你什么都沒有

你只有思想

應該會有很多模友在開始學習數(shù)學分析和高等數(shù)學時，第一反應是：

但其實大多數(shù)人所用的教材，從大眾角度看還沒有到一種極致精確的架構數(shù)學的程度。

大多數(shù)的教材所做的還是“我教會你怎么弄這個東西就行了，別怨我了啊乖”的活。

但是，Zorich和Terence Tao（陶哲軒）都不約而同地花了大量筆墨去闡述人們如何建立起實數(shù)體系。

陶哲軒更是手把手教你學數(shù)學，甚至從自然數(shù)開始討論問題，一次又一次的重構了減法，除法，極限，細致至極。

▼▼▼陶哲軒教你學數(shù)學▼▼▼

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在這個過程中，出現(xiàn)了非常多的經(jīng)典的證明題，關于這樣的題目，有一個詞語可以顯示他們的價值“基石”。

以及，他們都在后面的篇章開始討論了度量空間和拓撲的相關內容，所謂大師所見略同，大致如此。

那么，為什么呢？

柯朗尼克有句名言：“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其他一切都是人造的?！?/p>

這樣的說法可能有些偏激，但的確說明了問題。

我們有了0，1，我們懂得不斷累加，于是自然數(shù)出現(xiàn)了。

沒錯，這個時候我們只會加法，但其實我們懂得更多，比如：數(shù)學歸納法。

利用這個歸納法可以得出幾乎所有自然數(shù)的代數(shù)法則，以及不少漂亮的結論，比如：

構造出序的概念（比較大小，注意不要忘了，此時我們只有自然數(shù)和加法，我們不知道怎么比較大小，這一點非常關鍵：如果你想要看到本質，你必須把一切全部拋棄，然后要做的就是至繁歸于至簡，這似乎類似于張無忌學太極功的故事。），這個證明是非常瑣碎的，但本質上他只需要歸納法和加法法則的定義。

通過加法，我們自然的考慮相反的情形（注意，這樣的試探性思考非常關鍵），于是“學會”了減法，從而自然的得到了負整數(shù)。

而不斷的累加同一個數(shù)的過程中，我們學會了乘除法。有了除法，我們就可以構造出有理數(shù)了。

有理數(shù)有一個好的性質，稠密。

就是說有理數(shù)的可數(shù)可以通過不斷取兩個有理數(shù)的中點，（a+b）/2的過程去得到無窮多個有理數(shù)。

But incomplete?。ㄠ牛Z氣可參考《A beautiful mind》里Nash發(fā)現(xiàn)均衡理論時那兩句incomplete~）

幾千年前就有畢達哥拉斯學派的人發(fā)現(xiàn)了根號2，到現(xiàn)在，根號2不是有理數(shù)的證明依然出現(xiàn)在各類數(shù)學分析的習題中（運用反證法即可）。

對于實數(shù)的構造是個困難的事情，也是數(shù)學系的學生學習數(shù)學分析的一個重點，但在此不多闡述。

必須說明的是，實數(shù)體系的架構可以非常好的說明數(shù)學家的工作模式，怎么選擇公理（這在集合論上體現(xiàn)的非常明顯，在對概括公理（axiom comprehension）拋棄上。），建立定理。

當然其實我們還有個初等的例子可以說明公理化體系的構建過程：歐幾里德幾何。

一個小插曲，我們學了12年的中小學數(shù)學，學到過證明的方法，提到過反證法和數(shù)學歸納法，可顯然在中小學數(shù)學中這兩個方法基本上不會考查，用這兩個方法基本只會令問題變復雜。

然而這兩種方法是極為重要的，并且被廣泛運用的。

這在實數(shù)理論架構時體現(xiàn)明顯，閉區(qū)間套定理，有限覆蓋定理，極限點定理都不同程度的運用了反證法。

而數(shù)學歸納法普遍運用于自然數(shù)和整數(shù)的一些證明，比如運算法則的架構上。

而很多好的證明也涉及這兩種證明，比如“質數(shù)有無窮多個”的證明就是一個非常古典和經(jīng)典的反證法證明，然而我猜，大多數(shù)人在接受中小學教育時并不知曉這個十分初等的問題和證明（來自歐幾里德），這個證明本身是讓人眼前一亮的。

