地相距多少千米？
思路導(dǎo)航：由條件“第一次在離A地50千米處相遇”可知，甲在第一個相遇時間內(nèi)行了50千米。從而開始A、B兩地同時相對開出，到第二次相遇，甲、乙兩車一共走了3個全程。也即是經(jīng)過了3個相遇時間，即甲行了3個相遇時間才到第二次相遇地點。
所以A-B相距
50*3-26=124
公式 s= 3a-b
a是A走的距離即
b是剩下的那個距離

例題2
小李從A地上山，越過山頂B后下山到C地，共行了18千米，用了5小時。又知他上山每小時3千米，下山每小時5千米。小李從C地經(jīng)過原路上山，越過山頂B返回A地要多少時間？
此題可以用“雞兔同籠”的解法
設(shè)全為下坡：5*5=25
與實際相差：25-18=7
則去時上坡時間：7÷（5-3）=3.5小時
下坡時間為：5-3.5=1.5小時
所以AB和BC的距離就能算出來了
剩下的問題就好解了

例題3
甲、乙兩人同時從山腳開始爬山，到達(dá)山頂后立即下山，他們兩人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山頂時乙距離山頂還有500米，甲回到山腳時乙剛好下到半山腰。求從山腳到山頂?shù)木嚯x
   思路導(dǎo)航：假設(shè)甲到達(dá)山頂后繼續(xù)上山，還可以上行1/2，同時，乙還可以上行1/4
這時路程差為;500*(1+1/2)=750
750÷（1/2-1/4）=3000

下面寫下常規(guī)解法：
S/V甲=(S-500)/V乙
S/2V甲=1/2S/2V乙+500/V乙

例題4（老題，但是非常經(jīng)典）
甲班和乙班學(xué)生同時從學(xué)校出發(fā)去某個公園，甲班不行的速度是每小時4千米，乙班的速度是每小時3千米。學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時48千米，這輛汽車恰好能坐一個班的學(xué)生。為了使兩班學(xué)生在最短的時間內(nèi)達(dá)到，那么甲班學(xué)生與乙班學(xué)生需要步行的距離比是多少？
估計很多人都記得答案了15：11
下面解下…
最短時間到達(dá)，只需要甲乘坐汽車與乙走路同時到達(dá)某公園
設(shè)，乙先坐車，甲走路，當(dāng)汽車把乙班送到C點，乙班學(xué)生下車走路，汽車返回在B點處接甲班的學(xué)生，根據(jù)時間一定，路程的比就等于速度的比：
簡單化下圖
A……………B……………………C…………..D
其實就是比例解法：
AB(AC+BC)=4;48=1:12
AB:2BC=1:11------------------①
在C點乙班下車走路，汽車返回接甲，然后汽車與乙班同時到達(dá)某公園
(BC+BD):CD=48:3=16:1
2BC:CD=15:1------------------②
將①、②做比
AB:CD=15:11

歷年全國各地真題討論之行程問題總結(jié)（上）

1、甲乙同時從A 地步行出發(fā)往B 地，甲60 米/分鐘，乙90 米/分鐘，乙到達(dá)B 地折返
與甲相遇時，甲還需再走3 分鐘才到達(dá)B 地，求AB 兩地距離？
A.1350 B.1080 C.900 D.750
-----------------------------------------------------------------
卡卡西解析：
畫個草圖（M點表示他們相遇的地點）
A--------------------------M---------B
根據(jù)比例法，時間一定，路程比等于速度比
所以AM:AM+2MB=60:90=2:3
AM：MB=4：1
MB=3*60=180
所以全程就是180*（4+1）=900



2、甲早上從某地出發(fā)勻速前進，一段時間后，乙從同個地點出發(fā)以同樣的速度同向前進，在上午10點時，乙走了6千米，他們繼續(xù)前進，在乙走到甲在上午10時到達(dá)的位置時，甲共走了16.8千米，問：此時乙走了多少千米？
A.11.4 B.14.4 C.10.8 D.5.4
---------------------------------------------------------------
卡卡西解析：
此題看似復(fù)雜，但是只要認(rèn)真畫圖就能很輕易的做出來。
畫出10點的時候他們的位置圖
A---------------------B-----------C----------D------
可以知道AB=6   BC=X   CD=X
所以6+2X=16.8
X=5.4
5.4+6=11.4



