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編者按：驚聞丁石孫先生不幸離世，深表悲痛！丁先生是著名的數(shù)學(xué)家和教育家，對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，是我們永遠(yuǎn)學(xué)習(xí)的楷模和典范。今天，重新回憶丁先生的《數(shù)學(xué)的力量》，讓我們深深緬懷丁石孫先生。丁先生永垂不朽！ 數(shù)學(xué)的力量
數(shù)學(xué)的作用不局限于它是一門(mén)知識(shí)，更不僅僅是工具，在整個(gè)教育過(guò)程中，數(shù)學(xué)對(duì)人才的培養(yǎng)具有很重要的作用。哪個(gè)學(xué)科一旦與數(shù)學(xué)的某個(gè)問(wèn)題掛鉤，往往就能夠得到一個(gè)飛躍的發(fā)展，這方面的例子很多。20世紀(jì)80年代，Hauptmann獲得諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)，解決的是如何用X光確定晶體結(jié)構(gòu)的問(wèn)題。Hauptmann曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：我的化學(xué)水平就是在大學(xué)念了半年普通化學(xué)，其他我不懂。實(shí)際上，他解決用X光確定晶體結(jié)構(gòu)的問(wèn)題主要靠的是數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)往往能夠?qū)Σ煌膶W(xué)科起作用，但是，對(duì)什么學(xué)科起作用，以什么樣的方式起作用，并不是人們事先能夠預(yù)料的。從科學(xué)發(fā)展來(lái)看，數(shù)學(xué)和許多學(xué)科都發(fā)生過(guò)密切的關(guān)系，數(shù)學(xué)的發(fā)展和許多學(xué)科的發(fā)展都起著相輔相成的作用——或者是數(shù)學(xué)的發(fā)展促進(jìn)了其他學(xué)科的發(fā)展，或者是其他學(xué)科向數(shù)學(xué)提出了一些具體問(wèn)題，反過(guò)來(lái)推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。有人說(shuō)，數(shù)學(xué)是科學(xué)的王后。這個(gè)說(shuō)法很多數(shù)學(xué)家都不贊成。數(shù)學(xué)并不是孤立于其他學(xué)科高高在上的，而是和其他學(xué)科相輔相成，共同促進(jìn)，共同發(fā)展的。把數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系說(shuō)成是一種伙伴關(guān)系也許更恰當(dāng)一些。從歷史的發(fā)展看，數(shù)學(xué)對(duì)于推動(dòng)科學(xué)的發(fā)展起了什么作用呢？先來(lái)看看計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)思想的產(chǎn)生。大家知道，世界上第一臺(tái)計(jì)算機(jī)出現(xiàn)在1946年。計(jì)算機(jī)最早設(shè)計(jì)思想的提出可以追溯到20世紀(jì)初。1900年，數(shù)學(xué)家Hilbert在世界第二次數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了23個(gè)問(wèn)題——— 這件事學(xué)數(shù)學(xué)的人都知道。這23個(gè)問(wèn)題一方面總結(jié)了19世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)指出了20世紀(jì)數(shù)學(xué)應(yīng)該向哪些方面發(fā)展，對(duì)于20世紀(jì)的數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了很大影響。在這23個(gè)問(wèn)題中有一個(gè)問(wèn)題是：有沒(méi)有一個(gè)方法，能夠判斷一個(gè)整系數(shù)的多元多項(xiàng)式組有沒(méi)有有理數(shù)解，或者有沒(méi)有整數(shù)解。按照數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，就是能不能有個(gè)算法。這個(gè)問(wèn)題引起了一部分?jǐn)?shù)學(xué)家的注意，希望有一個(gè)明確的回答。但是，經(jīng)過(guò)了30多年，人們逐漸發(fā)現(xiàn)這個(gè)算法是沒(méi)有的。在數(shù)學(xué)里，要證明“有”在某種程度上比較容易，要證明有，你就要給出一個(gè)算法，用這個(gè)算法就能判斷。但是，你要說(shuō)“沒(méi)有”，就需要說(shuō)明什么叫算法。