偏導(dǎo)數(shù)

在一元函數(shù)中，導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的變化率。對(duì)于二元函數(shù)研究它的“變化率”，由于自變量多了一個(gè)，情況就要復(fù)雜的多。

在 xOy 平面內(nèi)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)由 P(x0,y0) 沿不同方向變化時(shí)，函數(shù) f(x,y) 的變化快慢一般說(shuō)來(lái)是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 點(diǎn)處沿不同方向的變化率。

在這里我們只學(xué)習(xí)函數(shù) f(x,y) 沿著平行于 x 軸和平行于 y 軸兩個(gè)特殊方位變動(dòng)時(shí)， f(x,y) 的變化率。

偏導(dǎo)數(shù)的表示符號(hào)為:?。

偏導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)沿坐標(biāo)軸正方向的變化率。

在數(shù)學(xué)中，一個(gè)多變量的函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是它關(guān)于其中一個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)，而保持其他變量恒定（相對(duì)于全微分，全微分（英語(yǔ)：total derivative）是微積分學(xué)的一個(gè)概念，指多元函數(shù)的全增量△z}在其中所有變量都允許變化）記為dz。偏導(dǎo)數(shù)在向量分析和微分幾何，以及機(jī)器學(xué)習(xí)中是很有用的。

的線性主部，記為{\displaystyle \operatorname kykmsyk z}

x方向的偏導(dǎo)

設(shè)有二元函數(shù) z=f(x,y) ，點(diǎn)(x0,y0)是其定義域D 內(nèi)一點(diǎn)。把 y 固定在 y0而讓 x 在 x0有增量 △x ，相應(yīng)地函數(shù) z=f(x,y) 有增量（稱為對(duì) x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

偏導(dǎo)數(shù)如果 △z 與 △x 之比當(dāng) △x→0 時(shí)的極限存在，那么此極限值稱為函數(shù) z=f(x,y) 在 (x0,y0)處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)，記作 f'x(x0,y0)或。函數(shù) z=f(x,y) 在(x0,y0)處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)，實(shí)際上就是把 y 固定在 y0看成常數(shù)后，一元函數(shù)z=f(x,y0)在 x0處的導(dǎo)數(shù)。

y方向的偏導(dǎo)

同樣，把 x 固定在 x0，讓 y 有增量 △y ，如果極限存在那么此極限稱為函數(shù) z=(x,y) 在 (x0,y0)處對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù)。記作f'y(x0,y0)。

相關(guān)求法

當(dāng)函數(shù) z=f(x,y) 在 (x0,y0)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) f'x(x0,y0) 與 f'y(x0,y0)都存在時(shí)，我們稱 f(x,y) 在 (x0,y0)處可導(dǎo)。如果函數(shù) f(x,y) 在域 D 的每一點(diǎn)均可導(dǎo)，那么稱函數(shù) f(x,y) 在域 D 可導(dǎo)。

此時(shí)，對(duì)應(yīng)于域 D 的每一點(diǎn) (x,y) ，必有一個(gè)對(duì) x (對(duì) y )的偏導(dǎo)數(shù)，因而在域 D 確定了一個(gè)新的二元函數(shù)，稱為 f(x,y) 對(duì) x (對(duì) y )的偏導(dǎo)函數(shù)。簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)。

按偏導(dǎo)數(shù)的定義，將多元函數(shù)關(guān)于一個(gè)自變量求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，就將其余的自變量看成常數(shù)，此時(shí)他的求導(dǎo)方法與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法是一樣的。

幾何意義

表示固定面上一點(diǎn)的切線斜率。

偏導(dǎo)數(shù) f'x(x0,y0) 表示固定面上一點(diǎn)對(duì) x 軸的切線斜率；偏導(dǎo)數(shù) f'y(x0,y0) 表示固定面上一點(diǎn)對(duì) y 軸的切線斜率。

高階偏導(dǎo)數(shù)：如果二元函數(shù) z=f(x,y) 的偏導(dǎo)數(shù) f'x(x,y) 與 f'y(x,y) 仍然可導(dǎo)，那么這兩個(gè)偏導(dǎo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為 z=f(x,y) 的二階偏導(dǎo)數(shù)。二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)有四個(gè)：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

注意：

f"xy與f"yx的區(qū)別在于：前者是先對(duì) x 求偏導(dǎo)，然后將所得的偏導(dǎo)函數(shù)再對(duì) y 求偏導(dǎo)；后者是先對(duì) y 求偏導(dǎo)再對(duì) x 求偏導(dǎo)。當(dāng) f"xy 與 f"yx 都連續(xù)時(shí)，求導(dǎo)的結(jié)果與先后次序無(wú)關(guān)。

假設(shè)?是一個(gè)多元函數(shù)。例如：

因?yàn)榍嫔系拿恳稽c(diǎn)都有無(wú)窮多條切線，描述這種函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相當(dāng)困難。偏導(dǎo)數(shù)就是選擇其中一條切線，并求出它的斜率。通常，最感興趣的是垂直于y軸（平行于xOz平面）的切線，以及垂直于x軸（平行于yOz平面）的切線。

一種求出這些切線的好辦法是把其他變量視為常數(shù)。例如，欲求出以上的函數(shù)在點(diǎn)（1, 1, 3）的與xOz平面平行的切線。下圖顯示了函數(shù)的圖像以及這個(gè)平面

下圖中顯示了函數(shù)在平面y = 1上是什么樣的。

我們把變量y視為常數(shù)，通過(guò)對(duì)方程求導(dǎo)，我們發(fā)現(xiàn)?在點(diǎn)（x, y, z）的。我們把它記為：

于是在點(diǎn)（1, 1, 3）的與xOz平面平行的切線的斜率是3。

在點(diǎn)（1, 1, 3），或稱“f在（1, 1, 3）的關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)是3”。

定義

函數(shù)f可以解釋為y為自變量而x為常數(shù)的函數(shù)：

也就是說(shuō)，每一個(gè)x的值定義了一個(gè)函數(shù)，記為fx，它是一個(gè)一元函數(shù)。也就是說(shuō)：

一旦選擇了一個(gè)x的值，例如a，那么f(x,y)便定義了一個(gè)函數(shù)fa，把y映射到a2 + ay + y2：

在這個(gè)表達(dá)式中，a是常數(shù)，而不是變量，因此fa是只有一個(gè)變量的函數(shù)，這個(gè)變量是y。這樣，便可以使用一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義：

以上的步驟適用于任何a的選擇。把這些導(dǎo)數(shù)合并起來(lái)，便得到了一個(gè)函數(shù)，它描述了f在y方向上的變化：

這就是f關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)，在這里，?是一個(gè)彎曲的d，稱為偏導(dǎo)數(shù)符號(hào)。為了把它與字母d區(qū)分，?有時(shí)讀作“der”、“del”、“dah”或“偏”，而不是“dee”。