3、甲、乙、丙三人，甲每分鐘走 50 米，乙每分鐘走 40 米，丙每分鐘走 35 米，甲、乙從 A 地，丙從 B 地同時出發(fā)，相向而行，丙遇到甲 2 分鐘后遇到乙，那么，A. B 兩地相距多少 米？
A. 250 米 B.500 米 C. 750 米 D. 1275 米
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卡卡西解析：
當(dāng)甲遇到丙時，乙和丙的距離是2*（40+35）=150
甲每分鐘比乙多走10米，所以相遇的時候甲走了150/10=15分鐘，
總的路程S=（V甲+V丙）*15
所以全長是（50+35）*15=1275
此題也可以秒殺（50+35=85）85的倍數(shù)



4、A、.B 兩站之間有一條鐵路，甲、乙兩列火車分別停在 A 站和 B 站，甲火車 4 分鐘走的路程等于乙火車 5 分鐘走的路程．乙火車上午8 時整從B 站開往A站，開出一段時問后，甲火車從 A 站出發(fā)開往 B 站，上午 9時整兩列火車相遇．相遇地點離A、.B兩站的距離比是15：16．那么．甲火車在（ ） 從 A 站出發(fā)開往 B 站．
A ．8時12 分 B .8時15 分 C . 8 時 24 分 D . 8 時 30 分
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卡卡西解析：
甲乙速度比5：4，路程比是15：16，所以時間比是3：4
3：4=X：1
X=0.75*60=45
既甲從8時15分開始出發(fā)
簡單的說兩句：路程、速度時間的關(guān)系也適用于比例算法中
如：路程/速度=時間
     路程比/速度比=時間比



5、AB兩地以一條公路相連。甲車從A地，乙車從B地以不同的速度沿公路勻速率相向開出。兩車相遇后分別掉頭，并以對方的速率行進。甲車返回A地后又一次掉頭以同樣的速率沿公路向B地開動。最后甲、乙兩車同時到達(dá)B地。如果最開始時甲車的速率為X米/秒，則最開始時乙車的速率為（）。
A. 4X米/秒 B. 2X米/秒 C. 0.5X米/秒 D. 無法判斷
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卡卡西解析：
此題看似比較復(fù)雜，但是只要我們仔細(xì)分析就能得出：
相同時間內(nèi)用甲的速度走了一個AB的距離，用乙的速度走了2個AB的距離，
時間一定，路程比等于速度比
所以V甲：V乙=1：2
V乙=2X



6、一個人乘車去旅行，車走了1/3 路程他就睡著了，當(dāng)他醒來時車還需繼續(xù)行
駛他睡著時的1/3 的距離，則他睡著時車行駛了全程的幾分之幾？（）
A．3/8 B．3/7 C．1/2 D．3/5
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卡卡西解析：
此題實在沒啥好說的，
1/3+X+1/3 *X=1
X=1/2



7、一列長為280 米的火車，速度為20 米/秒，經(jīng)過2800 米的大橋，火車完全通過這座大橋，需要多少時間？（ ）
A．48 B．2 分20 秒 C．2 分28 秒 D．2 分34 秒
----------------------------------------------------------
卡卡西解析：
此題簡單，屬于秒秒鐘搞定的范圍
從開始上橋到完全下橋的時間=（橋長+車長）/車速；
（2800+280）/20=154s=2分34秒



