作者 | 林開亮

來源 | 《數(shù)學(xué)文化》第4卷第4期，pp. 93-100

我的眼界第一次被拉烏（A. E. Love）教授打開了，……。但我最要感謝他這位應(yīng)用數(shù)學(xué)家的是，他建議我閱讀約當(dāng)（C. Jordan）著名的《分析教程》；我永遠(yuǎn)都不會(huì)忘記閱讀這本了不起的著作時(shí)所產(chǎn)生的驚喜，對(duì)我們那個(gè)時(shí)代的許多數(shù)學(xué)家來說，這是第一個(gè)啟迪，而且，在閱讀那本書時(shí)我第一次體會(huì)到了數(shù)學(xué)的真正意義。從那以后，我就懷有徹底的抱負(fù)和對(duì)數(shù)學(xué)的真正激情，以我自己的方式成為真正的數(shù)學(xué)家了。

哈代（G. H. Hardy），《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》

（A Mathematician's Apology）¹

我從來不讀太多的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。多數(shù)時(shí)候我看文獻(xiàn)是想知道其他人都干了什么，看看我能理解些什么，然后按我的方式去構(gòu)建它。我沒有讀過幾本數(shù)學(xué)書，但我讀過的書都對(duì)我起了很大作用。我關(guān)注文章勝過教科書。但有一本書對(duì)我來說意義非凡，就是赫克（Erich Hecke）的《代數(shù)數(shù)論》（Algebraische Zahlentheorie）²，我從這本書中學(xué)到了很多東西。它是一件珍品?！痛鷶?shù)數(shù)論而言，有很多書我都試著去讀過，但沒有一本符合我看待事情的方式。我發(fā)現(xiàn)赫克的書很容易理解，例如他引入和討論理想這一概念的方式。外爾（Hermann Weyl）寫過一部篇幅很短的代數(shù)數(shù)論的書，朗道（E. Landau）也寫過一本同樣主題的書?？墒?，我沒有從他們的書中找到舒服的感覺。我喜歡赫克看待事物的方式，他用這種方式干得相當(dāng)好……

——塞爾伯格（A. Selberg）³

最近，有位高人給筆者推薦了臺(tái)灣大學(xué)物理系教授高涌泉先生的文章《啟蒙書》⁴，該文講述了英國物理學(xué)家金斯（James Jeans）的科普書《神秘的宇宙》（The Mysterious Universe）對(duì)楊振寧的啟蒙作用，讓筆者聯(lián)想到其他科學(xué)大師曾經(jīng)遇到的數(shù)學(xué)啟蒙書。茲就筆者所了解的情況與讀者分享這些已成為歷史的小秘密。

楊振寧（1922-）

我們?nèi)匀粡臈钫駥幭壬f起，他是當(dāng)代最有成就的理論物理學(xué)家之一，從某方面來說，他的物理成就與他深厚的數(shù)學(xué)功底密不可分，這也許是大家并不太了解的。楊振寧先生的數(shù)學(xué)才能一方面是受之于他的數(shù)學(xué)家父親楊武之，另一方面則是得益于他所接受到的很好的數(shù)學(xué)啟蒙。例如，英國數(shù)學(xué)家哈代的《純數(shù)學(xué)教程》（A Course of Pure Mathematics）就曾給年少的楊振寧以很深的印象。2004 年 5 月 12 日，楊先生在清華大學(xué)中文系的無題漫談⁵中講到 ：

同學(xué)們要我舉出對(duì)我影響最深的書，一本英文的，一本中文的。這個(gè)問題很難回答， 因?yàn)槭澜缟蠒嗔?。不過我想可以換一個(gè)說法， 推薦幾本有意思的書。先講數(shù)學(xué)。我在大學(xué)一年級(jí)的時(shí)候，我父親從圖書館借來一本《純數(shù)學(xué)教程》，這是英國的一個(gè)大數(shù)學(xué)家在二十世紀(jì)初寫的。我看了這本《純數(shù)學(xué)教程》之后大開眼界， 什么緣故呢？因?yàn)槭澜缟纤械臄?shù)學(xué)在開始的時(shí)候都是教小孩子像 1，2，3，4、小數(shù)點(diǎn)、分?jǐn)?shù)這樣出來的，但是，對(duì)整個(gè)邏輯系統(tǒng)沒有注意。這本書整個(gè)方法是從邏輯的系統(tǒng)開始的， 這使得當(dāng)時(shí)十六歲的我忽然了解到，數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)原來還可以有另外一種看法，這對(duì)我是一個(gè)很大的啟發(fā)。這本書很有名， 相當(dāng)于大學(xué)一二年級(jí)數(shù)學(xué)的程度，可是它吸取了近代數(shù)學(xué)的精神，對(duì)任何一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)有興趣的同學(xué)我都推薦。

哈代的《純數(shù)學(xué)教程》，有中譯本

《純數(shù)學(xué)教程》自 1908 年問世以來，在 1914-1952年不到四十年的時(shí)間里重版九次，僅第九版就三次重印，而 1952 年的第十版先后重印七次。2008 年，劍橋大學(xué)出版社推出了該書的一百周年紀(jì)念版，特別邀請(qǐng)劍橋大學(xué)的數(shù)學(xué)教授柯勒（T. W. K?rner）寫了前言。值得一提的是，自 1937 年第七版開始，哈代在書中收入了劍橋大學(xué)學(xué)士榮譽(yù)學(xué)位考試（Mathematical Tripos）的考題作為練習(xí)，對(duì)正文提供了極豐富的補(bǔ)充。我們借用柯勒的話來向讀者推薦《純數(shù)學(xué)教程》：

了解哈代 ⁶就是了解一位對(duì)于自身能力有充分認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)家，同時(shí)他把你作為一個(gè)自然的平等對(duì)象。希望這本書能帶給你它曾經(jīng)帶給我那般多的愉悅。

