- Hello，這里是魔法君。

如果要我選一個(gè)主題，它不僅讓線性代數(shù)的其他內(nèi)容一目了然，又經(jīng)常被初次學(xué)習(xí)線性代數(shù)的人忽視。我會(huì)選擇這個(gè)——線性變換的概念以及它和矩陣的關(guān)系。

今天，魔法君只會(huì)集中講解這些變換在二維空間中長(zhǎng)什么樣，以及它們?nèi)绾闻c矩陣向量乘法關(guān)聯(lián)，怎樣可以用一種方法不死記硬背地考慮矩陣向量乘法。

首先，我們先來(lái)解析“線性變換（Linear transformation）”這個(gè)術(shù)語(yǔ)。

“變換（transformation）”本質(zhì)上是“函數(shù)（function）”的一種花哨的說(shuō)法。它接收輸入內(nèi)容，并輸出對(duì)應(yīng)結(jié)果。特別的，在線性代數(shù)的情況下，我們考慮的是接收一個(gè)向量并且輸出一個(gè)向量的變換。

既然“變換”和“函數(shù)”的意義相同，為什么還要使用前者而不是后者？

因?yàn)槭褂谩白儞Q”是在暗示以特定方式來(lái)可視化這一輸入-輸出關(guān)系。一種理解“向量的函數(shù)”的方法是使用運(yùn)動(dòng)。

如果一個(gè)變換接收一個(gè)向量并輸出一個(gè)向量，我們想象這個(gè)輸入向量移動(dòng)到輸出向量的位置。

接下來(lái)，要理解整個(gè)變換，我們可以想象每一個(gè)輸入向量都移動(dòng)到對(duì)應(yīng)輸出向量的位置。因?yàn)閷⑾蛄靠醋骷^時(shí)，同時(shí)考慮所有二維向量會(huì)變得非常擁擠。

所以魔法君這里告訴大家一個(gè)好技巧：將每一個(gè)向量看作它的終點(diǎn)，而不是一個(gè)箭頭。用這種方法考慮所有輸入向量都移動(dòng)到對(duì)應(yīng)輸出向量的位置時(shí)，我們只用看空間中的所有點(diǎn)移動(dòng)到其他點(diǎn)的位置。

二維變換這種情況下，為了更好地體會(huì)整個(gè)空間形狀上的改變，我喜歡對(duì)無(wú)限網(wǎng)格上的所有點(diǎn)同時(shí)做變換。我有時(shí)也喜歡在背景中保留原始網(wǎng)格的副本，以便追蹤終點(diǎn)與起點(diǎn)的相對(duì)關(guān)系。

你不得不承認(rèn)，各種各樣對(duì)空間的變換所產(chǎn)生的效果是很美妙的，它們能給你一種擠壓和變形空間的感覺。你也能想象到，任意一個(gè)變換可以非常復(fù)雜。

但幸運(yùn)的是，線性代數(shù)限制在一種特殊類型的變換上，這種變換更容易理解，稱為“線性變換（Linear transformation）”。

直觀的說(shuō)，如果一個(gè)變換具有以下兩條性質(zhì)，我們就稱它是線性的。

一是直線在變換后仍然保持為直線，不能有所彎曲；

二是原點(diǎn)必須保持固定。

舉幾個(gè)例子，現(xiàn)在所示的這個(gè)變換不是線性變換。

因?yàn)橹本€變得彎曲了。

而對(duì)于這一個(gè)變換，即便保持直線平直，它也不是一個(gè)線性變換。

因?yàn)樗苿?dòng)了原點(diǎn)的位置（但它是仿射變換Affine Transformation）。

這一個(gè)變換保持原點(diǎn)不動(dòng)，乍一看它好像保持直線平直。但實(shí)際并非如此，因?yàn)槲抑唤o你展示了水平和豎直的網(wǎng)格線。當(dāng)你看看它對(duì)一條對(duì)角線作用時(shí)，很明顯它不是一個(gè)線性變換。

因?yàn)檫@條線被彎曲了。

總的來(lái)說(shuō)，你應(yīng)該把線性變換看作是“保持網(wǎng)格線平行且等距分布”的變換。

部分線性變換很容易思考，比如關(guān)于原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。

其他的稍顯復(fù)雜，難以言表。

你覺得應(yīng)該如何用數(shù)值去描述這些線性變換呢？比如說(shuō)，你在通過(guò)編程制作動(dòng)畫和視頻來(lái)教授這一主題，你應(yīng)該給計(jì)算機(jī)什么樣的計(jì)算公式使得你給它一個(gè)向量的坐標(biāo)，它能給你變換后向量的坐標(biāo)呢？

實(shí)際結(jié)果是，你只需要記錄兩個(gè)基向量i帽和j帽變換之后的位置，其他向量都會(huì)隨之運(yùn)動(dòng)。

比如說(shuō)，考慮坐標(biāo)為（-1,2）的向量v，這個(gè)向量就是-1與i帽之積和2與j帽之積的和。

如果我們運(yùn)用一些變換，并且跟隨這三個(gè)向量運(yùn)動(dòng)。網(wǎng)格線保持平行且等距分布的性質(zhì)有一個(gè)重要的推論。變換后的向量v的位置，是-1與變換后的i帽之積，加上2與變換后的j帽之積。

換句話說(shuō)，向量v是i帽和j帽的一個(gè)特定線性組合，那么變換之后的向量v也是變換后i帽和j帽的同樣的線性組合。這意味著，你可以只根據(jù)變換后的i帽和j帽，就推斷出v變換后的v。

對(duì)于現(xiàn)在所示的變換，我們可以看出i帽落在坐標(biāo)（1，-2）上，j帽落在x軸上，坐標(biāo)為（3,0）。也就是說(shuō)，-1乘以i帽加上2乘以j帽所代表的向量，會(huì)落在-1乘以向量（1，-2）加上2乘以向量（3,0）的位置上。

簡(jiǎn)單運(yùn)算之后，你就能推斷出向量v一定落在向量（5,2）上。

因?yàn)檫@部分非常重要，所以希望你能夠花一點(diǎn)時(shí)間仔細(xì)思考一下~

實(shí)際上，因?yàn)槲医o你展示了整個(gè)變換的樣子，你完全可以直接讀出向量v在變換后落在坐標(biāo)（5,2）上。但是更炫酷的是，只要記錄了變換后的i帽和j帽，我們就可以推斷出任意向量在變換之后的位置，完全不必觀察變換本身是什么樣。

一般的情況下，一個(gè)向量的坐標(biāo)是（x,y），變換后的這個(gè)向量就是x乘以變換后的i帽（1，-2），加上y乘以變換后的j帽（3,0），簡(jiǎn)單運(yùn)算之后你就知道它落在坐標(biāo)（1x+3y,-2x+0y）上。

運(yùn)用這個(gè)公式，我給你任意一個(gè)向量，你就能告訴我它在變換后的位置。

以上的內(nèi)容是在說(shuō)，一個(gè)二維線性變換僅又四個(gè)數(shù)字完全確定——變換后i帽的兩個(gè)坐標(biāo)與變換后j帽的兩個(gè)坐標(biāo)。是不是很cool？

在之后的有趣的數(shù)學(xué)中，魔法君會(huì)為大家進(jìn)一步講解——矩陣，記得持續(xù)關(guān)注我們哦~