8、在同一環(huán)形跑道上小陳比小王跑的慢，兩人都按同一方向跑步鍛煉時，每隔
12 分鐘相遇一次；若兩人速度不變，其中一人按相反方向跑步，則每隔4分鐘相遇一次。問兩人跑完一圈花費的時間小陳比小王多幾分鐘？（）
A．5 B．6 C．7 D．8
-----------------------------------------------------
卡卡西解析：
此題也沒啥好說的
設(shè)總路程為1，小陳速度Y，小王速度X，則：
4X+4Y=1
12X-12Y=1，求出X=1/6，Y=1/12，所以多了12-6=6分鐘。



9．一只船沿河順?biāo)械暮剿贋?30 千米/小時，已知按同樣的航速在該河上順?biāo)叫?3 小 時和逆水航行 5 小時的航程相等，則此船在該河上順?biāo)靼胄r的航程為；
A, 1 千米     B, 2 千米     C, 3 千米     D, 6 千米
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卡卡西解析：
水速=（順?biāo)?逆速）/2，
（30-18）/2=6，
因此漂流半小時就是6*1/2=3千米



10、甲從某地出發(fā)均速前進，一段時間后，乙從同一地點以同樣的速度同向前進，在 K 時刻乙距起點 3 0 米；他們繼續(xù)前進，當(dāng)乙走到甲在 K 時刻的位置時，甲離起點 108 米。問： 此時乙離起點多少米?
A．39 米     B．69 米     C．78 米     D．138 米
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卡卡西解析：
此題和第二個題目類似
2X+30=108
X=39
39+30=69
“甲乙兩班同學(xué)到XX地，只有一輛車，甲先坐車。。。”今天特地總結(jié)了類似的5個題目奉獻(xiàn)給大家，希望大家好好的學(xué)習(xí)下！都是些比較經(jīng)典的題目！
首先說說我的解法“三段圖法”
我一般都是根據(jù)速度比，用比例法算出三段距離的比
A……………B……………………C…………..D
即先坐車的人在C點下車，然后步行到終點D
車回頭再B點接先步行的人。
只要算出三段的比例，此類題就迎刃而解了

1、甲班和乙班學(xué)生同時從學(xué)校出發(fā)去某個公園，甲班不行的速度是每小時4千米，乙班的速度是每小時3千米。學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時48千米，這輛汽車恰好能坐一個班的學(xué)生。為了使兩班學(xué)生在最短的時間內(nèi)達(dá)到，那么甲班學(xué)生與乙班學(xué)生需要步行的距離比是多少？
---------------------------------------------------------------------------
最短時間到達(dá)，只需要甲乘坐汽車與乙走路同時到達(dá)某公園
設(shè)，乙先坐車，甲走路，當(dāng)汽車把乙班送到C點，乙班學(xué)生下車走路，汽車返回在B點處接甲班的學(xué)生，根據(jù)時間一定，路程的比就等于速度的比：
簡單化下圖
A……………B……………………C…………..D
其實就是比例解法：
AB(AC+BC)=4;48=1:12
AB:2BC=1:11------------------①
在C點乙班下車走路，汽車返回接甲，然后汽車與乙班同時到達(dá)某公園
(BC+BD):CD=48:3=16:1
2BC:CD=15:1------------------②
將①、②做比
AB:CD=15:11
  
2、甲、乙兩班學(xué)生到離學(xué)校24千米的飛機場參觀。但只有一輛汽車，一次只能乘坐一個班的學(xué)生，為了盡快到達(dá)飛機場，兩個班商定，由甲班先坐車，乙班先步行，同時出發(fā)，甲班學(xué)生在途中某次下車后再步行去飛機場，汽車則從某地立即返回接在途中步行的乙班學(xué)生，如果兩班學(xué)生步行的速度相同，汽車速度是他們步行速度的7倍，那么汽車在距飛機場多少千米處返回接乙班學(xué)生，才能使兩班學(xué)生同時到達(dá)飛機場？（     ）
A.1.5   B.2.4   C.3.6   D.4.8
--------------------------------------------------------
甲先坐車，乙走路，當(dāng)汽車把甲班送到C點，甲班學(xué)生下車走路，汽車返回在B點處接乙班的學(xué)生，根據(jù)時間一定，路程的比就等于速度的比：
簡單化下圖
A……………B……………………C…………..D
因為速度比是7：1
很容易推導(dǎo)出AB:BC=1：3
（因為時間一定，路程比等于速度比。所以乙走的路程AB比上車走的路程AB+2BC（因為是到了C點再回到B點，所以是2BC）
即AB:AB+2BC=1:7
AB:2BC=1:6
AB:BC=1:3
同理BC:CD=3：1
所以AB：BC：CD=1:3:1
題目問的是“那么汽車在距飛機場多少千米處返回接乙班學(xué)生，才能使兩班學(xué)生同時到達(dá)飛機場”
很明顯是求CD段的長度，全程是5份，CD占1份
所以CD=24/5*1=4.8