《純數(shù)學(xué)教程》第一章講的是實(shí)數(shù)的基本理論，這大概就是令楊振寧年少時(shí)最為震驚的一章，對(duì)一個(gè)習(xí)慣了輕松閱讀的現(xiàn)代高中生來說，也許會(huì)感到枯燥無聊，我們用另一個(gè)中學(xué)生的小故事來鼓勵(lì)讀者。他就是后來成為了一代數(shù)學(xué)大師的挪威數(shù)學(xué)家塞爾伯格，剛好這里有一張塞爾伯格與楊振寧的合照。

塞爾伯格和楊振寧

塞爾伯格（Atle Selberg, 1917-2007）

1987 年， 印 度 天 才 數(shù) 學(xué) 家 拉 馬 努 金（Srinivasa Ramanujan, 1887-1920）誕辰一百周年，數(shù)論專家塞爾伯格應(yīng)邀在紀(jì)念活動(dòng)上做了講話⁷，回憶起拉馬努金的著作對(duì)他的影響 ：

拉馬努金的著作對(duì)于我成為一個(gè)數(shù)學(xué)家起了十分重要的作用。我第一次見到他的名字是在 1934 年。那時(shí)，我見到刊登在《挪威數(shù)學(xué)會(huì)期刊》上的一篇文章。我父親訂閱這種期刊。文章的名字（從挪威文翻譯過來）是“印度人斯里尼瓦薩 · 拉馬努金——一個(gè)非凡的數(shù)學(xué)天才”。但是我要補(bǔ)充說明一句，在挪威語與英語之間是不存在一一對(duì)應(yīng)的。此處被我譯成“非凡的”那個(gè)挪威詞的原意是“不尋常而且有點(diǎn)奇怪的”。文章是奧斯陸大學(xué)的一位數(shù)學(xué)教授寫的，他的名字叫斯托摩（Carl St?rmer）。他年輕時(shí)就對(duì)數(shù)論開始感興趣，后來轉(zhuǎn)而研究北極光的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，而且在該領(lǐng)域頗有聲望，但仍然保持了對(duì)（純）數(shù)學(xué)的愛好。

那篇文章主要選材于 1927 年劍橋大學(xué)出版社出 版 的《 拉 馬 努 金 論 文 集 》（Collected Papers of Srinivasa Ramanujan）中的一篇傳記 ⁸。文中概述了拉馬努金的一生，并且引證了他相當(dāng)多的結(jié)果和例子。在我看來，那都是極為神奇、美妙而驚人的公式。如果我沒記錯(cuò)的話，那篇文章大約有十五頁到二十頁的光景。然而，它卻在我腦海中留下了深刻而持久的印象，對(duì)我有極大的魔力。

當(dāng)時(shí)，我還是一個(gè)中學(xué)生，已經(jīng)自修了幾年數(shù)學(xué)，不過毫無系統(tǒng)性，也沒什么計(jì)劃。所讀的書是從我父親的圖書館中找到的。以私人藏書而言，這個(gè)圖書館是夠大的。

這里我要說幾句題外話，因?yàn)檫@反映出機(jī)遇在人的一生中起著何等重要——是難以估量——的作用。我大約在十三歲開始讀數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)，我偶然打開一本書，就看見了關(guān)于 π/4 的萊布尼茲公式（Leibniz's formula）：

它由奇數(shù)的倒數(shù)加正負(fù)號(hào)交錯(cuò)變化構(gòu)成。在此之前，學(xué)校課堂上的數(shù)學(xué)一直令我乏味，但是這個(gè)式子看起來不僅奇怪而且漂亮，因此我下決心要讀一讀這本書，以便知道這個(gè)式子是怎樣得到的。

現(xiàn)在回想起來，很令人吃驚的是，我居然讀完了這本書 ；考慮到這本書的開篇是討論實(shí)數(shù)的概念以及戴德金分割（Dedekind cuts）的很長的一章，這實(shí)在不是一個(gè)吸引人的開頭。

無論如何，在我讀到關(guān)于拉馬努金的文章之前，我就已經(jīng)決定投身于數(shù)學(xué)，但究竟是搞哪一類數(shù)學(xué)還不清楚。我覺得那時(shí)我想得最多的是搞解析函數(shù)的一般理論，是像奈望林奈理論（Nevanlinna's theory）那樣的東西。這在當(dāng)時(shí)是非常前沿的課題，而且我的大哥已經(jīng)開始做這方面的研究了。他是大學(xué)里的研究員。我的另一個(gè)哥哥，已經(jīng)在數(shù)學(xué)系讀了幾年書，他也讀了關(guān)于拉馬努金的這篇文章，所以從大學(xué)圖書館借了《拉馬努金論文集》，假期時(shí)他把這本書帶回家。

于是，我就有了一個(gè)機(jī)會(huì)，用幾周的時(shí)間瀏覽了全書。這簡直像是在發(fā)現(xiàn)新大陸 ；一個(gè)新的世界展現(xiàn)在我面前。我要說，與我此前所讀的書完全不同，這本書極大地喚起了我的想象力。而且，坦率地說，直到現(xiàn)在我仍然感到非常激動(dòng)，那時(shí)感受到的神秘氣氛至今猶存。正是這本書給予我自發(fā)研究數(shù)學(xué)的動(dòng)力。我開始獨(dú)自在通常稱之為 q- 級(jí)數(shù)和與之相關(guān)的恒等式方面進(jìn)行探究。