可以說(shuō)算法是很死的方法，當(dāng)然這不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，但人們通常可以理解。如果你要證明這樣的東西是不存在的，僅靠這樣理解還不行。所以，直到1936年前后，才有數(shù)學(xué)家給算法下了定義。科學(xué)發(fā)展中常常會(huì)出現(xiàn)種奇怪的現(xiàn)象，那就是一個(gè)問(wèn)題經(jīng)過(guò)很多年不能解決，但到了某一個(gè)時(shí)候，同時(shí)好幾個(gè)人以不同的方式解決了這個(gè)問(wèn)題。給算法下定義的問(wèn)題也是如此。1936年前后，有幾個(gè)人給出了算法的定義。其中有一種算法的定義， 現(xiàn)在叫做Turing機(jī)器。Turing機(jī)器是個(gè)理想的計(jì)算機(jī)，它已經(jīng)比較接近現(xiàn)在計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)思想。可以說(shuō)Turing機(jī)的定義，就是后來(lái)的計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)思想的重要來(lái)源。從這里可以看出，一開(kāi)始提出來(lái)的是一個(gè)純數(shù)學(xué)的問(wèn)題，根本沒(méi)想到設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)。但是你要解決這個(gè)問(wèn)題就必須給算法下個(gè)定義。現(xiàn)在能發(fā)生這么大作用的計(jì)算機(jī)，根源是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且研究這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題事先根本沒(méi)想到會(huì)產(chǎn)生這么大影響。這個(gè)例子說(shuō)明，從一個(gè)純數(shù)學(xué)問(wèn)題出發(fā)進(jìn)行研究，結(jié)果不僅解決了數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且對(duì)其他學(xué)科產(chǎn)生了重要影響。又如“群論”。現(xiàn)在搞數(shù)學(xué)的都知道群是個(gè)什么概念。但群的定義的出現(xiàn)，是20世紀(jì)50年代的事，最早是從解方程出來(lái)的。大家知道解一元二次多項(xiàng)式，它的解是所謂根號(hào)，這個(gè)問(wèn)題大約在2000年前人們就知道，大家已在初等數(shù)學(xué)中學(xué)過(guò)。這里有一個(gè)有趣的過(guò)程：要把根通過(guò)系數(shù)表達(dá)出來(lái)。二次方程解決了，很容易就會(huì)想到三次怎么樣，就是一元二次方程有沒(méi)有類似的公式。差不多到15世紀(jì)，二次方程就解出來(lái)了，那個(gè)公式就非常復(fù)雜了。不久解四次方程的公式也出來(lái)了。數(shù)學(xué)家有個(gè)癖好，就老想推廣，既然二次的公式有了，三次的公式有了，四次的公式也有了，那么五次怎么樣?大家就想五次也應(yīng)該有，可是沒(méi)想到在五次方程這個(gè)問(wèn)題上遇到了很大的問(wèn)題，差不多經(jīng)過(guò)了幾百年，一直到19世紀(jì)開(kāi)始都沒(méi)能解決這個(gè)問(wèn)題。19世紀(jì)30年代，法國(guó)有個(gè)叫Galois的年輕數(shù)學(xué)家，就提出了一個(gè)Galois 理論：就是他給出了一個(gè)方法，能夠判定多少次方程的根能夠用系數(shù)表達(dá)出來(lái)。所謂表達(dá)出來(lái)，就是用加減乘除和開(kāi)方（不一定開(kāi)平方）表達(dá)出來(lái)。這樣的話，就提出了群的概念，這個(gè)問(wèn)題最終是用群的方法解決的。開(kāi)始這個(gè)結(jié)果被送到法國(guó)科學(xué)院，科學(xué)院里一個(gè)很重要的科學(xué)家認(rèn)為是胡說(shuō)八道，所以就一直沒(méi)人理睬。一直到19世紀(jì)50年代才正式發(fā)表出來(lái)，這樣群的概念就提出來(lái)了。Galois的這個(gè)結(jié)果在20年之后才得到承認(rèn)。群的概念純粹是從一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題提出，但提出之后，首先用來(lái)解決的是化合物中晶體究竟有幾種的問(wèn)題。在19世紀(jì)末至20世紀(jì)初，俄國(guó)的化學(xué)家就利用群的概念解決了晶體結(jié)構(gòu)有多少種。群的概念實(shí)際上是對(duì)稱性的一個(gè)很好的度量，可以解決對(duì)稱性用什么來(lái)度量，也就是它的變換群是什么結(jié)構(gòu)，有多少。