3、某團體從甲地到乙地，甲、乙兩地相距 100千米，團體中一部分人乘車先行，余下的人步行，先坐車的人到途中某處下車步行，汽車返回接先步行的那部分人，已經(jīng)步行速度為8千米/小時，汽車速度為40千米/小時。問使團體全部成員同時到達(dá)乙地需要多少時間？

     A.5.5小時             B.5小時                 C.4.5小時             D.4小時
--------------------------------------------------------------
因為二隊是同時出發(fā)又同時到達(dá)，所以二隊步行的距離相等，乘車的距離也相等。
設(shè)第一隊乘車的距離是X，則步行的距離是100-X
那么第二隊步行的距離也是100-X，
汽車從第一隊人下車到回來與第二隊相遇所行駛的距離（即空車行使的距離）是：100-2×（100-X）=2X-100
根據(jù)汽車從出發(fā)到與第二隊相遇 所用時間與第二隊步行的時間相同。所以列方程：
【X＋（2x－100）】÷40＝（100－x）÷8 解得 x＝75
則以第一隊為例
所用總時間為乘車時間＋步行時間＝（75÷40）＋（100－75）÷8＝5小時！

我的習(xí)慣做法，“三段圖法”
A------------------B---------------------C--------------D
根據(jù)速度比是40：8=5：1
算出AB:BC=1:2
總的就是1+1+2=4份
觀察車，車走了1+2*3+1=8份=2S
所以T=2S/40=200/40=5小時

4、甲乙兩班同學(xué)同時去離學(xué)校12.1千米的陵園，甲班先乘車后步行，乙班先步行，當(dāng)送甲班同學(xué)的車回來時乙立即乘車前去。兩班步行速度都是每小時5千米，車速度都是每小時40千米，已知兩班同時到達(dá)陵園，那么甲在離陵園多遠(yuǎn)的地方下車？
A 2千米       B2.2千米       C2.5千米       D3 千米
-------------------------------------------------------------------
解析：
設(shè)甲在C點下車，乙在B點上車
A------------B-----------------------------C----------D
時間一定，路程比等于速度比
速度比是8：1
路程比是AB+2BC:AB=8：1
所以2BC:AB=7:1
BC:AB=7:2
三段的比是2：7：2
12.1*2/11=2.2

5、有兩個班的小學(xué)生要到少年宮參加活動，但只有一輛車接送。第一班的學(xué)生坐車從學(xué)校出發(fā)的同時，第二班學(xué)生開始步行；車到途中某處，讓第一班學(xué)生下車步行，車立刻返回接第二班學(xué)生上車并直接開往少年宮。學(xué)生步行速度為每小時4公里，載學(xué)生時車速每小時40公里，空車每小時50公里。那么，要使兩班學(xué)生同時到達(dá)少年宮，第一班學(xué)生步行了全程的幾分之幾？（學(xué)生上下車時間不計）（     ）
A. 1/7               B. 1/6               C. 3/4               D. 2/5
盤絲大仙解析：
因為他們最后要同時到達(dá)終點，而且人的速度又是一樣的，所以跟以前我們做到那道最后是五小時的一樣，人走的距離始終都是一樣的，所以有以下等式
1/4=x/50+（x+1）/40   x解出來等于5，那么全程就是7，所以第一班學(xué)生走了1/7