華羅庚（1910-1985）

華羅庚是自學(xué)成才的大數(shù)學(xué)家，據(jù)他的傳記作者王元與楊德莊講，他初中畢業(yè)后在家自學(xué)，“所能見到的數(shù)學(xué)書籍只有一本《大代數(shù)》，一本《解析幾何》，以及一本約 50 頁的《微積分》。此外還有兩本與數(shù)學(xué)有點(diǎn)關(guān)系的雜志《科學(xué)》與《學(xué)藝》?！边@些書也許就是華先生的啟蒙讀物吧，但這些書對(duì)華先生的影響應(yīng)該僅僅停留在起步階段，其水準(zhǔn)也許都不及目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的要求。對(duì)于職業(yè)數(shù)學(xué)家的成長而言，更重要的一類啟蒙書是那些激發(fā)了其研究而不僅僅是學(xué)習(xí)興趣的著作。由于品味與風(fēng)格各異，每個(gè)數(shù)學(xué)家遇到的研究啟蒙讀物也各不相同。塞爾伯格告訴我們，開啟了他的數(shù)學(xué)研究之路的是拉馬努金的數(shù)學(xué)論文集，那么，真正啟迪了華先生刻苦鉆研數(shù)學(xué)的又是哪些書呢？對(duì)此，他的弟子徐利治⁹曾有記載 ：

華先生很重視做學(xué)問需要有“看家本領(lǐng)”。所謂看家本領(lǐng)指的是做科研時(shí)必不可少的最基本而有用的本事。據(jù)他所說，他的扎實(shí)的看家本領(lǐng)主要來源于三部經(jīng)典著作。一是克里斯托爾（G. Chrystal）的兩卷《代數(shù)學(xué)》，二是朗道的三大卷《數(shù)論教程》，三是特恩波爾（W. H. Turnbull）與艾德肯（A. C. Aitken）合著的《矩陣標(biāo)準(zhǔn)型引論》他說，《代數(shù)學(xué)》使他學(xué)會(huì)了計(jì)算技巧，《數(shù)論教程》使他獲得了從事數(shù)學(xué)研究的分析功底，而《矩陣標(biāo)準(zhǔn)型引論》雖是一本薄薄的書，卻是幫助他后來完成矩陣幾何和復(fù)分析豐碩研究成果的基本工具。

也許可以說，華先生進(jìn)入近代數(shù)學(xué)之門主要是靠這三本書的引導(dǎo)。對(duì)于這三本書的作者，我們簡單了解一下。克里斯托爾是英國人，是十九世紀(jì)的大物理學(xué)家麥克斯韋（J. C. Maxwell）的學(xué)生，而他本人的一個(gè)得意門生則是二十世紀(jì)抽象代數(shù)的先驅(qū)之一韋德布恩（J. H. M. Wedderburn）。朗道是德國數(shù)學(xué)家，他的書寫得非常濃縮，幾乎全是歐幾里得風(fēng)格的“定義—定理—證明”的模式。特恩波爾與艾德肯都是英國人，特恩波爾有一個(gè)名叫威廉森（J. Williamson）的學(xué)生，對(duì)矩陣論貢獻(xiàn)很大；艾德肯是統(tǒng)計(jì)學(xué)家，《矩陣標(biāo)準(zhǔn)型引論》也曾被許寶騄用作矩陣論教材。

此外，還有一本書對(duì)華羅庚影響深遠(yuǎn)，這就是外爾的《典型群》（The Classical Groups），這一點(diǎn)是他的學(xué)生馮克勤¹⁰透露的 ：

華羅庚在討論班和日常談話中有許多觀點(diǎn)是大家熟知的，例如他把“班門弄斧”反其道而行之，主張“弄斧一定到班門”，即研究工作一定要與大師交手，才會(huì)有所提高。他主張讀書要“從薄變厚，再從厚變薄”，并舉例說他花了兩年的功夫念外爾的《典型群》，終于懂了其中的精髓。我們?cè)谒闹鳌抖鄰?fù)變數(shù)函數(shù)論中的典型域的調(diào)和分析》中看到他是如何把群表示加以消化，用自己獨(dú)特的矩陣技巧表達(dá)出來。

陳省身（1911-2004）

比起華羅庚來，陳省身所接受的教育要正規(guī)得多。據(jù)他在《數(shù)學(xué)陶冶我一生》¹¹中講，他 1923-1926 年在天津扶輪中學(xué)的四年高中的數(shù)學(xué)課程有 ：第一年，算術(shù)，使用中文課本；第二年，代數(shù)，使用霍爾（Hall）與奈特（Knight）的課本 ；第三年，幾何，使用文特沃思（Wentworth）與史密斯（Smith）的課本；第四年，三角學(xué)和高等代數(shù)，分別使用文特沃思與史密斯及霍爾與奈特的課本。陳先生特別提到了霍爾與奈特的《高等代數(shù)》（Higher Algebra）¹²：

我的老師都很有能力，又極富有奉獻(xiàn)精神，我做了大量習(xí)題。到第四年，我已能做霍爾與奈特《高等代數(shù)》書中引用的劍橋大學(xué)榮譽(yù)學(xué)位考試的許多題目。

在其他場合，陳先生提到了該書對(duì)他的影響 ⁹：

陳省身先生跟人講過，他搞幾何之所以會(huì)比美國的幾何學(xué)家高明一點(diǎn)，就是與他年輕時(shí)學(xué)過霍爾與奈特合著的《高等代數(shù)》有關(guān)系。而美國的不少幾何學(xué)家青少年時(shí)代都沒有受過計(jì)算技巧方面很好的訓(xùn)練。

在 南 開 大 學(xué) 時(shí) 代（1926-1930）， 陳 省 身 在 姜立夫教授的指引下讀了一些幾何著作，例如庫里奇（Coolidge）的《非歐幾何學(xué)》與《圓與球的幾何學(xué)》，薩蒙（Salmon）的《圓錐曲線》與《立體解析幾何》，以及卡斯泰爾諾沃（Castelnuovo）的《解析幾何與射影幾何》等。尤其使他著迷的是奧托 · 施陶德（Otto Staude）的二卷本著作《線構(gòu)造》。

此外，陳省身還讀了（至少是瀏覽了）一些大數(shù)學(xué)家的論文集，他在為英國數(shù)學(xué)家阿蒂亞（M. F. Atiyah）的論文集的中國影印版所作的序言中寫道 ：