那么為什么我們的中小學數(shù)學教育會錯重點，把這么重要的問題忽略掉呢？

原因很簡單，出證明題批起來麻煩。。。

而且學會一個又一個證明，對于考試是無用的：考試所用的試題必然是標準化規(guī)范化的，然而每個有趣的命題的證明往往具有其特殊性，這顯然是不利的。

然而考試是必然存在的，美國小學也考試，為什么他們的學生的數(shù)學修養(yǎng)要高于我們呢？

這是個深刻而廣泛的問題，但一個顯然的原因，我們在考試上放了太多的精力，以致于無法分心去欣賞一些美妙的數(shù)學證明了。

私以為，這些方面的差異是導致我們國民邏輯思維能力較弱，以致于常常媒體上出現(xiàn)各種因果混亂，神邏輯的狀況。

當然，我個人對這兩種證明方法不算偏愛，他們能解決所遇到的問題，但是一個重要的問題在于他們更形式化，而不是構造性的，這不利于我們理解一個事物，盡管我們可能知道它是對的。

前面說到，Zorich和Terence Tao不約而同的在他們各自的數(shù)學分析著作里提到了度量空間，拓撲，群論。

當然可能部分同學會覺得這些數(shù)學深層的東西對于自己而言是無所謂有無所謂無的。

那么請看我的一位在MIT讀物理學博士的朋友說過的話：“高代和數(shù)學分析都是基礎，往后會有更有用的學科。 ”

而會有同學甚至覺得數(shù)學無所謂學與不學。

毫無疑問，數(shù)學在科研中至關重要?？梢砸姷较铝形淖郑?/p>

數(shù)學的領域在擴大。

哲學的地盤在縮小。

哲學曾經(jīng)把整個宇宙作為自己的研究對象。那時，它是包羅萬象的，數(shù)學只不過是算術和幾何而已。

17世紀，自然科學的大發(fā)展使哲學退出了一系列研究領域，哲學的中心問題從“世界是什么樣的”變成“人怎樣認識世界”。

這個時候，數(shù)學擴大了自己的領域，它開始研究運動與變化。

今天，數(shù)學在向一切學科滲透，它的研究對象是一切抽象結構——所有可能的關系與形式。

可是西方現(xiàn)代哲學此時卻把注意力限于意義的分析，把問題縮小到“人能說出些什么”。

哲學應當是人類認識世界的先導，哲學關心的首先應當是科學的未知領域。

哲學家談論原子在物理學家研究原子之前，哲學家談論元素在化學家研究元素之前，哲學家談論無限與連續(xù)性在數(shù)學家說明無限與連續(xù)性之前。

一旦科學真真實實地研究哲學家所談論過的對象時，哲學沉默了。它傾聽科學的發(fā)現(xiàn)，準備提出新的問題。

哲學，在某種意義上是望遠鏡。當旅行者到達一個地方時，他不再用望遠鏡觀察這個地方了，而是把它用于觀察前方。

數(shù)學則相反，它是最容易進入成熟的科學，獲得了足夠豐富事實的科學，能夠提出規(guī)律性的假設的科學。它好像是顯微鏡，只有把對象拿到手中，甚至切成薄片，經(jīng)過處理，才能用顯微鏡觀察它。

