引言

線性代數(shù)(高等代數(shù))是進(jìn)入大學(xué)之后學(xué)習(xí)代數(shù)的起點(diǎn)，和數(shù)學(xué)分析，解析幾何并稱數(shù)學(xué)三大基礎(chǔ)課。需要注意的是，一般理工科學(xué)的是線性代數(shù)，數(shù)學(xué)系學(xué)的是高等代數(shù)，高等代數(shù)相比于線性代數(shù)，除了內(nèi)容上增加了多項(xiàng)式以外，難度和深度也有增加。當(dāng)然，高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析所學(xué)的內(nèi)容也有所區(qū)別，這里就不再贅述。以如今的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來看，線性代數(shù)幾乎無處不在，它的概念與方法已經(jīng)滲透到和數(shù)學(xué)相關(guān)的方方面面，這也正是為什么線性代數(shù)如此重要的原因。

線性代數(shù)的課程內(nèi)容基本上可以劃分為矩陣、線性空間，線性變換三大部分，每個(gè)部分里還又可以分成若干小部分。當(dāng)熱，線性變換無疑是線性代數(shù)的核心內(nèi)容，而對(duì)線性變化的研究又可以轉(zhuǎn)化為對(duì)矩陣的研究，如此看來，“矩陣”應(yīng)當(dāng)說是線性代數(shù)最核心的概念。而行列式又緊密著矩陣，因此行列式的重要性自然也不言而喻。今天我們就簡(jiǎn)單地分析一下行列式和矩陣的一些淺顯性質(zhì)和意義，限于篇幅和學(xué)識(shí)，就不過多的展開。

行列式

線性代數(shù)比較傳統(tǒng)的講法都是從解線性多元方程組開始，因?yàn)檫@樣可以自然地引出行列式和矩陣的概念。從數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展來看，雖然行列式和矩陣看起來“非常相似”，但對(duì)行列式的研究早于矩陣。行列式的概念來源于日本的關(guān)孝和，而差不多一百年后才由克拉默正式提出了利用行列式解線性方程組的方法，也就是我們熟知的克拉默法則。

行列式的原始定義來源于解n×n型線性方程組，也就是把n×n個(gè)系數(shù)拿出來進(jìn)行行列式運(yùn)算。以完全數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，行列式是一個(gè)關(guān)于列的多重反對(duì)稱線性函數(shù)，至于怎么去具體定義以及行列式的各種性質(zhì)，這里不再贅述。

特別要提到的是，行列式的性質(zhì)與線性方程組的性質(zhì)高度相關(guān)，我們都知道解線性方程組有著名的高斯消元法，也就是不斷地把前面的方程乘以一個(gè)常數(shù)加到后面方程中去，這樣就可以逐漸減少后面方程的未知數(shù)個(gè)數(shù)直到不能減少為止，然后通過解這個(gè)未知數(shù)最少的方程來逐漸解整個(gè)方程組。這里可能會(huì)出現(xiàn)行列式為0的情形，也就是至少某兩個(gè)方程是等價(jià)的，而等價(jià)就是說進(jìn)行高斯消元后其中一個(gè)是另一個(gè)的倍數(shù)，這樣的后果就是方程組的解不唯一，解將由一個(gè)或多個(gè)參數(shù)表達(dá)出來。粗略的說，解如果要唯一，那么不等價(jià)方程的個(gè)數(shù)就要等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，這也就是求行列式的價(jià)值所在，它恰是判斷這一結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)。

行列式只能定義為n×n的形式，因?yàn)樗钤缇褪怯脕硌芯縩×n型線性方程組的。關(guān)于這樣的線性方程組，著名的克拉默法則指出，如果一個(gè)線性方程組的系數(shù)行列式不為0，那么它有唯一解并且可以用行列式表達(dá)出來。那么一個(gè)自然的問題是，如果一個(gè)線性方程組的方程個(gè)數(shù)和未知數(shù)個(gè)數(shù)不一樣怎么辦？這也就引出了矩陣的概念。但需要注意的是，矩陣并不是行列式的推廣，行列式是一種運(yùn)算，而矩陣則是一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，或者說研究的對(duì)象。

矩陣

類似于行列式中的形式，我們把方程組的系數(shù)拿出來構(gòu)成一個(gè)所謂的系數(shù)矩陣，而把未知數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別拿出來構(gòu)成一個(gè)列向量，再把系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)重新組合成一個(gè)增廣矩陣。