我將建議我的中國同行和學(xué)生將這部論文集視為一套高級(jí)的“課本”。不論一個(gè)新的論述如何細(xì)化或改進(jìn)，關(guān)于某個(gè)課題的原始文章通常更直接而切中要害。我年少時(shí)，曾從閱讀龐加萊、希爾伯特、克萊因、胡爾維茲（Adolf Hurwitz）等名家的作品的建議中受益，后來我更加深入地閱讀了布拉施克（Wilhelm Blaschke）、埃利 · 嘉當(dāng)（élie Cartan）和霍普夫（Heinz Hopf）的論文。這也與中國的傳統(tǒng)相通 ：古人被要求熟讀孔門經(jīng)典、韓愈的散文與杜甫的詩。我真誠地希望，這些論文集不是被束之高閣，而是在年輕的數(shù)學(xué)家手中被翻爛。

龐加萊、希爾伯特、克萊因自不必說了，這是十九世紀(jì)下半葉數(shù)學(xué)界的領(lǐng)袖。至于胡爾維茲，聲名也許不及前三位那么顯赫，但他的工作是極其優(yōu)美的，就連被譽(yù)為“數(shù)學(xué)界的莫扎特”的塞爾（J. P. Serre）都為之擊節(jié)。特別要提到的是后三位 ：布拉施克、埃利 · 嘉當(dāng)和霍普夫。1931 年，陳省身成為清華大學(xué)的研究生，師從孫光遠(yuǎn)先生。1932 年，德國幾何學(xué)家布拉施克應(yīng)邀來北大開設(shè)“微分幾何中的拓?fù)鋯栴}”的系列講座，這使陳省身眼界大開，他在《數(shù)學(xué)陶冶我一生》一文中曾寫道 ：

在我的研究生學(xué)業(yè)臨近結(jié)束時(shí)，即 1934 年左右，我開始認(rèn)識(shí)到整體微分幾何（當(dāng)時(shí)稱為大范圍微分幾何）的重要性。我的主要靈感來自布拉施克的關(guān)于微分幾何的那些著作。

布拉施克關(guān)于微分幾何的那些著作為什么特別吸引陳省身，以至于他后來竟去了德國漢堡（既不是英國或美國，也不是作為數(shù)學(xué)麥加的哥廷根）追隨布拉施克念博士呢？2004 年 9 月 3 日，陳先生在事隔 70 年之后回到清華母校所作的公開演講《我的數(shù)學(xué)經(jīng)歷》¹³中透漏了原因 ：

……高斯 - 博內(nèi)公式（Gauss-Bonnet formula），我發(fā)現(xiàn)這是曲面論最要緊的一個(gè)公式，可是一般的微分幾何書都不講。原因很簡單，因?yàn)閷?duì)這個(gè)公式的真正討論需要一點(diǎn)拓?fù)涞挠^點(diǎn)。大概大家覺得微分幾何這個(gè)程度的人在拓?fù)浞矫鏁?huì)有困難，所以所有的書都不講這個(gè)高斯 - 博內(nèi)公式。我也看了許多別的書，唯一的一本講到高斯 - 博內(nèi)公式的，就是布拉施克的一本書，雖然是德文（當(dāng)時(shí)我已經(jīng)能看一點(diǎn)德文），它有一整章討論這個(gè)公式。

1934 年陳省身赴漢堡師從布拉施克，1936 年博士畢業(yè)之后去法國巴黎追隨埃利 · 嘉當(dāng)做博士后。至于嘉當(dāng)對(duì)陳省身的影響（只要想一想，埃利 · 嘉當(dāng)?shù)恼撐年愂∩碜x了十之七八）則幾乎是眾人皆知的了，恰如韋伊（A. Weil）所說 ：“在微分幾何領(lǐng)域，我相信將來的史學(xué)家一定會(huì)將陳省身看作是埃利 · 嘉當(dāng)當(dāng)之無愧的繼承人?！备鶕?jù)筆者了解的情況，霍普夫?qū)﹃愂∩淼挠绊懼辽儆袃牲c(diǎn) ：第一，他從霍普夫那里了解到，將二維的高斯 - 博內(nèi)公式推廣到高維是“微分幾何最重要和最困難的問題”；第二，據(jù)比利時(shí)數(shù)學(xué)家呂埃爾（D. Ruelle）¹⁴透露，陳省身曾跟他提起，當(dāng)他早年念到霍普夫關(guān)于球叢的工作時(shí)，他感覺到置身于當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的前沿 ；他也能夠開展原創(chuàng)性工作了。

周煒良（1911-1995）

周煒良 1911 年出生于前清一個(gè)貴族家庭，受家庭條件影響，他在中國從沒有進(jìn)過學(xué)校。五歲時(shí)由一個(gè)老先生教他標(biāo)準(zhǔn)的中國典籍，十一歲時(shí)開始學(xué)習(xí)讀寫英文。他發(fā)現(xiàn)能讀懂英文的一個(gè)好處是，可以接觸到幾乎任何想學(xué)習(xí)的知識(shí)，他找來美國一些課程的常用課本，在十三歲到十五歲之間，自學(xué)了數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、歷史、經(jīng)濟(jì)等各門課程。周煒良最終說服父親送他到美國念書。周煒良 1929 年進(jìn)入芝加哥大學(xué)，最初攻讀經(jīng)濟(jì)學(xué)，后來改念物理。1930 年當(dāng)他大學(xué)畢業(yè)（一年就畢業(yè)了?。r(shí)，偶然讀到了哈代的《純數(shù)學(xué)教程》一書，這本書為他敞開了通向數(shù)學(xué)的大門。1932 年暑假，周煒良在芝加哥大學(xué)修過一門近世代數(shù)，用的是范德瓦爾登當(dāng)時(shí)新出的教材《近世代數(shù)》，那本書的優(yōu)雅簡明風(fēng)格給他留下來深刻的印象。1932年 10 月，周煒良來到數(shù)學(xué)圣地哥廷根，原本打算追隨外爾學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，結(jié)果 1933 年初納粹掌控了哥廷根，外爾和其他猶太裔教授如柯朗（R. Courant）與諾特（E. Noether）紛紛離開了哥廷根，這個(gè)令他向往的數(shù)學(xué)中心頃刻變得徒有虛名。當(dāng)周煒良得知范德瓦爾登在萊比錫大學(xué)時(shí)，他就慕名去了那里。結(jié)果，范德瓦爾登將他引到了代數(shù)幾何領(lǐng)域，周煒良最終也成為了范德瓦爾登最得意的門生。周煒良曾這樣回憶恩師¹⁵：