這又是一個(gè)純粹從數(shù)學(xué)里提出的問(wèn)題，但用處遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了數(shù)學(xué)的例子。數(shù)學(xué)中這樣的例子還可以舉出很多。下面這個(gè)例子，說(shuō)明了實(shí)際的需要是怎樣促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展的。第二次世界大戰(zhàn)時(shí)，德國(guó)的空軍力量很強(qiáng)，飛機(jī)數(shù)量多，質(zhì)量也好。為了解決如何以處于劣勢(shì)的空軍打敗德國(guó)空軍的問(wèn)題，美國(guó)找了一批數(shù)學(xué)家，馮·諾依曼是其中之一。結(jié)果馮·諾依曼通過(guò)研究這個(gè)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)了博弈論。近幾十年來(lái)，博弈論很重要的一個(gè)用途是用來(lái)研究經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，它已發(fā)展成為經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)不可缺少的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)研究的對(duì)象究竟是什么呢？這個(gè)問(wèn)題很不容易說(shuō)清楚。過(guò)去說(shuō)的數(shù)學(xué)的定義是恩格斯在《自然辯證法》中提出來(lái)的，他說(shuō)數(shù)學(xué)是研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的。恩格斯這個(gè)定義是19世紀(jì)提出來(lái)的，隨著20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展，很多東西用這個(gè)定義概括不了。說(shuō)到數(shù)量關(guān)系，就是說(shuō)數(shù)學(xué)是研究數(shù)的運(yùn)算，但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)運(yùn)算的對(duì)象遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了數(shù)。譬如群論，它運(yùn)算的對(duì)象是群元素。甚至還有其他的，可以說(shuō)它與運(yùn)算毫無(wú)關(guān)系，所以，說(shuō)數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系，就已經(jīng)不夠了。還有被當(dāng)時(shí)理解為客觀世界的空間形式， 就是通常說(shuō)的三維空間。但是，幾何學(xué)研究里已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了三維，涉及到四維、五維、多維，甚至無(wú)數(shù)維。所以如果再拿19世紀(jì)的定義來(lái)概括數(shù)學(xué)就顯得不夠。如何給數(shù)學(xué)下一個(gè)定義呢？到現(xiàn)在為止還沒(méi)有一個(gè)定義令人滿意。這也說(shuō)明數(shù)學(xué)的定義很難下。比如有人提出來(lái)，數(shù)學(xué)是研究量的，把“數(shù)”字去掉，他說(shuō)有“數(shù)”呢，就顯得太死了，數(shù)就是整數(shù)、分數(shù)。那么什么叫量呢?所謂量是一個(gè)哲學(xué)概念。現(xiàn)在有人說(shuō)數(shù)學(xué)研究的是秩序，也就是說(shuō)研究數(shù)學(xué)的目的是為了給世界以秩序，這種說(shuō)法不是數(shù)學(xué)語(yǔ)言。想想也有點(diǎn)道理，但是也說(shuō)不太清楚。從這里可以看出一條，因?yàn)閿?shù)學(xué)的研究對(duì)象是抽象的，數(shù)學(xué)與其他的自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)不一樣，這些學(xué)科有非常具體的對(duì)象，而數(shù)學(xué)沒(méi)有。數(shù)學(xué)之所以既能用到自然科學(xué)，又能用到社會(huì)科學(xué)，甚至人文科學(xué)，就是因?yàn)樗浅橄蟮摹?/span>數(shù)學(xué)研究對(duì)象的抽象性首先有一條，就是能夠訓(xùn)練人們一種思維方法——抽象思維方法。數(shù)學(xué)里即使從自然數(shù)開(kāi)始，就已經(jīng)是非常抽象的概念了，要經(jīng)過(guò)很多層抽象才能夠得出數(shù)的概念。所以，歷史上經(jīng)過(guò)了很長(zhǎng)的時(shí)間，多數(shù)和單數(shù)才被人們區(qū)分開(kāi)來(lái)。