實(shí)際上高斯消元法對(duì)這樣的方程組同樣有效，而且在這樣的表達(dá)形式下，我們只需要對(duì)增廣矩陣進(jìn)行操作就行了，那么對(duì)方程組的研究就完全轉(zhuǎn)化為對(duì)矩陣的研究，實(shí)現(xiàn)了從具體到抽象的過程。對(duì)于數(shù)學(xué)而言，很多時(shí)候我們關(guān)心的是解的情況而不是去具體求出來，比如解的存在唯一性，或者不唯一的情況下用幾個(gè)參數(shù)能表達(dá)出來。

為了達(dá)到這些目的，就要引入矩陣的“秩”這個(gè)深刻概念。從一個(gè)a行b列的a×b矩陣中任意拿出n行n列(n≤a,b)構(gòu)成一個(gè)方陣(也就是行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣)，如果這個(gè)方陣的行列式不為0，就稱之為非奇異或可逆的，使得n×n方陣非奇異的最大的n就成為這個(gè)矩陣的秩，并且若n等于a和b中較小的一個(gè)，就稱之為滿秩(秩記為R)。實(shí)際上，可以看出，矩陣的秩實(shí)際上就是不等價(jià)方程的個(gè)數(shù)。接下來就可以證明，線性方程組有解的充分必要條件就是系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩(記為r)相等，進(jìn)一步，解的參數(shù)有b－r個(gè)，如果b－r<0，那么方程組不相容，也就無解。特別的，如果系數(shù)矩陣滿秩，那么一定有解，因?yàn)榇藭r(shí)增廣矩陣也滿秩。至此，線性方程組解的存在唯一性問題已經(jīng)完全解決。

再考慮更一般的情形，也就是未知數(shù)也不止一列，此時(shí)把不同的未知數(shù)的列拿來構(gòu)成一個(gè)矩陣，這樣就得到了矩陣的乘法含義，即系數(shù)矩陣乘以未知數(shù)列矩陣等于常系數(shù)列矩陣。由矩陣乘法定義可以看出，矩陣A和B可以相乘的條件是A的列數(shù)要等于B的行數(shù)。

可以看出，方陣是矩陣中最重要的一種，因?yàn)樗梢郧笮辛惺?。如果行列式不?，這樣又引出矩陣的逆矩陣這樣的概念。方陣A在乘法的運(yùn)算下，具有單位元，也即單位矩陣E(對(duì)角線全為1的矩陣)，滿足AE=EA=A。如果AB=BA=E,那么稱B為A的逆矩陣。如果再回到線性方程組Ax=b上，如果A可逆，那么在方程組兩邊左乘A的逆矩陣B，那么x=Bb,這樣就直接解出了方程組！這也正是逆矩陣的原始意義。求逆矩陣的方法很多，這里就不多說了。

方陣的行列式

線性空間又稱向量空間，取定一組基底后，線性空間中的元素完全由它在基底下的系數(shù)決定，那么判斷若干個(gè)向量是否線性相關(guān)就轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣秩的問題。一個(gè)線性空間到自身的線性映射就稱為線性變換，取定一組基底后，線性變換將由它在基底下的矩陣(實(shí)際上是一個(gè)方陣)唯一決定。例如圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和壓縮等都屬于線性變換。

在求多重積分的變量替換過程中，我們遇到過雅可比矩陣及其行列式，這個(gè)行列式擁有深刻的幾何意義。dx1dx2……dxn表示的是體積微元，我們知道變量替換要求雅可比行列式不為0，實(shí)際上雅可比行列式反應(yīng)的是有向體積元在線性變換下的伸縮情況，因?yàn)槲⒎挚梢钥醋髑锌臻g上的線性變換。如果雅可比行列式為0，那么線性變換不可逆，它把高維的空間映射到低維空間，一一對(duì)應(yīng)就不復(fù)存在，很多東西就失去意義。

行列式的幾何意義通過這種方式得到了粗略的解釋，但行列式所能表達(dá)的意義遠(yuǎn)不止于此，例如它還能表示出向量的外積，多面體的體積等等，當(dāng)然，核心思想都是相似的。

結(jié)語

我們從線性方程組出發(fā)，簡(jiǎn)單分析了行列式和矩陣這兩個(gè)概念，又在線性變換這一核心內(nèi)容下重新觀察了矩陣及其行列式。但不得不說的是，關(guān)于矩陣的內(nèi)容博大精深，我們所說的這些連九牛一毛都算不上，充其量只算是引出概念。我們的介紹到這里就告一段落，感興趣的朋友們可以參看相關(guān)的書籍。