范德瓦爾登具有用相當(dāng)簡單的言語解釋很復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論的非凡能力，這使我感到只要愿意學(xué)習(xí)，在數(shù)學(xué)上缺乏某些重要學(xué)科的知識(shí)并不重要。這是我人生中第一次開始感到，我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的選擇是正確的。

《近世代數(shù)》，有中譯本《代數(shù)學(xué)》

范 德 瓦 爾 登 的《 近 世 代 數(shù) 》 是 基 于 阿 廷（E. Artin）和諾特的講義，其影響是眾所周知的，例如法國的布爾巴基學(xué)派出版的著作就以之為典范。在西南聯(lián)大時(shí)，華羅庚曾參考此書講授抽象代數(shù)。后來被國人翻譯為中文。當(dāng)代數(shù)論大家泰特（John Tate）在為相冊(cè)《數(shù)學(xué)家》寫的自述中也特別提到了范德瓦爾登的《近世代數(shù)》對(duì)他的影響¹⁶。

懷爾斯（Andrew Wiles，1953-）

現(xiàn)居普林斯頓的英國數(shù)學(xué)家懷爾斯以證明懸疑358 年之久的費(fèi)馬大定理而名噪一時(shí)。引領(lǐng)他入數(shù)論之門的書中有一本是哈代與賴特（E. M. Wright）合著的《數(shù)論導(dǎo)引》。與《純數(shù)學(xué)教程》一樣，該書自1938 年出版以后也多次重版。2008 年，牛津大學(xué)出版社出版了經(jīng)希斯 - 布朗（D. R. Heath-Brown）與希爾弗曼（J. H. Silverman）修訂的第六版（添加了一章橢圓曲線的內(nèi)容）。懷爾斯應(yīng)邀作序，回憶起該書當(dāng)年對(duì)他的啟蒙¹⁷：

我非常幸運(yùn)地受教于一位研究過數(shù)論的中學(xué)數(shù)學(xué)老師。在他的建議下，我搞到一本絕妙的書——哈代與賴特合著的第四版《數(shù)論導(dǎo)引》。這本書與達(dá)文波特（Harold Davenport）的《高等算術(shù)》一起，成為引導(dǎo)我進(jìn)入這一領(lǐng)域的至愛書籍。通過搜索這部《數(shù)論導(dǎo)引》來尋找有關(guān)費(fèi)馬大定理的線索，我第一次領(lǐng)略到數(shù)論真正的廣博無限。

柯勒在哈代的《純數(shù)學(xué)教程》的百周年紀(jì)念版前言中曾特別提到了《數(shù)論導(dǎo)引》：

哈代還寫出了其它一些經(jīng)典著作，有的是與他人合作完成的。其中最著名的大概就是他與李特爾伍德（J. E. Littlewood）和波利亞（G. Pólya）合著的《不等式》（Inequalities）¹⁸ 。在這部書里，三位作者如同魔術(shù)師一般，對(duì)不等式這一處于分析的中心地位但似乎無法組織的主題提供了一種有條理的見解。

哈代的《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》既是一本優(yōu)秀的數(shù)學(xué)著作，也是一本出色的文學(xué)作品，作為一位純粹數(shù)學(xué)家對(duì)其一生的反思，它至今仍是無與倫比的。它也是知識(shí)分子在遭受嚴(yán)重威脅的那個(gè)時(shí)代對(duì)于理性和自由生活的辯護(hù)書。

然而，依我之見，他最引人入勝的著作還是（與賴特合作的）《數(shù)論導(dǎo)引》。如果我只能選擇一本書帶到一個(gè)荒島上去，要是我還有獲救返回的希望，我會(huì)選擇濟(jì)格蒙德（A. Zygmund）的《三角級(jí)數(shù)》（Trigonometric Series）；要是我知道余生只能在孤島上度過，我會(huì)選擇哈代和賴特的《數(shù)論導(dǎo)引》。

柯勒的話讓我們想起《數(shù)論導(dǎo)引》的中文版譯者張明堯教授的一段譯者序言 ：

希望這本書中文版的出版能夠?qū)χ袊磥砟贻p的數(shù)論愛好者有相當(dāng)?shù)膸椭徒桃?。譯者中的一位長者——一個(gè)在差不多四十年前黑暗的“wenhua大革命”時(shí)期生活在充滿階級(jí)斗爭氛圍中、看不到前途和光明、由于無法實(shí)現(xiàn)自己的人生價(jià)值而痛苦掙扎的青年，正是靠著這本著作和其它數(shù)學(xué)著作的指引，才找到了思想的樂趣，擺脫了人生的苦惱，最終走上了學(xué)習(xí)和研究數(shù)論的人生旅程。

戴森（Freeman Dyson, 1923-）

現(xiàn)居普林斯頓的數(shù)學(xué)物理學(xué)家戴森在年少時(shí)也下功夫讀了哈代和賴特的《數(shù)論導(dǎo)引》，他嘗試證明書上的每一個(gè)定理。要知道全書共 400 多個(gè)定理，而戴森當(dāng)時(shí)還只有 14 歲！這本書激發(fā)了戴森對(duì)數(shù)論的興趣，并將他引向拉馬努金關(guān)于劃分的工作。戴森后來雖然從英國移民到美國，從數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向了物理，并成為了普林斯頓高等研究院的終身教授，但他一直保持著對(duì)數(shù)論的興趣，例如，2012 年，將近九十歲高齡的戴森還發(fā)表了一篇題為“劃分與巨正則系綜”的論文。這不禁讓我們想起兩千多年以前的大詩人屈原在《涉江》里的一句話 ：“余幼好此奇服兮，年既老而不衰?！?/p>