只要研究了數(shù)學(xué)發(fā)展史，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)的概念的形成是很不容易的。所以，學(xué)數(shù)學(xué)可以訓(xùn)練人的抽象思維能力。抽象這種思想方法為什么這么重要呢?因?yàn)槿藗円盐兆∈挛锏谋举|(zhì)，就必須去掉很多不重要的東西，要舍棄很多非本質(zhì)的東西，就必須通過(guò)抽象的思維方式解決。抽象的思想方法對(duì)于研究科學(xué)，甚至處理日常生活出現(xiàn)的問(wèn)題都是重要的。如果沒(méi)有抽象的能力，就不容易分清究竟現(xiàn)在要解決的是什么問(wèn)題。這是數(shù)學(xué)突出的特點(diǎn)，即它的抽象性。數(shù)學(xué)的抽象性使得數(shù)學(xué)可以廣泛地應(yīng)用于很多方面，即使是完全不同的方面。第二個(gè)特點(diǎn)，因?yàn)閿?shù)學(xué)的抽象性，所以對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義必須講得非常清楚。而其他學(xué)科對(duì)定義的要求就不太一樣，一般可以大概描述一下那是個(gè)什么東西，聽(tīng)的人就能夠明白。可是數(shù)學(xué)因?yàn)樗膶?duì)象抽象，描述是不行的，必須有嚴(yán)格的定義。數(shù)學(xué)里定義非常重要，這一點(diǎn)大家都能體會(huì)到。我在教學(xué)中就發(fā)現(xiàn)，其他系的老師到數(shù)學(xué)系講課，往往遇到一個(gè)很大的困難。因?yàn)榻?jīng)過(guò)一段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生什么都問(wèn)定義，比如物理系的教師來(lái)講課，他講到“力”，學(xué)生就要求給“力”下定義，這非常困難。老師很難用幾句話把“力”刻畫(huà)清楚。不像數(shù)學(xué)里講“圓”，就是從一點(diǎn)等距離的軌跡，說(shuō)得很清楚。化學(xué)里很多東西也都可以通過(guò)描述大家就能懂，并且很清楚，不需要下定義。數(shù)學(xué)為什么對(duì)定義有這么嚴(yán)格的要求？就因?yàn)樗膶?duì)象抽象，如果不通過(guò)定義把它界定清楚，就沒(méi)法討論。所以，數(shù)學(xué)里要求對(duì)概念的描述非常準(zhǔn)確。我經(jīng)常開(kāi)玩笑說(shuō)，學(xué)數(shù)學(xué)的人是非常笨的，他聽(tīng)的東西，只要那個(gè)定義沒(méi)說(shuō)清楚，他就聽(tīng)不懂。在這個(gè)意義上說(shuō)，有它的好處，也有它的壞處。壞處就是，什么都要問(wèn)定義，也會(huì)有問(wèn)題，并不是所有的東西都可以下定義。所以，數(shù)學(xué)的第二個(gè)特點(diǎn)就是它要求對(duì)概念非常準(zhǔn)確地刻畫(huà)。數(shù)學(xué)的第三個(gè)特點(diǎn)是它的邏輯的嚴(yán)格性。因?yàn)樗浅橄蟮模运恼归_(kāi)只能靠邏輯，這一點(diǎn)對(duì)人們說(shuō)來(lái)也是非常重要的訓(xùn)練， 這可以從平面幾何來(lái)理解。學(xué)了平面幾何究竟起什么作用?年輕的時(shí)候，也就是念了大學(xué)的數(shù)學(xué)以后，我就宣稱平面幾何沒(méi)有用。20世紀(jì)50年代，我參加過(guò)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)改革，我經(jīng)常說(shuō)平面幾何應(yīng)該取消。當(dāng)過(guò)幾年教員以后，我就發(fā)現(xiàn)學(xué)過(guò)平面幾何與沒(méi)有學(xué)過(guò)平面幾何的學(xué)生有一點(diǎn)不一樣，就是如果要證明一個(gè)問(wèn)題，學(xué)過(guò)平面幾何的學(xué)生很容易接受，沒(méi)有學(xué)過(guò)平面幾何的學(xué)生接受就比較困難。“文革”期間的學(xué)生，如果講證明三角形三個(gè)角之和等于180度，他們很多人就會(huì)提出來(lái)，這么簡(jiǎn)單的問(wèn)題還需要證明嗎？拿量角器量一下不就行了， 搞得我們的教員啼笑皆非。這就說(shuō)明，邏輯思維的能力是需要通過(guò)一些具體的東西來(lái)培養(yǎng)的，平面幾何就是培養(yǎng)人們邏輯思維能力的很好的媒介。數(shù)學(xué)課有這么三個(gè)特點(diǎn)。通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，能夠獲得很好的思維習(xí)慣和思維方法，在無(wú)形中會(huì)對(duì)人們起作用。數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系不光是互相促進(jìn)，重要的一點(diǎn)是，數(shù)學(xué)給人的不只是知識(shí)，而且是思維方法，數(shù)學(xué)實(shí)際上是文化的一部分。