一、定義

y=f(x)，(x∈D), x0∈D, x0+Δx∈D

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

若Δy=AΔx+o(Δx)，稱y=f(x)在x=x0可微

意思是Δy若能表示為一個(gè)常數(shù)乘以Δx和一個(gè)Δx的高階無窮小的和，就稱y=f(x)在x=x0可微

稱AΔx為y=f(x)在x=x0這點(diǎn)的微分

dy|x=x0=AΔx=Adx, dx也是微分

二、Notes

1、可導(dǎo) <=> 可微

證明：

“=>”:設(shè)lim(Δx->0)f(x)=A

則Δy/Δx=A+α, α->0(Δx->0)

Δy=AΔx+Δxα,

lim(Δx->0)[Δxα/Δx]=0,

即Δxα=o(Δx)

所以Δy=AΔx+o(Δx)

所以y=f(x)在x=x0點(diǎn)可微

“<=”:設(shè)Δy=AΔx+o(Δx)

Δy/Δx=A+o(Δx)/Δx

因?yàn)閘im(Δx->0)[o(Δx)/Δx]=0

所以Δy/Δx=A+α, α->0, (Δx->0)

所以y=f(x)在x=x0點(diǎn)可導(dǎo)

2、y=f(x)，x=x0，Δy=AΔx+o(Δx)，則A為f'(x0)，A為該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)

3、y=f(x)，x=x0，Δy=AΔx+o(Δx)，則(dy|x=x0)=AΔx=f'(x0)Δx=f'(x0)dx

若y=f(x)可導(dǎo)，dy=df(x)=f'(x)dx

如：

d(x^3)=(x^3)'dx=3x^2dx

d(e^3x)=3e^3xdx

x^2dx=d(1/3*x^3+C)

1/(1+x^2)*dx=d(arctanx+C)

4、若y=f(x)在x=x0可微，則：

Δy=f'(x0)Δx+o(Δx), dy|x=x0 = f'(x0)dx

=> Δy-dy=o(Δx)

5、設(shè)y=f(x)在x=x0可微，則

dy=f'(x)Δx

f'(x)為y=f(x)在x=x0對應(yīng)點(diǎn)的斜率

三、微分的幾大工具

1、公式

d(c)=0

d(x^n)=nx^(n-1)dx

d(a^x)=a^x*lna*dx

d(sinx)=cosxdx, d(cosx)=-sinxdx

d(loga(x))=1/(xlna)*dx

......

2、四則

d(u±v)=du±dv

d(uv)=dudv

d(u/v)=(vdu-udv)/v^2

3、復(fù)合

y=f(u)

(1)dy=f'(u)du

(2)若u=g(x), dy=f'(u)du=f'(u)g'(x)dx

四、近似計(jì)算

設(shè)y=f(x)在x=x0可微

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=f'(x0)Δx+o(Δx)

=>Δy≈f'(x0)Δx

=>f(x0+Δx)≈f(x0)+f'(x0)Δx