不過，正如最初引發(fā)了十歲的懷爾斯攻克費(fèi)馬大定理夢(mèng)想的是貝爾的《最后的問題》，最初激發(fā)了年少的戴森的數(shù)學(xué)家抱負(fù)的也是貝爾的一本科普書 ：《數(shù)學(xué)精英》（Men of Mathematics）¹⁹。戴森曾回憶道 ²⁰：

十四歲時(shí)我讀了貝爾的《數(shù)學(xué)精英》。該書收錄了許多偉大數(shù)學(xué)家的傳奇故事。貝爾是加州理工學(xué)院的教授，同時(shí)也是一位很有天賦的作家。他富有權(quán)威地向讀者介紹了數(shù)學(xué)界的精英。他懂得如何去打動(dòng)情感敏銳的青少年的心弦。貝爾的書造就了整整一代年輕的數(shù)學(xué)家。盡管書中許多細(xì)節(jié)與事實(shí)不符，但主要情節(jié)是真實(shí)的。他筆下的數(shù)學(xué)家是有血有肉的人，他們也會(huì)做錯(cuò)事，也有缺點(diǎn)。數(shù)學(xué)儼然成了各種各樣的人都可涉足的魔法王國。該書傳遞給年輕讀者的信息是 ：“如果他們能做到，為什么你不能呢？”

但應(yīng)該指出（見 ²⁰），引導(dǎo)戴森走上科學(xué)研究與寫作之路的首要作品是哈代的《數(shù)論導(dǎo)引》和《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》。戴森本人亦有一本優(yōu)美的自傳問世 ：《宇宙波瀾》（Disturbing the Universe）。²¹

插話 ：貝爾與《數(shù)學(xué)精英》

《數(shù)學(xué)精英》,有中譯本《數(shù)學(xué)大師：從芝諾到龐加萊》

貝爾的《數(shù)學(xué)精英》值得各位讀者特別關(guān)注，打一個(gè)不恰當(dāng)?shù)谋扔鳎跀?shù)學(xué)史上的地位，有似于司馬遷的《史記》在中國歷史中的地位?！稊?shù)學(xué)精英》以人物為主線，描寫了古往今來的三四十位大數(shù)學(xué)家，例如阿基米德、牛頓、高斯、黎曼、龐加萊等?；叵肫鹚抉R遷寫《史記》，編排十二本紀(jì)、三十世家、七十列傳，也是以人物為靈魂。倘若貝爾當(dāng)年能夠通過他在加州理工學(xué)院的博士生周培源了解到《史記》，他一定會(huì)將太史公奉為鼻祖。雖然貝爾并沒有按等級(jí)將數(shù)學(xué)家按“本紀(jì)”、“世家”、“列傳”明確分級(jí)，但他在書中表達(dá)了對(duì)三位數(shù)學(xué)家的最高評(píng)價(jià) ：

在后期希臘人和中世紀(jì)的阿拉伯人中，阿基米德似乎贏得了如同十七、十八世紀(jì)牛頓和十九、二十世紀(jì)高斯在他們的同代人和追隨者中所贏得的同樣的敬畏和尊崇。

阿基米德、牛頓、高斯這三個(gè)人，在古往今來的所有大數(shù)學(xué)家中自成一個(gè)等級(jí)。也許這就是數(shù)學(xué)史中可以載入“本紀(jì)”的三個(gè)人吧！從這本書你可以了解到，有各種各樣的數(shù)學(xué)家，例如作為“幾何學(xué)中的哥白尼”的羅巴切夫斯基、“天才與貧窮”的阿貝爾、“天才與愚蠢”的伽羅瓦、具有“真誠的心靈”的黎曼。還有些篇目則是用對(duì)照的寫法同時(shí)寫兩個(gè)數(shù)學(xué)家，例如享有“不變量的孿生兄弟”之稱的凱萊（Cayley）與西爾維斯特（Sylvester）；“大師與弟子”則用以敘說歷史上最傳奇的一對(duì)師徒 ：德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（Weierstrass）和他的俄國女弟子科瓦列夫斯卡婭（Kovalevskaya）²²。注意到在《史記》中也有許多篇目（如“廉頗藺相如列傳”）采用了這種對(duì)照的寫法。此外，也有人說《史記》的文學(xué)價(jià)值（“無韻之離騷”蓋過了其史學(xué)價(jià)值（“史家之絕唱”），這個(gè)評(píng)論對(duì)《數(shù)學(xué)精英》也許亦然。在《數(shù)學(xué)精英》的諸多讀者中，最浪漫的一位要屬貝爾在加州理工學(xué)院的數(shù)學(xué)家同事博嫩布魯斯特（H. F. Bohnenblust），他與愛妻（非數(shù)學(xué)家）度蜜月時(shí)曾為她朗讀其中的篇章。

貝爾的《數(shù)學(xué)精英》開創(chuàng)了數(shù)學(xué)史寫作的新方式，很多人開始仿效貝爾的風(fēng)格寫數(shù)學(xué)史，其中卓有成就的是瑞德（Constance Reid），她是朱莉婭 · 羅賓遜的胞妹（恰如楊振寧年少時(shí)曾給弟弟妹妹讀《數(shù)學(xué)精英》一樣，朱莉婭也曾給妹妹瑞德讀同一本書），以四本數(shù)學(xué)家傳記著作（前三本皆有中譯本）而聞名 ：《希爾伯特》、《庫朗 ：一位數(shù)學(xué)家的雙城記》、《奈曼》、《朱莉婭——遨游數(shù)學(xué)的一生》。瑞德還追蹤攝影訪問貝爾的后人和同事，寫了一本《追尋貝爾》，對(duì)身兼數(shù)學(xué)家與詩人雙重身份的貝爾感興趣的讀者可參考此書?？紤]到貝爾的詩人身份（John Taine 是他的筆名），可以猜出，他也許對(duì)魏爾斯特拉斯情有獨(dú)鐘，因?yàn)樗凇按髱熍c弟子”的結(jié)尾特別引用了魏爾斯特拉斯的話來為追求完美的數(shù)學(xué)家作辯解 ：