哲學從一門學科退出，意味著這門學科的誕生。數(shù)學滲入一門學科，甚至控制一門學科，意味著這門學科達到成熟的階段。

哲學的地盤縮小，數(shù)學的領域擴大，這是科學發(fā)展的結果，是人類智慧的勝利。

但是，宇宙的奧秘無窮。向前看，望遠鏡的視野不受任何限制。新的學科將不斷涌現(xiàn)，而在它們出現(xiàn)之前，哲學有許多事可做。

面對著浩渺的宇宙，面對著人類的種種困難問題，哲學已經(jīng)放棄的和數(shù)學已經(jīng)占領的，都不過是滄海一粟。

哲學在任何具體學科領域都無法與該學科一爭高下，但是它可以從事任何具體學科無法完成的工作，它為學科的誕生準備條件。

數(shù)學在任何具體學科領域都有可能出色地工作，但是它離開具體學科之后無法作出貢獻。它必須利用具體學科為它創(chuàng)造條件。

模糊的哲學與精確的數(shù)學——人類的望遠鏡與顯微鏡。

——《數(shù)學與哲學》

嗯，就是這樣。

說回正題。

關于群論的話題可以參看《無法解出的方程：天才與對稱》，這是由天才的數(shù)學家伽羅華架構的理論體系。它所研究的是一系列的變換。

而群論出來時，當時的理論數(shù)學家都看不懂。直到死后50年他的手稿才發(fā)表，被當時的學界認可了。

科學史上最偉大的發(fā)明往往來源于年輕人，為什么？

因為他們受傳統(tǒng)思想影響還不大，沒有條條框框的限制，還有批判思維能力。

這樣的一個一般性的基石性的理論（研究對稱與變換，意味著，你所做的一切變換都可以納入這個體系，而什么是變換呢？加法減法，平移旋轉，這些都是變換，所以這個理論相當?shù)木哂幸话阈裕槭裁辞叭藳]有發(fā)現(xiàn)？

不知道，沒有答案。

但我們知道的是，這套理論大放異彩，滲透到數(shù)學的各個理論，甚至在音樂，藝術（你應當知道，那些藝術家利用的對稱和弦是是極好的變換）。

類似的是度量空間和拓撲學。

度量空間來源于對于歐幾里德幾何的研究。然而在一般的平面幾何研究中，我們是不討論長度的（回憶初中生活10秒~），度量空間補上了這一個空缺，它談論了不同的長度的定義，將幾何學抽象出來作更細致的研究。

而拓撲學則更為抽象，也更為general，用來研究各種“空間”在連續(xù)性的變化下不變的性質。

早期一個古典的問題：哥尼斯堡七橋問題很能說明這門學科的精髓所在。

愛山的童鞋自行翻閱《數(shù)學活動課》叢書，其他孩子建議翻閱《龐加萊猜想》了解一些拓撲學的內容。

順便提句龐加萊猜想，這是懸賞一百萬美元獎金的千禧年七大數(shù)學問題之一，已被佩雷爾曼破解，原本的猜想內容是是在一個三維空間中，假如每一條封閉的曲線都能收縮到一點，那么這個空間一定是一個三維的圓球。

很不起眼？事實上這個猜想有助于人類更好地研究三維空間，其帶來的結果將會加深人們對流形性質的認識。

龐加萊猜想

拓撲所研究的是幾何圖形的一些性質，它們在圖形被彎曲、拉大、縮小或任意的變形下保持不變，只要在變形過程中不使原來不同的點重合為同一個點，又不產生新點。

在拓撲學里我們完全不考慮度量和形狀，但是討論拓撲等價的概念。

比如，圓和方形、三角形的形狀、大小不同，但在拓撲變換下，它們都是等價圖形；足球和橄欖球，也是等價的----從拓撲學的角度看，它們的拓撲結構是完全一樣的。

換句話說，拓撲學中，我們追求的是最本質的特征，比如一個流形有幾個“孔”，這涉及到連通性的概念；再比如下圖，對于拓撲學家來說，這里出現(xiàn)的所有實體，都是同一樣事物（為什么？）

而另一個拓撲學中有趣的例子是莫比烏斯帶：

思考：如何操作，可以使你手中一條紙帶的總長度趨于無窮大，且不破壞紙帶的基本結構？

我們看過了一系列的數(shù)學成果，現(xiàn)在，我們可以初步的把握一點點數(shù)學家們的思考方式。

“一個好的定理在剛出來時，往往難得不得了，幾百頁的證明，你當然曉得Picard定理，Picard證明這個定理的時候，是一百多頁的證明，現(xiàn)在Picard定理的證明可以一頁多就證完了，這是什么原因？