數(shù)學(xué)是理性和思維的典型，數(shù)學(xué)的上述三個(gè)特點(diǎn)都是關(guān)于理性思維的。數(shù)學(xué)還是文化的一部分。在中國(guó)的傳統(tǒng)文化里， 理性思維是不太受重視的。有人舉例說(shuō)，文藝復(fù)興以后，西方很多哲學(xué)家都喜歡搞哲學(xué)體系，這是他們的習(xí)慣。這個(gè)習(xí)慣好還是不好，另當(dāng)別論。中國(guó)就很不相同，中國(guó)很重要的典籍《論語(yǔ)》是語(yǔ)錄體。里邊很多話是警句，把要點(diǎn)指出來(lái)，并沒(méi)有論述，也不需要論述，你一聽(tīng)就有所體會(huì)。這就反映了中國(guó)的思維習(xí)慣。中國(guó)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)書(shū)有個(gè)特點(diǎn)，就是里面都是例子。比如數(shù)學(xué)里很重要的理論孫子剩余定理，在中國(guó)數(shù)學(xué)書(shū)里孫子剩余定理就是告訴你三三數(shù)之余幾，五五數(shù)之余幾，七七數(shù)之余幾，它編了個(gè)口訣，根據(jù)這個(gè)口訣一算，結(jié)果就出來(lái)了。它既沒(méi)有證明，也沒(méi)有形成一個(gè)體系，這是中國(guó)數(shù)學(xué)的一個(gè)特點(diǎn)，也是中國(guó)文化的一個(gè)特點(diǎn)。數(shù)學(xué)是文化的一部分，數(shù)學(xué)中體現(xiàn)的是一種思維的模式，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是訓(xùn)練人的邏輯思維能力的一種重要方式。過(guò)去我們?cè)诮虒W(xué)改革中曾經(jīng)提出，通過(guò)上邏輯課直接獲得邏輯思維能力，在中學(xué)還專門(mén)開(kāi)了形式邏輯課，但最后證明效果很差。關(guān)于邏輯思維的一些規(guī)律講了半天學(xué)生也聽(tīng)不懂，更不會(huì)用。后來(lái)才承認(rèn)人的邏輯思維能力是不能通過(guò)上邏輯課來(lái)培養(yǎng)的。平面幾何最大的好處，是它的內(nèi)容非常直觀，通過(guò)平面幾何這個(gè)載體可以有效地培養(yǎng)人的邏輯思維能力。數(shù)學(xué)理論邏輯非常嚴(yán)密，人們無(wú)法把邏輯從具體內(nèi)容中抽出來(lái)單獨(dú)講，這樣誰(shuí)也聽(tīng)不懂，也學(xué)不會(huì)。通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，邏輯思維的能力慢慢就提高了。數(shù)學(xué)是文化的一部分，通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)人的能力，也可以提高人的素質(zhì)。數(shù)學(xué)知識(shí)可以分兩種，一種是比較基礎(chǔ)的，一定要學(xué)通；還有一種屬于提高的， 這些等到要用的時(shí)候再學(xué)還來(lái)得及。比如十幾年前，大家都感到計(jì)算機(jī)的用途前景廣闊，于是就學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)語(yǔ)言。計(jì)算機(jī)語(yǔ)言要學(xué)一點(diǎn)，但是后來(lái)的經(jīng)驗(yàn)是，語(yǔ)言學(xué)多了也沒(méi)有用。語(yǔ)言有個(gè)特點(diǎn)，學(xué)了不用很快就會(huì)忘記。還有一點(diǎn)就是計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展很快，計(jì)算機(jī)與人的關(guān)系越來(lái)越近，學(xué)起來(lái)也很容易。概括起來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)不只是知識(shí)，它同時(shí)培養(yǎng)人的能力，提高人的素質(zhì)。素質(zhì)說(shuō)起來(lái)就虛一點(diǎn)。有的同志經(jīng)常說(shuō)數(shù)學(xué)是美的享受，這話我就不大懂。你說(shuō)數(shù)學(xué)很美，有些時(shí)候你是可以說(shuō)它非常美，但我就不大體會(huì)這個(gè)美的享受對(duì)我有多大作用。數(shù)學(xué)是美的享受，這話可以說(shuō)，但不能過(guò)分夸大。不管怎么說(shuō)，數(shù)學(xué)是一門(mén)很特殊的科學(xué)，它能給人一種無(wú)形中的影響。記住一位數(shù)學(xué)家講過(guò)這樣一句話：今天數(shù)學(xué)教育的質(zhì)量，決定著我們明天科學(xué)人才的水平。(責(zé)任編輯：徐雁)*文章來(lái)源：《安徽科技》2002年第10期 |