那么，與我們同為人類的數(shù)學(xué)家為什么要一味學(xué)究式地苛求精確，不近人情地追求完美呢？正如魏爾斯特拉斯所言 ：“的確，一個(gè)沒有幾分詩人才氣的數(shù)學(xué)家決不會(huì)成為一個(gè)完整的數(shù)學(xué)家”。這就是答案 ：恰恰是因?yàn)閿?shù)學(xué)家追求詩一樣的完美，所以他才永遠(yuǎn)不能臻至絕對(duì)完美。

結(jié)語

本文主要是介紹一些大數(shù)學(xué)家、科學(xué)家的數(shù)學(xué)啟蒙讀物，它山之石可以攻玉，也許年輕人可以借鑒。當(dāng)然，每個(gè)作者有他獨(dú)有的風(fēng)格，每個(gè)讀者也自有他天生的品味，唯有當(dāng)這兩者“性相近”時(shí)才能引起讀者的共鳴，讓讀者吸收相當(dāng)?shù)哪芰繌幕鶓B(tài)（也可以稱為惰性態(tài)）躍遷到激發(fā)態(tài)。當(dāng)筆者念大一時(shí)，老師提起過的唯一印象深刻的課外書是吉米多維奇（B. P. Demidovich）的《數(shù)學(xué)分析習(xí)題集》，翻開那本書，我只想閉上眼睛。幸而圖書館里收藏有許多其它風(fēng)格的書——這里要特別推薦的是柯朗與羅賓（H. Robbins）合著的《數(shù)學(xué)是什么》²³、拉德梅徹（Hans Rademacher）與托普利茲（Otto Topelitz）合著的《數(shù)學(xué)欣賞》以及波利亞的《怎樣解題》、《數(shù)學(xué)與猜想》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》等中譯本——是愿意去讀的，不然今天我不至于還在繼續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。也許，我們?cè)谥袑W(xué)的圖書館就有必要展示給學(xué)生各種各樣的有趣的數(shù)學(xué)書，正如塞爾伯格在印度科學(xué)院院刊《共鳴》（Resonance）發(fā)表的文章中所熱切呼吁的⁷：

還有一件事情我想也很重要，即中學(xué)數(shù)學(xué)的狀況如何。我曾經(jīng)跟很多已經(jīng)成名的數(shù)學(xué)家談?wù)撈鹚麄冊(cè)谥袑W(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)。他們中的大多數(shù)并未從中得到特別的鼓舞，而是自學(xué)自己偶然碰到的、或者以某種方式得到的課外讀物。我本人就是一例。我認(rèn)為，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容一定要重新斟酌，應(yīng)該增加一些涉及如何發(fā)現(xiàn)并且激動(dòng)人心的內(nèi)容。我發(fā)現(xiàn)，在中學(xué)里，數(shù)學(xué)教學(xué)趕不上其它科學(xué)的教學(xué)，后者通常能很好地完成教學(xué)任務(wù)并給學(xué)生以從事發(fā)現(xiàn)的興奮之感。除了中學(xué)的教學(xué)之外，我認(rèn)為要培養(yǎng)出未來的拉馬努金，很重要的一件事情是，公共圖書館應(yīng)當(dāng)藏有相當(dāng)數(shù)量的數(shù)學(xué)書籍，以便鼓舞那些希望在學(xué)校課程之外發(fā)現(xiàn)一些新東西的人，使他們產(chǎn)生興趣。這是為了更容易地培養(yǎng)未來的拉馬努金所能做的一件重要的事情。

拉馬努金的傳奇固然不可復(fù)制，但我們應(yīng)該盡可能地提供一些機(jī)會(huì)，讓青少年接觸到各種風(fēng)格的有趣的數(shù)學(xué)書，讓他們?cè)谳^早的階段獲得啟蒙。念書時(shí)如果能有幸經(jīng)歷像哈代讀若當(dāng)?shù)摹斗治鼋坛獭纺菢拥母惺?，也許就算是上路了吧！

致謝

感謝楊振寧先生為作者提供了他與塞爾伯格2006 年于普林斯頓高等研究所公共休息室的合影。感謝德國比勒費(fèi)爾德大學(xué)數(shù)學(xué)系的歐陽順湘老師，與他的交流讓我獲益匪淺，事實(shí)上，他的文章啟發(fā)了作者籌劃本文。重慶大學(xué)數(shù)學(xué)院邵紅亮老師、中央民族大學(xué)數(shù)學(xué)系王兢老師、清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)中心的張超博士后、首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)院趙潔博士對(duì)初稿提出了諸多建議，特表感謝！

腳注

¹有兩個(gè)中譯本：王希勇譯，商務(wù)印書館，2007 年；也被收入李文林、戴宗鐸、高嶸編譯的哈代的非專業(yè)論文集《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》，大連理工大學(xué)出版社，2009 年。

²有英譯本，Lectures on the Theory of Algebraic Numbers, GTM叢書第 77 號(hào)；有根據(jù)英譯本的中譯本，《代數(shù)數(shù)理論講義》王元譯，科學(xué)出版社，2005 年。王元先生在譯后記中也對(duì)該書贊譽(yù)有加。

³N. A. Baas, C. F. Skau, The lord of the numbers, Atle Selberg. On his life and mathematics. Bull. Amer. Math. Soc., 45(2008), No. 4: 617-649. 中譯文，數(shù)的主人 Atle Selberg 的生活與數(shù)學(xué)，馮緒寧譯，《數(shù)學(xué)譯林》，第 28 卷（2009 年）第 4 期和第 29 卷（2010年）第 1 期。