我們說這個定理重要，我們就會花很大力氣慢慢將它消化，直到最后定理看起來是平凡的，基本上重要的定理，就算不是短期的，十年、二十年后，這個證明會很簡單，因為通常我們將這些定理的證明分解，分解成很小部分，各個小部分吸收到不同地方去，最后剩下的是一個平凡的證明，歷史上所有的發(fā)展都是這樣。

比如平面幾何，在埃及的時代，由于阿拉伯人一把火把埃及亞歷山大大帝圖書館燒掉了，埃及當然是沒有文獻留下來。

不過我相信埃及造金字塔用了兩千年，圖書館中一定搜存了很多關于平面幾何的定理和事實。

當時沒有歐氏公理，所有的現(xiàn)象很亂，亂得不得了，這邊一條定理，那邊一條定理你可能覺得很難很難。可是這整個東西，等你將定理整個了解以后，就變簡單了，我想差不多是這個意思?！?/p>

——Shing-Tung Yau

他們思考問題，將問題不斷分解簡化，抽象成一般性的問題，使他們可以運用一些已有的數(shù)學工具去解決問題。

待到這個問題在人們運用original idea徹底解決之后，人們不斷消化理解在這個問題中所理解的一些內容，然后這些會沉淀下來，成為新的工具，去解決新的問題，不斷循環(huán)。

而在這個過程中，本質和結構非常重要。

在面對一些問題時，一個合理的定義和公理能讓問題變得簡潔，數(shù)學家們?yōu)榱撕啙嵉臄?shù)學結構不可不謂“喪心病狂”，平面幾何有一堆命題，可他們只確立了5個公理，這意味著其他命題都需要被證明。。。

但不得不說公理化的架構體系是令人興奮的，你是愿意宣稱：我只要5個公理就可以掌握平面幾何，還是：我用了1000個公理證了這個命題？

這和Apple以及Steve Jobs宣稱的，“至繁歸于至簡”是一致的。簡潔意味著我們更好的理解了這些事物，真正了解了本質。沒有人喜歡復雜的結構。

從這個角度看，把數(shù)學比作大廈是非常合適的。公理和所有人類積累的技巧構成了大廈的基石，而利用這一切，我們可以爬得更高，架起更高的建筑，看得更遠，如此循環(huán)。

曾經(jīng)看到過一個比較貼，關于陶哲軒和伽羅華天賦對比——伽羅華——那位為愛決斗而早亡的天才毫無疑問的勝出了。

因為，如果說陶哲軒是在幾棟大樓間加裝了若干漂亮的天橋，伽羅華做的則是平地另起一棟華麗的高樓。

說伽羅華，這是一個英年早逝的天才數(shù)學家，他死因是：為愛決斗，然后。。。然后就沒有然后了。。。

非常激進，非常浪漫的天才。

我覺得，在科學家和藝術家之間，數(shù)學家更接近于藝術家，又或者說做數(shù)學的人活在人文和科技的交叉點上。

很多關于數(shù)學的事物，在你深入進去之后會看到一種思想上的結晶，是一種思維的美感，這類似于音樂，繪畫，文學的模式。

但不會有人抱怨音樂繪畫文學難以理解，就算他不懂和弦（寫成書有厚厚一大本），不懂線條明暗配色，不懂意象構造和文字深層內涵，但他依然能聽能看能讀，樂于其中。

從這個角度來說，數(shù)學很高貴，鑒賞數(shù)學的門檻很高，這就能使數(shù)學避開了一批人云亦云，裝模作樣的人來濫竽充數(shù)。

你應該知道，據(jù)說維多利亞女王非常喜歡《愛麗絲夢游仙境》，所以她請 Lewis Carroll （劉易斯·卡羅爾）務必帶來他的新書一睹為快，于是女王收到了《淺論行列式，及其在線性和代數(shù)方程組中的應用》 ；如果你是王小波的門下走狗的話，你也應該知道，王小波是學數(shù)學的；你也可以知道，很多大數(shù)學家同時都是音樂天才，甚至有在樂隊供職的……