⁴高涌泉，啟蒙書，《科學(xué)人》，2013 年 4 月，第 26 頁。

⁵楊振寧，無題漫談——2004 年 5 月 12 日在清華大學(xué)中文系的講演，《清華大學(xué)學(xué)報(bào)》，第 19 卷（2004 年）第 4 期。

⁶關(guān)于哈代，斯諾（C. P. Snow）曾寫過一篇極好的文章，有中譯文，見哈代《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》前言；此外也可從卡尼格爾（Robert Kanigel）所著《知無涯者：拉馬努金傳》（有中譯本，胡樂士、齊民友譯，上海世紀(jì)出版集團(tuán)，2008 年）第四章得一了解。

⁷A. Selberg, Reflections around the Ramanujan centenary. Resonance, 1996,1(12): 81-91. 有中譯文，Ramanujan 百周年誕辰之際的反思，馮緒寧譯，《數(shù)學(xué)譯林》第 9 卷（1990 年）。

⁸當(dāng)指哈代為拉馬努金寫的訃告，有中譯文，《印度數(shù)學(xué)家拉馬努金》，收入李文林、戴宗鐸、高嶸編譯的哈代的非專業(yè)論文集《一個(gè)數(shù)學(xué)家的辯白》，大連理工大學(xué)出版社，2009 年。

⁹徐利治，回憶我的老師華羅庚先生——紀(jì)念華老誕辰90周年，《數(shù)學(xué)通報(bào)》，2000。

¹⁰馮克勤，我怎樣走向?qū)W習(xí)代數(shù)數(shù)論之路，收入張繼平主編《新世紀(jì)代數(shù)學(xué)》，北京大學(xué)出版社，2002 年。

¹¹陳省身，My Mathematical Education. 有中譯文，數(shù)學(xué)陶冶我一生，《數(shù)學(xué)譯林》1993 年第 2 期。

¹²有中譯本，《 Hall-Knight 大代數(shù)》，席小云譯，北京：科學(xué)普及出版社，1983-1985 年。

¹³陳省身，我的數(shù)學(xué)經(jīng)歷，《數(shù)學(xué)譯林》2004 年第 4 期。

¹⁴D. Ruelle, The Mathematician's Brain, Princeton University Press, 2007. 中譯本《數(shù)學(xué)家的大腦》將由上海世紀(jì)出版集團(tuán)出版。

¹⁵周煒良，Shiing-Shen Chern as Friend and Mathematician. 有中譯文，一份永久的感激之情，胡濱譯，收入《紀(jì)念陳省身先生文集》，浙江大學(xué)出版社，2005 年。

¹⁶M. Cook, Mathematicians——An outer view of the innerworld, Princeton University Press, 2009. 中譯本將由上海世紀(jì)出版集團(tuán)出版，關(guān)于該書的一個(gè)介紹見《數(shù)學(xué)文化》第 4 卷（2013 年）第 4 期，87-99。

¹⁷也許我們還應(yīng)該提及懷爾斯早年所讀到的一本數(shù)學(xué)科普書，即貝爾（E. T. Bell）的《最后的問題》（The Last Problem），他從那本書里第一次知道了費(fèi)馬大定理，多年以后他曾回憶起那一刻他的感受：它看上去如此簡單，但歷史上所有的大數(shù)學(xué)家都未能解決它。這里正擺著我——一個(gè)十歲的孩子——就能理解的問題，從那個(gè)時(shí)刻起，我就知道我永遠(yuǎn)不會(huì)放棄它。我必須解決它。

¹⁸有中譯本，越民義譯，人民郵電出版社，2008 年。

¹⁹有兩個(gè)中譯本：《數(shù)學(xué)精英》（在 2004 年上?？萍冀逃霭嫔绲脑侔嬷懈麨椤稊?shù)學(xué)大師》），徐源譯，北京，商務(wù)印書館，1991 年；井竹君等譯，臺(tái)北，九章出版社，1998 年。貝爾的《數(shù)學(xué)精英》頗具影響，在眾多受益的讀者當(dāng)中，不乏一些卓有成就者，如楊振寧、黃昆、《美麗心靈》的主人公原型納什（J. Nash）、與人合作解決了希爾伯特第十問題的女?dāng)?shù)學(xué)家朱莉婭 · 羅賓遜（Julia Robinson）、泰特等等。

²⁰林開亮，弗里曼 · 戴森：科學(xué)家與作家的一生，《科學(xué)文化評(píng)論》，第 10 卷（2013 年）第 3 期 , 82-101。

²¹有兩個(gè)中譯本：陳式蘇等譯，上?？茖W(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，1982 年；邱顯正譯，北京，三聯(lián)書店，1998 年。數(shù)學(xué)家芒福德（David Mumford）在一次訪談中提到，他所讀過的最好的三本書依次是：弗洛伊德（S. Freud）的 《夢(mèng)的解析》、戴森的《宇宙波瀾》、哈代與賴特的《數(shù)論導(dǎo)引》。

²²據(jù)阿諾德（V. I. Arnold）的說法：科瓦列夫斯卡婭雖然是魏爾斯特拉斯的嫡傳弟子，但她的主要成就不是證明、而是推翻老師的觀點(diǎn)。魏爾斯特拉斯希望她證明，固體圍繞一固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的問題中不存在新的首次積分，而科瓦列夫斯卡婭嘗試證明這一假定未果，在對(duì)其原因進(jìn)行分析后，她找到了這些積分。

²³關(guān)于該書的一個(gè)介紹，見歐陽順湘，最美的數(shù)學(xué)就如文學(xué)──普及經(jīng)典《數(shù)學(xué)是什么》的故事與推介，《數(shù)學(xué)文化》第 3 卷（2012 年）第 3 期，49-65。

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